Đề Tài Nghiên Cứu Khoa Học Sư Phạm Ứng Dụng

Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

1. TÓM TẮT :……………………………………………........
2. GIỚI THIỆU: …………………………………………...
2.1 Hieän trạng …………………………………………………
2.2 Giải pháp thay thế ………………………………………...
2.3 Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài………
2.4 Vấn đề nghiên cứu…………………………………………
2.5
Giả
thuyết
nghiên
cứu……………………………………..
3. PHƯƠNG PHÁP ……………………………………….
3.1 Khách thể nghiên cứu……………………………………
3.2 Thiết kế nghiên cứu………………………………………
3.3
Quy
trình
nghiên
cứu………………………………………
4. ĐO LƯỜNG……………………………………………..
4.1 Sử dụng công cụ đo, thang đo……………………………
4.2 Kiểm chứng độ giá trị nội dung.....................................
5.PHÂN TÍCH DỮ LIỆU BÀN LUẬN KẾT QUẢ……..
5.1 Trình bày kết quả………………………………………….

5.2 Phân tích dữ liệu…………………………………………..
5.3 Bàn luận…………………………………………………….
6. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ……………………..
6.1 Kết luận……………………………………………………..
6.2
Khuyến
nghị………………………………………………...
7 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………….
8 PHỤ LỤC ………………………………………………..
Phụ lục 1: Các dạng toán và phương pháp giải phương
trình bậc cao………………………………………………………
Phụ lục 2: Một số giáo án có sử dụng “Giải phương trình

2
3
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
9
11
11
11

12
13
13
13
15
16
16

bậc cao ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng
máy tính CASIO”…………………………………………………

Phụ lục 3: Đề đáp án trước tác động …………………….
Phụ lục 3: Đề đáp án sau tác động ……………………….
Phụ lục 4: Bảng tổng hợp điểm kiểm tra trước tác động
và sau tác động……………………………………………..
9.PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

28
33
36
38
39

Trang 1


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

CÁC CẤP

Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 2


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Như chúng ta đã biết, toán học là bộ môn khoa học đặc biệt quan trọng
trong chương trình giáo dục phổ thông cũng như trong các chương trình giáo
dục khác. Đây là môn học được coi là nền tảng cho các môn học tự nhiên giúp
cho học sinh có được những vốn kiến thức về tự nhiên và thực hiện tính toán
một cách nhanh, chính xác, nhờ vào sự hỗ trợ trực tiếp của máy tính casio.
Trong các môn học ở phổ thông, môn toán giữ một vị trí quan trọng. Qua
việc học toán học sinh được rèn luyện về mọi mặt như: trí thông minh, phương
pháp tính toán hợp lý, nhanh gọn, tạo cho bộ óc làm việc ngăn nắp, có kế hoạch.
Từ cuộc sống hàng ngày của con người như: cân đo, đong đếm,… cho đến các
ngành công nghiệp phát triển đều rất cần đến toán học.
Cùng với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật như hiện nay,
đòi hỏi người học và người dạy phải thường xuyên tự trang bị cho mình những
kiến thức cơ bản phục vụ cho chuyên môn. Một trong những ảnh hưởng trực tiếp
của sự phát triển đó là việc ứng dụng những tiến bộ khoa học điện toán vào quá
trình truyền đạt và tiếp thu tri thức ở trường phổ thông, thông dụng và hiệu quả
nhất là sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi (máy tính cầm tay) Casio fx.
Casio fx là một trong những công cụ hỗ trợ cho học sinh học tốt các môn
khoa học tự nhiên, thực hành nhiều nhất trên môn toán học ,bên cạnh đó máy
tính bỏ túi còn đồng hành cùng các em trải qua các kỳ thi đầy cam ro thử thách.
Đặc biệt trong quá trình cải cách giáo dục hiện nay các kỳ thi thường áp dụng
hình thức trắc nghiệm, đòi hỏi người học ngoài việc nắm vững kiến thức cần

phải tự rèn luyện cho mình những kỹ năng trả lời trắc nghiệm một cách nhanh
nhất và chính xác nhất.
“Giáo dục là quốc sách hàng đầu, nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng
cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi
là một trong những công tác mũi nhọn của ngành Giáo dục và Đào tạo nói
chung, của từng cơ sở nói riêng nên việc phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi nuôi
dưỡng nhân tài là một việc làm thường xuyên, liên tục. Môn toán là một trong
những bộ môn thường xuyên tổ chức thi học sinh giỏi nên đòi hỏi từng cơ sở
phải xây dựng được đội ngũ học sinh giỏi cho đơn vị mình. Với tâm huyết nghề
nghiệp tôi luôn cố gắng phấn đấu để đào tạo và bồi dưỡng ngày càng nhiều học
sinh giỏi các cấp bằng cách đi sâu nghiên cứu và giúp các em nắm chắc, sâu
từng phần từng nội dung trong chương trình toán lớp 9. Phương trình bậc cao là
một đề tài hấp dẫn, thú vị của toán học, vì vậy phương trình bậc cao đã được rất
nhiều nhà toán học nghiên cứu. Tuy nhiên, với người học thì giải phương trình
bậc cao là một vấn đề khó. Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học
cơ sở tôi nhận thấy mảng giải phương trình bậc cao được đưa ra ở sách giáo
khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới thiệu khái
quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi, trong chương trình học lại không có
một bài học cụ thể nào. Bên cạnh đó là các nội dung bài tập ứng dụng thì rất
phong phú, đa dạng và phức tạp. Các phương trình bậc cao là một nội dung
thường gặp trong các kỳ thi ở Bậc THCS và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh
vào THPT. Chính vì vậy tôi quyết định chọn chủ đề: “Giải phương trình bậc
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 3


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

cao ở THCS để nâng cao hơn nữa chất lượng học sinh khá, giỏi bằng máy

tính CASIO”. Để giúp các em tìm hiểu được nhiều hơn về phương pháp giải,
cách giải đối với các dạng phương trình bậc cao.Trong các phương pháp đã thực
hiện trong chương trình toán THCS, “Giải phương trình bậc cao ở THCS để
rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng máy tính CASIO” là giúp học sinh
dễ hiểu, có kỷ thuật giải toán một cách có hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả.
Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương: Nhóm 1 và
Nhóm 2 của Trường THCS Nguyễn Thị Định Thành Phố Tuy Hòa trong năm
học 2012-2013.
Lớp Nhóm 1 làm lớp thực nghiệm và Nhóm 2 làm lớp đối chứng. Lớp
thực nghiệm được thực hiện giải pháp thay thế khi hướng dẫn học sinh có sử
dụng “Giải phương trình bậc cao ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá,
giỏi máy tính CASIO”. Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến
kết quả học tập của học sinh lớp thực nghiệm và đã đạt kết quả học tập cao hơn
so với lớp đối chứng. Điểm kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm có giá trị trung
bình là 8,6. Điểm kiểm tra đầu ra của lớp đối chứng là 7,6 kết quả kiểm chứng
T-test cho thấy p = 0,01207< 0,05 có nghĩa là có sự khác biệt lớn giữa điểm
trung bình của lớp thực nghiệm và điểm trung bình của lớp đối chứng. Điều đó
chứng minh rằng “Giải phương trình bậc cao ở THCS để rèn luyện đối với
học sinh khá, giỏi bằng máy tính CASIO ” có tác động rất lớn để nâng cao
khả năng giải phương trình bậc cao cho học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn thị
Định trong năm học 2012-2013.
2. GIỚI THIỆU
Trong chương trình toán học trung học cơ sở và trong các đề thi chúng ta
vẫn thường gặp các bài toán về giải phương trình bậc 3, 4, 5…Khi tiến hành giải
phương trình đó bằng cách đưa về phương trình tích để giải . Các em học sinh
khi gặp dạng toán này không chịu nghiên cứu khảo sát kĩ từng dạng phương
trình theo nhiều cách hoặc sử dụng thiếu linh hoạt.
Xuất phát từ vấn đề trên và qua việc giảng dạy môn toán ở trường THCS,
qua đọc tài liệu tham khảo và đặc biệt qua việc bồi dưỡng cho đội tuyển học
sinh giỏi ở khối 9. Tôi nhận thấy rằng giải một phương trình bậc 3, 4, 5… là

tương đối khó đối với học sinh THCS và đặc biệt hơn nữa các phương pháp giải
phương trình đó không hề có trong chương trình toán THCS do đó đã gây khó
khăn không nhỏ đối với học sinh trong khi gặp phải dạng toán này. Học sinh
không có một phương pháp cụ thế nào mà chỉ biết mò mẫm một cách vô hướng.
Khi được tiếp xúc với các dạng phương trình bậc cao không những rèn
luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các
môn học khác ở trường THCS.Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế,
còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận, sáng tạo…
GIỚI THIỆU CHỨC NĂNG MODE VÀ SETUP

I.

MODE
Trong menu MODE có 8 chức năng: 1: COMP, 2: CMPLX, 3:
STAT, 4: BASE–N, 5: EQN, 6: MATRIX, 7: TABLE, 8:
VECTOR.
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 4


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

1: COMP_Trả về trạng thái ban đầu, thực hiện các phép tính tổng hợp.
2: CMPLX_Thực hiện các phép tính phức tạp trên trường số phức.
3: STAT_Phép tính thống kê và hồi quy.
4: BASE–N_Các hệ trong toán học: hệ nhị phân, hệ thập phân, …
5: EQN_Giải phương trình và hệ phương trình.
6: MATRIX_Phép tính ma trận.
1: COMP

2: CMPLX
4: BASE–N
7: TABLE_Tạo bảng giá trị cho một hàm số. 3: STAT
5: EQN
6: MATRIX
8: VECTOR _Không gian vector.
7: TABLE
8: VECTOR
II.

SETUP
SETUP_chức năng cài đặt. Khi bấm SHIFT SETUP ta có hai cửa sổ, di
chuyển bằng phím REPLAY (   ). Trong Setup có các chức năng sau:
Cửa sổ thứ nhất có:
1: MthIO, 2: LineIO_Cách hiển thị của máy tính.


1:
3:
5:
7:

MthIO
Deg
Gra
Sci

2:
4:
6:

8:

LineIO
Rad
Fix
Norm



1: ab/c
3: CMPLX
5: Disp

I.

2: d/c
4: STAT
6: CONT

Phương trình–Hệ phương trình
MODE 5 .:
1. Hệ phương trình:
a. Hệ phương trình 2 ẩn:
MODE 5 . 1 :
a

D
b

Math 

c

1

2





0

Ví dụ: Giải hệ phương trình

 a1 x + b1 y = c1

 a2 x + b2 y = c2

b. Hệ phương trình 3 ẩn:
MODE 5 . 2 :
Ví dụ: Giải hệ phương trình

 a1 x + b1 y + c1 z = d1

 a2 x + b2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3

2. Phương trình:
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 5


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

a. Phương trình bậc 2:
MODE 5 . 3 :
D
a

Math 
c

b







0

Ví dụ: Giải phương trình ax2+bx+c=0
b. Phương trình bậc 3:
MODE 5 . 4 :

Ví dụ: Giải phương trình ax3+bx2+cx+d=0
Giải phương trình: Để giải một phương trình bất kì ta viết toàn bộ
phương trình vào màn hình sau đó dùng lệnh SHITF SOLVE để tìm
nghiệm.
x − 1 = 2 sin

Ví dụ 1: Giải phương trình

x
.
2

ĐS: x=4,118754597.

sau đó ấn SHITF SOLVE máy hỏi Solve for X? khi đó ta nhập bất kì một số
thực rồi ấn = . Chờ máy dò nghiệm.
R
x
x -1 = 2sin  ÷
2

Math 

R

Math 

Solve for X?
0

0
R
x
x - 1 = 2sin  ÷
2
X=
-R=

Math 

4.118754597
0

X=4,118754597 là nghiệm của phương trình.
- R : chỉ sự sai số của nghiệm vừa tìm, - R càng nhỏ thì độ chính
xác càng cao.
Trong đó:

2.1 Hiện trạng
Qua việc dự giờ đồng nghiệp và theo dõi quá trình học tập của học sinh
tôi nhận thấy:
+ Giáo viên nặng về cung cấp bài giải sẵn cho học sinh tiếp thu, thường
chú trọng yêu cầu của chương trình thực hiện chưa đảm bảo cái cơ bản của bài
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 6


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

tập, ít khi cho học sinh tự phân tích vì sợ mất thời gian, thường bằng lòng và kết
thúc công việc khi đã tìm ra một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học
sinh tìm cách giải (hay phương pháp) khác hay hơn… kết quả là học sinh biết
làm bài nhưng chưa hiểu sâu sắc về bài mình vừa làm.
+ Bên cạnh đó khi gặp phải dạng toán Giải phương trình bậc cao là các
em rất ngại “sợ” và lúng túng trước đề bài toán: không biết làm gì?, bắt đầu từ
đâu? đi theo hướng nào? không biết liên hệ những kiến thức trong bài với những
kiến thức đã học, không phân biệt được cái gì đã cho, cái gì cần tìm nên không
biết cách giải.
+ Việc suy luận kém, chưa hiểu cách giải phương trình bậc cao cho nên
lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, không chặt chẽ, không nắm được
phương pháp cơ bản để giải, suy nghĩ hời hợt, máy móc, không biết rút kinh
nghiệm về các bài giải đã làm, nên thường lúng túng trước những bài toán có đề
bài hơi khác một chút. Trình bày bài giải không tốt, rõ ràng, ngôn ngữ, ký hiệu
tùy tiện, lập luận thiếu khoa học, logic…
Để thay đổi hiện trạng trên tôi đưa ra đề tài “Giải phương trình bậc cao
ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng máy tính CASIO ” để
hướng dẫn học sinh có thể hiểu sâu hơn và trình bày bài toán chặt chẽ và dễ
dàng hơn.
2.2 Giải pháp thay thế
- Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản
một cách có hệ thống (về toán học nói chung cũng như về phần phương trình
bậc cao khi giải quy về phương trình bậc hai trong chương trình dạy toán lớp 9
để giải) theo phương pháp tinh giảm dễ hiểu.
- Bài tập về “phương pháp quy về phương trình bậc hai” nhằm rèn luyện cho HS
những kĩ năng thực hành giải toán về phương trình bậc hai. Rèn luyện cho HS
các thao tác tư duy, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá, tương tự...
- Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu
dễ dàng các môn học khác ở trường THCS. Mở rộng khả năng áp dụng kiến
thức vào thực tế.

- Bài tập “Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai” còn góp
phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận, sáng tạo.
- Các kĩ năng, kiến thức khi học về giải phương trình bậc cao:
- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số:
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Phép phân tích đa thức thành nhân tử
2.3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài
- Chuyên đề tổ Toán Trường THCS Nguyễn thị Định trong năm học
2012-2013. Cùng với chuyên đề Tổ Toán Trường THCS Trần Hưng Đạo của
năm học 2012-2013.
- Sáng kiến kinh nghiệm: Giải phương trình bậc cao của cô Vũ Thị
Thúy Hằng Trường THCS Thuận Tiến- Hòn Đất - Kiên Giang (Sưu tầm tham
khảo).
2.4. Vấn đề nghiên cứu
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 7


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

Việc áp dụng “Vận dụng máy tính CASIO Giải phương trình bậc cao
ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng máy tính CASIO ” và
hướng dẫn học sinh giải phương trình loại này. Thực tế có đạt theo mong muốn
cho học sinh khối 8, 9 ? Mong rằng qua đề tài này các tổ toán ở các trường
THCS nghiên cứu vận dụng ?
2.5. Giả thuyết nghiên cứu
“Vận dụng máy tính CASIO Giải phương trình bậc cao ở THCS để
rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng máy tính CASIO ” sẽ nâng cao kết
quả giải phương trình cho học sinh Trường THCS Nguyễn Thị Định trong

những năm trước đây cũng như năm học 2012-2013.
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu
- Giáo viên: Võ Hữu Huy dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 trường
THCS Nguyễn Thị Định trong năm học 2012- 2013 trực tiếp thực hiện việc
nghiên cứu.
- Học sinh: Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm đối tượng tương
đương ở hai nhóm Trường THCS Nguyễn Thị Định trong năm học 2012-2013.
- Hai nhóm được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng
nhau về sĩ số và về dân tộc, giới tính. Cụ thể như sau:
Bảng 1: Sĩ số, giới tính và thành phần dân tộc của học sinh.
Dân tộc
Kinh
Khác

Lớp

Sĩ số

Nam

Nữ

Nhóm 1

10

4

6

10

Nhóm 2

10

5

5

10

0
0

- Về ý thức học tập, tất cả học sinh ở hai nhóm đang nghiên cứu đều tích
cực chủ động trong học tập.
- Về chất lượng học tập của năm học trước, hai nhóm tương đương nhau
về chất lượng bộ môn toán 8.
- Phụ huynh rất quan tâm đến vấn đề học tập của con em.
3.2 Thiết kế nghiên cứu
- Chọn lớp Nhóm 1 làm nhóm thực nghiệm.
Nhóm 2 làm nhóm đối chứng.
- Dùng bài kiểm tra trung bình cộng (TBC) của hai nhóm có sự khác
nhau, do đó tôi dùng phép kiểm 120 phút làm bài kiểm tra trước tác động. - Kết
quả kiểm tra này cho thấy điểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa
điểm số trung bình của hai nhóm trước khi tác động.
- Kết quả:
Bảng 2: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương

TBC
p
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Thực nghiệm
Đối chứng
7,60
7.50
0,40434
Trang 8


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

- p = 0,40434> 0,05 từ đó kết luận điểm số trung bình của hai nhóm thực
nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa tức là xảy ra do ngẫu nhiên, hai nhóm
được coi là tương đương.
- Sử dụng thiết kế 2: kiểm tra trước tác động và sau tác động đối với các
nhóm tương đương (được mô tả ở bảng 2)
Nhóm

KT trước TĐ

Thực nghiệm
Nhóm 1

7,6

Đối chứng
Nhóm 2

7,5

Tác động
Dạy học có sử dụng
“Giải phương trình
bậc cao ở THCS để
rèn luyện đối với học
sinh khá, giỏi bằng
máy tính CASIO ”
Dạy học không có sử
dụng “Giải phương
trình bậc cao ở THCS
để rèn luyện đối với
học sinh khá, giỏi bằng
máy tính CASIO ”

KT sau TĐ

8,6

7,6

- Ở thiết kế này tôi sử dụng phép kiểm chứng T-test độc lập.
3.3. Quy trình nghiên cứu
* Chuẩn bị bài của giáo viên
- Nhóm 1 là nhóm thực nghiệm: thiết kế bài dạy có sử dụng “ Giải
phương trình bậc cao ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng
máy tính CASIO ”
- Nhóm 2 là nhóm đối chứng: Thiết kế bài dạy không có sử dụng “Giải

phương trình bậc cao ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng
máy tính CASIO ”
* Tiến hành thực nghiệm;
- Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy và học của
nhà trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan, cụ thể:
Thời gian thực hiện
Thứ ngày
Thứ 3
8/10/2013
Thứ 3
9/11/2013

Môn /Lớp

Tiết theo PPCT

Bài tập

Đại số 9

16

tự soạn

Đại số 9

30

tự soạn

4. Đo lường
4.1. Sử dụng công cụ đo, thang đo: Bài kiểm tra viết của học sinh.
- Sau khi thực hiện dạy xong các bài tập của chương tôi tiến hành bài
kiểm tra một tiết (nội dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục)
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 9


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 120 phút do giáo viên dạy
cùng với tổ chuyên môn của trường ra đề kiểm tra chung cho học sinh khối 9.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra 120 phút do giáo viên dạy cùng
với tổ chuyên môn của trường ra đề kiểm tra chung cho học sinh khối 9.
- Tiến hành kiểm tra và chấm bài theo đáp án đã được xây dựng.
4.2. Kiểm chứng độ giá trị nội dung
- Kiểm chứng độ giá trị nội dung của các bài kiểm tra bằng cách giáo viên
trực tiếp dạy chấm bài hai nhóm thực nghiệm (nhóm 1) và lớp đối chứng (nhóm
2).
ví dụ:Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? từ
đó tìm nghiệm phương trình
Nhận xét:

Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).
Ta có Ư(60) = { ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 5; ± 6; ± 10; ± 12; ± 15; ± 20; ± 30; ±

60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức:
Gán:

-1 → X

Nhập vào máy đa thức:X5 + 5X4 – 3X3–X2 +58X -60 rồi ấn dấu = máy báo kq
-112
Gán tiếp:
-108

-2 → X / # / = /

Gán tiếp:
0

-3 →X/ # / = /

máy báo kq
máy báo kq

Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho
(x+3). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3).
Quy trình:
-3 → X
+

5

=

−

3

=

SHIFT a

X

−

1

=

SHIFT a

x

X

+

58

=

SHIFT a

b

x

X

−

60

=

SHIFT a

b

1

x

x

X

x

X

SHIFT a

c

Ghi 2

c

Ghi -9

c

Ghi 26

b

b

b

c

Ghi -20

c

Ghi 0

Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x4+2x3-9x2+26x-20)
* Ta lại xét đa thức g(x) = x4+2x3-9x2+26x-20
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 10

Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

Nghiệm nguyên là ước của 20.
Dùng máy ta tìm được Ư(20) = { ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 10; ± 20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):
Gán:

-1 → X

Nhập vào máy đa thức: x4+2x3-9x2+26x-20 rồi ấn dấu =
-96

máy báo kq

Gán tiếp:
-148

-2 → X / # / = /

máy báo kq

Gán tiếp:
-180

-4 → X / # / = /

máy báo kq

Gán tiếp:

-5 → X / # / = /

máy báo kq 0

Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết
cho (x+5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho
(x+5).
Quy trình:
-5 → X
X

+

=

1

x

2

x

X

+

−9

=

SHIFT a

x

X

+

26

=

SHIFT a

x

X

+

− 20

=

SHIFT a

c

Ghi -3

c

Ghi 6

c

Ghi -4

b

b

b

SHIFT a

b

c

Ghi 0

Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x3-3x2+6x-4)
* Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa
thức h(x) = x3-3x2+6x-4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được:
h(x) = (x-1)(x2-2x+4)
Ta thấy đa thức (x2-2x+4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.

Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x2-2x+4). Đến đây học sinh tìm được
nghiệm phương trình bậc cao nhờ sự trợ giúp của máy tính
- Nhận xét của giáo viên để kiểm chứng độ giá trị nội dung của dữ liệu:
+ Về nội dung đề bài: Phù hợp với trình độ của học sinh nhóm thực
nghiệm và nhóm đối chứng
+ Các câu hỏi có phản ảnh các vấn đề của đề tài nghiên cứu
- Nhận xét về kết quả hai lớp:
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 11


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

- Nhóm thực nghiệm có điểm trung bình là 8,6.
- Nhóm đối chứng có điểm trung bình là 7,6 thấp hơn nhóm thực nghiệm
là 1,00. Điều đó chứng minh rằng lớp thực nghiệm “Giải phương trình bậc cao
ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng máy tính CASIO ” nên
kết quả cao hơn.
5. Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả
5.1. Trình bày kết quả
* Mô tả dữ liệu:
Mốt, trung vị, giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của nhóm thực nghiệm,
nhóm đối chứng.
Nhóm 1 thực nghiệm:
Mốt
Trung vị
Giá trị TB
Độ lệch chuẩn

Công thức
=MODE(C4:C38)
=MEDIAN(C4:C38)
=AVERAGE(C4:C38)
=STDEV(C4:C38)

Giá trị nhóm TN
8
8.5
8,6
0,97

Nhóm 2 đối chứng:
Công thức
Mốt
=MODE(F4:F38)
Trung vị
=MEDIAN(F4:F38)
Giá trị TB
=AVERAGE(F4:F38)
Độ lệch chuẩn =STDEV(F4:F38)

Giá trị nhóm ĐC
8
8,0
7,6
0,84

5.2. Phân tích dữ liệu
- Phép kiểm chứng T-test so sánh các giá trị trung bình các bài kiểm tra

giữa nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
- Bảng 5: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
ĐTB
Độ lệch chuẩn
Giá trị p của T-test
Chênh lệch giá trị trung
bình chuẩn (SMD)

Thực nghiệm
Đối chứng
8,6
7,6
0,97
0,84
0,01207
1,19

- Như trên đã chứng minh rằng kết quả hai nhóm trước tác động là tương đương.
Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-test cho kết quả .
p = 0,01207 (p=0,01207 <0,05) cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình
nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng là rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết
quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà
do kết quả của tác động.
- Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

