Một số ứng dụng của số học trong lý thuyết mật mã

Header Page 1 of 16.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************

VŨ THỊ THANH HẬU

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 1 of 16.




Header Page 2 of 16.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
****************
VŨ THỊ THANH HẬU

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ HỌC
TRONG LÝ THUYẾT MẬT MÃ
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH. Hà Huy Khoái

Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 2 of 16.




Header Page 3 of 16.

ụ ụ
ờ ó

ột số ế tứ

t t ộ ứ t ủ tt t







ệ







ộ ứ t ủ tt t



Pé tí ồ ề q





ố tố ị ý ủ số ọ

t t ở rộ

















P r





Pé tí ồ trì ồ

ị ý rt ở rộ







í t ớ ồ ủ ỹ từ ớ





ì ý ệ r



P số tụ


ệ



í t

ột số ứ ụ ủ số ọ tr ý tết t






t ột số ệ





ệ sr

ệ ố



ột số ệ ũ t ụ





ệ ũ ủ P





tứ tr ổ ì ủ







ệ

ệ



P tí r từ số tố





P tí rt ở rộ ủ ó







P tí sử ụ số







P tí ù ủ Pr

ệ t

Footer Page 3 of 16.



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 4 of 16.

ờ

ợ t ớ sự ớ t tì
ủ ị
t tỏ ò í trọ ết s s tớ
ờ ự ề tờ
sứ ể ớ t t
t r t t s ọ
Pò số rờ ọ ọ ọ
ở ụ t tỉ r t ớ
ệ ụ tờ tỉ t ề
ệ t ợ ể t t
ị t tỏ ò ết tớ s Pó
s ế sĩ ủ ệ ọ rờ ọ ọ
ọ ữ ờ t t tì

t ọ ề ệ t ợ t t ọ
ũ ì ộ ú ỡ t
tr sốt q trì ọ t t rờ ọ ọ
ọ

Footer Page 4 of 16.



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 5 of 16.

ờ ó

rớ ữ

70

ủ tế ỷ ố ọ tờ ợ ột

tr ữ t ọ t tý ỉ ó ý ĩ ý tết ố tợ
ứ ủ ố ọ q t tr t ợ số tết ớ tồ t
tr ố ọ tết số tố í ó ữ t
ọ r ẹ ủ ố ọ ó ợ ờ sự rờ tự tễ ủ ó t
ó ủ r tts
tt ó ồ ý ớ r ẹ ủ ố ọ

ỉ tể ệ tr ý ĩ t tý ủ ó tr ữ ứ ụ
t ờ tự tễ ó ó tể ì ợ
r ột số ết q ý tết số tr ố ọ ột ộ
tr t t t sở ủ ữ ứ ụ ó í ố
ọ tt t ĩ ự ứ tt t tr ố ọ
ó tể ó t ó từ tờ ổ ờ t ụ t
ột ó ệ tố ể í t t t q sự q sự
t t ủ ờ ổ s sr ệ ổ t ệ
sr t q é t tế ỗ ý tự t ở ý tự ứ s
ó ị trí ị trí
ữ tế ỷ ệ ớ ó tí t ợ
t ệ ớ sự r ờ ủ ệ rts Pr ó ố
t q é

t tế

t

ì

s ớ q trì t trể ủ

ị sử ề t t t tr ề ĩ ự tú
ệ ớ r ờ ó tí t ệ ũ ủ P
tế t tứ tr ổ ì ủ
s ữ ệ ột ét ủ ệ tr

Footer Page 5 of 16.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 6 of 16.

❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝➠♥❣ ❜è ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♠ét ♣❤➬♥ t❤➠♥❣ t✐♥ ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❧❐♣ ♠➲ ❣ä✐ ❧➭

❤♦➳ ✈í✐ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐✱

♠➲

♠ét ♠➠ ❤×♥❤ ❤♦➭♥ ❤➯♦ ❝❤♦ ❤Ö ♠➲ ❦✐Ó✉ ♥➭② ➤➢î❝

❝➠♥❣ ❜è ❜ë✐ ❘✐✈❡st✱ ❙❤❛♠✐r ✈➭ ❆❞❧❡♠❛♥ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✼✽✱ ♠❛♥❣ t➟♥ ❘❙❆✳ ❍Ö
♠➲ ❘❙❆ ✈➱♥ ➤❛♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➳❝❤ t❤ø❝ ❧í♥ ➤è✐ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ♥❤➭ t❤➳♠ ♠➲✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ❝➡ së ❝ñ❛ ✈✐Ö❝ ➳♣ ❞ô♥❣ ❧ý
t❤✉②Õt sè ✈➭♦ ♠❐t ♠➲✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ♠➲ ❤♦➳ ❘❙❆ ✈➭ ♠ét sè t❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ tÝ❝❤
sè ♥❣✉②➟♥ ➤❛♥❣ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ t❤➳♠ ♠➲✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣
■ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉ ♥❤➢ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠
✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥✱ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ♣❤➞♥
sè ❧✐➟♥ tô❝✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❤Ö ♠➲ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❤Ö ♠➲ t❤➠♥❣ ❞ô♥❣✱
❤Ö ♠➲ ❘❙❆ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ sè ❤ä❝ ✈➭♦ ♠❐t ♠➲ ❦❤♦➳ ❝➠♥❣ ❦❤❛✐ ♥❤➢ ♣❤➞♥
tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡❝♠❛t ♠ë ré♥❣✱ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sö ❞ô♥❣ ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝✱
♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❞ï♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ P♦❧❧❛r❞✳
❚õ ➤ã ✈✐Õt ♠ét sè t❤ñ tô❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè✱ t❤ñ tô❝ ❧❐♣ ♠➲ ✈➭ ❣✐➯✐ ♠➲ ❝❤➵②
tr➟♥ ▼❛♣❧❡✳

Footer Page 6 of 16.

✹

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 7 of 16.

