Lý thuyết đồ thị và một số dạng toán thi olympic (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG THANH LOAN

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI OLYMPIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG THANH LOAN

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI OLYMPIC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục
Lời mở đầu

1

1 Một số khái niệm, kết quả cơ bản và ứng dụng
1.1 Các định nghĩa cơ bản và ứng dụng . . . . . . . . . . . .
1.2 Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch . . . . . . . .
1.3 Tô màu đồ thị và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
16
24

2 Một số lớp đồ thị đặc biệt và ứng dụng
2.1 Cây và ứng dụng . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đồ thị Euler và ứng dụng . . . . . . . .
2.3 Đồ thị Hamilton và ứng dụng . . . . . .
2.4 Đồ thị phẳng và ứng dụng . . . . . . . .

37
37
43
47
55

Kết luận

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

61

i


LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết đồ thị là một ngành toán học hiện đại, tuy có lịch sử phát
triển mới hơn một thế kỷ nhưng có ứng dụng quan trọng vào nhiều
ngành khoa học, kĩ thuật hiện đại: Vật lí, hoá học, sinh học, tin học,
điều khiển học, vv... Trên thực tế có nhiều bài toán liên quan tới một
tập các đối tượng và những mối liên hệ giữa chúng, đòi hỏi toán học phải
đặt ra một mô hình biểu diễn một cách chặt chẽ và tổng quát bằng ngôn
ngữ kí hiệu, đó là đồ thị. Trong khoảng mấy chục năm gần đây, người
ta đã quan tâm nhiều tới lý thuyết đồ thị và các ứng dụng của nó. Đó là
do lý thuyết đồ thị đã chứng tỏ được là một mô hình hữu hiệu cho tính

toán tối ưu. Lý thuyết đồ thị còn là đối tượng nghiên cứu của Hình học
đại số và Đại số giao hoán. Ngày nay khái niệm lý thuyết đồ thị đã xâm
nhập không chỉ vào các lĩnh vực khoa học tự nhiên truyền thống như
toán học, vật lý học hay hoá học, mà còn vào nhiều lĩnh vực khoa học
tự nhiên và xã hội khác. Các bài toán đồ thị ngày càng xuất hiện nhiều
hơn trong các kì thi Olympic Toán của các quốc gia cũng như các kì thi
Toán quốc tế. Thông thường đây là các bài toán khó không chỉ với học
sinh Việt Nam mà cả đối với cả học sinh quốc tế nói chung. Đề tài “Lý
thuyết đồ thị và một số dạng toán thi Olympic” nhằm tìm hiểu một số
vấn đề về lý thuyết đồ thị và ứng dụng, đặc biệc là ứng dụng trong việc
giải một số dạng toán thi học sinh giỏi.
Luận văn được viết dựa chủ yếu trên tài liệu chính để tham khảo là
[6] và một số đề thi Olympic của các nước ... Bên cạnh việc tìm hiểu
ứng dụng của lý thuyết đồ thị trong toán sơ cấp thì việc tìm hiểu những
vấn đề cơ bản của lý thuyết đồ thị cũng là một mục đích chính của luận
văn. Luận văn là sự tổng hợp, phân tích các dạng toán, sưu tầm các ví
dụ từ nhiều nguồn tài liệu. Cấu trúc luận văn gồm hai chương:
1


Chương 1 Một số khái niệm, kết quả cơ bản và ứng dụng. Chương
1 trình bày tóm tắt một số khái niệm, kết quả cơ bản và ứng dụng, các
định nghĩa cơ bản và ứng dụng, hành trình, đường, chu trình, vết và
mạch, tô màu đồ thị và ứng dụng.
Chương 2 Một số lớp đồ thị đặc biệt và ứng dụng. Chương 2 trình
bày một số lớp đồ thị đặc biệt như cây, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton,
đồ thị phẳng và ứng dụng chủ yếu trong các bài toán Olympic.
Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn
và giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Trần Nguyên An. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp
Cao học toán khoá 8 đã truyền thụ đến cho tác giả nhiều kiến thức và
kinh nghiệm nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã
tạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình học
tập và hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016
Tác giả

Nông Thanh Loan

2


Chương 1
Một số khái niệm, kết quả cơ bản
và ứng dụng
Trong chương này, ta sẽ đề cập tới các mô hình đồ thị khác nhau,
các khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị như hành trình, đường, chu
trình, liên thông và một vài ứng dụng trong giải toán phổ thông.
Lý thuyết đồ thị được bắt đầu như một lĩnh vực toán học từ những
lập luận nổi tiếng của Euler về bảy chiếc cầu ở K¨onigsberg trong một
bài báo công bố vào năm 1736. Nhưng bài báo này của Euler là công
trình duy nhất về lý thuyết đồ thị trong suốt gần một trăm năm sau đó.
Khoảng giữa thế kỷ 19 người ta mới quay trở lại với các vấn đề của lý
thuyết đồ thị, đặc biệt là ở nước Anh. Nguyên nhân của sự quay trở lại
đó xuất phát từ những nghiên cứu về mạng điện, về các mô hình tinh
thể và về các cấu trúc phân tử của các chất. Sự phát triển của logic
hình thức đã đẩy đến việc nghiên cứu các quan hệ hai ngôi dưới dạng lý
thuyết đồ thị. Sau đó nhiều bài toán khác cũng đã được phát triển trên

ngôn ngữ lý thuyết đồ thị.

