BẤT ĐẲNG THỨC-"THẬT ĐƠN GIẢN"

Sỏng kin kinh nghim Gv: Lấ XUN THNG
BT NG THC-THT N GIN
I.Lý do chọn đề tài.
Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em
thờng:
+ Các em thờng sợ các bất đẳng thức. b qua v khụng cú hng thỳ. bi vỡ tụi
nhn thy cỏc em:
+Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán nh thế nào ?.
+Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng nh các hệ quả của các bất
đẳng thức nh côsi, bunhiacopski ,vv
+ Khụng nm c mt s bt ng thc n gin thng gp v cú nhiu ng
dng.
+Khi giải đợc bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến đổi
thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có thể suy ra bài toán
tổng quát.
Để khắc phục đợc hạn chế trên, định hớng các em t duy lôgíc. Tôi mạnh dạn đa ra một
vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các em học tập hiệu quả hơn bằng cách
tip cn vn bng mt bt ng thc ht sc quen thuc, dễ chứng minh d nh v
c bit cú rt nhiu ng dng lp 10 cng nh chng trỡnh ph thụng.
Bi toỏn: Vi hai s dng x v y ta cú:
1 1 1 1
( )
4x y x y
+
+
(1)
ng thc xy ra khi x =y.
Bt ng thc (1) cú nhiu cỏch chng minh õy a ra hai cỏch chng minh ph
bin nht.
Cỏch 1. Vi hai s dng x v y ta cú:

)( yx
+
2

0
(x + y)
2
1 1 1 1
4 ( )
4
xy
x y x y
+
+
Rừ rng, ng thc xy ra khi x = y.
Cỏch 2. ỏp dng bt ng thc Cụ-si cho hai s dng ta cú

yx
+
,2 xy


1 1 1 1 2
2 .
x y x y
xy
+ =
T ú:
( )x y+
(

1 1 1 1 1 1
) 4 ( )
4x y x y x y
+ +
+
V ng thc xy ra khi x =y.
Tng quỏt: Cho hai s x, y dng v a, b l hai s bt kỡ ta cú:
( )
2
2 2
( )
a b
a b
x y x y
+
+
+
hay
( )
2
2 2
( )
a b
a b
x y x y
+
+
+
.
Trng THPT Triu Sn 4

-
1
Sỏng kin kinh nghim Gv: Lấ XUN THNG
Du bng sy ra khi v ch khi
a b
x y
=
. ( chng minh bt ng thc ny cng cú nhiu
cỏch chng minh xin dnh cho bn c).
II. Biện pháp thực hiện.
Để làm đợc việc này cần có nhiều việc phải làm.
Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuyết cơ bản nh
côsi,bunhiacopski,trêbsep,v,vvà các cách chứng minh thông thờng.
Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hớng cho các em phân tích các
bài toán bằng cách trả lời câu hỏi:
-Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không?
-Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải
thoả mãn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của
bài toán.
Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen
thuộc. đặc biệt là bất dẳng thức (1)
Thứ t: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công cụ.
Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho t duy cũng nh khả năng tổng hợp kiến
thức của các em.
III. Phạm vi nghiên cứu.
Sáng kiến này đợc thực hiện ở các lớp khối tại trờng THPT Triệu Sơn 4.
V. Thực hiện
Bi toỏn 1. Cho ba s dng a, b, c, ta cú:

1 1 1 1 1 1 1

( )
2a b b c c a a b c
+ + + +
+ + +
(2)
ng thc xy ra khi a = b = c.
p dng (1) ta cú ngay iu phi chng minh.
* Phỏt trin: p dng (2) cho 3 s a+b, b+c, c+a ta c:
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 2a b c b c a c a b a b b c c a
+ + + +
+ + + + + + + + +
(3)
* Kt hp (2) v (3) ta cú
Bi toỏn 2. Vi a, b, c l cỏc s dng:

1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 4a b c b c a c a b a b c
+ + + +
+ + + + + +
(4)
ng thc xy ra khi a = b = c.
Chỳ ý: Nu thờm gi thit
1 1 1
4
a b c
+ + =
thỡ bi toỏn 2 l ni dung cõu V, thi

i hc v Cao ng khi A, nm 2005.
Bi toỏn 3. Chng minh rng vi a, b, c dng:
Trng THPT Triu Sn 4
-
2
Sáng kiến kinh nghiệm Gv: LÊ XUÂN THẮNG

1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3a b c b c a c a b a b b c c a
+ + ≤ + +
+ + + + + + + + +
(5)
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:

1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2a b b c a a b b c a a b c
+ ≥ =
+ + + + + + + + +

1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2b c c a b b c c a b b c a
+ ≥ =
+ + + + + + + + +

1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2c a a b c c a a b c c a b
+ ≥ =
+ + + + + + + + +
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:

3 2
3 2
3 2
a b b c a
b c c a b a b c
c a a b c
+ = + +


+ = + + ⇔ = =


+ = + +

Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn
thỏa mãn đẳng thức sau:

1
2 2 2
1 . 1 . 1 . 4. . .
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C
tg tg tg
B C C A A B A B C
tg tg tg tg tg tg tg tg tg
+ + =
+ + +
Giải: Đặt
tgx
=

, ,
2 2 2
A B C
y tg z tg= =
thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:
1
1 1 1 4
x y z
yz zx xy xyz
+ + =
+ + +
Ta có:

1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1 1 1
4 4 4
x y z
yz zx xy
x y z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x x y y z z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x z x y y z xy yz zx
xy yz zx yz xy zx x y z x
+ + =
+ + +

= + + ≤
+ + + + + + + + +
     
≤ + + + + + =
 ÷  ÷  ÷
+ + + + + +
     
   
+ + + + +
= + + = + + =
 ÷  ÷
+ + +
   
1
4yz xyz
=
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x +
1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
Trường THPT Triệu Sơn 4
-
3
Sỏng kin kinh nghim Gv: Lấ XUN THNG

1 1 4
x y z
Q
x y z
= + +
+ + +

Gii: t a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta cú: a + b + c = 6
v

1 1 4 1 1 4
3
a b c
Q
a b c a b c


= + + = + +
ữ

Theo bt ng thc (1) ta cú:

1 1 4 4 4 16 8
( )
3
8 1
3
3 3
a b c a b c a b c
Q
+ + + =
+ + +
=
ng thc xy ra khi v ch khi:
3 1
2 2
3 1

6
a b
a b x y
a b c
c z
a b c
=


= = = =

+ =


= =
+ + =


Vy:
1
3
MaxQ =
t c khi
1
2
1
x y
z

= =

=

.
Bi toỏn 6 : Chứng minh rằng :
2 2 2 1 1 1
6 4 6 4 6 4 4 4 4
x y z
x y y z z x x y z
+ + + +
+ + +
với x, y, z là các số dơng. Dấu bằng sảy ra khi nào ?
Giải :
( )
2
2
1
1 1 1 4
4 4 6 4 6 4 6 4
x
x x
x y x y x y x y
+
+ = +
+ +
. Tơng tự ta cũng có
1 1 4 1 1 4
;

4 4 6 4 4 4 6 4

y z
y z y z z x z x
+ +
+ +
. Cộng từng vế bất dẳng thức trên ta có bất
dẳng thức cần chứng minh. Dờu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
Bi toỏn 7 : Cho 3 s thc dng a, b v c tho :ab+bc+ca = abc. chng minh
rng :

( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
+ + +
+ +
+ + +
Giải: ta có ab+bc+ca = abc
1 1 1
1
a b c
+ + =
. Đặt
1 1 1
; ; x+y+z=1 x y z
a b c
= = =

.
Khi đó ta có:
Trng THPT Triu Sn 4
-
4
Sáng kiến kinh nghiệm Gv: LÊ XUÂN THẮNG
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
1 1
2
3 3

4 4 4 4 6 64 4
3 3
3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2
1 1 1
3 3
2
2 2
3 3 4 4 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
x y
a b x y x yx y
x y
ab a b x x y y x y x y x y
xy
x y
x y
x y x y x y x y
x y
x y
x x y y x y x y x y
 
 ÷
 ÷
 
+
+
+ +
= = = + ≥

+
+ + + + +
+
+
+ + +
= = + ≥ = ≥
+
+
+ + + +
T¬ng tù ta cã
( ) ( )
4 4 4 4
3 3 3 3
;
2 2
y z z x
b c c a
bc b c ca c a
+ +
≥
+ +
≥
+ +
Céng vÕ víi vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã
( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
x y z

ab a b bc b c ca c a
+ + +
+ + ≥ + + =
+ + +
.
Suy ra ®iÒu ph¶i chứng minh
Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
− − − −
= + + +
+ + + +
Với x, y, z, t là các số dương.
Giải : Ta có:

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4
4
1 1 1 1
( ) ( ) 4
4 4
( ) ( ) 4
4( )
4 0
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
x y t z y x z t
t y y z z x x t

x y t z
t y z x y z x t
x y t z
x y z t x y z t
x y z t
z y z t
− − − −
= + + + + + + + − =
+ + + +
+ + + +
= + + + − =
+ + + +
   
= + + + + + − ≥
   
+ + + +
   
≥ + + + − =
+ + + + + +
+ + +
= − =
+ + +
Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập
tương tự:
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
Trường THPT Triệu Sơn 4
-
5