Phép tính giải tích trong không gian uclid en và hình học vi phân của en

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Chu Thị Yến

PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
EUCLID En VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA En

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Chu Thị Yến

PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
EUCLID En VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA En

Chuyên ngành: Toán hình học
Mã số: ???????

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thạc sĩ: Nguyễn Thị Trà

Hà Nội – Năm 2016


Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện khóa luận, em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và hỗ
trợ. Em xin chân thành cảm ơn ThS. Nguyễn Thị Trà- giảng viên khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
và giúp đỡ rất nhiều để em có thể hoàn thành khóa luận này. Nhân đây, em cũng
muốn gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Hình học, cũng như các thầy cô trong
khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời
gian em theo học đại học và làm khóa luận.
Em cũng xin cảm ơn các quý thầy cô trong Hội đồng chấm khóa luận đã dành
thời gian quan tâm và góp ý để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên
giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp
này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20/04/2016
Tác giả khóa luận

Chu Thị Yến


Lời cam đoan
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn
Thị Trà cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu em đã kế
thừa những thành quả của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng

và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của
bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 20/04/2016
Tác giả khóa luận

Chu Thị Yến


Mục lục

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

Một số phép tính giải tích trên Rn . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Hàm vectơ n biến . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Giới hạn của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Đạo hàm và vi phân cấp một . . . . . . . . . .

4

1.1.4

Một số định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.5

Dạng vi phân bậc một . . . . . . . . . . . . . .

6

Không gian Euclid En

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Không gian vectơ Euclid . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Không gian Euclid En . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3

Mục tiêu trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Phép tính giải tích trong không gian Euclid En và hình
học vi phân của En

8

2.1

Hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.3

Một số phép toán. . . . . . . . . . . . . . . . .

9

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

Chu Thị Yến

2.1.4

Giới hạn của hàm vectơ. . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.5

Đạo hàm của hàm vectơ . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.6

Nguyên hàm và tích phân . . . . . . . . . . . .

11

Vectơ tiếp xúc. Trường vectơ. Cung tham số và trường
vectơ dọc một cung tham số. . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1

Vectơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.2

Trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.3

Trường mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.4

Cung tham số(quỹ đạo) . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.5

Trường vectơ dọc một cung tham số . . . . . .

17

Đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc và dọc
một trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.1

Đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc .

18

2.3.2

Đạo hàm của hàm số dọc một trường vectơ . . .

20

Ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi . . . . . . . . .

21

2.4.1

Ánh xạ khả vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4.2

Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi f : U −→ V

21

Dạng vi phân bậc một, bậc hai trên một tập mở trong En 25
2.5.1

Dạng vi phân bậc một . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5.2

Dạng vi phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.5.3

Vi phân ngoài của dạng vi phân bậc một . . . .

30

2.5.4

Sơ lược về tenxơ và trường tenxơ . . . . . . . .

31

2.5.5

Ánh xạ khả vi với dạng vi phân . . . . . . . . .

37

Đạo hàm của trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.6.1

39

Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số . .

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.6.2

Chu Thị Yến

Đạo hàm của trường vectơ theo một vectơ tiếp
xúc và dọc một trường vectơ . . . . . . . . . . .

2.6.3

40

Dạng liên kết và phương trình cấu trúc của En
trong một trường mục tiêu trực chuẩn . . . . .

3 Một số bài tập cơ bản

41
45

3.1

Bài tập về hàm vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Bài tập về trường vectơ, cung tham số và trường vectơ

45

dọc một cung tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3

Bài tập về ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi . . . . .

55

3.4

Bài tập về dạng vi phân bậc một, bậc hai trên một tập

3.5

mở trong En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Bài tập về đạo hàm của trường vectơ . . . . . . . . . .