❈❤➢➡♥❣ ✶
▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ❚✐Õt ✶✳✶
♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥✳ ➜å♥❣
t❤ê✐ ➤Ó t✐Ö♥ t❤❡♦ ❞â✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✷ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò
♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥✱ tr♦♥❣ t✐Õt ✶✳✸ ❧➭ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝
✈Ò ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝✳

✶✳✶

❚❤✉❐t t♦➳♥ ✈➭ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥

✶✳✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠✿
❈ã t❤Ó ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ♥❤✐Ò✉ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱
❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❤✐Ó✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t❤✉❐t t♦➳♥ t❤❡♦ ❝➳❝❤ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ♥❤✃t✳

❚❤✉❐t t♦➳♥ ❧➭ ♠ét q✉✐ t➽❝ ➤Ó ✈í✐ ♥❤÷♥❣ ❞÷ ❦✐Ö♥ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤➲ ❝❤♦✱ t×♠ ➤➢î❝ ❧ê✐
❣✐➯✐ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➢î❝ ①Ðt s❛✉ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥✳
➜Ó ♠✐♥❤ ❤ä❛ ❝➳❝❤ ❣❤✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ t×♠ ❤✐Ó✉ ❝➳❝ ②➟✉ ❝➬✉

➤➷t r❛ ❝❤♦ t❤✉❐t t♦➳♥✱ t❛ ①Ðt ♠ét ✈Ý ❞ô ❝ô t❤Ó s❛✉✿ ❈❤♦

X[1], X[2], ..., X[n]✳ ❚×♠ m ✈➭ j

s❛♦ ❝❤♦

j

n

sè tù ♥❤✐➟♥

❧➭ sè ❧í♥ ♥❤✃t t❤♦➯ ♠➲♥✿

m = X[j] = max X[k]✳

1≤k≤n
❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② ❝ò♥❣ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t×♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ➤➲ ❝❤♦ ✈➭ t×♠ ❝❤Ø sè
❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤➵t ❝ù❝ ➤➵✐✳ ❱× ❝➬♥ t×♠ ❝❤Ø sè ❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè

Footer Page 7 of 16.

✺

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 8 of 16.

t ự t t t từ trị


m = X[n]

trờ ợ

j = n



X[n]

r ớ tứ t t t tờ

X[n]

ế t t s s



X[n 1]

r

n 1 = 0 tứ n = 1 tt t ết tú ế X[n 1] X[n]

t ể s s s

X[n]

ớ

X[n 2]

r trờ ợ ợ

X[n 1] í số ự tr số ét số X[n] X[n 1]
ó t t ổ

m = X[n 1] j = n 1 ớ tr

t ợ số ự tr ữ số ét ũ ợ ỉ
số ớ t

j

tr ỉ số ủ số t ự ó ớ tế t ó

s s ó ớ số ứ trớ ữ số ét ết tú tt t
tr trờ ợ ò số ứ trớ ó

ờ t ó tể tt t tr s



t t tì ự
ớ t t

t

ể tr
s

ế

ổ m

j n, k n 1, m X[n]
ế

k = 0 tt t ết tú

X[k] m ể s
t

j k, m X[k]

t ể

m

t tờ

ự

k

t

k k 1 q ề

r tr
ó é

t ỗ

ù ể ỉ ột é t q trọ

r t ột tt t ữ t

tờ r trờ ợ tt t ợ ết ữ ệ ủ
tí t ó ột

trì

r tt t ó ữ số ệ ợ trớ tt t
t ệ ọ ú

t

t tì ự tr í số
ột tt t ó tể ó ề
tr r số

tr tt

X[1], X[2], ..., X[n]

r tt

r tt t tì ự

m j

ó tể t r tt t tì ự t tr t ữ
ủ ột tt t ó ó

Footer Page 8 of 16.



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

tí ữ



tí í




Header Page 9 of 16.

í ữ t t ết tú s ột số ữ ớ
tt t ừ ệ t t ợ tr ờ ề t r
t t tì ự t tr rõ r t ề ệ ì ở
ỗ ớ t ể ợ từ ệ ét ột số s số ứ trớ ó số

số ét ữ

í ị

ỗ ớ tt t ị ĩ ỉ rõ

ệ t t tì ự ở tr ỉ r rõ r ữ ệ
ủ ỗ ớ
ữ ế tố ể tr t ò ét ế tí ệ q ủ tt
t ó rt ề tt t ề t ý tết ết tú s ột số ữ
ớ t tờ ệ ó ợt q ệ
ủ ú t ì tế t ò ú ý ế ọ

tt t

ộ ứ t ủ tt t ó tể

ợ ộ ớ

ộ ứ t ủ



tứ

ủ tí tết ể tự ệ tt t

tờ tứ

tờ tí ệ

r

ó ế ộ ứ t ủ tt t t ể ộ ứ t tờ

ộ ứ t ủ tt t
ĩ tờ ệ ủ tí ột tt t ó
ỉ ụ tộ tt t ò ụ tộ tí sử ụ
ể tt t ó ì tế ể ó ột t t sẽ ộ ứ
t ủ ột tt t số é tí tự ệ tt
t tế ù ột tt t số é tí tự
ệ ò ụ tộ ỡ ủ t tứ ụ tộ ộ ớ ủ
ì tế ộ ứ t ủ tt t sẽ ột số ủ ộ ớ ủ
r ữ ứ ụ tự tễ ú t ết í
ỉ ết

ỡ

ủ ú tứ ó ột ớ ợ ủ tốt

ủ ú

Footer Page 9 of 16.



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 10 of 16.

ệ tí tờ ữ số ữ ó

tt

ó s ỉ số

ù ệ ế số
ệ
ễ ở

1

k

2

0

ó tt ỉ số

ì tế t tệ t

tr ó ể ể ễ ột số t ỉ ù í

ột í ệ

ữ số

1

s

0



1

ợ ọ

ột ít

1 ữ số 0 ợ ọ số k ít

ụ tế t t sẽ t r số tự

ột số

n

ể

r ụ

n sẽ ột số k ít ớ k = [log2 n]

í ệ ủ ột số

ộ ứ t ủ tt t ợ số é tí ít

Pé tí ít

ột é tí số ọ tự ệ tr số ột ít

0 1
ể ớ ợ ộ ứ t ủ tt t t ù ệ ớ

ị ĩ
sử

f (n)

ó

f = O(g)



f (n)

g(n)

ị tr t ợ số

ó ớ ủ

ế tồ t ột số

C > 0

g(n)

ết

s

n

f (n) = O(g(n))

ủ ớ



f (n)



g(n) ề ồ tờ f (n) < C.g(n)

í ụ


f (n) = ai ni + ai1 ni1 + . . . + a1 n + a0

tr ó

ai > 0

ó

f (n) = O(ni ) ú t ó tể ể tr ợ r
ế

f1 (n) = O(g(n)), f2 (n) = O(g(n)) tì f1 (n) + f2 (n) = O(g(n))

ế

f1 (n) = O(g1 (n)), f2 (n) = O(g1 (n)) tì (f1 f2 )(n) = O(g1 g1 (n))

ữ ế tồ t ớ ữ

f (n)
n g(n)
lim

tì

ị ĩ
ột tt t ợ ọ ó ộ ứ t tứ ó tờ
tứ ế số é tí tết tự ệ tt t ợt q

O(log d n)
Footer Page 10 of 16.

tr ó

n

ộ ớ ủ


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

d

số




Header Page 11 of 16.

