Đề tuyển sinh vào 10 THPT

BÀI GIẢI TÓM TẮT MÔN TOÁN (môn thi chung)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2004–2005
TRƯỜNG PTTH TRẦN ĐẠI NGHĨA




Câu 1: (4 điểm)
Cho phương trình: x
4
–(3m+14)x
2
+(4m+12)(2–m) = 0 (có ẩn số là x)
a)Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất.

GiảI:
x
4
–(3m+14)x
2
+(4m+12)(2–m) = 0 (*)

a) Định m để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Đặt t=x
2
(*)
⇔
t
2
–(3m+14)+(4m+12)(2–m)=0 (**)

t 4m 12
t 2 m
= +

⇔

= −

(*) có 4 nghiệm phân biệt
⇔
4m 12 0
2 m 0
4m 12 2 m
+ >


− >


+ ≠ −


⇔
3 m 2
m 2
− < <


≠ −


b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất.
Ta có 4 nghiệm của (*) là
1
t
±
,
2
t
±
, với t
1
,t
2
là nghiệm của (**)
x
1
x
2
x
3
x
4
= t
1
t
2
=(4m+12)(2–m)
= –4m
2

– 4m+24= –(2m+1)
2
+25
m
∀≤
25
⇒
Giá trị lớn nhất của x
1
x
2
x
3
x
4
là 25
khi m=–
2
1
thỏa điều kiện ở câu a

Câu 2 : Giải phương trình
a)
+ + − = −
2 2
x 2x 1 1 2 x
b)
−
+ − − =
+

2
12x 8
2x 4 2 2 x
9x 16


Giải :
a)
2 2
2
2 2
2 2
x 2x 1 1 2 x
2 x 0
x 2x 1 1 2 x
x 2x 1 1 x 2
+ + − = −

− ≥



+ + − = −
⇔



+ + − = −





2
2
2
2x 1 3 2x
x 2
2x 1 1
(VN)
x 2


+ = −



≤



⇔


+ = −




≤




2
2
2
2
3 2x 0
x 2
2x 1 3 2x
2x 1 2x 3


− ≥


⇔ ≤



+ = −



+ = −


2
2
2
3

x
2
2x 2x 2 0
2x 2x 4 0

≤


⇔


+ − =



− − =


2
3
x
2
1 5
x
2
x 1
x 2

≤



− ±

⇔
=


= −

=

x 1
1 5
x
2
= −


− +

=



b)
−
+ − − =
+
2
12x 8

2x 4 2 2 x
9x 16
2
6x 4 12x 8
(-2 x 2)
2x 4 2 2 x
9x 16
− −
⇔ = ≤ ≤
+ + −
+
2
2
x (1)
3
2( 2x 4 2 2 x ) 9x 16 (2)

=

⇔


+ + − = +

⇒ + + − + − = +
2 2
(2) 4(2x 4) 16(2 x) 16 8 2x 9x 16
⇒ − − = −
2 2
16 8 2x 8x 9x 32

⇒ − − = −
−
⇒ = −
− +
2 2
2
2
2
8(2 8 2x x) 9x 32
8(32 9x )
9x 32
2 8 2x x

− =
⇒

− + = −


2
2
9x 32 0
2 8 2x x 8
2
4 2
x
3
2 8 2x 8 x(v« nghiÖm v× -2 x 2)

= ±


⇒


− = − − ≤ ≤

4 2
x
3
⇒ = ±
.Thử lại ta được
4 2
x
3
=
Vậy phương trình có các nghiệm
2 4 2
;
3 3
x x
= =

Câu 3: (3 điểm)
Cho x,y là hai số thực khác 0. Chứng minh:









+≥++
x
y
y
x
x
y
y
x
34
2
2
2
2
(1)


Giải
Đặt t=
x
y
y
x
+

⇒

x

y
y
x
x
y
y
x
t +=+=
mà
2≥+
x
y
y
x
(do bất đẳng thức CôSi)

⇒
⇒≥
2t
2
−≤
t
hay
t
≤
2
Khi đó
2 2
2
2 2

x y
t
y x
= +
+2
Bất đẳng thức (1)
⇔
tt 32
2
≥+
2
t 3t 2 0
⇔ − + ≥
( ) ( )
t 1 t 2 0
⇔ − − ≥
(2)
(2) là hiển nhiên đúng do
t 2
≤ −

hay 2 t
≤


Câu 4 : (3 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thỏa phương trình x
2
+ xy + y
2

= x
2
y
2

Giải :
x
2
+ xy + y
2
= x
2
y
2
⇒ (2x +2y)
2
= (2xy + 1)
2
– 1
⇒ (2xy + 1 + 2x + 2y)(2xy + 1 – 2x – 2y) = 1
⇒ 2xy + 1 + 2x + 2y = 2xy + 1 –2x – 2y
⇒ x + y = 0
Thay vào phương trình ban đầu ta có :
x = 0,y = 0 hoặc x = 1,y = –1 hoặc x = –1,y = 1


Câu 5 (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tạI A nộI tiếp trong đường tròn (o;R). Vẽ tam giác
đều ACD (D và B ở hai nửa mặt phẳng khác nhau có chung bờ AC. GọI E là
giao điểm của BD vớI đường tròn (O), gọI M là giao điểm của BD vớI đường

cao AH của tam giác ABC.
a) a) Chứng minh MADB là một tứ giác nộI tiếp
b) b) Tính ED theo R


Giải
a) a) Dễ dàng chứng minh được
góc ABM = góc ACM
mà góc ABM = góc ADM (tam gíác ABD cân tạI A)
⇒
góc ACM = góc ADM
⇒
MADC là tứ giác nộI tiếp

b) b) Ta có góc EDC = gócOAC = gócOAB
góc DCE = 60
o
– gócECA = 60
o
– gócABE = góc BMH –góc ABM = gócOAB =
góc OBA
suy ra tam giác OAB bằng tam giác EDC
⇒ ED = OA = R


Câu 6 (2 điểm) :
Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O.Trên cung AC
không chứa điểm B lấy 2 điểm M và K theo thứ tự A,K,M,C . Các đoạn
thẳng AM và BK cắt nhau tại E ,còn các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại
D. Chứng minh ED song song với AC.

Giải :
Ta có góc BKC= góc BAC = góc BCA= góc BMA nên EDMK là tứ giác nội tiếp
được.
⇒
góc EDK = góc EMK
mà góc EMK = góc ACK
⇒
góc EDK = góc ACK
⇒
ED//AC

Tổ toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa