VẬT lý THỐNG kê

BÀI TẬP VẬT LÝ THỐNG KÊ NHÓM 1 TUẦN 9
ĐỀ:chứng minh định lý Virian ( sự phân đều thế năng theo các bậc tự do)

qk

∂H
=θ
∂qk

GIẢI:
Áp dụng phân bố chính tắc Gibbs cho hệ đẳng nhiệt:
ψ −H
θ

ω( X ) = e

Xét một hệ f bậc tự do, Haminton có dạng:
H ( p, q ) = Eđ ( p ) + U t ( q )
(1)
Mặt khác, ta có:
f

f

•
•
• 
H ( p, q ) = ∑ pk qk − L p, q  = ∑ p k qk − (U t ( q ) − Eđ ( p ) )

 k =1
k =1

(2)

Đồng nhất 2 vế phương trình (1) và (2)
f

•

Eđ ( p ) + U t ( q ) = ∑ p k qk + Eđ ( p ) − U t ( q )
k =1

f

•

⇔ 2U t ( q ) = ∑ p k qk
⇔ Ut ( q) =

k =1
f

•
1
p
∑ k qk
2 k =1
•

Theo phương trình chính tắc Haminton:
⇔ Ut ( q) = −

pk = −

∂H
∂qk

1 f
∂H
qk
∑
2 k =1 ∂qk

Vậy thế năng trung bình:
⇔ Ut ( q) = −

1 f
∂H
qk
∑
2 k =1 ∂qk

∂H
Gọi ∂qk là thế năng trung bình của dao động tử điều hòa (1 chiều)
ψ −H
∂H
∂H θ
qk
= qk
.e
dX

dX = dq1... dq f dp1... dp f
∂qk ∫X ∂qk
thể tích pha
qk

∂ ψ −θ H
∂ ψ − H
.e
=

∂qk  θ
Mà ∂qk
ψ −H
ψ −H
∂H θ
∂
⇔
.e
= −θ
.e θ
∂qk
∂qk

Vậy từ ta được như sau:

ψ −H
θ


÷.e



=−

1 ∂H ψ −θ H
.e
θ ∂qk


qk

 ∂ ψ −θ H
∂H
= −θ ∫ ... ∫ qk 
e
∂qk
∂
q
k
2 f .lop


= −θ

Gọi

ψ −H

 qk  ∂ e θ
...

∫ ∫  ∫  ∂qk
( 2 f −1) .lop

I k = ∫ qk

ψ −H
θ

∂
e
∂qk


dq1... dq f dp1... dp f



÷dqk ] dq1...dq f dp1...dp f


dqk

Đặt: u = qk → du = dqk
dv =
⇒ I k = qk e

ψ −H
θ

∂

e
∂qk
ψ −H
θ

+∞
−∞

ψ −H
θ

dqk → v = e
+∞ ψ − H
θ

− ∫e

dqk

−∞

⇒ qk →+− ∞ thì hàm phân bố xác suất e
+∞ ψ − H
θ

⇔ Ik = − ∫ e

−

H

θ

→0

dqk

−∞

qk

Vậy:

 ∂ ψ θ− H
∂H
= −θ ∫ ...∫ qk 
e
∂qk
 ∂qk
2 f .lop
ψ −H
θ

∫∫∫e

Theo điều kiện chuẩn hóa

ψ −H

θ
dq

...
dq
dp
...
dp
=
θ
..
e
dX
÷ 1
f
1
f
∫
∫

X

dX = 1

X

Thế năng trung bình của một bậc tự do thứ k
Vậy

qk

∂H
=θ

∂qk

(3)

Ta có lực suy rông

Ak = −

∂H
∂qk

1 f
∂H 1 f
− ∑ qk
= ∑ qk Ak
Vì 2 k =1 ∂qk 2 k =1
1 f
∂H
1 f
⇔ ∑ qk
= − ∑ qk Ak
2 k =1 ∂qk
2 k =1

(4)

Hệ thức (3) và (4) được gọi là định lý Virian.