66

Kết luận

73

Tài liệu tham khảo

73

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

Mở đầu
1.Lí do chọn đề tài.
Phép tính giải tích đóng vai trò quan trọng trong hình học vi phân
của En . Nhờ phép tính giải tích, chúng ta nghiên cứu được các tính
chất, ứng dụng sâu sắc của hình học vi phân.
Đây là phần kiến thức cơ bản, nền tảng nhằm phục vụ và gián tiếp
ứng dụng trong quá trình nghiên cứu các đối tượng của hình học vi
phân như: Cung, đường, mặt, đa tạp, đa tạp Riemann, đa tạp khả vi,
các cấu trúc và các phép toán giải tích trên đa tạp.
Đối với những người yêu toán và muốn tìm hiểu về hình học vi
phân, đây được coi là đề tài khá hay và lí thú. Nghiên cứu đề tài này
phần nào giúp em thỏa mãn niềm đam mê toán học, thúc đẩy sự tò
mò và sáng tạo toán học của bản thân. Hơn nữa, nó giúp em củng cố,
tạo cơ sở vững chắc khi ứng dụng phép tính giải tích vào việc giải các
bài tập cũng như trong giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông sau
này.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phép tính giải tích trên một tập mở trong không gian Euclid En và
hình học vi phân của En .
4. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và tìm hiểu tài liệu qua tạp chí, báo, Internet,...
Cơ sở lí luận phân tích, tổng hợp, đánh giá.
5. Cấu trúc khóa luận
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm
3 chương.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Phép tính giải tích trong không gian En
Chương 3. Một số bài tập cơ bản.

2


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1 em sẽ trình bày một số kiến thức về phép tính giải
tích trên Rn và không gian Euclid En dưới dạng cơ bản nhất và xem
chúng là cơ sở để có thể tiếp cận các kiến thức ở chương 2: "Phép tính
giải tích trong không gian Euclid En và hình học vi phân của En "- nội
dung chính của bản khóa luận.

1.1
1.1.1

Một số phép tính giải tích trên Rn
Hàm vectơ n biến

Cho tập U ⊂ Rn . Ánh xạ f : U −→ Rp được gọi là hàm vectơ n biến
xác định trên U , giá trị trong Rp .
1.1.2

Giới hạn của hàm vectơ

Cho hàm vectơ f : U −→ Rp , điểm a ∈ U . Ta nói rằng hàm f tiến đến
giới hạn b ∈ Rp khi x tiến đến a nếu với mọi

> 0 cho trước, tồn tại

δ > 0 (δ phụ thuộc ) sao cho với mọi x ∈ U thỏa mãn 0 < x−a < δ
ta đều có 0 < f (x) − b < .
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

Kí hiệu lim f (x) = b hay f (x) → b khi x → a. Với
x→a

x = (x1 , ..., xn ), a = (a1 , ..., an ) ta kí hiệu x lim
→a

1
...1
xn →an

1.1.3

f (x1 , ..., xn ) = b.

Đạo hàm và vi phân cấp một

1.1.3.1 Đạo hàm cấp một
a. Định nghĩa:
Cho tập mở U ⊂ Rn . Hàm f : U −→ Rn được gọi là khả vi (có đạo
hàm) tại điểm a = (a1 , ..., an ) ∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính
f (a + h) − f (a) − A(h)
A : Rn −→ Rm sao cho lim
= 0, trong đó
h→0
h
h = (h1 , h2 , ..., hn ) ∈ Rn .
A được gọi là đạo hàm của hàm vec tơ f tại a và thường được kí
hiệu là Df (a) hoặc f (a).
Nếu f khả vi tại mọi điểm a ∈ U thì ta nói f khả vi trong U .
b. Các công thức tính đạo hàm :
Cho tập mở U ⊂ Rn và f, g : U −→ R.
Nếu f, g khả vi tại a ∈ U thì ta có các công thức sau:
i)D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a),
ii)D(f.g)(a) = g(a)Df (a) + f (a)Dg(a),
g(a)Df (a) − f (a)Dg(a)
f
.
iii) Nếu g(a)= 0 thì D( )(a) =
g
g 2 (a)
c. Đạo hàm của hàm hợp: Cho các tập mở U ⊂ Rn , V ⊂ Rm và các
ánh xạ f : U −→ V khả vi tại a ∈ U , g : V −→ R khả vi tại b = f (a).
Khi đó ánh xạ hợp g ◦ f khả vi tại a và D(g ◦ f )(a) = Dg(b) ◦ Df (a).
d. Đạo hàm riêng
Định nghĩa: Giả sử e1 , ..., en là cơ sở chính tắc trong không gian