1.1

Các định nghĩa cơ bản và ứng dụng

Như ta đã thấy ở trên, khái niệm đồ thị xuất hiện từ nhiều lĩnh vực
khác nhau trong cuộc sống. Trong mỗi lĩnh vực riêng của mình, người
ta cần tới một kiểu đồ thị nào đó. Vì vậy mà cũng xuất hiện nhiều loại
3


đồ thị khác nhau. Song tựu chung lại ta có thể xếp chúng vào các loại
chính sau đây: đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đa đồ thị có hướng, đa
đồ thị vô hướng.
Định nghĩa 1.1.1 (Đồ thị có hướng). Một đồ thị có hướng G là một
cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là một tập con của
tích Đề các V × V.
Các phần tử của V được gọi là đỉnh, còn các phần tử của E được gọi
là các cung của đồ thị có hướng G. Cụ thể hơn, nếu (a, b) ∈ E thì (a, b)
được gọi là cung của G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng đi
từ a tới b.
Để được trực quan người ta thường biểu diễn đồ thị có hướng G trên
mặt phẳng như sau. Các đỉnh của G được biểu diễn bằng các chấm tròn,
còn các cung thì được biểu diễn bằng các đường cong nối đỉnh đầu với
đỉnh cuối và có mũi tên hướng từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối.
a

e

f

b

c
d
Hình 1.1: Ví dụ một đồ thị có hướng

Ví dụ 1.1.2. Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f } và
E = {(a, a), (a, b), (b, d), (d, b)(c, e), (e, a)}. Khi đó G là đồ thị có hướng
được biểu diễn bằng Hình 1.1.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Nếu
(a, b) ∈ E thì các đỉnh a và b được gọi là liên thuộc với cung (a, b). Khi
đó a và b cũng được gọi là kề nhau. Hai cung bất kỳ của G được gọi là
4


kề nhau nếu chúng có đỉnh chung. Cung dạng (a, a) với a ∈ V được gọi
là khuyên. Đỉnh không liên thuộc với một cung nào được gọi là đỉnh cô
lập. Số các đỉnh của G, tức là |V |, được gọi là cấp của G, còn số các
cung của G, tức là |E|, được gọi là cỡ của G.
Trước khi đưa ra định nghĩa đồ thị vô hướng, ta giới thiệu khái niệm
đa tập. Một sự tụ tập các vật có bản chất tùy ý, trong đó có thể có
những vật không phân biệt được với nhau (và có thể coi như là sự lặp
lại của cùng một vật), được gọi là đa tập hợp hay ngắn gọn là đa tập.
Các vật trong đa tập cũng được gọi là các phần tử. Ta cũng dùng các
phương pháp xác định tập hợp để xác định đa tập. Nhưng đối với đa
tập, ta cần xác định số các phần tử không phân biệt được với nhau, số
lượng các phần tử của một đa tập A cũng được gọi là lực lượng của A
và được ký hiệu là |A|.

Ví dụ 1.1.4. A = {a, a, a, b, c, c} là một đa tập với |A| = 6.
Theo định nghĩa, hiển nhiên mỗi tập cũng là đa tập, nhưng ngược lại,
một đa tập có thể không là tập hợp. Chẳng hạn, đa tập A ở trên không
là tập hợp.
Nếu các phần tử của một đa tập A đều là phần tử của một tập B,
thì ta sẽ nói rằng A là đa tập trên B. Chẳng hạn, đa tập A ở trên là
một đa tập trên tập B = {a, b, c}.
Định nghĩa 1.1.5 (Đồ thị vô hướng). Một đồ thị vô hướng G là một
cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là tập với các phần
tử là các đa tập lực lượng 2 trên V .
Các phần tử của V cũng được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E
được gọi là các cạnh của đồ thị có hướng G. Nếu e = {a, b} là một cạnh
của G thì a và b được gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh
liên thuộc với e. Ta cũng thường ký hiệu cạnh {a, b} ngắn gọn là ab.
Người ta cũng thường biểu diễn đồ thị vô hướng trên mặt phẳng tương
5


tự như ta biểu diễn đồ thị có hướng: các đỉnh của đồ thị được biểu diễn
bằng các chấm tròn, còn các cạnh thì được biểu diễn bằng một đường
cong nối các đỉnh của cạnh. Điểm khác biệt ở đây là không có mũi tên
chỉ hướng trên các đường cong đó.
a

b

d

c
Hình 1.2: Ví dụ một đồ thị vô hướng

Ví dụ 1.1.6. Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d} và
E = {{a, a}, {a, b}, {b, d}, {b, c}, {c, d}}.

Khi đó G là đồ thị vô hướng được biểu diễn bằng Hình 1.2.
Đồ thị có hướng được định nghĩa ở trên cũng thường được gọi là đơn
đồ thị có hướng. Lý do là vì với hai đỉnh a và b bất kỳ tồn tại duy nhất
một cung với đỉnh đầu là a và đỉnh cuối là b. Với lý do tương tự, đồ thị
vô hướng được định nghĩa ở trên cũng thường được gọi là đơn đồ thị
vô hướng. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng ta cần có nhiều cung với
cùng đỉnh đầu và đỉnh cuối hay cần có nhiều cạnh cùng liên thuộc với
hai đỉnh đã cho. Vì vậy, người ta đưa ra khái niệm đa đồ thị có hướng
và đa đồ thị vô hướng.
Định nghĩa 1.1.7 (Đa đồ thị có hướng và đa đồ thị vô hướng). Một
đa đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một
6


