Đề thi học sinh giỏi Toán 9 (Hải Dương 2006-2007)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2006-2007
ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24 / 3 /2007
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
( 1) 2 2
( 4) 12 4 44
a x by a b
c x cy b a
ì
- - = - -
ï
ï
ï
í
ï
+ + = - +
ï
ï
î
Tìm các số a, b, c để hệ phương trình có vô số nghiệm, trong đó có
nghiệm 1x = và
3y =
.
Câu 2 (2,0 điểm)
Tìm các số thực x để biểu thức

3 3
3 3x x+ + - là số nguyên.
Câu 3 (3,0 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n (
n
·
Î
8
N
) phương trình:

2 3 2
2( 1)( 1) 1 6 13 6 0x n n x n n n+ - + + - - - =
không có nghiệm hữu tỉ.
2) Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn đẳng thức:
7 7 11 7 28a b- = -
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm (O). Gọi CD là
đường kính của đường tròn, qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường
thẳng AB tại E, nối E với O cắt cạnh BC, cạnh CA tại M và N.
1) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh bốn điểm O, D, E, I nằm
trên một đường tròn;
2) Chứng minh O là trung điểm của MN.
----------- Hết-----------
Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……….
Chữ kí giám thị 1:…………………Chữ kí giám thị 2:……………………..