Rn . U là tập mở trong Rn và f : U −→ Rn là hàm vectơ của n biến
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

số x = (x1 , ..., xn ) ∈ U .
f (x + tej ) − f (x)
Giới hạn lim
, nếu tồn tại, được gọi là đạo hàm
t→0
t
∂f
riêng thứ j của hàm f tại x. Kí hiệu Dj f (x) hay
(x) hay f xj (x).
∂xj
Nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng Dj f (x), j = 1, 2, ..., n tại mọi
điểm x ∈ U thì ta nói f thuộc lớp C 1 trên U , kí hiệu là f ∈ C 1 (U ).
1.1.3.2. Vi phân cấp một.
Cho tập mở U ⊂ Rn và f : U −→ R. Nếu f có các đạo hàm riêng
D1 f (x), ..., Dn f (x) trong một lân cận nào đó của điểm a = (a1 , ..., an )
và chúng là các hàm số liên tục tại a thì hàm f khả vi tại a và
n

Di f (a)hi .

Df (a)h =
i=1

n

Di f (a)hi là vi phân toàn phần của hàm f tại a.

Ta gọi đại lượng
n

Kí hiệu: df (a) =

i=1

Di f (a)hi = f (a)h.
i=1

Thông thường các số gia của biến độc lập được kí hiệu: hi = dxi ,
n

i = 1, n. Khi đó df (a) =

Di f (a)dxi .
i=1

1.1.4

Một số định lí.

Định lí(Về hàm ngược địa phương): Cho tập mở U ⊂ Rn ,
f ∈ C 1 (U ), a ∈ U và det Jf (a) = 0 ở đó det Jf (a) là Jacobian của f
tại a. Khi đó tồn tại một tập mở V chứa a và một tập mở W chứa

b = f (a) sao cho ánh xạ f : V −→ W có ánh xạ ngược f −1 : W −→ V
khả vi với mọi y ∈ W và thỏa mãn: (f −1 ) (y) = [f (f −1 (y))]−1 tức
Df −1 (y) = [Df (x)]−1 .
Đặc biệt: Df −1 (b) = [Df (a)]−1 .
Định lí Schwarz: Cho tập mở U ⊂ Rn , a ∈ U, f : U −→ R. Nếu
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

∂ 2 f (x, y)
∂ 2 f (x, y)
và
tồn tại trên U và liên tục tại a thì
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
∂ 2 f (a)
∂ 2 f (a)
=
.
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
1.1.5

Dạng vi phân bậc một

Định nghĩa: Cho tập mở U ⊂ Rn . Ta gọi dạng vi phân bậc một trên
U là ánh xạ α : U −→ Hom(Rn , R), trong đó Hom(Rn , R) = (Rn )∗ là

không gian đối ngẫu của Rn , tức là, không gian các hàm tuyến tính
(liên tục) từ Rn vào R.