ó
ó ế số
t

k ít

tì tờ tự ệ tt

O(k d ) tứ t ớ ột tứ ủ k

tt t ớ tờ

O(n ), > 0

ợ ọ tt t ớ

ộ ứ t ũ tờ ũ ũ ó ữ tt t ó ộ ứ
t tr ữ tứ ũ tờ ọ ó

tt t ớ ũ

tt t t ợ ết ế ệ ể tí ột
số

n r từ số tt t ó ộ ứ t

( lognloglogn)

ột t ú t ữ tì r ột tt t
ó ò ố tì r tt t tốt t ộ ứ t ủ
tt t ột tr ữ ể s s tí tì r tt t
tố ộ ứ t t t ể
tt t ó ữ tt t ề t ý tết tì ộ ứ t
ột tt t sử ụ ó ệ q ú
ề ề ụ tộ ữ t ụ tể ữ ụ t
ụ tể ệ ủ ờ sử ụ

t t st

ú t ý t ột ể s

ù ị ĩ tt t ú t r t ẽ ó
q ứ tr ữ ứ ụ tự tế ở ú t ò
ế ữ tt t st tứ ữ tt t ụ tộ ột
ề t số ữ tt t ề t

ợ ọ tt t ì ú ó tể ớ st rt é ờ
ết tú tự ệ ỉ r r tt t st tờ
ữ ệ tt t tt ị í tr rt ề trờ ợ
ỉ ó tt t st sử ụ ợ ệ ớ tt
t st t tờ sử ụ số ệ
ọ số ũ ợ í ờ tì ờ t sử
ụ ột s st số ó ũ ý

Footer Page 11 of 16.



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 12 of 16.

r➺♥❣✱ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ①➳❝ s✉✃t✱ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ♥ã✐ ➤Õ♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ t✉②Öt ➤è✐
♠➭ ❝❤Ø ❝ã t❤Ó ♥ã✐ ➤Õ♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤② ✈ä♥❣✳
➜Ó ❤×♥❤ ❞✉♥❣ ➤➢î❝ ♣❤➬♥ ♥➭♦ ✧➤é ♣❤ø❝ t➵♣✧ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ✭t✃t ➤Þ♥❤ ✈➭
①➳❝ s✉✃t✮ ❦❤✐ ❧➭♠ ✈✐Ö❝ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ sè ❧í♥✱ t❛ ①❡♠ ❜➯♥❣ ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ ❦❤♦➯♥❣
t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ó ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥

n r❛ t❤õ❛ sè ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥

♥❤❛♥❤ ♥❤✃t ➤➢î❝ ❜✐Õt ❤✐Ö♥ ♥❛② ✭t❛ ①❡♠ ♠➳② tÝ♥❤ sö ❞ô♥❣ ✈➭♦ ✈✐Ö❝ ♥➭② ❝ã tè❝
➤é ♠ét tr✐Ö✉ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ✶ ❣✐➞②✮✳

❙è ❝❤÷ sè t❤❐♣ ♣❤➞♥

❙è ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ❜✐t

❚❤ê✐ ❣✐❛♥

✺✵

10
✶✱✹✳10

✸✱✾ ❣✐ê

✼✺

12
✾✱✵✳10

✶✵✹ ♥❣➭②

✶✵✵

15
✷✱✸✳10

✼✹ ♥➝♠

✷✵✵

23

✶✱✷✳10

9
✸✱✽✳10 ♥➝♠

✸✵✵

29
✶✱✺✳10

15
✹✱✾✳10
♥➝♠

✺✵✵

39
✶✱✸✳10

25
✹✱✷✳10
♥➝♠

❚õ ❜➯♥❣ tr➟♥ ➤➞② t❛ t❤✃② r➺♥❣✱ ♥❣❛② ✈í✐ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❞➢í✐ ♠ò✱ t❤ê✐ ❣✐❛♥
❧➭♠ ✈✐Ö❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❧➭ q✉➳ ❧➞✉✳ ❱× t❤Õ✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ♥❣➢ê✐ t❛ ❧✉➠♥
❝è ❣➽♥❣ t×♠ ♥❤÷♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ➤❛ t❤ø❝✳

✶✳✷

P❤Ð♣ tÝ♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ ✈➭ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò ❧✐➟♥ q✉❛♥

✶✳✷✳✶ ❙è ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❤ä❝
❙è ♥❣✉②➟♥ tè✳
❙è ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶✱ ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➭♦
♥❣♦➭✐ ✶ ✈➭ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ❤î♣ sè✳
Footer Page 12 of 16.

✶✵

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 13 of 16.

➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ sè ❤ä❝
▼ä✐ sè tù ♥❤✐➟♥ ❧í♥ ❤➡♥ ✶ ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ ♠ét ❝➳❝❤ ❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤
tÝ❝❤ ❝➳❝ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ t❤õ❛ sè ➤➢î❝ ✈✐Õt t❤❡♦ t❤ø tù ❦❤➠♥❣
❣✐➯♠✳

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♥❤÷♥❣ sè ❦❤➠♥❣ ✈✐Õt ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ●ä✐

n

❧➭ sè ❜Ð ♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤ã✳ ◆❤➢ ✈❐②✱

1 < a✱ b < n ✳

❉♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛

❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭

n

n✱

❝➳❝ sè

n
a

♣❤➯✐ ❧➭ ❤î♣ sè✱
✈➭

b

n = a.b

✈í✐

♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢❛ t❤➭♥❤ tÝ❝❤

❝ò♥❣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝✳ ▼➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯

t❤✐Õt✳ ❱❐② ♠ä✐ sè ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❝ß♥ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳

●✐➯ sö t❛ ❝ã✿

n = p 1 p 2 . . . p s = q1 q2 . . . qr ✱
tr♦♥❣ ➤ã

p1 , p2 , . . . , ps ❀ q1 , q2 , . . . , qr

❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ●✐➯♥ ➢í❝ ♥❤÷♥❣

sè ♥❣✉②➟♥ tè ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ❝ã ♠➷t tr♦♥❣ ❤❛✐ ✈Õ✱ t❛ ➤➢î❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝

pi1 pi2 . . . piu = qj1 qj2 . . . qjv ✱

tr♦♥❣ ➤ã ❦❤➠♥❣ ❝ã sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥➭♦ ❝ã

♠➷t ❝➯ ë ❤❛✐ ✈Õ✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ✈Õ tr➳✐ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦
t❤õ❛ sè ❝ñ❛ tÝ❝❤ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦
♥❣✉②➟♥ tè ❦❤➳❝ ✈í✐

qj1

qj1

qj1

✈➭ ❞♦ ➤ã ♣❤➯✐ tå♥ t➵✐ ♠ét

✿ ➤✐Ò✉ ➤ã ✈➠ ❧ý✱ ✈× ➤➞② ❧➭ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè

✳ ❚❛ ❣ä✐ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥ r❛ t❤õ❛ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭

♣❤➞♥ tÝ❝❤ sè ♥❣✉②➟♥✳

✶✳✷✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ✈➭ ♠ë ré♥❣
❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞
▼✶✳ ✭❑Õt t❤ó❝❄✮✳