tập, còn E là một đa tập với các phần tử đều thuộc tích Đề các V × V.
Đa đồ thị có hướng cũng được biểu diễn trên mặt phẳng tương tự như
đồ thị có hướng, trong đó các cung có cùng đỉnh đầu và đỉnh cuối phải
được biểu diễn bằng các đường cong khác nhau. Tương tự một đa đồ
thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập,
còn E là một đa tập với các phần tử đều là đa tập lực lượng 2 trên V .
Trong biểu diễn trên mặt phẳng của đa đồ thị vô hướng, các cạnh khác
nhau nhưng có các đỉnh đầu mút như nhau phải được biểu diễn bằng
các đường cong khác nhau.
a

b

c
d
Hình 1.3: Ví dụ một đa đồ thị có hướng

a

d

b

Hình 1.4: Ví dụ một đa đồ thị vô hướng

7

c


Ví dụ 1.1.8. Cho G1 = (V, E1 ) với V = {a, b, c, d, e, f } và
E1 = {(a, c), (a, c), (c, a), (d, c)(a, d), (d, a), (b, a), (d, b), (d, b)} là một đa
đồ thị có hướng, còn cặp G2 = (V, E2 ) với V = {a, b, c, d} và
E2 = {{a, d}, {a, d}, {d, a}, {c, d}, {a, c}, {c, a}, {b, a}, {c, b}, {c, b}} là một
đa đồ thị vô hướng. G1 và G2 được biểu diễn trên mặt phẳng tương ứng
như trên Hình 1.3 và Hình 1.4.
Đồ thị G′ = (V ′ , E ′ ) được gọi là đồ thị con của đồ thị G = (V, E) nếu
V ′ ⊆ V và E ′ ⊆ E. Đồ thị con G′ = (V ′ , E ′ ) của đồ thị G = (V, E) được
gọi là đồ thị con bao trùm của G nếu V ′ = V . Nếu E ′ chứa tất cả các
cung hay cạnh của G, mà cả hai đỉnh liên thuộc với nó đều thuộc V ′ ,
thì G′ = (V ′ , E ′ ) được gọi là đồ thị con của G = (V, E) cảm sinh bởi tập
đỉnh V ′ hay cũng được gọi là đồ thị con cảm sinh bởi G = (V, E) trên

tập đỉnh V ′ . Khi đó G′ cũng được ký hiệu là G′ = G[V ′ ].
Ta thường phải xây dựng các đồ thị mới từ các đồ thị đã cho bằng
cách xóa hay thêm một số đỉnh hoặc cạnh. Nếu W ⊆ V , thì G − W =
G [V \ W ], tức là đồ thị con của G nhận được từ G bằng cách xóa đi
cách đỉnh thuộc W và mọi cung (hay cạnh) liên thuộc với các đỉnh trong
W . Tương tự, nếu E ′ ⊆ E thì G − E ′ = (V, E \ E ′ ). Nếu W = {w} và
E ′ = {(x, y)} (hay E ′ = {x, y} ) thì ký hiệu ở trên được đơn giản viết
thành (G − w) và G − (x, y) (hay (G − xy) ). Tương tự, nếu x và y không
kề nhau trong G thì G + (x, y) (hay G + xy ) là đồ thị nhận được từ G
bằng cách nối x với y bằng cung (x, y) (tương ứng, bằng cạnh xy). Nếu
G1 = (V1 , E1 ) và G2 = (V2 , E2 ) là hai đồ thị đã cho, thì hợp của hai đồ
thị này, ký hiệu là G1 ∪ G2 , là đồ thị với tập đỉnh là V1 ∪ V2 và tập cung
(hay cạnh) E1 ∪ E2 . Nếu cả hai đồ thị G1 và G2 là đồ thị vô hướng, thì
kết nối của hai đồ thị G1 và G2 , ký hiệu là G1 + G2 , là đồ thị nhận được
từ G1 ∪ G2 bằng cách thêm vào tất cả các cạnh dạng xy với x ̸= y và
x ∈ V1 , y ∈ V2 .
Hiển nhiên là nếu một đồ thị vô hướng không có khuyên có cấp bằng
8


n thì cỡ m của nó thỏa mãn 0 ≤ m ≤

(n)
2

. Đồ thị vô hướng cấp n và cỡ

m = 0 được gọi là n-đồ thị rỗng hay n-đồ thị hoàn toàn rời rạc và được
kí hiệu là On hay En . Còn đồ thị vô hướng không có khuyên cấp n và cỡ
( )

m = n2 được gọi là n-đồ thị đầy đủ và thường được ký hiệu là Kn .
Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng không có khuyên với |V | = n.
Ta định nghĩa đồ thị bù của G, ký hiệu là G , là đồ thị vô hướng với tập
đỉnh cũng là V , còn tập cạnh là E(Kn )\E.
Lớp đồ thị đặc biệt sau đây gọi là đồ thị m-phần cũng thường được
chú ý. Một đồ thị vô hướng không có khuyên G = (V, E) được gọi là đồ
thị m-phần nếu ta có thể phân hoạch V thành dạng V = V1 ∪V2 ∪...∪Vm
với Vi ̸= ∅, i = 1, 2, ..., m sao cho các đỉnh trong cùng Vi , i = 1, 2, ..., m,
là không kề nhau. Nếu G là đồ thị m-phần và tồn tại cạnh nối một đỉnh
bất kỳ của Vi với một đỉnh bất kỳ của Vj cho mọi i ̸= j thì G được gọi
là m-phần đầy đủ. Đồ thị 2-phần đầy đủ, trong đó các phần V1 và V2 có
|V1 | = m, |V2 | = n được ký hiệu là Km,n .
Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng và v ∈ V . Ký hiệu
N + (v) = {x ∈ V |(v, x) ∈ E},
N − (v) = {y ∈ V |(y, v) ∈ E}.
Khi đó |N + (v)| được gọi là bậc đi ra, còn |N − (v)| được gọi là bậc đi vào
của v.
Bây giờ giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng và v ∈ V . Ký hiệu
NG (v) = {x ∈ V |x ̸= v, và {x, v} ∈ E}
Khi đó NG (v) được gọi là tập các láng giềng của v. Trong trường hợp đồ
thị G được hiểu ngầm, ta ký hiệu NG (v) đơn giản bằng N (v).
Định nghĩa 1.1.9. Ta định nghĩa bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng
G, ký hiệu là degG (v) hay ngắn gọn là deg(v) nếu như G được hiểu ngầm,
9


{
|N (v)|,
nếu {v, v} ∈
/E

deg(v) =
|N (v)| + 2, nếu {v, v} ∈ E .

như sau:

(1.1)

Ta cũng kí hiệu
δ(G) = min deg(v),
v∈V

∆(G) = max deg(v),
v∈V

và gọi chúng tương ứng là bậc nhỏ nhất và bậc lớn nhất của các đỉnh
của G. Nếu δ(G) = ∆(G) = k, thì mọi đỉnh của G đều có bậc là k và G
được gọi là đồ thị chính qui bậc k hay ngắn gọn là k-chính qui. Một đồ
thị vô hướng được gọi là chính qui nếu nó là k-chính qui với một k nào
đấy. Đồ thị vô hướng k-chính qui cũng được gọi là đồ thị bậc k.
Có những đồ thị khác nhau nhưng khi đổi tên các đỉnh của các đồ
thị đó thì chúng lại có thể trùng nhau. Những đồ thị như thế được
đọi là đẳng cấu và trong lý thuyết đồ thị người ta thường đồng nhất
chúng. Cụ thể hơn, đồ thị có hướng (tương ứng, vô hướng) G = (V, E)
và G′ = (V ′ , E ′ ) được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh
φ : V → V ′ sao cho (a, b) ∈ E (tương ứng, {a, b} ∈ E) khi và chi khi
(φ(a), φ(b)) ∈ E (tương ứng, {φ(a), φ(b)} ∈ E). Song ánh φ như trên
được gọi là đẳng cấu của G và G′ . Hai đồ thị đẳng cấu với nhau G và
G′ được kí hiệu là G ∼
= G′ .
G′ = (V ′ , E ′ )

G = (V, E)
1

4

a

3

2

f

b

e

c

d
6
5
Hình 1.5: Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu

10


Ví dụ 1.1.10. Giả sử G = (V, E) và G′ = (V ′ , E ′ ) là các đồ thị vô hướng
trong Hình 1.5. Khi đó G ∼

= G′ và ánh xạ φ : V → V ′ với
φ(1) = a, φ(5) = b, φ(2) = c,
φ(6) = d, φ(3) = e, φ(4) = f
là đẳng cấu của G và G’.
Định lý 1.1.11 (Bổ đề bắt tay). Trong đồ thị vô hướng G = (V, E) bất
kỳ ta luôn có

∑

deg(v) = 2 |E|.

v∈V

Chứng minh. Mỗi x ∈ N (v) ta tương ứng với e = {v, x} ∈ E. Dễ thấy
rằng tương ứng này là song ánh giữa N (v) và E(v) = {{v, x} ∈ E|v ̸= x}.
Vì thế

∑

|N (v)| =

v∈V

∑

|Ev |.

v∈V

Vì mỗi cạnh {v, x} ∈ E với v ̸= x có hai đỉnh liên thuộc với nó là v

và x, nên trong tổng ở vế phải mỗi {v, x} ∈ E với v ̸= x đã được tính
đúng hai lần: một lần trong Ev và một lần trong Ex . Do đó,
∑
|E(v)| = 2|E1 |,
v∈V

ở đây E1 là tập tất cả các cạnh không phải là khuyên của G. Do đó
∑
|N (v)| = 2|E1 |.
v∈V

Mặt khác, ta có E2 = E \ E1 là tập tất cả khuyên của G. Ký hiệu
V1 = {v ∈ V |{v, v} ∈
/ E}, V2 = {v ∈ V |{v, v} ∈ E}. Khi đó, vì với mỗi
đỉnh v ∈ V2 , ta có đúng một khuyên {v, v} ∈ E, nên |V2 | = |E2 |. Vì vậy,
∑
∑
∑
∑
∑
deg(v) =
deg(v) +
deg(v) =
|N (v)| +
|N (v)| + 2 |V2 |
v∈V∑
v∈V1
v∈V2
v∈V1
v∈V2

=
|N (v)| + 2 |V2 | = 2 |E1 | + 2 |E2 | = 2 |E| .
v∈V

11


Ta có thể sử dụng khái niệm bậc của đỉnh (định nghĩa 1.1.9) và một
số kết quả trên của lý thuyết đồ thị để giải một số bài toán ở phổ thông.
Ta thường sử dụng một số kết quả sau:
(i) Trong mọi đồ thị G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số
chẵn, bằng hai lần tổng tất cả các cạnh của G (Xem Định lý 1.1.11).
(ii) Trong mọi đồ thị có n đỉnh (n ≥ 2) không có khuyên, bao giờ
cũng có ít nhất hai đỉnh cùng bậc.
(iii) Nếu một đồ thị G với n đỉnh (n > 2) có đúng hai đỉnh cùng bậc
thì G phải có đúng một đỉnh bậc 0 hoặc đúng một đỉnh bậc n − 1.
Bài toán sau là trường hợp cụ thể của (ii).
Bài toán 1.1.12. Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu
một trận với các đội khác. Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có
hai đội đã đấu được một số trận như nhau.
Giải. Ta chuyển bài toán về đồ thị: Cho tương ứng mỗi đội bóng với một
đỉnh của đồ thị; khi hai đội đã đấu với nhau thì ta nối hai đỉnh tương
ứng bằng một cạnh; bậc của mỗi đỉnh bằng số trận mà đội tương ứng
đã thi đấu. Ta phải giải bài toán sau:
Cho đồ thị với 10 đỉnh. Chứng minh rằng bao giờ cũng có hai đỉnh
cùng bậc.
Thật vậy, trong một đồ thị có 10 đỉnh, không thể có đồng thời một
đỉnh (A chẳng hạn) bậc 0 và một đỉnh (B chẳng hạn) bậc 9. Bởi vì nếu
B có bậc 9 thì B là đầu mút của 9 cạnh nối B với 9 đỉnh còn lại, trong
đó có A, do đó A không thể có bậc 0; ngược lại, nếu A có bậc 0 thì B

nhiều lắm cũng chỉ có bậc 8. Có 10 đỉnh, mà mỗi đỉnh chỉ có thể có một
trong 9 bậc (từ 0 đến 8, hoặc từ 1 đến 9), vì vậy theo nguyên lý Dirichlet
phải có ít nhất hai đỉnh có cùng bậc.
Bài toán sau là trường hợp cụ thể của (iii).

12


Bài toán 1.1.13. Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu
một trận với các đội khác. Có một lúc, người ta nhận thấy có đúng hai
đội (*) đã đấu một số trận như nhau. Chứng minh rằng lúc đó hoặc
đúng một đội chưa thi đấu trận nào, hoặc đúng một đội đã thi đấu với
tất cả đội khác.
Giải. Ta chuyển bài toán về đồ thị:
Cho đồ thị G có 10 đỉnh. Chứng minh rằng nếu G có đúng hai đỉnh
cùng bậc thì G phải có đúng một đỉnh bậc 0 hoặc đúng một đỉnh bậc 9.
Trước hết, ta chứng minh rằng nếu G có đúng hai đỉnh cùng bậc thì
bậc đó không thể là 0 mà cũng không thể là 9. Thực vậy, nếu G có đúng
hai đỉnh cùng bậc và bậc này là 0 (các đỉnh khác có bậc đôi một khác
nhau) thì khi loại bỏ hai đỉnh cô lập này đi, ta được một đồ thị G′ với 8
đỉnh có bậc đôi một khác nhau, điều này là vô lý với bài toán trên. Còn
¯ của G
nếu G có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc này là 9 thì đồ thị bù G
có hai đỉnh cùng bậc 0 và các đỉnh khác có bậc đôi một khác nhau, vô
lý với lập luận ở trên.
Như vậy, bài toán đã được chứng minh.
Sau đây là bài toán ứng dụng khái niệm đồ thị có hướng đã trình bày
ở phần 1.1.
Bài toán 1.1.14. Trên tập hợp S, cho quan hệ → giữa các cặp phần tử
của S với các tính chất sau:

1) Với mọi phần tử khác nhau a, b ∈ S, có đúng một quan hệ a → b hoặc
b → a;
2) Với mọi bộ ba phần tử khác nhau a, b, c ∈ S, nếu có a → b và b → c
thì cũng có c → a.
Hỏi tập hợp S có thể chứa nhiều nhất là bao nhiêu phần tử?
Giải. Ta vẽ đồ thị với đỉnh là các phần tử của S.

13


a

a

c

b
a)

b

a

c
b)
Hình 1.6

b

c

c)

d

Theo giả thiết, với bất cứ ba đỉnh a, b, c nào, ta cũng có đồ thị con
như trong Hình 1.6 (a hoặc b), ở đó mỗi đỉnh là điểm đi ra (điểm đầu)
của một cung (mũi tên) khác. Từ đó, nếu có đỉnh thứ tư d (Hình 1.6c)
và xét ba đỉnh a, b, d thì ta phải có b → d; nhưng nếu xét ba đỉnh b, c, d
thì ta phải có d → b, điều đó mâu thuẫn với giả thiết là có một và chỉ
một trong hai quan hệ b → d hoặc d → b.
Vậy S có thể có nhiều nhất là ba phần tử.
Bài toán 1.1.15 (IMO, 1988). Giả sử n là một số nguyên dương và
A1 , A2 , ..., A2n+1 là các tập hợp con của tập hợp B.
Giả sử rằng
(1) Mỗi Ai có đúng 2n phần tử;
∩
(2) Mỗi Ai Aj (1 ≤ i < j ≤ 2n + 1) có đúng một phần tử;
(3) Mỗi phần tử của B đều thuộc ít nhất hai tập con Ai .
Hỏi với giá trị nào của n thì chúng ta có thể đánh dấu mọi phần tử
của B bởi các con số 0 và 1 sao cho Ai có đúng n phần tử được đánh
số 0.
Giải. Lúc đầu , từ "ít nhất" trong điều kiện có thể thay thế bằng từ
∩
∩
"chính xác". Nếu có một phần tử ai ∈ A1 A2n A2n+1 , thì mỗi tập
hợp còn lại trong số 2n − 2 tập hợp A2 , A3 , ..., A2n−1 có ít nhất các
phần tử của A1 . Vì thế có ít nhất một phần tử thuộc A1 nhưng không
∪ ∪ ∪
∪
∪