1.2

Không gian Euclid En

1.2.1

Không gian vectơ Euclid

Không gian vectơ n chiều trên trường số thực gọi là không gian vectơ
−
→
−→ −
→
Euclid, kí hiệu En nếu với mỗi cặp có thứ tự (a, b) ∈ (Em , En ) xác
định một số thực gọi là tích vô hướng của hai vectơ a, b. Kí hiệu a.b
thỏa mãn các tiên đề sau:
i)a.b = b.a
−
→
ii)a.(b + c) = a.b + a.c, ∀a, b, c ∈ En
−
→
iii)(λ.a).b = λ.(a.b), ∀a, b ∈ En , λ ∈ R
−
→
0. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = 0 ∀a ∈ En .
−

→
Chú ý: ∀M ∈ En , ∀x ∈ E n ta luôn tìm được duy nhất điểm N sao
−−→
cho M N = x, kí hiệu N = M + x.
iv) a.a

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Chu Thị Yến

Không gian Euclid En

Định nghĩa: Không gian Euclid En là không gian afin liên kết với
−
→
không gian vectơ Euclid En .
√
−
→
Định nghĩa:Cho không gian vectơ Euclid En , α ∈ En . Ta gọi số α2
là độ dài (chuẩn/môđun) của α. Khoảng cách giữa hai điểm M, N ∈ En
−−→
−−→
là giá trị M N . Kí hiệu d(M, N ) = M N .
1.2.3

Mục tiêu trực chuẩn

−
Định nghĩa:Hệ {→
e i }i=1 được gọi là hệ vectơ trực chuẩn nếu
0
,i = j
n
n
−
−
→
−
→
−
. Mục tiêu (O; →
e i )i=1 ( {→
ei }i=1 là cơ sở
e i . ej =
1
,i = j
trực chuẩn của không gian En ) được gọi là mục tiêu trực chuẩn của
n

không gian Euclid En và thường được gọi là hệ tọa độ Descartes vuông
góc.

7

Chương 2
Phép tính giải tích trong không
gian Euclid En và hình học vi phân
của En
"Chương này trình bày phép tính giải tích trên một tập mở trong
không gian Euclid En dưới quan điểm ứng dụng nó vào nghiên cứu
hình học, nhấn mạnh đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc,
ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi, trường vectơ và dạng vi phân."

2.1

Hàm vectơ

2.1.1

Định nghĩa

−
→
→
−
U là một tập hợp tùy ý, ánh xạ X : U −→ En là một hàm vectơ.
−
→
→
−
−
−
Khi (→

e1 , ..., →
en ) là một cơ sở của En thì cho X tương đương với cho n
n
→
−
−
hàm số xi : U → R, X (u) =
xi (u)→
e .
i

i=1

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

2.1.2

Ví dụ
−
→
→
−
+) X : R → E2
→
−

t → X (t) = (cos t, t2 ).
−
→
→
−
+) X : R2 → E3
→
−
(x, y) → X (x, y) = (x5 y, x + y, ex ).
→
−
+) X : R → R
→
−
x → X (x) = x2 .

2.1.3

Một số phép toán.

−
→
→
− →
−
Cho X , Y : U −→ En là các hàm vectơ và ϕ : U −→ R là hàm số. Ta
có các phép toán sau:
+) Phép cộng:
−
→

→
− →
−
X + Y : U → En
→
− →
−
→
−
→
−
u → ( X + Y )(u) = X (u) + Y (u).
+) Phép nhân hàm vectơ với một hàm số:
−
→
→
−
ϕ X : U → En
→
−
→
−
u → (ϕ X )(u) = ϕ(u) X (u).
+)Chuẩn:

+)Tích vô hướng:

→
−
X :U →R

→
−
→
−
u → X (u) = X (u) .
→
− →
−
X.Y : U → R
→
−
→
−
u → X (u). Y (u).
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

−
→
+)Đặc biệt, n = 3 và E3 có hướng
Tích có hướng:
−
→
→
− →
−

X ∧ Y : U → E3
→
− →
−
→
−
→
−
u → X ∧ Y (u) = X (u) ∧ Y (u).
2.1.4

Giới hạn của hàm vectơ.