◆Õ✉

▼✷✳ ✭❈❤✐❛ ❊✉❝❧✐❞✮✳

b = 0✱ ✐♥ r❛ a ✈➭ ❦Õt t❤ó❝ t❤✉❐t t♦➳♥✳

➜➷t

r ←− a mod b✱ a ←− b✱ b ←− r✱ ✈➭ q✉❛② ✈Ò ▼✶✳

❱Ý ❞ô✿ ❚❛ tÝ♥❤ ❣❝❞✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮ ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞✳ ❚❛ ❝ã✿ ❞ ❂ ✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮
❂ ✭✾✷✱✸✹✺✮ ❂ ✭✻✾✱✾✷✮ ❂ ✭✻✾✱✷✸✮ ❂✭✵✱✷✸✮ ❂ ✷✸✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ❣❝❞✭✸✹✺✱✶✶✷✼✮ ❂ ✷✸

❚❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ♠ë ré♥❣
❈❤♦ ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠

Footer Page 13 of 16.

u, v
✶✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

t×♠

(u1 , u2 , u3 ) s❛♦ ❝❤♦



Header Page 14 of 16.

(u, v) = u3 = uu1 + vu2
❚r♦♥❣ tÝ♥❤ t♦➳♥✱ t❛ t❤➟♠ ✈➭♦ ❝➳❝ ➮♥ ♣❤ô

(v1 , v2 , v3 )✱ (t1 , t2 , t3 )

✈➭ ❧✉➠♥ ❝ã

tr♦♥❣ ♠ä✐ ❜➢í❝ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ➤➞②✿

ut1 + vt2 = t3 ✱ uv1 + vv2 = v3 ✱ uu1 + vu2 = u3
▼✶✳ ✭❳✉✃t ♣❤➳t✮✳

➜➷t

(u1 , u2 , u3 ) ←− (1, 0, u)✱ (v1 , v2 , v3 ) ←− (0, 1, v)✳

▼✷✳ ✭❑✐Ó♠ tr❛ v3 = 0 ❄✮✳
▼✸✳ ✭❈❤✐❛✱ trõ✮✳

➜➷t

◆Õ✉

v3 = 0✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝✳

q ←− [ uv33 ]✱ ✈➭ s❛✉ ➤ã ➤➷t

(t1 , t2 , t3 ) ←− (u1 , u2 , u3 ) − q(v1 , v2 , v3 )✱
(u1 , u2 , u3 ) ←− (v1 , v2 , v3 )✱ (v1 , v2 , v3 ) ←− (t1 , t2 , t3 )
✈➭ q✉❛② ✈Ò ❜➢í❝ ▼✷✳

✶✳✷✳✸ P❤✐ ✲ ❤➭♠ ❊✉❧❡r
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✿
❱í✐ ♥
✈í✐

∈ N✱

sè ❧➢î♥❣ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❜Ð ❤➡♥

n

✈➭ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉

n ➤➢î❝ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ϕ(n)

❱Ý ❞ô✿
ϕ(4) ❂ ✷ ❀

ϕ(5) ❂ ✹ ❀

ϕ(6) ❂ ✷ ❀

ϕ(7) ❂ ✻ ❀

ϕ(8) ❂ ✹

➜Þ♥❤ ❧ý
◆Õ✉

m, n ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉✱ t❤×

ϕ(m, n) = ϕ(m)✳ϕ(n)

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
❚❛ ✈✐Õt ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❦❤➠♥❣ ✈➢ît q✉➳

Footer Page 14 of 16.

m, n t❤➭♥❤ ❜➯♥❣ s❛✉✿

✶

♠✰✶

✷♠✰✶

✳✳✳

✭♥ ✲ ✶✮♠✰✶

✷

♠✰✷

✷♠✰✷

✳✳✳

✭♥ ✲ ✶✮♠✰✷

✸

♠✰✸

✷♠✰✸

✳✳✳

✭♥ ✲ ✶✮♠✰✸

✳✳✳

✳✳✳

✳✳✳

✳✳✳

✳✳✳

♠

♠✰♠

✸♠

✳✳✳

♠✳♥

✶✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 15 of 16.

ờ sử
sử

r

ột số ợt q

(m, r) = d > 1

tố ù ớ

m.n

m

ó số tr ò tứ

r



km + r

ỗ tử ủ ò ó ề ó

1 k n 1, d|(km + r) ì d|m, d|r.
ể tì số tr tố ù ớ
ò tứ
số

r

ớ

(m, r) = 1

m.n

t ỉ

ét ột ò ó ứ

r, m + r, ..., (n 1)m + r ì (r, m) = 1 ỗ số tr ò

ề tố ù ớ


n

n

số tr ò t ệ t ủ

số ó ũ tố ù ớ
ớ

m

modulo m

ú tố ù

m.n t s r (m, n) = (m)(n)

Pé tí ồ trì ồ
ị ĩ é tí ồ
sử

m

ớ
ể ỉ

ột số ó số

a



b

modulo m ế m ết ệ a b

a ồ ớ modulo m t ý ệ

a b (mod m) ọ ồ tứ

s

a b (mod m) ỉ tồ t số k,

a = b + km

ột số tí t ủ ồ


a a (mod m)

ế

a b (mod m) tì b a (mod m)



ế

a b (mod m)
b c (mod m)

Footer Page 15 of 16.



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn



ồ


Header Page 16 of 16.

a ≡ c (mod m)

t❤×
✹✳ ◆Õ✉

✭✶✳✷✳✸✳✸✮

a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)

a ± c ≡ b ± d (mod m), a.c ≡ b.d (mod m)

t❤×

✭✶✳✷✳✸✳✹✮

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ax ≡ b (mod m)
❑❤✐

gcd(a, m) = 1 t❤× ❝ã ♥❣❛② ♥❣❤✐Ö♠ x ≡ a−1 b (mod m)

❑❤✐

gcd(a, m) = g

t❤× ❝ã ❤❛✐ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ①➯② r❛✿

✭✶✮ ◆Õ✉ g ❝❤✐❛ ❤Õt b✱ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤

(a/g)x ≡ (b/g) (mod m/g) ✈➭ (a/g, m/g) = 1 ✭➤➲ ①Ðt ë tr➟♥✮
✭✷✮ ◆Õ✉

g

❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt

b✱ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➠ ♥❣❤✐Ö♠✳

✶✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ✈➭ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣
➜Þ♥❤ ❧ý ❋❡r♠❛t ❜Ð ✿
◆Õ✉

p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ß♥ a ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ t❤× ap ≡ a (mod p)

◆Õ✉

p ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt a t❤× ap−1 ≡ 1 (mod p)

❱Ý ❞ô✿
65 ≡ 6 (mod 5)❀

65−1 ≡ 1 (mod 5)❀

105−1 ≡ 0 (mod 5)

➜Þ♥❤ ❧ý ♠ë ré♥❣ ✭❊✉❧❡r✮
◆Õ✉

gcd(a, m) = 1 t❤× aϕ(m) ≡ 1 (mod m)

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
●✐➯ sö

{r1 , r2 , . . . , rϕ(m) }

❧➭ ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ t❤✉ ❣ä♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜Ð ♥❤✃t

modulo m✳ ❑❤✐ ➤ã {ar1 , ar2 , . . . , arϕ(m) } ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ t❤✉ ❣ä♥✿

❱×

(a, m) = 1
(ri , m) = 1,

i = 1, . . . , ϕ(m)

.

