Bất đẳng thức _ Thật đơn giản

Sáng kiến kinh nghiệm
THẮNG

Gv: LÊ XUÂN

BẤT ĐẲNG THỨC-“THẬT ĐƠN GIẢN”

I.Lý do chọn đề tài.
Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng th ức tôi nh ận th ấy
các em thường:
+ Các em thường sợ các bất đẳng thức. bỏ qua và khụng cú h ứng thỳ. bởi vỡ
tụi nhận thấy ở cỏc em:
+Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán như thế nào ?.
+Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các h ệ quả của
các bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,v…v…
+ Khụng nắm được một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp và cú nhi ều
ứng dụng.
+Khi giải được bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác,
biến đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có th ể suy
ra bài toán tổng quát.
Để khắc phục được hạn chế trên, định hướng các em tư duy lôgíc. Tôi mạnh d ạn
đưa ra một vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các em h ọc t ập hi ệu
quả hơn bằng cách tiếp cận vấn đề bằng một bất đẳng thức hết sức quen thuộc,
dễ chứng minh dễ nhớ và đặc biệt cú rất nhiều ứng dụng ở lớp 10 cũng như ở
chương trỡnh phổ thụng.
1
1 1 1
≤ ( + )
Bài toàn: Với hai số dương x và y ta có:
(1)
x+ y 4 x y

Đẳng thức xảy ra khi x =y.
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh ph ổ
biến nhất.
Cỏch 1. Với hai số dương x và y ta cú:
1
1 1 1
≤ ( + )
( x + y ) 2 ≥ 0 ⇒ (x + y)2 ≥ 4 xy ⇒
x+ y 4 x y
Rừ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
Cỏch 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có
1 1
1 1
2
x + y ≥ 2 xy,
+ ≥2 . =
x y
x y
xy
1 1
1
1 1 1
≤ ( + )
Từ đó: ( x + y ) ( + ) ≥ 4 ⇒
x y
x+ y 4 x y
Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Tổng quỏt: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kỡ ta cú:
2
2

( a + b)
( a + b)
a 2 b2
a 2 b2
≤ ( + ) hay ( + ) ≥
.
x+ y
x
y
x
y
x+ y
Trường THPT Triệu Sơn 4

1
-


Sáng kiến kinh nghiệm
THẮNG

Gv: LÊ XUÂN

a b
= . ( chứng minh bất đẳng thức này cũng cú
x y
nhiều cỏch chứng minh xin dành cho bạn đọc).
II. Biện pháp thực hiện.
Để làm được việc này cần có nhiều việc phải làm.
Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuy ết c ơ b ản

như côsi,bunhiacopski,trêbưsep,v…,v…và các cách chứng minh thông thường.
Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt h ướng cho các em phân tích
các bài toán bằng cách trả lời câu hỏi:
-Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không?
-Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các s ố h ạng
phải thoả mãn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức h ợp với giả
thuyết của bài toán.
Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng th ức về b ất đ ẳng th ức
quen thuộc. đặc biệt là bất dẳng thức (1)
Thứ tư: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhi ều
công cụ. Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho tư duy cũng như khả năng
tổng hợp kiến thức của các em.
III. Phạm vi nghiên cứu.
Sáng kiến này được thực hiện ở các lớp khối tại trường THPT Triệu Sơn 4.
V. Thực hiện
Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi

Bài toỏn 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
1
1
1
1 1 1 1
+
+
≤ ( + + )
(2)
a+b b+c c+a 2 a b c
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Áp dụng (1) ta cú ngay điều phải chứng minh.
* Phỏt triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

1
1
1
1 1
1
1
+
+
≤ (
+
+
)
(3)
a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 2 a + b b + c c + a
* Kết hợp (2) và (3) ta cú
Bài toỏn 2. Với a, b, c là các số dương:
1
1
1
1 1 1 1
+
+
≤ ( + + )
(4)
a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 4 a b c
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
1 1 1
+ + = 4 thỡ bài toỏn 2 là nội dung cõu V, Đề
Chỳ ý: Nếu thờm giả thiết
a b c

thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005.
Trường THPT Triệu Sơn 4
2
-


Sáng kiến kinh nghiệm
THẮNG

Gv: LÊ XUÂN

Bài toỏn 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
1
1
1
1
1
1
+
+
≤
+
+
(5)
a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a + 3b b + 3c c + 3a
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:
1
1
4
2

+
≥
=
a + 3b b + 2c + a (a + 3b) + (b + 2c + a ) a + 2b + c
1
1
4
2
+
≥
=
b + 3c c + 2a + b (b + 3c ) + (c + 2a + b) b + 2c + a
1
1
4
2
+
≥
=
c + 3a a + 2b + c (c + 3a ) + (a + 2b + c) c + 2a + b
Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức trên và rút gọn ta cú bất đẳng thức (5)
a + 3b = b + 2c + a

Đẳng thức xảy ra khi: b + 3c = c + 2a + b ⇔ a = b = c
c + 3a = a + 2b + c

Bài toỏn 4 . Hóy xỏc định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn
thỏa món đẳng thức sau:
A
B

C
tg
tg
tg
1
2
2
2
+
+
=
B C
C
A
A B
A B C
1 + tg .tg
1 + tg .tg
1 + tg .tg
4.tg .tg .tg
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A

B
C
Giải: Đặt x = tg , y = tg , z = tg
thế thỡ x, y, z dương và xy + yz + zx=1
2
2
2
x
y
z
1
+
+
=
Hệ thức trở thành:
1 + yz 1 + zx 1 + xy 4 xyz
Ta cú:
x
y
z
+
+
=
1 + yz 1 + zx 1 + xy
x
y
z
=
+
+

≤
( xy + yz ) + ( zx + yz ) ( xy + zx) + ( yz + zx) ( xy + yz ) + ( zx + xy )
1 x
x  1 y
y  1 z
z 
≤ 
+
+
+
÷+ 
÷+ 
÷=
4  xy + yz zx + yz  4  xy + zx yz + zx  4  xy + yz zx + xy 
1 x+ z
x+ y
y + z  1  1 1 1  xy + yz + zx
1
= 
+
+
=
÷=  + + ÷=
4  xy + yz zx + yz xy + zx  4  x y z 
4 xyz
4 xyz
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
Trường THPT Triệu Sơn 4

3

-


Sáng kiến kinh nghiệm
THẮNG

Gv: LÊ XUÂN

Bài toỏn 5. Cho x, y, z là cỏc số thực thỏa món điều kiện x + y + z = 0, x +
1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất của
x
y
z
Q=
+
+
x +1 y +1 z + 4
Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta cú: a + b + c = 6
và
a −1 b −1 c − 4
1 1 4
Q=
+
+
= 3− + + ÷
a
b
c
a b c
Theo bất đẳng thức (1) ta có:

1 1 4
4
4
16
8
( + )+ ≥
+ ≥
=
a b c a+b c a+b+c 3
8 1
⇒ Q ≤ 3− =
3 3
a = b
3
1



a = b =
x = y =
⇔
2⇔
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a + b = c
a + b + c = 6
c = 3
 z = −1

1


x = y =
2.

 z = −1
Bài
toỏn
6:
Chứng
minh
rằng :
2x
2y
2z
1
1
1
+
+
≤
+
+
với x, y, z là các số dương. Dấu bằng
x6 + y 4 y6 + z 4 z 6 + x 4 x4 y 4 z 4
sảy ra khi nào ?
Giải :
2
x + 1)
(
1
1

x2 1
4x
+
=
+
≥
≥
.
Tương
tự
ta
cũng
có
x 4 y 4 x 6 y 4 x6 + y 4 x 6 + y 4
1
1
4y
1
1
4z
+
≥
;
+
≥
. Cộng từng vế bất dẳng thức trên ta có
y 4 z 4 y6 + z 4 z 4 x4 z6 + x4
1
Vậy: MaxQ = đạt được khi
3

bất dẳng thức cần chứng minh. Dờu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
Bài toỏn 7 : Cho 3 số thực dương a, b và c thoả :ab+bc+ca = abc. chứng minh
rằng :
a4 + b4
b4 + c 4
c4 + a4
+
+
≥1
ab a3 + b3 bc b3 + c3 ca c3 + a3

(

) (

)

Trường THPT Triệu Sơn 4

(

)

4
-


Sáng kiến kinh nghiệm
THẮNG

Gv: LÊ XUÂN

Giải: ta có ab+bc+ca = abc ⇔
Khi đó ta có:
a4 + b4

(

ab a3 + b3

=

=

)

1
1
+
4
x
y4
1 1
1 

÷
+
xy  x3 y3 ÷

=

1 1 1
1
1
1
+ + = 1 . Đặt x = ; y = ; z = ⇒ x+y+z=1 .
a b c
a
b
c

x4 + y 4
x3 + y3

=

(

x6

x 2 x3 + y 3

(

x2 + y 2

)

)

+

(

y6

y 2 x3 + y 3

≥

(

x3 + y 3

)

2

) ( x3 + y3 )( x2 + y2 )

2

x3 + y3
x4
y4
x2 + y 2 x + y
=
+
≥

=
≥
x+ y
2
x2 + y 2 x x2 + y 2
y x2 + y 2 ( x + y ) x2 + y 2

) (

(

)