→
−
−
→
−
→
Cho hàm vectơ X : U −→ E n và điểm u0 ∈ U . Ta nói α ∈ E n là
→
−
giới hạn của hàm vectơ X khi u dần tới u0 nếu với mọi số > 0, đều
tồn tại số δ > 0 sao cho ∀u ∈ U thỏa mãn: u − u0 < δ ta đều có
→
−
X (u) − α < .
→
−
Kí hiệu: lim X (u) = α.

u→u0

2.1.5

Đạo hàm của hàm vectơ

a. Định nghĩa:
Khi U = J là một khoảng trong R, cho hàm vectơ
→
−
−
→
→
−
→
−
X : J −→ E n , t → X (t) thì đạo hàm của hàm X tại t (nếu có) là
→
−
→
−
−
→
X (t + ∆t) − X (t)
X (t) = lim
.
∆t→0
∆t
−
→

→
−
Nếu X (t) = ni=1 (xi (t)ei ) thì X (t) = ni=1 ((xi ) (t)ei ).
−
→
→
−
→
−
→
−
Nếu X khả vi thì X là hàm hằng khi và chỉ khi X (t) = 0 ∀t ∈ J.
b.Các công thức tính đạo hàm
−
→
→
− →
−
Cho các hàm vectơ X , Y : J −→ En khả vi tại t ∈ J, hàm số
ϕ : J −→ R khả vi tại t ∈ J. Ta có:
−
→ −
→
→
− →
−
+)( X + Y ) = X + Y
−
→
→

−
+)(ϕ X ) = ϕ .X + ϕ.X

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

−
→→
→
→
− →
−
− →
− −
+) ( X . Y ) = X . Y + X .Y
−
→
→
− →
−
và khi n=3, E3 có hướng: X ∧ Y

→
−
→
− →

− →
−
=X ∧Y +X∧Y .

c. Hệ quả:
→
→
−
→
−
→
−
→
− −
Nếu X : J −→ E n khả vi thì X là hàm hằng ⇔ X .X = 0.
→
−
→
−
Chứng minh. : Ta có X = X 2 = C (C- hằng số)
→
→
− −
→
→
−2
→
− −
2 X .X
=

0
⇔
X
.
X
= 0.
⇒( X ) =0⇔
→
−
2|| X ||
2.1.6

Nguyên hàm và tích phân

a.Nguyên hàm
−
→
−
→
→
−
→
−
Cho hàm vectơ X : J −→ En . Nếu có hàm vectơ khả vi Z : J −→ En
→
−
→
−
→
−

sao cho Z (t) = X (t) với mọi t ∈ J thì hàm Z được gọi là nguyên
→
−
→
−
hàm của hàm X . Khi đó họ các nguyên hàm của hàm X kí hiệu là
→
−
→
−
→
−
→
− →
−
X (t)dt được xác định như sau:
X (t)dt = Z (t) + C ( C là vectơ
hằng).
b. Tích phân
−
→
−
→
→
−
→
−
→
−
Cho hàm vectơ X : J −→ En , t → X (t) và Z : J −→ En là nguyên

→
−
→
−
→
−
hàm của hàm X thì với I = [a, b] ⊂ J (ab→
→
−
−
là tích phân của hàm X trên [a; b] và kí hiệu là X (t)dt.
a

Viết như sau:
b

→
−
→
−
X (t)dt = Z (t)

b
a

a

11

→
−
→
−
= Z (b) − Z (a).


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Chu Thị Yến

Vectơ tiếp xúc. Trường vectơ. Cung tham số
và trường vectơ dọc một cung tham số.

2.2.1

Vectơ tiếp xúc

−
→
Định nghĩa: Với mỗi p ∈ En , α ∈ En , cặp (p, α) được gọi là một vectơ
tiếp xúc với En tại p ( còn nói α đặt gốc tại p). Kí hiệu αp .
−
→
Tập Tp En = αp = (p, α)/p ∈ En , α ∈ En : Không gian các vectơ tiếp
xúc của En tại p.
2.2.2

Trường vectơ

−
→
−
→
Kí hiệu: T En = En × En , T U = U × En ( với U là tập mở trong En ).
a. Định nghĩa: Trường vectơ trên một tập mở U ⊂ En là ánh xạ
X : U → Tp U , p → X(p) sao cho với mọi p ∈ U , Xp ∈ Tp (U ).
−
→
→
−
Trường vectơ X : U −→ T U xác định ánh xạ X : U → En ,
→
−
→
−
p → X (p) mà X(p) = (p, X (p)).
→
−
Nói X khả vi lớp C k nếu X khả vi lớp C k .
→
−
Ta nói X là trường vectơ song song nếu X là ánh xạ hằng.
Ví dụ:

b. Các phép toán trên trường vectơ
Kí hiệu F (U ) là tập các hàm số khả vi trên U;
V ec(U ) là tập các trường vectơ khả vi trên U .

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

Với X, Y ∈ V ec(U ), ϕ ∈ F (U ) ta định nghĩa được:
(X + Y )(p) = X(p) + Y (p);
(ϕX)(p) = ϕ(p)X(p);
(X.Y )(p) = X(p).Y (p)
−
→
và khi n=3, E3 có hướng: (X ∧ Y )(p) = X(p) ∧ Y (p).
2.2.3

Trường mục tiêu

a. Định nghĩa: Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U ⊂ En là hệ
n trường vectơ (khả vi) {X1 , ..., Xn } trên U sao cho với mỗi
p ∈ U , {X1 (p), ..., Xn (p)} là một cơ sở của Tp U .
+) Nếu mọi trường vectơ Xi của trường mục tiêu {Xi } là song song
thì trường mục tiêu đó là trường mục tiêu song song.
+) Nếu mỗi cơ sở {Xi (p)} đều là cơ sở trực chuẩn của không gian
Tp En thì trường mục tiêu {Xi } là trường mục tiêu trực chuẩn.
Ví dụ:
−
→
−
−

−
Giả sử (→
e1 , →
e2 , ..., →
en ) là một cơ sở đã cho trong En , U là tập mở
⊂ En . Xét {E1 , E2 , ..., En } là hệ gồm các trường vectơ Ei , i = 1, 2, ..., n
−
xác định bởi E (p) = (p; →
e ), p ∈ U, i = 1, 2, ..., n thì hệ đó là trường
i

i

mục tiêu song song trên U.
−
→
−
−
−
Nếu cơ sở (→
e1 , →
e2 , ..., →
en ) là một cơ sở trực chuẩn của En thì trường
mục tiêu {E1 , E2 , ..., En } vừa là trường mục tiêu song song, vừa là
trường mục tiêu trực chuẩn.
Trong trường mục tiêu song song {Xi } trên tập mở liên thông U,
trường vectơ X =

n
i

i
i=1 (ϕ Xi ), ϕ

∈ F (u) là trường vectơ song song

khi và chỉ khi các hàm số ϕi là hàm hằng.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

b. Ví dụ
1. Trường mục tiêu tọa độ cực trong mặt phẳng Euclid có hướng E2 .
* Trong E2 , lấy một hệ tọa độ Descartes vuông góc thuận

O; i, j

với (x; y) là tọa độ của điểm.
−
→
+) ∀p ∈ U ⊂ E2 \ {O}, U mở; giả sử Op = xi + y j thì số
−
→
r = Op = x2 + y 2 gọi là bán kính cực của p.
−
→
ϕ = (i; Op) gọi là số đo góc cực của p đối với trục ox.

Ta có: x = rcosϕ; y = rsinϕ. Khi đó, đặt ứng với mỗi p ∈ U , vectơ
−
→
Op
π
U1 (p) = (p; −
)
và
U
(p)
có
được
do
quay
U
(p)
một
góc
(ngược
2
1
→
2
Op
chiều kim đồng hồ) thì ta nhận được {U1 , U2 } là một trường mục tiêu
trực chuẩn thuận trên tập mở U.
* Chứng minh trường mục tiêu {U1 , U2 } nhẵn.
y
x

; sinϕ =
Theo giả thiết ta suy ra cosϕ =
x2 + y 2
x2 + y 2
+) Gọi E1 , E2 là trường mục tiêu song song ứng với hệ tọa độ Descartes
vuông góc đã chọn thì:

 U = c osϕE + sin ϕE
1
1
2
 U = − sin ϕE + cosϕE
2
1
2
Rõ ràng {U1 , U2 } là trường mục tiêu nhẵn trên E2 \ {O} ; nó gọi là
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

trường mục tiêu tọa độ cực trong E2 với gốc O.
2. Trường mục tiêu tọa độ cầu trong không gian Euclid có hướng E3 .
*)Trong E3 lấy một hệ tọa độ Descartes vuông góc thuận O; i, j, k
với (x, y, z) là tọa độ của điểm.
−
→
+ Với mỗi p ∈ U ⊂ E3 \ {Oz}, giả sử Op = xi + y j + z k thì số

−
→
−
→
r = x2 + y 2 + z 2 = Op gọi là bán kính của Op.
→
→
− −
Gọi p’ là hình chiếu vuông góc của p trên (Oxy) thì ϕ = i , Op ,
−→
−→ −
→
θ = Op , Op lần lượt là kinh độ và vĩ độ của p. Ta có Op = rcosθ
và




x = rcosϕ cosθ



y = r sin ϕ cosθ



 z = r sin θ
+Gọi q là hình chiếu vuông góc của p trên Oz.
→
−

−
→
qp
π
Đặt U1 (p) là vectơ có được do quay →
quanh Oz một góc .
−
2
qp
−
→
−
→
→
−
→
−
→
Op −
U3 (p) = −
→ , U2 (p) = U1 (p) ∧ U3 (p) thì {U1 , U2 , U3 } là trường mục
Op
tiêu trực chuẩn thuận trên mở U.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

*Chứng minh trường mục tiêu {U1 , U2 , U3 } nhẵn.
+Gọi {E1 , E2 , E3 } là trường mục tiêu song song trên U ứng với cơ
sở (i, j, k) của hệ tọa độ (O; i, j, k). Ta có:



U = − sin ϕ.E1 + cosϕ.E2

 1

U2 = − sin θ(cosϕ.E1 + sin ϕ.E2 ) + cosθ.E3



 U = cosθ(cosϕ.E + sin ϕ.E ) + cosθ.E
3
1
2
3
Rõ ràng {U1 , U2 , U3 } là trường mục tiêu nhẵn. Trường mục tiêu đó
3

được gọi là trường mục tiêu tọa độ cầu trên E \ {Oz}.
2.2.4

Cung tham số(quỹ đạo)

a. Định nghĩa: Cung tham số là ánh xạ ρ : J −→ En với J là một
khoảng trong R. Lấy một điểm O cố định trong En thì cho cung tham

−
→
số ρ : J −→ En tương đương với cho hàm vectơ ρ : J −→ En ,
−→
t → ρ(t) = Oρ(t) với ρ(t) là bán kính vectơ của điểm ρ(t).
+) Cung tham số ρ gọi là khả vi lớp nếu hàm vectơ ρ khả vi.
b.Ví dụ:
−
→
1. Cung thẳng: ρ : R −→ En , t → I + tα, 0 = α ⊂ En , I ∈ En , t ∈ Rn .
2. E3 , O; i, j, k . Cung tham số: ρ : J −→ En ,
t → ρ(t) = O + ae(t) + btk ở đó a > 0, b = 0, e(t) = costi + sin tj còn
viết ρ(t) = (acost, asint, bt).
Ta có x2 (t) + y 2 (t) = a2 Nên ảnh của ρ nằm trên mặt trụ tròn xoay
trục Oz, bán kính a còn gọi là đường đinh ốc tròn trục Oz. (Hình 5)
3. Cho hàm số f : J −→ R (khả vi) trên khoảng J ⊂ R thì có cung

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

tham số ρ : J −→ R2 , t → ρ(t) = (t, f (t)). Ảnh của ρ gọi là đồ thị của
hàm số f.(hình 6)

2.2.5

Trường vectơ dọc một cung tham số

a. Định nghĩa:
1. Trường vectơ dọc cung tham số ρ : J −→ En , t → ρ(t) là ánh xạ
X : J −→ T En mà ∀t ∈ J, X(t) ∈ Tρ(t) En .
−
→
→
−
Cho X tương đương với cho hàm vectơ X : J −→ En mà
→
−
X(t) = (ρ(t), X (t)).
→
−
X được gọi là khả vi lớp C k nếu ρ và X khả vi lớp C k .
2. Khi ρ : J −→ En , t → ρ(t) là một cung tham số (khả vi) trong En
→
−
thì t → ρ (t) = (ρ(t), ρ (t)) là một trường vectơ dọc ρ và kí hiệu là ρ .
c.Ví dụ: Cho trường vectơ Z trên tập mở U ⊂ En . Hãy tìm cung
tham số ρ : J −→ U mà ρ = Z ◦ ρ.
−
−
+ ) Lấy một hệ tọa độ afin (O; →
e , ..., →
e ) trong En với tọa độ x1 , ..., xn ;
1

n

Z=

n

ϕi Ei ; {Ei } là trường mục tiêu song song ứng với hệ tọa độ đó,

i=1

ϕi là hàm số cho trước trên U, coi là hàm số của n biến số xi , i = 1, ..., n
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chu Thị Yến

và viết ρ(t) = (x1 (t), ..., xn (t)) thì ρ = Z ◦ ρ. Nghĩa là,
∀t ∈ J,(xi ) (t) = ϕi (x1 (t), ..., xn (t)), i = 1, 2, ..., n.
Vậy ta được một hệ phương trình vi phân cấp 1 (đối với n hàm số
t → xi (t), i = 1, 2, ..., n).
Kết quả theo lí thuyết phương trình vi phân là: Khi Z khả vi lớp C k
thì với mỗi (x10 , ..., xn0 ) ∈ U , có khoảng J chứa trong R và có ρ : J −→ U
khả vi lớp C k+1 mà ρ = Z ◦ ρ và ρ(0) = (x10 , ..., xn0 ).
Coi t là thời gian thì t → ρ(t) ∈ En là chuyển động của một chất
→
−
điểm trong En và ρ (t) là trường vectơ vận tốc của chuyển động, ρ (t)
→
−
là vectơ vận tốc tại thời điểm t, ρ (t) là vectơ gia tốc tại thời điểm t

của chuyển động.

2.3

Đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc
và dọc một trường vectơ

2.3.1

Đạo hàm của hàm số theo một vectơ tiếp xúc

a.Định nghĩa:
Cho ϕ : U −→ R là một hàm số trên một tập mở U ⊂ En , αp ∈ Tp U .
Đạo hàm của hàm số ϕ theo vectơ tiếp xúc αp chính là đạo hàm tại
t = 0 (nếu có) của hàm số ϕ : U → R, t → ϕ(p + tα).
Kí hiệu: αp [ϕ].
d
ϕ(p + tα) − ϕ(p)
(t → ϕ(p + tα))|t=0 = lim
; công
t→0
dt
t
thức này nói lên "vận tốc biến thiên" tại t = 0 của hàm số ϕ khi cho
Viết αp [ϕ] =

điểm thay đổi dọc quỹ đạo t → p + tα.
−
−
*) Nếu (O; →

e , ..., →
e ) là một hệ tọa độ afin của En với tọa độ (x1 , ..., xn )
1

n

18