⇒ (r1 r2 . . . rϕ(m) , m) = 1
✈➭

ri ≡ rj (mod m)

(i = j) → ari ≡ arj (mod m)

❉♦ ➤ã t❤➷♥❣ ❞➢ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❜Ð ♥❤✃t ❝ñ❛ ❤Ö ♥➭② sÏ ❧➭ t❐♣ ❤î♣
s➽♣ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù ♥➭♦ ➤ã✳ ❚õ ➤ã t❤❡♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t

Footer Page 16 of 16.

✶✹

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✭✶✳✷✳✸✳✹✮✱

{r1 , . . . , rϕ(m) }✱

t❛ ❝ã✿

Header Page 17 of 16.

ar1 .ar2 . . . ar(m) r1 .r2 . . . r(m) (mod m)


a(m) .r1 .r2 . . . r(m) r1 .r2 . . . r(m) (mod m)
ì

(ri , m) = 1 ế ủ ồ tứ tr r1 .r2 . . . r(m)

t ợ

a(m) 1 (mod m)

ị ý ợ ứ r trờ ợ r số tì

(m) = m 1 t ó ị ý rt

ệ q
ế

gcd(c, m) = 1 a b (mod (m)) ớ a, b số tự tì

ca cb (mod m)

ệ q

ế

e, d số tỏ e.d 1 (mod (m)) tì ớ ọ số

c tố ù ớ m t ó (ce )d c (mod m)
ét

ệ q ó trò t ốt tr ệ tết ệ

ũ ở

í t ớ ồ ủ ỹ từ ớ
ệ sử ụ ệ q ủ ị ý r ể tí t ờ t ò tờ
sử ụ t ì tế s ể ể rõ
ỉ í ụ s

í ụ

í

70923 mod 3137

ó

20 + 21 + 22 + 24

7091 (mod 3137) = 709
7092 (mod 3137) = 761
7094 (mod 3137) = 7612 (mod 3137) = 1913
7098 (mod 3137) = 19132 (mod 3137) = 1827

70916 (mod 3137) = 18272 (mod 3137) = 161
tí ũ từ

Footer Page 17 of 16.

24 , 22 , 21 , 20 rút ọ t modulo 3137 t


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 18 of 16.

➤➢î❝ ❦Õt q✉➯

70923 (mod 3137) = 709.761.1913.161. (mod 3137) = 907

✶✳✷✳✼ ❚❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ▲❡❣❡♥❞r❡
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
❈❤♦ sè ♥❣✉②➟♥ tè

p✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ a ≤ p ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣

(mod p) ♥Õ✉ ♥❤➢ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ x t❤♦➯ ♠➲♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x2 ≡ a (mod p)
❚❛ ❝ã ♥❣✉②➟♥ ❧ý t❤ó ✈Þ s❛✉✿

◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝➝♥ ❜❐❝ ✷
▼ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ✧♥❣❤✐Ö♠✧ ❝ñ❛ t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢

❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳

❱Ý ❞ô

▲✃②

p = 11

t❛ ❝ã

a=4

❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳ ◆ã ❝ã ❤❛✐

♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ✷ ✈➭ ✾✱ tr♦♥❣ ➤ã ✾ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭❉Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ó♠ tr❛

32 ≡ 9 (mod 11) ❤♦➷❝ 82 ≡ 9 (mod 11)

❑ý ❤✐Ö✉ ▲❡❣❡♥❞r❡
❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥ tè

p > 2 ✈➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❜✃t ❦ú a✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿

p−1
a
] = a 2 (mod p)
p
❱➭



♥Õ✉ ❛ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p
0
a
L(a, p) := [ ] = 1
♥Õ✉ ❛ ❧➭ ♠ét t❤➷♥❣ ❞➢ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ✭♠♦❞ p✮
p


−1
❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝ß♥ ❧➵✐
❚❛ ❝ã t❤Ó ♠ë ré♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❦ý ❤✐Ö✉ tr➟♥ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤î♣ p ❦❤➠♥❣

L(a, p) := [

❧➭ ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❤➢♥❣ ❝❤Ø ①Ðt ♥❤÷♥❣ sè

♣❤➯✐

a tr♦♥❣ t❐♣ t❤➷♥❣ ❞➢ rót ❣ä♥ ❝ñ❛ p✳

❑ý ❤✐Ö✉ ❏❛❝♦❜✐✿
❱í✐ sè ♥❣✉②➟♥
❛ ♥➺♠ tr♦♥❣ t❐♣

n = p1 .p2 . . . pk

t❤➷♥❣ ❞➢ rót ❣ä♥

pi , i = 1, k

❀

❝ñ❛

❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❝ß♥

n✱ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿

J(a, n) = L(a, p1 )L(a, p2 ) . . . L(a, pk )
◆❤➢ ✈❐② ❦❤✐

Footer Page 18 of 16.

n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤× J(a, n) = L(a, n)
✶✻

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 19 of 16.



P số tụ

ệ

a b số b > 0 ự ệ tt t t ợ
a = ba0 + r0 ,
b = r 0 a1 + r 1 ,

(0 r0 < b)
(0 r1 < r0 )

.........
(0 rn1 < rn2 )

rn3 = rn2 an1 + rn1 ,

rn2 = rn1 an
a
ó tể ết
số
b
a
r0
1
1
= a0 + = a0 +
= . . . = a0 +
1
b
b
b
a1 +
1
r0

. . . + an1 +
an
a
ết tr ợ ọ ể ễ số ữ tỷ
ớ số
b
tụ
ể t ù ết

a
= [a0 ; a1 , . . . , an ]
b

P số tụ

[a0 ; a1 , . . . , an ] ợ ọ số tụ ữ
ù tt t ó tể ể ễ ọ số ữ tỷ ớ số
tụ ữ ợ rõ r ỗ số tụ ữ ột số
ữ tỷ
sử

x

x 0 = x a0
ớ ỗ
ó

ột số tự tỳ ý t

i = 1, 2, . . .

t

ai = [

1
xi1

], xi =

ủ

a1 = [

ủ ế t ó t t

1
xi1

1
1
], x1 =
a1
x0
x0

ai

ế ở ớ tứ

xi = 0 tì qú trì ết tú ề r ỉ x số

ữ tỷ ợ t ó

Footer Page 19 of 16.

a0 = [x]

x ể ễ ớ số tụ



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 20 of 16.

