Cực đại và cực tiểu

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x
0
 (a;b).
a) V(

) = (x
0
-

; x
0
+

), trong đó

> 0 được gọi là một lân cận
của điểm x
0
.
b) Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu
với mọi x thuộc một lân cận V()  (a;b) của điểm x
0
, ta có
f(x) < f(x
0
) (x≠ x
0

).
Kí hiệu f
CĐ
= f(x
0
).
Điểm M(x
0
;f(x
0
)) gọi là điểm cực đại của đồ thò hàm
số.
c) Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu
với mọi x thuộc một lân cận V()  (a;b) của điểm x
0
, ta có
f(x) > f(x
0
) (x≠ x
0
).
Kí hiệu f
CT
= f(x
0
).
Điểm M(x
0

;f(x
0
)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thò hàm số.
1. Đònh nghóa

O
x
y
M
1
M
2
x
1
f(x
1
)
x
2
f(x
2
)
a
b
Hình vẽ dưới mô tả đồ thò của hàm số với điểm cực đại
M
1
và
điểm cực tiểu M
2

.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trò.Giá
trò của hàm số tại điểm cực trò gọi là cực trò của hàm số đã cho.


2. Điều kiện để hàm số cực trò
Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x
0
 (a;b).
Đònh lí Fecma
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại điểm
Đó thì f’(x
0
) = 0.
Ý nghóa hình học của đònh lí Fecma
Nếu f(x) có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại đó thì tiếp tuyến
của đồ thò tại điểm M(x
0
; f(x
0
)) song song với trục hoành.
Hệ quả. Mọi điểm cực trò của hàm số y = f(x) đều là điểm
tới hạn của hàm số đó.

3. Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trò
Đònh lí 1 . Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm có đạo hàm trên

Một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
).
1). Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
-

;x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng
(x
0
;x
0
+

) thì x
0
là một điểm cực đại của hàm số f(x).
2). Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
-

;x
0
); f’(x) > 0 trên khoảng
(x
0

;x
0
+

) thì x
0
là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
x
f’(x)
x
0
- 
x
0
x
0
+ 
+
_
Cực
đại
x
f’(x)
f(x)
x
0
- 
x
0
x

0
+ 
+
Cực
tiểu
_
f(x)
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì
điểm x
0
là điểm cực trò.