Đề thi học sinh giỏi Toán 9

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH BẢO
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1.(2,0 điểm)
a) Cho a + b + c = 0 và abc ≠ 0. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0
b c a c a b a b c
+ + =
+ − + − + −
b) Biết ax + by + cz = 0 và a + b + c =
1
2008
. Tính
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
ax by cz
P
bc y z ac x z ab x y
+ +
=
− + − + −
Bài 2.(2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: phương trình
( )
x y 3 1 3+ = +
không có nghiệm số
hữu tỉ.

b) Cho tập hợp số S
⊂
R thoả mãn
1. Z
⊂
S (với Z là tập hợp số nguyên, R là tập hợp số thực)
2.
2 3+
 S
3.
x,y S∀ ∈
thì x + y  S và xy  S.
Chứng minh
1
S
2 3
∈
+
.
Bài 3.(2,5 điểm) cho đường thẳng (m – 2)x + (m -1)y = 1.
a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng là lớn nhất.
Bài 4.(3,5 điểm) Cho
ABC∆
cân (CA = CB) nội tiếp đường tròn có bán kính R = 1.
Cạnh bên có độ dài bằng hai lần cạnh đáy. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam
giác ABC. Tính r.
------------------------------------------- hết -------------------------------------------