8,6 -7,6
= 1,19
0,84

Trang 12


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

- Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của việc dạy học “Giải phương
trình bậc cao ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng máy tính
CASIO ” đã ảnh hưởng
đến học tập của nhóm thực nghiệm là rất lớn. Mô tả bằng biểu đồ sau:
Giá trị trung bình
Trước tác động
Sau tác động

Nhóm thực nghiệm
7,6
8,6

Nhóm đối chứng
7,5
7,6

4.3. Bàn luận
* Ưu điểm:
- Kết quả bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC=8,6,
kết quả bài kiểm tra trước tác động của nhóm thực nghiệm là TBC=7,5. Độ
chênh lệch điểm số là 1,1.
- Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là
TBC=8,6, kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC=7,6. Độ
chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,00.
- Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã

có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp đối chứng.
- Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD=1,19.
Điều này có mức độ ảnh hưởng của tác động là rất lớn.
- Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là
p=0,01207<0,05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm
không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.

Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 13


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

* Hạn chế:
- Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 cũng có thể BDHSG lớp 8, 9. Bên
cạnh đó đề tài áp dụng được sau khi học sinh học xong phần kiến thức về
phương trình bậc nhất (ở lớp 8) và phương trình bậc 2 (ở lớp 9) và từ thời gian
đó đến các kỳ thi không còn nhiều thời gian. Chính vì vậy người thầy phải chủ
động phần kiến thức cơ bản và trọng tâm của kiến thức đại số THCS, ôn luyện
cho học sinh một cách có hệ thống thông qua các dạng bài tập.
- Khó khăn khi áp dụng của sáng kiến: kiến thức có liên quan từ lớp 6, 7,
8, 9 rất nhiều học sinh nắm kiến thức còn hời hợt chưa chắn chắn, nhiều học
sinh còn ngại học, và tính tổng hợp kiến thức của học sinh chưa cao. Nhưng với
HS khá giỏi thì phương pháp này thật sự hữu hiệu khi được đưa ra áp dụng để
giải toán.
- Để cho học sinh làm quen và rèn kỹ năng giải “Giải phương trình bậc
cao ở THCS để rèn luyện đối với học sinh khá, giỏi bằng máy tính CASIO ”
giáo viên cần đưa ra những yêu cầu bắt buộc trong khi thực hiện.
- Hệ thống được các kiến thức đã tiếp thu, kiến thức đó phải được lặp đi

lặp lại nhiều lần và thật chính xác. Bên cạnh đó học sinh còn biết thể hiện các
nội dung kiến thức bằng ngôn ngữ toán học.
- Giáo viên phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi hợp lý kèm theo sơ đồ để có
thể từng bước hướng dẫn HS biết thực hiện phân tích.
- Từng bước cho HS làm quen dần cách phân tích và từ từ cho học sinh áp
dụng phương pháp này khi học ở lớp 9, đồng thời hướng dẫn thao tác tổng hợp
để trình bày lại bài giảng.
- Phương pháp này phải được áp dụng thường xuyên thì HS mới hiểu và
có thói quen sử dụng thường xuyên.
6. Kết luận và khuyến nghị
6.1. Kết luận
- Việc sử dụng sơ “Giải phương trình bậc cao ở THCS để rèn luyện
đối với học sinh khá, giỏi bằng máy tính CASIO ” trường THCS Nguyễn Thị
Định trong năm học 2012-2013 đã nâng cao kết quả học tập của học sinh. Trong
đầu năm 2012-2013 đến nay tôi áp dụng dạy học lớp 9 ở trường THCS Nguyễn
Thị Định thấy học sinh tiến triển rất tốt.
6.2. Khuyến nghị
- Đối với cấp lãnh đạo cần trang bị thêm sách tham khảo cho giáo viên,
cần phân chia đúng đối tượng cho phù hợp học sinh từng lớp giúp giáo viên
giảng dạy phù hợp đối tượng nhằm nâng cao hiệu quả đào tạo
- Đối với giáo viên không ngừng tự học, tự bồi dưỡng, nâng cao, đổi mới
trong các phương pháp giảng dạy.
- Với kết quả đề tài này, tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp quan tâm,
chia sẻ và đặc biệt là giáo viên giảng dạy toán có thể áp dụng đề tài này vào việc
dạy học để nâng cao kết quả học tập cho học sinh ở các lớp học.

Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 14

Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

Đông Hòa, ngày 08 tháng 04 năm 2013
Người thực hiện

Võ Hữu Huy

Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 15


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

8. Tài liệu tham khảo:
STT
Tên sách

Nhà xuất bản

Tác giả

1

Đại số 9

Ngô HữuDũng -Trần Kiều
NXB Giáo Dục Ngô HữuDũng - Trần Kiều
Đào Ngọc Nam-Tôn Nhân

2

Bài tập đại số 9

NXB Giáo Dục Vũ Hữu Bình

3
4

Một số vấn đề phát triển đại số
NXB Giáo Dục Hoàng Chúng
9
Để học tốt đại số 9
NXB Giáo Dục Bùi Văn Tuyển

5

Bài tập nâng cao và một số
chuyên đề toán 9

NXB Giáo Dục

6

Toán nâng cao và các chuyên
đề đại số 9

NXB Giáo Dục Tôn Thân -Vũ Hữu Bình

7

Các dạng toán và phương pháp
Nguyễn Vũ Thanh - Bùi
NXB Giáo Dục
giải toán 9
Văn Tuyển

Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Vũ Dương Thuỵ Nguyễn Ngọc Đạm

Trang 16


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

9. Phụ lục
* Phụ lục 1: Các dạng toán và phương pháp giải phương trình bậc cao
II. Kiến thức cơ bản trong giải phương trình bậc cao
1. Các định nghĩa
1.1 Định nghĩa phương trình
- Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x)=B(x)
là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng
của hai biểu thức này bằng nhau.
- Biến x được gọi là ẩn. Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm.
- Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế
của phương.
1.2. Tập xác định của phương trình
- Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có

nghĩa.
1.3. Định nghĩa hai phương trình tương đương
- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp
nghiệm.
1.4. Các phép biến đổi tương đương
- Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành những
phương trình tương đương với nó (nhưng đơn giản hơn). Phép biến đổi như thế
được gọi là phép biến đổi tương đương.
2. Các định lý biến đổi tương đương của phương trình:
2.1. Định lý 1: nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một phương
trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
-Ví dụ: 2x = 7 ⇔ 2x + 5x = 7 +5x.
* Chú ý: nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của một
phương trình thì phương trình mới có thể không tương đương với phương trình
đã cho.
1
1
=
- Ví dụ: x -2 (1) Không tương đương với phương trình x - 2 +
(2)
x -2 x -2
Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)
* Hệ quả 1: nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình
được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
- Ví dụ: 8x -7 = 2x + 3 ⇔ 8x- 2x = 7 + 3
* Hệ quả 2: nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì
được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
- Ví dụ: -9 - 7x = 5(x +3) -7x ⇔ -9 = 5 x (x + 3)
* Chú ý: nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức của ẩn thì được
phương trình mới có thể không tương đương với phương trình đã cho.

2.2. Định lý 2: nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì
được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 17


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

1 2
3 ⇔ 2
x - 3x =
2x - 12x = 3 (Nhân hai vế với 4)
2
4
III. Những phương pháp giải phương trình
1. Phương trình bậc nhất một ẩn
- Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a ≠ 0 được
gọi là phương trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do.
* Cách giải:
- Phương trình tổng quát: a x+ b = 0 (a ≠ 0) (1)
- Dùng phép bién đổi tương đương, Phương trình (1) trở thành:
-b
ax = -b ⇔ x=
a
-b
- Phương trình này có nghiệm duy nhất: x = (a ≠ 0)
a
2. Phương trình bậc cao
2.1. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax 2+bx+c=0;
trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a ≠ 0.
*Cách giải:- Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã
cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất, phương
trình dạng tích) để tìm nghiệm của phương trình
- Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax 2+bx+c=0(a ≠
0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số ∆ của phương trình:
∆ =b2-4ac. Vì biểu thức ∆ = b2- 4ac quyết định nghiệm số của phương trình bậc
hai. Ta thấy có các khả năng sau xảy ra:
a. ∆ <0 ⇔ phương trình bậc hai vô nghiệm
b. ∆ =0 ⇔ phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng
-b
nhau): x 1 =x 2 =
2a
c. ∆ >0 ⇔ phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
-Ví dụ:

x

1

=

−b+ ∆
;
2a

x2 =

−b+ ∆

2a

* Chú ý:
- Nếu a và c trái dấu, nghĩa là a.c<0 thì phương trình bậc hai có 2 nghiệm
phân biệt (vì a.c<0 =>b2-4ac >0 hay ∆ >0 )
- Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong
trường hợp có nghiệm ( ∆ ≥ 0) ta có thể dùng định lí Vi-ét để tính nhẩm nghiệm
* Định lí Vi-ét: nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (1) (a ≠ 0 ) có hai
nghiệm là: x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm là
c
-b
S = x1 +x2=
P= x1x2 =
a
a
- Cách nhẩm nghiệm:
c
+ Nếu a+b+c=0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x1 =1; x 2 =
a

Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 18


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

+ Nếu a-b+c=0 thì phương trình (1) có các nghiệm là
-c
x1 = -1; x 2 =

a
- Nhờ có định lí Vi-ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình
có dạng đặc biệt. Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm được một số bài toán biện
luận về số nghiệm của phương trình bậc hai.
- Ví dụ: Giải các phương trình sau
a. 3x2+5x +7 = 0
∆ = 25 – 4.3.7 = 25 - 84 = - 61 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm
2
∆ = (2 10 )2 -4.5.2 = 0
b. 5x +2 10 x +2 = 0
-c -2
Nên phương trình có nghiệm kép x1 = x 2 = =
a 5
2
2
c. 3x +5x - 1 = 0
∆ = 5 - 4.3.(-1) =25+12 =37 >0
-5 + 37
-5 - 37
;
x2 =
Vậy PT có hai nghiệm là: x1 =
6
6
2
x -3x + 6 1
=
d. Giải phương trình
(1)

x 2 -9
x -3
- Phân tích các mẫu thành nhân tử phương trình trở thành
x 2 -3x + 6
1
=
(x -3)(x + 3) x -3
 x + 3 ≠ 0  x ≠ -3
⇔
TXĐ: 
MTC: (x-3)(x+3)
x
-3
≠
0

x ≠ 3
- Khử mẫu ta được phương trình x2 -3x +6 = x+3
- Chuyển vế:
⇔ x2 -3x +6-x-3=0
⇔ x2 -4x +3 =0 (2)
a+b+c= 1+(-4) +3 =0
c
- Nên x1=1; x2 = = 3 là hai nghiệm của phương trình trung gian
a
- Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2)
có thuộc TXĐ của (1) hay không?
Ở đây ta nhận thấy
x1=1 thỏa mãn điều kiện
x2=3 không thỏa mãn điều kiện

-Do đó ta mới kết luận nghiệm của (1) là x =1
* Nhận xét:
- Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp
nhiều
- Khi giải các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau:
+ Tìm TXĐ của phương trình
+ Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm
(loại bỏ những nghiệm của phương trình trung gian không nằm trong
miền xác định)
* Bài luyện tập: giải các phương trình:
a. 3(x2+x) -2(x2+x) -1= 0,
b. 5x2 - 7x = 0
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 19


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

2x
x 2 - x +8
x + 5 x -3
5
3
=
=
d.
x +1 (x +1)(x - 4)
3
5

x -3 x + 5
3x
2x
- 2
= -1
e. 2
x -x +3 x -x +3
2.2. Phương trình bậc ba:
ax3 +bx2 +cx =d =0 (trong đó x là ẩn; a, b, c, d là các hệ số; a ≠ 0)
* Cách giải:
- Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình
tích.Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, vế phải bằng 0.
Muốn làm tốt việc này cần đòi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành
nhân tử một cách thành thạo.
* Ví dụ: giải phương trình: 2x3 +7x2 +7x + 2=0
Giải: phân tích vế trái thành nhân tử 2x3 +7x2 +7x + 2
Áp dụng định lý Bơ zu : Đa thức f(x) chia hết cho x – a ⇔ f(a) = 0
3
2
với x = - 1 thì 2 ( −1) + 7 ( −1) + 7(−1) + 2 = 0
suy ra 2x3 +7x2 +7x + 2 = (x+1) (2x2+5x +2)
Nên (x+1) (2x2+5x +2) =0
c.


 x1 = -1
 x +1 = 0

⇔ 
⇔  x 2 = -2

2
 (2x + 5x + 2) = 0

-1
x3 =
2


Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x1 =-1; x 2=-2; x3 = -

1
2

- Hướng dẫn: (máy tính CASIO FX 570ES).
*Ấn mode → EQN(5) → ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (4) → a = 2; b =7 ; c= 7; d =2 → =
1
-Kết quả: x1 =-1; x 2=-2; x3 = - .
2
*Nhận xét:
- Khi giải một phương trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng
quát mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình
về dạng phương trình tích
- Chú ý: tính chất của phương trình bậc ba: ax3 +bx2 +cx =d =0(a ≠ 0)
+ Nếu a+b+c +d =0 thì phương trình có một nghiệm x=1
+ Nếu a-b+c-d =0 thì phương trình có một nghiệm x= -1
- Khi đã nhận biết được một nghiệm của phương trình ta dễ dàng phân
tích vế trái thành nhân tử
- Phương trình: ax3 +bx2 +cx +d =0 (a ≠ 0) với các hệ số nguyên. Nếu có
nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (định lý sự
tồn tại nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên)

- Nếu phương trình: a x3 +bx2 +cx =d =0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1; x2; x3 thì 3
nghiệm đó sẽ thỏa mãn các điều kiện sau:
c
b
d
x1+x2+x3 = - ;
x1x2+ x2x3 +x1x3 = ;
x1x2x3 = a
a
a
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 20


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

* Bài luyện tập: giải các phương trình:
a. 2x3 - 5x2 - 3x = 0;

c. x3 - 5x2 + x + 5 = 0

b. x3 - 7x + 6 = 0;

d. x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0

f. 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = 0
2.3. Phương trình bậc 4
- Phương trình bậc 4 dạng: ax4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0
Trong đó x là ẩn, a, b, c, d, e là các hệ số; (a ≠ 0)

- Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc
hai
2.3.1. Phương trình tam thức bậc 4 (Phương trình trùng phương)
- Phương trình trùng phương có dạng tổng quát: ax4 +bx 2 +c=0 (1)
Trong đó x là ẩn; a, b, c là các hệ số; (a ≠ 0)
*Cách giải:
- Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến
x2 = t (t ≥ 0) (2)
- Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng phương trình bậc hai trung
gian
at2 +b t +c =0 (3)
- Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được (với t ≥ 0) vào (2) ta
được phương trình bậc hai với biến x giải phương trình này ta tìm được nghiệm
của phương trình trùng phương ban đầu
*Ví dụ: giải phương trình sau: 4x 4 - 109x2+ 225 =0 (1)
Giải:
- Đặt x2 = t (t ≥ 0) phương trình (1) trở thành 4t2 – 109t +225=0 (2)
9
- Giải phương trình (2) được nghiệm là t1 = ; t2 =25
4
- Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t ≥ 0
3
3
9
9
+ Với t1 = ta có x2= ⇒ x1= ; x2= −
2
2
4
4

2
+ Với t2=25 ta có x = 25 ⇒ x3 =5; x4=-5
3
2

3
2

- Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là: x1= ; x2= − ; x3 =5; x4=-5
*Ấn 4 ALPHA X ^ 4 − 109 ALPHA X ^ 2 + 225 ALPHA = 0 Ấn tiếp
SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá trị ban đầu để dò
nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính toán giây lát ) .
Tương tự: ta có
3
2

3
2

Kết quả : x1= ; x2= − ; x3 =5; x4=-5.
Ta có thể cho giá trị ban đầu lớn hơn hoặc nhỏ hơn nghiệm vừa tìm được để dò
nghiệm (các phương trình khác nếu cho giá trị ban đầu là số lớn thì máy tính sẽ
lâu hơn hoặc sẽ báo ngoài khả năng tính toán).
* Nhận xét
- Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy:
- Phương trình vô nghiệm khi:
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 21

Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm.
+Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm.
- Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi:
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương.
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có
một nghiệm âm và một nghiệm dương.
- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2
nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.
- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian
có hai nghiệm dương phân biệt.
* Bài luyện tập: giải các phương trình:
a. 4x4 + x2 - 5 = 0

c. 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2

b. 3x4 + 4x2 + 1 = 0

d. 9x4 - 10x2 + 1 = 0

2.3.2. Phương trình hệ số đối xứng bậc 4
a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0
Trong đó x là ẩn, a, b, c, d, e là các hệ số; a ≠ 0
- Đặc điểm: ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và
số hạng cuối thì bằng nhau
* Ví dụ: giải phương trình sau
10x4-27x3- 110x2 -27x +10=0 (1)
- Ta nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của (1)

27 10
- Do đó chia cả hai vế (1) cho x2 ta được 10x2-27x–110- + 2 = 0
x x
- Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta
1
1
1
(2) . Đặt ẩn phụ x + = t (3) ⇒
được 10(x 2 + 2 ) - 27(x + ) -110 = 0
x
x
x
1
(x 2 + 2 ) = t 2 - 2 thay vào (2) ta có: 10t2 -27t -130=0 (4)
x
5
26
- Giải (4) ta được t1=- ; t 2=
2
5
5
2

1
x

+ Với t1=- ⇔ (x+ ) =x2= −

1
2

5
⇔ 2x2 +5x+2=0 có nghiệm là x1=-2;
2

26 ⇔
1 26 ⇔ 2
1
(x + ) =
5x -26x+5 =0 có nghiệm là x3=5; x4=
5
x
5
5
1 
 −1
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S=  ; −2; ;5
5 
2
*Ấn 10 ALPHA X ^ 4 − 27 ALPHA X ^ 3 - 110 ALPHA X^2- 27X + 10
ALPHA =0 Ấn tiếp SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập giá
trị ban đầu để dò nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính toán giây lát )
Tương tự: ta có
+Với t 2=

Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 22

Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
 −1

1 
; −2; ;5 .
5 
2

Kết quả : S= 

* Nhận xét:
- Về phương pháp giải gồm 4 bước
+ Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1)
2
cho x rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm
ta được phương trình (2)
1
1
+ Đặt ẩn phụ: (x + ) = t (3) ⇒ (x 2 + 2 ) = t 2 − 2 thay vào (2)
x
x
+ Giải phương trình đó ta được t
+ Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
1
- Về nghiệm số của phương trình: x0 là nghiệm của (1) thì x cũng là
0
nghiệm của nó
-1
1
(ví dụ trên: -2 là nghiệm và

là nghịch đảo của nó cũng là nghiệm; 5 và là
2
5
nghịch đảo của nhau)
* Bài luyện tập: giải các phương trình:
a. x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 = 0;
b. x 6 + 3x5 - 30x4 - 29x3 - 30 x2 + 3x + 1 = 0
c. x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0
d. x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0
e. x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + 4 = 0
2.3.3.Phương trình hồi quy
- Phương trình bậc 4 dạng: ax4 + bx3+ cx2 + dx +e =0 (1)
2
c d
Trong đó x là ẩn, a, b, c, d, e là các hệ số a ≠ 0 và =  ÷ ; (c ≠ 0)
a b
- Đối với phương trình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là một trường hợp đặc
biệt của phương trình hồi quy
c
* Chú ý:Khi =1 hay a=c thì d = ±b ;
a
lúc đó (1) có dạng ax4 + bx 3+ cx2 ±bx +e =0
*Cách giải:
- Do x=0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế
d e
cho x2 ta được ax2 +bx + c + + 2 = 0
(2)
x x
e
d

- Nhóm hợp lí a(x 2 + 2 ) + b(x + ) + c = 0
ax
bx
2
2
d
d 2
c
d
 d 
2
x
+
=
t
⇒
x
+
+
2
=
t
- Đổi biến đặt
do  ÷ =

÷
bx
b
a
 bx 

b

Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 23


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

nên x 2 +

c
d
= t2 - 2
2
ax
b

- Ta được phương trình (3) trung gian như sau: at2+ bt +c=0 (3)
- Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu
* Ví dụ: giải phương trình:
x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1)
2
4  8 
- Nhận xét =  ÷ ; nên phương trình (1) là phương trình hồi quy
1  −4 
x=0 không phải là nghiệm của (1). Do đó chia cả hai vế phương trình cho
2
x ta được
2

 2 4 

8 4
x2- -4x -9 + + 2 =0 ⇔  x + 2 ÷ - 4.  x + ÷ -9 =0 (2)
x 
x
x x


2

 2 4 
2
* Đặt  x - ÷ = t (3) ⇒  x + 2 ÷ = t + 4 .thay vào (2)
x
x 


2
Phương trình (1) trở thành: t - 4t -5 =0 có nghiệm là t1=-1; t2=5
+Với t1=-1 ⇔ x2+x-2=0 có nghiệm là x1= 1; x2= -2
5 ± 33
+Với t2=5 ⇔ x2 -5x -2 =0 có nghiệm là x ; x =
3 4
2
5 ± 33 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= 1;-2.;

2 


*Ấn ALPHA X ^ 4 − 4 ALPHA X ^ 3 – 9 ALPHA X ^ 2 + 8 ALPHA X
+ 4 ALPHA = 0 Ấn tiếp SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập
giá trị ban đầu để dò nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE
( đợi máy tính toán giây lát )
Tương tự: ta có

5 ± 33 
1;-2.;
Kết quả : S= 
.
2 

*Nhận xét:
- Cũng tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng, chỉ khác bước đặt
ẩn phụ Đặt

m2
2m
x + = y ⇒ x 2 + 2 2 = y2 bx
bx
b
m

2.3.4.Phương trình dạng: (x+a) (x+b) (x+c) (x+d)=m (a+d=b+c)
*Cách giải:
nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó
Khi đó phương trình có dạng [x2 +(a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c)x +bc ] =0
do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +(a+d)x + k ] =t (2) (k có thể là ad hoặc bc)
ta có phương trình At2 +Bt+ C =0 (Với A=1)

Giải phương trình ta tìm được t thay vào (2) rồi giải tìm được nghiệm x
* Ví dụ:
Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7) = -15 (1)
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 24


Đề tài: Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

Nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý ⇔ (x+1) (x+7). (x+3) (x+5) +15=0
⇔ (x2 +8x +7) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x2 +8x +7) = t (3) thay vào (2) ta được
⇔ t(t+ 8) + 15=0
⇔ y2 +8y +15 =0 có nghiệm y1=-3; y2=-5
Thay vào (3) ta được hai phương trình
1.x2 +8x +7 = -3 ⇔ x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1, 2 = -4 ± 6
2. x2 +8x +7 = -5 ⇔ x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = −2; −6; −4 ± 6

{

}

*Ấn (ALPHA X +1).( ALPHA X+3).( ALPHA X+ 5).( ALPHA X +7)
ALPHA = -15 Ấn tiếp SHIFT SOLVE . Máy hỏi X? ( máy yêu cầu nhập
giá trị ban đầu để dò nghiệm ) ấn 1 = SHIFT SOLVE ( đợi máy tính toán giây
lát )
Tương tự: ta có

Kết quả : S= −2; −6; −4 ± 6 .

{

}

* Nhận xét:
-Đối với những phương trình có dạng đặc biệt như trên, nếu ta khai triển vế trái
ta sẽ được phương trình bậc 4 (thường là loại bậc 4 đầy đủ). Đối với HS ở
THCS việc giải là rất khó khăn. Vì vậy từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số của
phương trình bằng nhau rồi nhóm một cách hợp lí. Khi khai triển mỗi nhóm, ta
đổi biến của phương trình và đưa về phương trình bậc hai trung gian
-Ta thấy nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phương trình ban
đầu cũng vô nghiệm. Nếu phương trình trung gian có nghiệm thì ta trả biến lại
và giải tiếp phương trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của phương trình này là
nghiệm của phương trình ban đầu
* Bài luyện tập:
1.Giải các phương trình:
a. x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8;
c (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810
b. (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680;
d. (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 0
2.Cho phương trình: (x+3)(x+5)(x+9)(x+7) = m
a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
b. Giải và biện luận nghiệm của phương trình
c Giải phương trình khi m = 5.
2.3.5. Phương trình dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (1)
(Trong đó x là ẩn số;a, b, c là các hệ số )
*Cách giải:
Người thực hiện: Võ Hữu Huy

Trang 25