Tính lồi, lõm và điểm uốn

kÝnh chµo
kÝnh chµo
ThÇy c« gi¸o
ThÇy c« gi¸o
Vµ c¸c em häc sinh
Vµ c¸c em häc sinh

•
tÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn cña
tÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn cña
•
®å thÞ hµm sè
®å thÞ hµm sè

1.
1.
Kh¸i niÖm vÒ tÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn
Kh¸i niÖm vÒ tÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn
O
A
B
C
y
x
a
c
b

Cung AC: cung låi, kho¶ng (a;c): kho¶ng låi
Cung CB: cung lâm, kho¶ng (c;b): kho¶ng lâm
§iÓm C: ®iÓm uèn

2.
2.
DÊu hiÖu låi, lâm vµ ®iÓm uèn
DÊu hiÖu låi, lâm vµ ®iÓm uèn
•
VÝ dô:
VÝ dô:
TÝnh ®¹o hµm cÊp hai vµ xÐt dÊu ®¹o cÊp hai cña hµm
TÝnh ®¹o hµm cÊp hai vµ xÐt dÊu ®¹o cÊp hai cña hµm
sè: y = 2x
sè: y = 2x
3
3
– 3x
– 3x
2
2
•
Gi¶i:
Gi¶i:
•
+ TX§ : D = R
+ TX§ : D = R
•
+ y’ = 6x
+ y’ = 6x

2
2
– 6x
– 6x
•


y’’ = 12x – 6, y’’ = 0
y’’ = 12x – 6, y’’ = 0


x = 1/ 2 f(1/2)=-1/2
x = 1/ 2 f(1/2)=-1/2
•


DÊu y’’
DÊu y’’
x
-∞
+∞
1/2
y’’
§å thÞ
- +
0
(1/2;-1/2)låi
lâm
§.uèn

Định lý 1
Định lý 1
:
:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên
khoảng (a;b)
khoảng (a;b)

1. Nếu f(x)<0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lồi trên
1. Nếu f(x)<0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lồi trên
khoảng đó.
khoảng đó.

2. Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lõm
2. Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lõm
trên khoảng đó.
trên khoảng đó.

Định lý 2
Định lý 2
:
:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lận cận nào đó
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lận cận nào đó
của điểm x
của điểm x
0
0

và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo
và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo
hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x
hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x
0
0
thì điểm M(x
thì điểm M(x
0
0
;f(x
;f(x
0
0
)) là điểm
)) là điểm
uốn của đồ thị hàm số đã cho.
uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Qui tắc Gồm các bước sau:
1. Tính y
2. Xét dấu y
3. Từ bảng xét dấu y, suy ra tính lồi,
lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số