thuộc A2 A3 ... A2n−1 A2n A2n+1 .
Nó mâu thuẫn với (3).
14


Xây dựng đồ thị đầy đủ K2n+1 , trong đó mọi đỉnh vi đại diện cho
một tập hợp Ai và mọi cạnh (vi , vj ) = eij (1 ≤ i, j ≤ 2n + 1, i ̸= j) đại
diện cho phần tử chung của Ai , Aj . Vì thế câu hỏi có thể được thay đổi
thành: Tính chất gì của n thoả mãn điều đó bằng cách gán các cạnh
của K2n+1 là 0 hoặc 1, đúng n cạnh của 2n cạnh bất kỳ đến đỉnh vi
được đánh số 0 ?
K2n+1 có n(2n + 1) cạnh. Nếu yêu cầu của việc đánh số có thể làm
được, thì có 21 n(2n + 1) cạnh được đánh số 0. Vì thế n phải là số chẵn.
Ngược lại, nếu n = 2m là chẵn, chúng ta gán cạnh (vi , vi−m ),
(vi , vi−m+1 ) ,..., (vi , vi−1 ), (vi , vi+1 ) , ... , (vi , vi+m ), i = 1, 2, ..., 2n + 1
là 0, nếu không thì là 1 trong K2n+1 . Phương pháp này đáp ứng yêu
cầu (chú ý v(2n+1)+i = vi ).
Vì thế, yêu cầu của câu hỏi được thoã mãn nếu và chỉ nếu n là số
chẵn.
Bài toán 1.1.16 (China Mathematical Competition, 1986). Có n người,
hai người bất kỳ trong số đó có một cuộc trò chuyện bằng điện thoại
với nhau ít nhất một lần. Bất kỳ n − 2 người trong số đó có cuộc nói
chuyện bằng điện thoại 3m lần, trong đó m là một số tự nhiên. Hãy
tìm n.
Giải. Ta có n ≥ 5. Ký hiệu n người bởi n đỉnh A1 , A2 , ..., An . Nếu
Ai , Aj có một cuộc trò chuyện bằng điện thoại, thì có một cạnh (Ai , Aj ).
Như vậy, có một cạnh nối 2 đỉnh trong n đỉnh. Không mất tính tổng
quát, chúng ta giả sử rằng đó là cạnh (A1 , A2 ).
Giả sử không có cạnh nối đỉnh A1 và A3 . Xem xét n − 2 đỉnh
A1 , A4 , A5 , ..., An ; A2 , A4 , A5 , ..., An và A3 , A4 , A5 , ..., An . Chúng

ta biết số cạnh nối từ các đỉnh A1 , A2 , A3 bất kỳ đến tất cả các đỉnh
A4 , A5 , ..., An là bằng nhau và chúng ta ký hiệu là k.
Thêm đỉnh A2 vào tập hợp A1 , A4 , A5 , ..., An , thì có S = 3m +k +1
15


cạnh nối n − 1 đỉnh. Lấy bất kì đỉnh nào từ n − 1 đỉnh, số cạnh nối
n − 2 đỉnh còn lại luôn là 3m . Vì thế có k + 1 cạnh nối mỗi đỉnh và n − 2
đỉnh còn lại. Vì thế,
1
S = (n − 1)(k + 1).
2
Tương tự, thêm A3 vào tập hợp A1 , A4 , A5 , ..., An . Chúng ta nhận
1
được n − 1 đỉnh và số cạnh là t = 3m + k = (n − 1)k.
2
Vì S = t + 1, chúng ta có
1
1
(n − 1)(k + 1) = (n − 1)k + 1,
2
2
với n = 3. Mâu thuẫn. Như vậy có một cạnh nối A1 , A3 .
Tương tự, cũng có một cạnh nối A2 và A3 . Ngoài ra, phải có các
cạnh nối A1 , A2 và tất cả các đỉnh Ai (i = 3, 4, ..., n) .
Với Ai , Aj (i ̸= j), có một cạnh nối Ai và Aj . Vì thế, có một cạnh
nối Ai và Aj . Như vậy, đồ thị này là đồ thị đầy đủ. Từ đó suy ra
1
3m = (n − 2)(n − 3).
2

Vậy chúng ta có n = 5.

1.2

Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa hành trình (đường
đi) có hướng, hành trình vô hướng, định nghĩa đường, chu trình, đồ thị
liên thông.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng. Một
hành trình (đường đi) có hướng trong G là một dãy v0 e1 v1 e2 v2 .....en vn
sao cho với mọi i = 0, 1, ..., n, vi ∈ V , còn với mọi i = 1, 2, ..., n, ei ∈ E
và ei = (vi−1 , vi ). Khi đó n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh
đầu, còn vn được gọi là đỉnh cuối của hành trình có hướng trên. Tương
16


tự, một hành trình vô hướng trong G là một dãy v0 e1 v1 e2 v2 .....en vn sao
cho với mọi i = 0, 1, ..., n, vi ∈ V , còn với mọi i = 1, 2, ..., n, ei ∈ E và
hoặc ei = (vi−1 , vi ) hoặc ei = (vi , vi−1 ). Khi đó n cũng được gọi là độ
dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh vn được gọi là đỉnh cuối của
hành trình vô hướng trên.
Một hành trình (có hướng, vô hướng) được gọi là khép kín (chu trình)
nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau.
e2

v2

e1

v3

e7
v5
e9

e4

e8

e3
v4

v1

e5
e6

v6
Hình 1.7: Dùng để minh hoạ cho hành trình trong đồ thị

Ví dụ 1.2.2. Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng như ở Hình 1.7. Khi
đó:
1. v1 e1 v2 e9 v6 e6 v5 e7 v2 e2 v3 là một hành trình có hướng với đỉnh đầu là
v1 , đỉnh cuối là v3 và độ dài bằng 5.
2. v1 e1 v2 e7 v5 e4 v4 e3 v3 e2 v2 e7 v5 e6 v6 là một hành trình vô hướng với đỉnh
đầu là v1 , đỉnh cuối là v6 và độ dài bằng 7.
3. v2 e9 v6 e6 v5 e7 v2 là một hành trình có hướng khép kín.
4. v2 e7 v5 e5 v4 e3 v3 e2 v2 là một hành trình vô hướng khép kín.
Trong trường hợp hành trình có hướng, mỗi cung ei đều có đỉnh đầu

là đỉnh đứng trước và đỉnh cuối là đỉnh đứng sau ei trong dãy, tức là nó
17


được xác định bởi chính hai đỉnh đó. Vì vậy người ta thường đơn giản
gọi dãy các đỉnh v0 v1 v1 v2 .....vn của G là hành trình có hướng trong G
nếu với mọi i = 0, 1, ...., n − 1, (vi , vi+1 ) là một cung của G. Tình huống
có hơi khác với trường hợp hành trình vô hướng. Nếu trong G giữa hai
đỉnh vi và vj có cả hai cung là e1 = (vi , vj ) và e2 = (vj , vi ) thì hai dãy
con vi e1 vj và vi e2 vj là hai đoạn khác nhau trong hành trình. Vì thế, cung
giữa vi và vj cần được chỉ ra cụ thể. Tuy nhiên nếu trong G chỉ có một
cung giữa vi và vj ( hoặc là (vi , vj ) hoặc là (vj , vi ) nhưng không đồng thời
cả hai), thì cung giữa hai đỉnh đó cũng được xác định duy nhất trong G
bởi vi và vj . Do đó để đơn giản ta cũng thay đoạn vi e1 vj với e1 = (vi , vj )
hay vi e2 vj với e2 = (vj , vi ) của hành trình bằng vi , vj .
Định nghĩa 1.2.3. Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng),
trong đó các đỉnh đều khác nhau được gọi là một đường (hay hành trình
sơ cấp) có hướng (tương ứng, vô hướng). Một hành trình có hướng (tương
ứng, vô hướng), trong đó các cung đều khác nhau được gọi là một vết
có hướng (tương ứng, vô hướng). Một hành trình có hướng (tương ứng,
vô hướng) khép kín, mà khi xóa đỉnh cuối thì trở thành một đường có
hướng (tương ứng, vô hướng), được gọi là một chu trình có hướng (tương
ứng, vô hướng). Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng) khép
kín, trong đó các cung đều khác nhau, được gọi là một mạch (hay hành
trình đơn giản) có hướng (tương ứng, vô hướng).
Trên đây ta đã đưa ra các định nghĩa của hành trình, đường, chu
trình, vết và mạch (có hướng, vô hướng) trong đồ thị có hướng. Các
khái niệm tương tự cũng có thể định nghĩa trong đồ thị vô hướng. Tuy
nhiên, ta nhận xét thấy rằng trong đồ thị vô hướng giữa hai đỉnh bất kỳ
chỉ có nhiều nhất là một cạnh. Vì thế, các khái niệm trên có thể định

nghĩa trong đồ thị vô hướng đơn giản như sau.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng. Một hành
18


trình (vô hướng) trong G là một dãy các đỉnh v0 v1 v2 ...vn sao cho với mọi
i = 0, 1, ..., n − 1, {vi , vi+1 } là một cạnh của G. Các cạnh {vi , vi+1 },
i = 0, 1, ..., n − 1, cũng được gọi là các cạnh của hành trình v0 v1 v2 ...vn .
Khi đó n được gọi là độ dài, v0 được gọi là đỉnh đầu, còn vn được gọi là
đỉnh cuối của hành trình trên. Một hành trình được gọi là khép kín nếu
đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau. Một hành trình được gọi là
đường nếu các đỉnh của hành trình đó đều khác nhau. Một hành trình
được gọi là vết nếu các cạnh của hành trình đó đều khác nhau. Một
hành trình khép kín được gọi là chu trình, nếu nó có độ dài ít nhất là 3
và khi xóa đi đỉnh cuối thì trở thành đường. Một hành trình khép kín
được gọi là mạch nếu mọi cạnh của nó đều khác nhau.
a
a’
e

b’

e’

d’

b

c’

d
c
Hình 1.8: Đồ thị Petersen

Ví dụ 1.2.5. Cho đồ thị G = (V, E) như Hình 1.8. Đồ thị này được gọi
là đồ thị Petersen. Khi đó,
1. abcde là một đường;
2. abcdea là một chu trình;
3. abcdeaa’c’e’e là một vết.

19


Định nghĩa 1.2.6. (Tính liên thông). Một đồ thị (có hướng, vô hướng)
G = (V, E) được gọi là liên thông yếu hay cũng gọi tắt là liên thông, nếu
với hai đỉnh vi và vj khác nhau bất kỳ của G tồn tại một hành trình vô
hướng trong G với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj . Trong trường hợp
ngược lại, đồ thị được gọi là không liên thông.

G = (V, E)
G1

b

G2
h

c

a

f
g
i

d

e

Hình 1.9: Đồ thị G với hai thành phần liên thông là G1 và G2

Đồ thị con liên thông G′ = (V ′ , E ′ ) của một đồ thị (có hướng, vô
hướng) G = (V, E) được gọi là một thành phần liên thông của G, nếu
G′ = G[V ′ ] và với mọi V ′′ ⊆ V , mà thực sự chứa V ′ , đồ thị G[V ′′ ] là
không liên thông.
Ví dụ 1.2.7. Đồ thị có hướng G = (V, E) cho trong Hình 1.9 là đồ thị
không liên thông. Nó có hai thành phần liên thông là G1 và G2 .
Đối với đồ thị có hướng ngoài kiểu liên thông định nghĩa ở trên người
ta còn định nghĩa kiểu liên thông một chiều và kiểu liên thông mạnh
như sau.
Định nghĩa 1.2.8. Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông
một chiều, nếu với hai đỉnh khác nhau bất kỳ vi và vj , tồn tại một hành
trình có hướng với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj hoặc một hành trình
20


có hướng với đỉnh đầu là vj và đỉnh cuối là vi (hoặc cả hai hành trình
đó).
Định nghĩa 1.2.9. Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông
mạnh, nếu với hai đỉnh bất kỳ khác nhau vi và vj , luôn tồn tại cả hành

trình có hướng với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj và hành trình có
hướng với đỉnh đầu là vj và đỉnh cuối là vi .
Bài toán 1.2.10. Trong phòng có n người (n ≥ 3), mỗi người quen với
ít nhất hai người khác. Chứng minh rằng có thể chọn ra một số người
để xếp ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi giữa hai
người quen.
Giải. Ta cho tương ứng mỗi người với một đỉnh của đồ thị. "Hai người
quen nhau" ứng với hai đỉnh được nối bởi một cạnh (hai đỉnh kề nhau);
"mỗi người quen với ít nhất hai người khác" ứng với mỗi đỉnh có bậc
≥ 2; "một số người ngồi quanh bàn tròn sao cho mỗi người ngồi giữa hai
người quen" ứng với mỗi dãy đỉnh nối tiếp lập thành một chu trình sơ
cấp. Ta phải chứng minh bài toán đồ thị sau đây:
Cho đồ thị G với n đỉnh (n ≥ 3), bậc của mỗi đỉnh đều ≥ 2. Chứng
minh rằng trong G bao giờ cũng có một chu trình sơ cấp.
Xét tất cả các đường đi sơ cấp có thể có trong G. Vì số đỉnh của G
là hữu hạn, nên số đường đi này là hữu hạn và trong đó có đường đi p
có độ dài lớn nhất, ta gọi đó là AB...N P .
Vì A có bậc ≥ 2 nên ngoài cạnh AB, còn có ít nhất một cạnh nữa
có đầu mút tại A, giả sử đó là AY . Nếu Y không trùng với bất cứ đỉnh
nào của đường đi p thì ta có đường đi Y AB..N P có độ dài lớn hơn độ
dài của p (vì có thêm cạnh Y A), trái với giả thiết đường đi p có độ dài
lớn nhất. Do đó Y phải trùng với một đỉnh nào đó của p, giả sử Y ≡ F .
Khi đó ta có chu trình AB...EF A. Bài toán được chứng minh.

21


Bài toán 1.2.11. Một lớp học có 40 học sinh về nghỉ hè. Biết rằng mỗi
em có địa chỉ của ít nhất 20 bạn, và nếu A có địa chỉ của B thì B cũng
có địa chỉ của A, chứng minh rằng bất cứ hai em nào trong lớp cũng có

thể liên lạc với nhau (biết địa chỉ).
Giải. Ta cho tương ứng mỗi bạn với một đỉnh của đồ thị; "hai bạn có
địa chỉ của nhau" tức là 2 đỉnh tương ứng được nối bởi một cạnh; "mỗi
em có địa chỉ của ít nhất 20 bạn" tức là mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 20.
Khi đó, hai bạn có thể liên lạc với nhau nếu tồn tại một đường đi nối
hai đỉnh tương ứng. Ta có bài toán về đồ thị như sau:
Một đồ thị 40 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ít nhất bằng 20, là một đồ thị
liên thông.
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử đồ thị đã cho không liên thông. Thế thì G có một số thành
phần liên thông, trong đó phải có ít nhất một thành phần G′ chứa không
quá 20 đỉnh (nếu ngược lại thì G có nhiều hơn 40 đỉnh). Vì mỗi đỉnh
của G′ chỉ được nối với các đỉnh của nó (các thành phần liên thông rời
nhau) nên mọi đỉnh của G′ có bậc không vượt quá 19, trái với giả thiết.
Vậy đồ thị G phải liên thông.
Bài toán 1.2.12 (International Mathematical Competition, 1991). Cho
G là một đồ thị liên thông gồm k cạnh. Chứng minh rằng có thể đánh
số các cạnh bằng tất cả các số 1, 2, ..., k sao cho tại mỗi đỉnh mà ở đó
có ít nhất hai cạnh của đồ thị, ta đều có ước chung lớn nhất của các số
nguyên viết trên các cạnh của đỉnh này bằng 1.
Giải. Xuất phát từ một đỉnh A0 bất kỳ của G, ta vạch một đường đi
đơn giản p0 (đường đi không qua cạnh nào 2 lần) và đánh số các cạnh
của nó với các số liên tiếp 1, 2, ..., m (m ≤ k ), cho đến khi nào không đi
được nữa (đến một đỉnh mà mọi cạnh qua đó đã được đánh số rồi). Nếu
còn cạnh của G chưa được đánh số thì một trong các cạnh đó phải có
22