1

x = a0 +

1

a1 +
... +

1
an + . . .

ể t tệ t ò ó tể ù ết s

x = a0 +

1
1
1
+
+ ... +
+ ...
a1 + a2 +
an +

số tụ ị ĩ tr ớ số
số tụ ò ỏ

ai

ọ

ai số ó tể

số tự tỳ ý t ù ết

1
1
1
+
+ ... +

a1 + a2 +
an
tụ x = [a0 ; a1 , . . . , an , . . .]

x = [a0 ; a1 , . . . , an ] = a0 +
ó ột số

số ộ tụ r tứ

t ọ số s

k ủ x :

Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ]

í t
ị ý
sử
t

a0 , a1 , . . . , an , . . . số tự tr ó a1 , . . . , an > 0

b0 = a0 , b1 = a1 b0 + 1, q0 = 1, q1 = a ớ ọ k 2,

bk = ak bk1 + bk2 , qk = ak qk1 + qk2
ó

(i)

Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] =

(ii)

ớ ỗ

k 1 t ó

bk
qk
bk qk+1 bk+1 qk = (1)k+1

ị ý

bk
qk
k , Qk , Pk

sử số tự í
r ủ
s



n

t


Pk + n
k =

Qk

Footer Page 20 of 16.

0 =



n

số

số ộ tụ
ợ ị ĩ

ak = [k ]



S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 21 of 16.

Pk+1 = ak Qk − Pk ,
❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã

Qk+1

2
n − Pk+1
=
✳
Qk

b2k − nqk2 = (−1)k+1 Qk+1 ✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
❇➺♥❣ q✉② ♥➵♣✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝

Pk , Qk , ∈ Z∗ , ∀k

❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ♠ét ♣❤➞♥ sè ❧✐➟♥ tô❝✱ ë ➤➞② ❧✃②

αi =

1

xi−1

x=

√

n✱

t❛ sÏ ❝ã

, i ≥ 1 ✭✶✳✸✳✷✳✶✮

i = 1 t❛ ❝ã✿
√
√
1
1
a0 + n P 1 + n
1
=
=√
=
=
= α1
x0
x − a0
(n − a20 )
Q1
n − a0

❚❤❐t ✈❐②✱ ✈í✐

✭✶✳✸✳✷✳✶✮

i ≥ 1✱ ❦❤✐ ➤ã✿
1
1
1
√

= √
=
=
1
αi − ai .
Pi + n
n − (ai Qi − Pi )
− ai
− ai
xi−1
Qi
Qi
√
√
1
Pi+1 + n
Pi+1 + n
= √
=
=
= αi+1 ✳
2
Qi+1
( n − Pi+1 )
)
(n − Pi+1
Qi
Qi
√
❱❐② ✭✶✳✸✳✷✳✶✮ ❝ò♥❣ ➤ó♥❣ ✈í✐ i + 1✳ ❙✉② r❛

n = [a0 ; a1 , . . . , αk+1 ]✳
√
αk+1 bk + bk−1
➤Þ♥❤ ❧ý ✭✶✳✸✳✷✳✶✭✐✮✮ t❛ ❝ã
n=
✳
αk+1 qk + qk−1
√
Pk+1 + n
❚õ ➤ã✱ ❱×
αk+1 =
✱ t❛ ➤➢î❝✿
Qk+1
√
√
(Pk+1 + n)bk + Qk+1 bk−1
√
n=
(Pk+1 + n)qk + Qk+1 qk−1
●✐➯ sö

1
=
xi

1

◆❤➢ ✈❐②

➤ó♥❣ ✈í✐

√
√
nqk + (Pk+1 qk + Qk+1 qk−1 ) n = (Pk+1 bk + Qk+1 bk−1 ) + bk n✳

❚õ ➤ã s✉② r❛

nqk = Pk+1 bk + Qk+1 bk−1 ,
bk = Pk+1 qk + Qk+1 qk−1 ✱

Footer Page 21 of 16.

❚❤❡♦

✶✾

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 22 of 16.

◆❤➞♥ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ♥❤✃t ✈í✐

qk ✱

➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ ✈í✐

bk

✈➭ trõ ❤❛✐ ➤➻♥❣

t❤ø❝ t❤ø ❤❛✐ ❝❤♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤ø ♥❤✃t✱ t❛ ➤➢î❝✳

b2k − nqk2 = (−1)k+1 Qk+1 ✳ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✮✳

❍Ö q✉➯
●✐➯ sö ♥ ❧➭ sè tù ♥❤✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳ ●ä✐
r✐➟♥❣ ❝ñ❛

√

n✳

❚❤Õ t❤×✱ ➤å♥❣ ❞➢

♥❤✃t✱ ❝ã ❣✐➳ trÞ t✉②Öt ➤è✐ ❜Ð ❤➡♥

❚r➢í❝ ❤Õt✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣
❚❤❐t ✈❐②✱ tõ ❝➳❝ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ tr♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý

√

●✐➯ sö✱

❧➭ ❝➳❝ ♣❤➞♥ sè ❤é✐ tô

b2k (mod n) ❧✃② t❤❡♦ t❤➷♥❣ ❞➢ t✉②Öt ➤è✐ ❜Ð
√

2 n✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✿

P0 = 0 <

bk
qk

Pk <

✭✶✳✸✳✷✳✷✮✱

√

√

n, Qk > 0, ∀k ∈ N✳

t❛ s✉② r❛✿

n, Q0 = 1 > 0; P1 = a0 < n, Q1 = n − a20 > 0✳
√
Pk < n, Qk > 0✱ ✈í✐ k ≥ 1✱ ❦❤✐ ➤ã✿

2
n − Pk+1
=
Qk =
Qk+1

√

√
n + Pk+1 √
( n − Pk+1 ) = αk+1 ( n − Pk+1 )
Qk+1

αk > 1, ∀k ∈ N ✈➭ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ Qk > 0✳
2
n − Pk+1
√
> 0✳
◆➟♥ tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ s✉② r❛
Pk+1 < n ✈➭ Qk+1 −
Qk
√
◆❤➢ ✈❐②
Pk < n, Qk >
√ 0, ∀k ∈ N✳
n + Pk
❍➡♥ ♥÷❛ tõ ❝➠♥❣ t❤ø❝ αk =
✱ ❚❛ s✉② r❛✳
Qk

▼➭

Qk < αk .Qk =

√

n + Pk <

√

n+

√

√
n = 2 n, ∀k ∈ N

❇➞② ❣✐ê t❛ sö ❞ô♥❣ ➤å♥❣ ❞➢ t❤ø❝

√
|b2k − nqk2 | = Qk+1 < 2 n✳

b2k ≡ b2k − nqk2 (mod n) ✈➭
✭ ❍Ö qñ❛ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✮✳

◆❤❐♥ ①Ðt✿ ❍Ö q✉➯ ♥➭② ❧➭ ❝➡ së ❝❤♦ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❋❡r♠❛t s✉② ré♥❣ ♥❤ê ♣❤➞♥ sè
❧✐➟♥ tô❝ sÏ ♥ã✐ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ t❤➳♠ ♠➲ ë ❝❤➢➡♥❣ ■■✳

Footer Page 22 of 16.