(

)

b4 + c 4
y+z
c4 + a4
z+x
Tương tự ta có bc b3 + c3 ≥ 2 ; ca c 3 + a 3 ≥ 2
(
)
(
)
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có
a 4 + b4
b4 + c4
c4 + a4

+
+
≥ x + y + z = 1.
ab a3 + b3 bc b3 + c3 ca c3 + a3

(

)

(

)

Suy ra điều phải chứng minh

(

)

Bài toỏn 8: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
x −t t − y y − z z − x
A=
+
+
+
t + y y+ z z + x x+t
Với x, y, z, t là các số dương.
Giải : Ta cú:
x −t
t−y

y−z
z−x
A=(
+ 1) + (
+ 1) + (
+ 1) + (
+ 1) − 4 =
t+y
y+z
z+x
x+t
x+ y t + z y + x z +t
=
+
+
+
−4=
t + y y + z z + x x+t
 1
 1
1 
1 
= ( x + y) 
+
+
 + (t + z ) 
−4≥
t + y z + x 
y+ z x+t
4

4
≥ ( x + y)
+ (t + z )
−4=
x+ y + z +t
x+ y+ z+t
4( x + y + z + t )
=
−4=0
z + y + z +t
Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
Trường THPT Triệu Sơn 4

5
-


Sáng kiến kinh nghiệm
THẮNG

Gv: LÊ XUÂN

Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập
tương tự:
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
1
1
1
1
1  1

 1
+
+
≤
+
+
÷.
2a + 3(b + c) 2b + 3(c + a ) 2c + 3(a + b)  a + b b + c c + a  4
1
1
1
1 1
1
1 
2/
+
+
≤ 
+
+
÷
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 2  a + 2c b + 2a c + 2b 
Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa món điều
kiện abc = ab + bc + ca thỡ:
1
1
1
17
+
+

<
a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 96
Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa món x + y ≤ 1 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của:
1
2
A=
+ + 4 xy
x 2 + y 2 xy
1/

Bài 4. Cho tam giỏc ABC cú chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA =
b, AB = c. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
ab
bc
ca
T=
+
+
a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b
Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 c ạnh). Ch ứng
minh rằng:
1
1
1
1 1 1
+
+
≥ 2 + + ÷
p −a p −b p −c
a b c

III. Mở rộng.
Cho x, y,z là ba số dương. chứng minh rằng:
1
1 1 1 1
≤ ( + + ) ( 7 ) ;Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z
x+ y+z 9 x y z
Tổng quỏt:
Cho ba số a, b, c bất kỡ, x, y, z la ba số thực dương ta cú:
2
a 2 b2 c 2 ( a + b + c )
+ + ≥
( 6 ) .(Bất đẳng thức s-vac) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ
x
y
z
x+ y+z
a b c
khi = = .
x y z
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta cú:
Trường THPT Triệu Sơn 4

6
-


Sáng kiến kinh nghiệm
THẮNG

Gv: LÊ XUÂN

  a 2  b 2  c 2 
 a 2 b2 c 2 
÷
+
+
÷
 + + ÷( x + y + z ) =  
÷
÷

÷
  x   y   z  ÷
y
z 
 x



( ) ( ) ( )
x

2

+

y

2

+

z

2


÷


≥ ( a + b + c) .
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
IV. Áp dụng
2

a2 b2 c2
+ + ≥ a + b + c với a, b, c là các số
Bài toỏn 1: Chứng minh rằng :
b
c a
thực dương.
Giải :Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
2
a2 b2 c2 ( a + b + c )
+ + ≥
= a + b + c . Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng sảy
b
c a
a+b+c

a b c
ra khi và chỉ khi
= = ⇔ a=b=c
b
c a
Bài toỏn 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a6
b6
c6
B= 3 3 + 3
+
trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
b + c c + a 3 a 3 + b3
a + b + c =1
Giải :
Áp
dụng
bất
đẳng
thức
(6)
ta
có :
a3 + b3 + c 3 )
(
a6
b6
c6
a 3 + b3 + c 3
B= 3 3 + 3

+
≥
=
. Mặt khác theo bất
b + c c + a 3 a 3 + b3 2 ( a 3 + b3 + c 3 )
2
2

đẳng thức Bunhiacovski ta có :

4
1 = ( a + b + c ) ≤ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )  = 3

2

(

)

2

aa a + bb b + cc c 

.
1
3
3
3
3
3

3
3
3
3
≤ 9( a + b + c) ( a + b + c ) = 9( a + b + c ) ⇒ ( a + b + c ) ≥
9
1
Vậy B ≥
18
Bài toỏn 3 : Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. ch ứng minh
1
1
1
1
4
+ 3
+ 3
+ 3
≥
rằng 3
x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( yt + xt + xy ) t ( yz + zx + xy ) 3
Giải :
Trường THPT Triệu Sơn 4

7
-