✷✵

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 23 of 16.

❈❤➢➡♥❣ ✷
▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ sè ❤ä❝ tr♦♥❣ ❧ý
t❤✉②Õt ♠❐t ♠➲
✷✳✶

◆❣✉②➟♥ t➽❝ ❝❤✉♥❣ ✈➭ ♠ét sè ❤Ö ♠➲ ➤➡♥ ❣✐➯♥

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝➳❝ t❤✉❐t ♥❣÷ ➤➢î❝ ❤✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
✳❱➝♥ ❜➯♥ ❧➭ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ❣è❝ ❝➬♥ ❝❤✉②Ó♥✱ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

P

✳▼➲ ❤♦➳ ❧➭ ✈✐Ö❝ ❝❤✉②Ó♥ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ➤ã t❤➭♥❤ ❞➵♥❣ ♠❐t ♠➲✳
✳❱➝♥ ❜➯♥ ♠❐t ❧➭ ❜➯♥ ➤➲ ♠➲ ❤ã❛ ❝ñ❛ ✈➝♥ ❜➯♥ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

C✳

✳❈❤×❛ ❦❤♦➳ ❧➭ ❜Ý q✉②Õt ❣✐➯✐ ✈➭ ❧❐♣ ♠➲✳
❈ã ♠ét ➤✐Ò✉ ❤Õt sø❝ t❤ó ✈Þ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❤Ö ♠➲ ❤✐Ö♥ ➤➵✐ ❝ò♥❣ ❝ã t❤Ó ➤➢î❝ ①❡♠
❧➭ sù ❝➯✐ t✐Õ♥ ❤Ö ♠➲ ❝ñ❛ ❈❛❡s❛r✦ ❱× t❤Õ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❜➽t ➤➬✉ ✈✐Ö❝ tr×♥❤ ❜➭② ❤Ö
♠➲ ❈❡❛s❛r ✦

✷✳✶✳✶ ❍Ö ♠➲ ❈❡❛s❛r
◆❣✉②➟♥ ❧ý t❤ù❝ ❤✐Ö♥
❈❡❛s❛r ➤➲ ❝❤✉②Ó♥ t❤➠♥❣ ❜➳♦ ♠❐t ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ s❛✉ ➤➞②✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ ❧❐♣ ♣❤Ð♣
t➢➡♥❣ ø♥❣ ♠ç✐ ❝❤÷ ❝➳✐ ✈í✐ ♠ét sè✳ ◆❤ê ❜➯♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ➤ã t❛ ❝ã t❤Ó ❝❤✉②Ó♥

♠ét ✈➝♥ ❜➯♥ t❤➭♥❤ ❞➵♥❣ ❝❤÷ sè✳ ❙❛✉ ➤ã t❛ ❝é♥❣ t❤➟♠ ✸ ✈➭♦ ♠ç✐ ❝❤÷ sè ♥❤❐♥
➤➢î❝✱ ❧➵✐ ♥❤ê ❜➯♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❣✐÷❛ ❝❤÷ ✈➭ sè✱ t❛ ❜✐Õ♥ ❜➯♥❣ ❝❤÷ sè ♠í✐ ♥➭②
✈Ò ❞➵♥❣ ❝❤÷ ✈✐Õt✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♠ét ✈➝♥ ❜➯♥ ♠❐t ❝➬♥ ❝❤✉②Ó♥✳

Footer Page 23 of 16.

✷✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



➜➞②


Header Page 24 of 16.

❧➭ q✉➳ tr×♥❤ ♠➲ ❤ã❛✳
❑❤✐ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ✈➝♥ ❜➯♥ ♠❐t✱ t❛ ❣✐➯✐ ♠➲ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❜✐Õ♥ ♥ã t❤➭♥❤ ❞➵♥❣ ❝❤÷
sè ♥❤ê ❜➯♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❣✐÷❛ ❝❤÷ ✈➭ sè✱ s❛✉ ➤ã trõ ➤✐ ✸ ë ♠ç✐ ❝❤÷ sè ✈➭ ❧➵✐
❝❤✉②Ó♥ ♥ã ✈Ò ❞➵♥❣ ❝❤÷ ➤Ó ❧➵✐ ❝ã ✈➝♥ ❜➯♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳

❈❤ó ý✿ ❑❤✐ ❝é♥❣ ❤♦➷❝ trõ ➤✐ ✸ ➤➢❛ t❛ ✈➢ît q✉➳ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ❜➯♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣✱
t❛ t❤❛② sè ➤ã ❜➺♥❣ t❤➷♥❣ ❞➢ ❞➢➡♥❣ ❜Ð ♥❤✃t

modulo sè ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛ ❜➯♥❣

t➢➡♥❣ ø♥❣ ❣✐÷❛ ❝❤÷ ✈➭ sè ✭❚r♦♥❣ ❜➯♥❣ ❝❤÷ ❝➳✐ t✐Õ♥❣ ❆♥❤ t❤× sè ♥➭② ❧➭ ✷✻✮
❙❛✉ ➤➞② t❛ ①Ðt ✈Ý ❞ô ❝ô t❤Ó ✈í✐ ❝➳❝ ❝❤÷ ❝➳✐ tr♦♥❣ t✐Õ♥❣ ❱✐Öt✳
❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❧❐♣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❝➳❝ ❝❤÷ ❝➳✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❝❤÷ sè t❤❡♦ ❜➯♥❣ s❛✉✿

❛

➝

➞

❜

❝

❞

➤

❡

➟

❣

❤

✐

✵✶

✵✷

✵✸

✵✹

✵✺

✵✻

✵✼

✵✽

✵✾

✶✵

✶✶

✶✷

❦

❧

♠

♥

♦

➠

➡

♣

q

r

s

t

✶✸

✶✹

✶✺

✶✻

✶✼

✶✽

✶✾

✷✵

✷✶

✷✷

✷✸

✷✹

✉

➢

✈

①

②

✷✺

✷✻

✷✼

✷✽

✷✾

❍Ö ♠➲ ❈❡❛s❛r ➤➢î❝ ❤×♥❤ t❤➭♥❤ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿

C ≡ P + 3 (mod 29)

❙è ✸ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✷✳✶✳✶❛✮

✭✷✳✶✳✶❛✮
❣ä✐ ❧➭

❝❤×❛ ❦❤♦➳

❝ñ❛ ♠➲ ❈❡❛s❛r

❈❤➻♥❣ ❤➵♥ ♠✉è♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈➝♥ ❜➯♥

❊♠ ❦✐♥❤ ❝❤❛♦ ❝❛❝ t❤➞② ❝➠ ❛
❚r➢í❝ ❤Õt ♥❤➺♠ ♥➞♥❣ ❝❛♦ tÝ♥❤ ❜➯♦ ♠❐t✱ t❛ t➳❝❤ t❤➠♥❣ ❜➳♦ t❤➭♥❤ ♥❤ã♠ ✺ ❝❤÷
❝➳✐✳ ◆❤➢ ✈❐② t❤➠♥❣ ❜➳♦ ❝➬♥ ♠➲ ❤♦➳ ❧➭✿

❡♠❦✐♥ ❤❝❤❛♦ ❝❛❝t❤ ➞②❝➠❛
❚❛ ❝❤✉②Ó♥ t❤➠♥❣ ❜➳♦ s❛♥❣ ❞➵♥❣ ❝❤÷ sè✿

8 15 13 12 16 11 5 11 1 17 5 1 5 24 11 3 29 5 18 1
➳♣ ❞ô♥❣

✭✷✳✶✳✶❛✮

❉➲② ❝❤÷ sè tr➟♥ ➤➢î❝ ❝❤✉②Ó♥ t❤➭♥❤✿

11 18 16 15 19 14 8 14 4 20 8 4 8 27 14 6 3 8 21 4
❚❛ ❧➵✐ ❝❤✉②Ó♥ ✈Ò ❞➵♥❣ ❝❤÷ ❝➳✐✱ t❛ ❝ã ✈➝♥ ❜➯♥ ♠❐t✳

❤➠♥♠➡
Footer Page 24 of 16.

❧❡❧❜♣

❡❜❡✈❧

❞➞❡q❜
✷✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 25 of 16.

❚❛ ❝ò♥❣ ❝ã t❤Ó ❧❐♣ ♠ét ❤Ö ♠➲ ♠í✐ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ t❤❛② sè ✸ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✷✳✶✳✶❛✮

❜➺♥❣ ♠ét sè

k

t✉ú ý ❦❤➳❝ ❣✐÷❛ ✶ ✈➭ ✷✾✳

C ≡ P + k (mod 29)

✭✷✳✶✳✶❜✮

❚❛ ❝ã t❤Ó ❧❐♣ ♠➲ tæ♥❣ q✉➳t ❤➡♥ ❝❤ót Ýt ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ t❤❛② ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✷✳✶✳✶❜✮

❜ë✐

❝➠♥❣ t❤ø❝ s❛✉✿

C ≡ aP + b (mod 29)
❚r♦♥❣ ➤ã

✭✷✳✶✳✶❝✮

a, b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➺♠ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ (1; 29) ✈➭ (a, 29) = 1✳

◆❤÷♥❣ ♠➲ ♥❤➢ ✈❐② ❣ä✐ ❧➭

♠➲ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❛❢✐♥✳

❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤å♥❣ ❞➢

❱✐Ö❝ ❣✐➯✐ ♠➲ ➤➢î❝ t✐Õ♥ ❤➭♥❤

✭✷✳✶✳✶❝✮

P ≡ a−1 (C − b) (mod 29) ✱ ❦❤✐ ➤➲ ❜✐Õt C, a, b

❱Ý ❞ô ✭❚❤ù❝ ❤➭♥❤ tr➟♥ ▼❛♣❧❡ ✮
[❃

❜❛♥❣❦②t✉s♦ ✿❂ ❬✧❛✧ ❂ ✶✱ ✧❜✧ ❂ ✷✱ ✧❝✧ ❂ ✸✱ ✧❞✧ ❂ ✹✱ ✧❡✧ ❂ ✺✱ ✧❢✧ ❂ ✻✱ ✧❣✧ ❂

✼✱ ✧❤✧ ❂ ✽✱ ✧✐✧ ❂ ✾✱ ✧❦✧ ❂ ✶✵✱ ✧❧✧ ❂ ✶✶✱ ✧♠✧ ❂ ✶✷✱ ✧♥✧ ❂ ✶✸✱ ✧♦✧ ❂ ✶✹✱ ✧❥✧ ❂
✶✺✱ ✧♣✧ ❂ ✶✻✱ ✧q✧ ❂ ✶✼✱ ✧r✧ ❂ ✶✽✱ ✧s✧ ❂ ✶✾✱ ✧t✧ ❂ ✷✵✱ ✧✉✧ ❂ ✷✶✱ ✧✈✧ ❂ ✷✷✱ ✧①✧
❂ ✷✸✱ ✧②✧ ❂ ✷✹✱ ✧③✧ ❂ ✷✺✱ ✧✇✧ ❂ ✷✻✱ ✧ ✧ ❂ ✷✼✱ ✧✱✧ ❂ ✷✽✱ ✧✲✧ ❂ ✵❪✿

[❃ ❜❛♥❣s♦❦②t✉ ✿❂ ✧✲❛❜❝❞❡❢❣❤✐❦❧♠♥♦❥♣qrst✉✈①②③✇ ✱✧✿
[❃ ♥ ✿❂ ♥♦♣s✭❜❛♥❣❦②t✉s♦✮✿
[❃ ❛ ✿❂ ✷✸✿ ❜ ✿❂ ✽✿
[❃ ✐s✭❣❝❞✭❛✱ ♥✮ ❂ ✶✮❀
tr✉❡
❚❛ ❝ã✿

[ ❞❛②❦t♠❛❀
❞❛②❦t♠❛✿❂✧❣①t❢♠qrtsr❜❧ts❜st❞r❜✐ts❧t❜✧
●✐➯✐ ♠➲ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✷✳✶✳✶❝✮

❝❤ä♥ ❝➷♣ ✭❛✱❜✮✳

[❃ ✈❜♠❛ ✿❂ ✧❣①t❢♠qrtsr❜❧ts❜st❞r❜✐ts❧t❜✧✿
[❃ ▲ ✿❂ ❧❡♥❣t❤✭✈❜♠❛✮❀
✷✻

[❃ ❞❛②✈❜♠❛ ✿❂ ❬s❡q✭✈❜♠❛❬✐❪✱ ✐ ❂ ✶ ✳✳ ❧❡♥❣t❤✭✈❜♠❛✮✮❪❀
❞❛②✈❜♠❛ ✿❂❬✧❣✧✱ ✧①✧✱ ✧t✧✱ ✧❢✧✱ ✧♠✧✱ ✧q✧✱ ✧r✧✱ ✧t✧✱ ✧s✧✱ ✧r✧✱ ✧❜✧✱ ✧❧✧✱

Footer Page 25 of 16.

✷✸

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên