Một số vấn đề về hằng số hấp dẫn vũ trụ

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Phan Hồng Liên, PGS.
TS. Nguyễn Quỳnh Lan – Cô đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên em
trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Em xin cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết,
Khoa Vật lý, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và những tình cảm quý báu mà gia
đình, đồng nghiệp và bạn bè đã dành cho tôi.
Hà Nội, tháng 09 năm 2013
Học viên
Đỗ Thị Thịnh


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thuyết tương đối hẹp do Einstein xây dựng năm 1905 với hai tiên đề:
1. Vận tốc ánh sáng là như nhau trong mọi hệ quy chiếu
2. Các hiện tượng vật lí cũng diễn như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính.
Einstein tin tưởng mãnh liệt vào tính quy luật của thế giới tự nhiên.
Hơn ai hết, ông muốn mở rộng thuyết tương đối hẹp để áp dụng cho mọi hệ
quy chiếu.
Thuyết tương đối rộng được xây dựng sử dụng rộng rãi những khái
niệm cơ bản và công cụ toán học của hình học Riemann. Đó là lí thuyết xây
dựng cho trường hấp dẫn. Phương trình cho trường hấp dẫn trên cơ sở các
nguyên lý được sử dụng như: nguyên lý tương đương, nguyên lý Mach…. thể
hiện mối quan hệ giữa vật chất và không – thời gian. Vật chất đã làm cong

không – thời gian quanh nó và hình học không - thời gian thì quyết định sự
phân bố vật chất. Tuy vậy phương trình trường hấp dẫn ban đầu cho giá trị
nghiệm không tĩnh. Einstein cho rằng Vũ trụ luôn tĩnh, vì vậy ông đã sửa đổi
phương trình ban đầu của mình bằng cách thêm vào một số hạng mới – hằng
số hấp dẫn Vũ trụ Λ để ngăn chặn việc mở rộng [19].
Tuy vậy, bằng các minh chứng do quan sát: sự dịch chuyển
HUBBLE… đã cho thấy Vũ trụ thực tế đang mở rộng. Khi đó, Einstein đã hối
tiếc việc sửa chữa của mình và xem thuật ngữ hằng số hấp dẫn Vũ trụ là: “Sai
lầm lớn nhất của mình”.
Sau này các nhà Vũ trụ học chủ trương phục hồi thuật ngữ hằng số Vũ
trụ trên cơ sở lý thuyết. Lý thuyết trường hiện đại liên kết thuật ngữ này với
mật độ năng lượng chân không. Mật độ năng lượng chân không được định

1


vac
nghĩa với ρ =

Λ
. Khi đó, thuật ngữ hằng số hấp dẫn Vũ trụ có ý
8πG

nghĩa sâu sắc đối với vật lý hạt và sự hiểu biết của chúng ta về các lực cơ bản
của tự nhiên [19].
Ngày nay, hằng số Vũ trụ cho biết rằng mô hình chuẩn của Vũ trụ giãn
nở lạm phát đòi hỏi sự có mặt của một loại năng lượng của chân không lượng
tử đang tràn ngập Vũ trụ của chúng ta, năng lượng tối (dark energy). Năng
lượng tối được giả thuyết như là một dạng của năng lượng và tạo ra áp suất
âm. Thuyết tương đối rộng chỉ ra rằng áp suất âm này có tác dụng ngược

chiều với lực hấp dẫn ở thang đo khoảng cách lớn, chính vì vậy nó là nguyên
nhân gây ra gia tốc của sự giãn nở Vũ trụ.
Các dữ liệu quan sát của các vụ nổ sao siêu mới (Saul Permulter,
Adam Riess, Brian Schmidt – giải Nobel Vật lý 2011 về những đóng góp vào
việc nghiên cứu sao siêu mới loại Ia từ năm 1998) cho thấy sự giãn nở của Vũ
trụ đang có xu hướng tăng tốc, do đó khẳng định sự tồn tại của một thành
phần năng lượng có áp suất âm và có tác dụng chống lại sự co lại do hấp dẫn,
đồng thời gây ra sự tăng tốc đó [14].
Trên cơ sở vấn đề đã trình bày, chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Một số
vấn đề về hằng số hấp dẫn Vũ trụ”, trong đó tập trung làm rõ quan điểm hằng
số Vũ trụ được đồng nhất với năng lượng tối – năng lượng gây ra sự giãn nở
của Vũ trụ - vấn đề mang tính thời sự và mới của Thiên văn và Vũ trụ học.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài:
Tiếp cận vấn đề năng lượng tối – năng lượng chân không của Vũ trụ từ
hằng số hấp dẫn Vũ trụ trên cơ sở Thuyết tương đối tổng quát và Mô hình Vũ
trụ chuẩn. Đồng thời, chúng tôi tính toán một số thông số Vũ trụ cụ thể
Ω Λ , Ωb , tuổi của Vũ trụ theo mô hình Vũ trụ chuẩn trong trường hợp Vũ

trụ phẳng.

2


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
• Tìm hiểu hằng số hấp dẫn Vũ trụ từ phương trình Einstein.
• Phạm vi tìm hiểu là Mô hình Vũ trụ chuẩn có hằng số hấp dẫn
Vũ trụ và Vũ trụ được xem là phẳng. Ngoài ra, chúng tôi cũng
xét giá trị của hằng số hấp dẫn Vũ trụ trong một số lý thuyết.
4. Phương pháp nghiên cứu, tiếp cận
 Dựa trên các phương trình cơ bản của Lý thuyết tương đối tổng

quát (phương trình Einstein) và của Vũ trụ học (phương trình
Friedmann).
 Dựa trên các bằng chứng quan sát thực nghiệm.
5. Cấu trúc luận văn:
Luận văn có tiêu đề là “Một số vấn đề về hằng số hấp dẫn Vũ trụ”
gồm các phần: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Phụ lục và Tài liệu tham khảo.
Dựa trên các kết quả nghiên cứu, nội dung được viết thành ba chương.
* Chương 1: Trình bày về bất biến tương đối rộng và phương trình Einstein.
* Chương 2: Trình bày về Hằng số hấp dẫn Vũ trụ Λ trong các phương trình
Vũ trụ học và các bằng chứng quan sát thực nghiệm. Giá trị của Λ trong một
số mô hình vật lý.
* Chương 3: Trình bày một số mô phỏng từ dữ liệu thực nghiệm. Trên cơ sở
mô hình Vũ trụ phẳng có hằng số hấp dẫn Vũ trụ, chúng tôi tính toán các
thông số Vũ trụ Ω Λ , Ωb , tuổi của Vũ trụ.

3


CHƯƠNG I
BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN
Khi đề cập đến những khoảng cách lớn, vận tốc lớn thì những định
luật mà ta đã biết trong cơ học cổ điển không còn áp dụng được nữa. Nói cụ
thể hơn, quan hệ giữa không gian, thời gian, vật chất, vận động trở nên khác
đi, không còn đơn giản như trước đây.
Cơ học được mở rộng để áp dụng cho phạm vi mới: đó là môn Cơ học
tương đối tính, tức là môn cơ học có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối
[2]. Cha đẻ của lý thuyết này là nhà bác học người Đức Albert Einstein [1].
Thuyết tương đối đặc biệt (hẹp) dựa trên hai nguyên lý cơ bản mà
Einstein nêu ra (1905), trên cơ sở kết quả thực nghiệm của Mikenson về sự
không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính của vận tốc ánh sáng trong chân

không và các thí nghiệm khác trong thiên văn trước đó, nội dung như sau:
1. Các quy luật vật lý học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy
chiếu quán tính (nguyên lí tương đối).
Nói cách khác, các phương trình mô tả các định luật vật lý bất biến đối
với phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính
khác (hệ quy chiếu không gia tốc). Tổng quát hơn nguyên lí Galilei trong cơ
học cổ điển, ở đây không những chỉ các định luật cơ học, mà cả các định luật
vật lý đều bất biến trong các hệ quy chiếu quán tính.
2. Vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền tương tác) trong chân không đều
bằng nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính, giá trị của nó bằng
c = 2,99793.108 m / s ≈ 3.108 m / s .

Cũng cần nói rõ thêm là ánh sáng với góc độ hạt là các photon không
khối lượng, các photon này luôn chuyển động với vận tốc tối đa c, không phụ
thuộc vào người quan sát. Nói rộng hơn, các hạt có khối lượng m = 0 đều

4


chuyển động với vận tốc c. Còn những hạt có khối lượng m ≠ 0 sẽ chuyển
động với vận tốc V luôn luôn nhỏ hơn c, dù có thể rất gần với c.
Phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính
khác chính là phép biến đổi Lorentz.
Thuyết tương đối hẹp đã loại bỏ khỏi khoa học các khái niệm không
gian tuyệt đối, thời gian tuyệt đối và ête đứng yên trong không gian tuyệt đối.
Nó đã mở rộng nguyên lí tương đối Galilei (các quy luật cơ bản của cơ học
đều diễn ra như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau) thành
nguyên lí tương đối Einstein (các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như
nhau trong hệ quy chiếu quán tính) [5]. Einstein là người tin tưởng mãnh liệt
vào tính quy luật và tính thống nhất của thiên nhiên. Ông đã nêu lên rằng

trong thiên nhiên không có cái gì là tùy tiện, thiên nhiên tuân theo một số
không nhiều các quy luật rất tổng quát và rất đơn giản, lý tưởng cao nhất của
khoa học là xuất phát từ những quy luật bộ phận có vẻ như rời rạc, lẻ tẻ, phải
tìm ra những quy luật tổng quát nhất đó. Với tư tưởng đó, ngay sau khi xây
dựng được những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối hẹp, ông đã tiếp tục
suy nghĩ tìm cách mở rộng lý thuyết của mình, cụ thể là mở rộng nguyên lý
tương đối thêm một mức nữa và áp dụng nó cho các hệ quy chiếu không
quán tính. Einstein tiếp tục nghiên cứu phát triển những ý tưởng trên và
xây dựng một lý thuyết mới mà ông gọi là thuyết tương đối rộng (thuyết
tương đối tổng quát).
Dựa trên hai định luật: Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton F =

µ1.µ 2
r2

, với µ là khối lượng hấp dẫn và định luật Newton thứ hai F = m.ω , với m là
khối lượng quán tính – một quy luật thiên nhiên cơ bản được xác lập bằng
thực nghiệm là đối với mọi vật tỉ lệ giữa khối lượng hấp dẫn µ và khối lượng

5


quán tính m là như nhau:

µ
là một hằng số nào đấy. Người ta mở rộng tính
m

chất cơ bản của trường hấp dẫn: Tất cả các vật, không phụ thuộc vào khối
lượng của chúng, chuyển động trong trường hấp dẫn đều giống nhau (với các

điều kiện ban đầu cho trước). Sự đồng nhất của khối lượng hấp dẫn và khối
lượng quán tính, cũng như tính chất nêu trên dẫn đến một hệ quả sâu sắc đã
được Einstein lấy làm cơ sở của lí thuyết tương đối rộng. Đó là nguyên lí
tương đương:
Nguyên lí. Các tính chất của chuyển động trong hệ quy chiếu không
quán tính cũng giống như trong hệ quy chiếu quán tính với sự có mặt của
trọng trường. Nói một cách khác, hệ quy chiếu không quán tính tương đương
với một trọng trường (trọng trường hấp dẫn) nào đó.
Điều này có nghĩa là thiết lập được sự tương tự giữa chuyển động của
các vật trong trọng trường với chuyển động của các vật không đặt trong một
ngoại trường nào, nhưng được khảo sát dưới quan điểm của hệ quy chiếu
không quán tính. Chú ý rằng các trường tương đương với hệ quy chiếu không
quán tính không hoàn toàn đồng nhất với các trường hấp dẫn “ thực”, tồn tại
ngay cả trong hệ quán tính. Trường tương đương với hệ quy chiếu không
quán tính sẽ biến mất khi ta chuyển về hệ quán tính.
Mối quan hệ giữa vật chất với không – thời gian là nội dung cơ bản của
thuyết tương đối tổng quát, mà Einstein hoàn thành vào năm 1915. Ở đây ông
đã sử dụng rộng rãi những khái niệm cơ bản và công cụ toán học của hình học
Riemann. Trong trường hấp dẫn bất kì (biến thiên theo tọa độ và thời gian),
thì trong một miền không gian dV và một khoảng thời gian dt vô cùng nhỏ,
bao giờ ta cũng có thể chọn được một hệ tọa độ H0 tương đương với một hệ
quán tính ở nơi không có trường hấp dẫn. Đối với hệ H0 đó thì khoảng cách
giữa hai điểm lân cận trong không gian bốn chiều được xác định bởi:

6


ds 2 =dx12 +dx22 +dx32 +dx42

Đối với mọi hệ tọa độ H khác thì ds được xác định bởi một hệ thức

phức tạp hơn:
4

ds 2 =∑
g ik dxi dxk
i ,k =
1

Mặc dù biểu thức của ds là khác nhau trong các hệ tọa độ khác nhau,
nhưng bản thân ds có giá trị không đổi, không phụ thuộc cách chọn hệ tọa độ
và là một bất biến với mỗi điểm của không gian 4 chiều. Trong tất cả các hệ
H (trừ H0), các hiện tượng vật lý diễn ra không giống nhau như trong các hệ
quán tính. Theo cơ học Newton, đó là do tác dụng của trường hấp dẫn. Theo
thuyết tương đối rộng, đó là do không gian 4 chiều bị cong đi. Tensor G gọi là
tensor metric, xác định độ cong của không gian 4 chiều tại từng điểm của nó.
Ở miền có trường hấp dẫn lớn thì không gian bị cong nhiều. Ở miền không có
trường hấp dẫn thì không gian là phẳng. Ở miền có trường hấp dẫn yếu thì
không gian được coi gần đúng là phẳng. Trường hấp dẫn là yếu khi nó làm
cho vật rơi tự do với vận tốc v << c. Theo định nghĩa đó thì không gian ở lân
cận trái đất được coi là không gian phẳng. Không gian 4 chiều phẳng bao gồm
không gian 3 chiều Ơclit và thời gian trôi đều đặn như trên Trái Đất. Không
gian 4 chiều cong bao gồm không gian 3 chiều phi Ơclit và thời gian trôi
chậm hơn. Không gian 4 chiều càng cong nhiều thì hình học của nó càng khác
xa hình học Ơclit và thời gian càng chậm hơn thời gian trên Trái Đất. Như
vậy thuyết tương đối rộng nêu lên rằng trường hấp dẫn có tác dụng làm cho
không gian 4 chiều cong đi. Người ta còn gọi thuyết này là lí thuyết trường
hấp dẫn tương đối tính, là một bước mở rộng lí thuyết trường hấp dẫn của
Newton, có kể đến các hiệu úng của thuyết tương đối [6].

7

1.1. Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann
Nguyên lí bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình
vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu và do đó các phương trình
vật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát:

x µ → x 'µ = f µ ( x )
(1.1.1)
Phép biến đổi Lorentz chỉ là một trường hợp của (1.1.1)

x µ → x 'µ = Λ vµ x v + a µ
Khi f

µ

( x ) = Λvµ x v + a µ ,

µ
Khi đó Λ v là thông số biến đổi Lorentz, a µ là thông số tịnh tiến hay vectơ

tịnh tiến.
Để xây dựng các đại lượng vật lý thỏa mãn nguyên lí bất biến trên, ta
dựa vào khái niệm tensor. Đây là khái niệm quan trọng giúp ta tìm được
Lagrangian bất biến và do đó xây dựng được các lý thuyết vật lý thỏa mãn
nguyên lý bất biến.
1.1.1. Tensor
Dựa vào phép biến đổi (1.1.1) tensor được định nghĩa như sau:
Tensor phản biến (contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần

T µ1µ2 ...µn ( x ) biến đổi theo quy luật:
T'

µ1µ2 ... µn

∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µn v1v2 ...vn
( x ') = v1
... vn T
( x)
∂x ∂x v2
∂x

(1.1.2)
Tensor hiệp biến (covariant) cấp n là tập hợp các thành phần

Tµ1µ2 ...µn ( x) biến đổi theo quy luật:

8


T 'µ1µ2 ...µn ( x ') =

∂x v1 ∂x v2
∂x vn
...
Tv v ...v ( x)
∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µn 1 2 n

(1.1.3)

Một cách tổng quát, tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n
(còn gọi là Mixed (m,n) – tensor) là tập hợp các thành phần
1 2 ... µ
m
Tv1µµ
( x) biến đổi theo quy luật:
v2 ...vn

µ1µ2 ... µm
v1v2 ...vn

T'

∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µm ∂xσ1 ∂xσ 2 ∂xσ n λ1λ2 ...λm
( x ') = λ1
... λm . v1
...
Tσ σ ...σ ( x )
∂x ∂x λ2
∂x
∂x ' ∂x 'v2 ∂x 'vn 1 2 n

(1.1.4)

 ∂x λ1 ∂x λ2
∂x λm ∂x 'v1 ∂x 'v2 ∂x 'vn 
...
.
... σn ÷
µ1

µ2
∂x 'µm ∂xσ1 ∂xσ2
∂x 
 ∂x ' ∂x '

Nhân hai vế của (1.1.4) với 

ta suy ra công thức biến đổi ngược:

∂x λ1 ∂x λ2
∂x λm ∂x 'v1 ∂x 'v2 ∂x 'vn µ1µ2 ...µm
... µm . σ1
... σ n T 'v1v2 ...vn ( x ') = Tσλ11σλ22......σλmn ( x )
µ1
µ2
σ2
∂x ' ∂x '
∂x '
∂x ∂x
∂x
λ1λ2 ...λm
σ1σ 2 ...σ n

T

hay

∂x λ1 ∂x λ2
∂x λm ∂x 'v1 ∂x 'v2 ∂x 'vn µ1µ2 ...µm
( x ) = µ1 µ2 ... µm . σ1 σ 2 ... σ n T 'v1v2 ...vn ( x ') (1.1.5)

∂x ' ∂x '
∂x '
∂x ∂x
∂x
Công thức (1.1.5) cũng có thể được suy ra từ tính bình đẳng của x và

x’.
Nhận xét:
µ µ ... µ

µ µ ... µ
1 2
p
Nếu Tv1v12 ...2 vr s ( x) và Sv1v2 ...vq ( x ) là tensor hỗn hợp cấp (s,r) và (p,q)

thì:
µ µ ... µ

µ

µ

... µ

Fv1v12 ...2 vr +qs+ p ( x ) ≡ Tv1µv12µ...2 v...r µs ( x ).S vr +s+1v1 r +s2+...2 vr +sq+ p ( x )
là tensor hỗn hợp cấp (s+p,r+q).

9

(1.1.6)

Chứng minh: Ta có
α1α 2 ...α s
β1β 2 ... β r

T'

α 1α 2 ...α s
β1β 2 ...β r

S'

∂x 'α1 ∂x 'α 2 ∂x 'α s ∂x v1 ∂x v2
∂x vr µ1µ2 ...µs
( x ') = µ1
...
.
...
Tv v ...v ( x )
∂x ∂x µ2 ∂x µs ∂x 'β1 ∂x 'β2 ∂x 'βr 1 2 r
α

v

∂ x 'α s+1 ∂ x 'α s+ 2 ∂ x ' s+ p ∂ x vr+1 ∂ x vr+ 2 ∂ x r+ q µ s+1µ s+2 ...µ s+ p
( x ') = µ s+1
...
.
...

Sv v ...v ( x )
∂x
∂ x µ s+ 2 ∂ x µ s+ p ∂ x 'β r +1 ∂ x 'β r+ 2 ∂ x 'β r + q r +1 r + 2 r + q

Nên

T 'αβ11αβ 22 ......αβ rs ( x ').S 'αβ11αβ 22 ......αβ rs ( x ') =
α

v

α

v

∂x 'α1 ∂x 'α 2 ∂x ' s+ p ∂x v1 ∂x v2 ∂x r + q µ1µ 2 ...µ s
µ µ ... µ
= µ1
.... µ s+ p . β1
... β r+ q Tv1v2 ...vr ( x ) Svr +s+11vr +s2+...2 vr +sq+ p ( x )
µ2
β2
∂x ∂ x
∂x ' ∂x '
∂x
∂x '
∂x 'α1 ∂x 'α 2 ∂x ' s+ p ∂x v1 ∂x v2 ∂x r + q µ1µ 2 ...µ s+ p
α 1α 2 ...α s+ p
= µ1
....

.
...
.
F
(
x
)
=
F
'
v1v2 ...vr + q
β1β 2 ... β r + q ( x ')
µ s+ p
β r+q
µ2
β1
β2
∂x ∂ x
∂x ' ∂x '
∂x
∂x '
µ µ ... µ
Có thể lập đại lượng bất biến từ hai tensor Tv1v12 ...2 vr s ( x) và

v v ...v

S µ11µ22 ...µpq ( x) như sau:
G ( x ) =Tv1µv12µ...2 v...r µs ( x ) S µ11µ22 ...µpq ( x )
v v ...v

(1.1.7)

Như vậy theo phép biến đổi tổng quát:

G ( x) = Tv1µv12µ...2 v...r µs ( x) S µ11µ22 ...µpq ( x) =
v v ...v

∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µr ∂xσ1 ∂xσ 2 ∂xσ s λ1λ2 ...λr
= λ1
... λr . v1
...
Tσ σ ...σ ( x ) .
∂x ∂x λ2
∂x
∂x ' ∂x 'v2 ∂x 'vs 1 2 s
∂x 'v1 ∂x 'v2 ∂x 'vs ∂x ρ1 ∂x ρ2
∂x ρr τ1τ 2 ...τ s
. τ1
... τ s .
...
S ρ ρ ... ρ ( x ) =
∂x ∂xτ 2
∂x ∂x 'µ1 ∂x 'µ2 ∂x 'µr 1 2 r
∂x 'µ1 ∂x ρ1 ∂x 'µ2 ∂x ρ2 ∂x 'µr ∂x ρr ∂xσ1 ∂x 'v1 ∂xσ 2 ∂x 'v2
= λ1
... λr
.
...
∂x ∂x 'µ1 ∂x λ2 ∂x 'µ2
∂x ∂x 'µr ∂x 'v1 ∂xτ1 ∂x 'v2 ∂xτ 2

∂xσ s ∂x 'vs λ1λ2 ...λr
... vs
.Tσ1σ 2 ...σ s ( x ) S ρτ11τρ22......τρs r ( x )
τs
∂x ' ∂x
và sử dụng hệ thức:

10


λ
µ
∂x λ ∂x 'µ
λ ∂x ' ∂x
= δσ , µ
= δσλ
µ
σ
σ
∂x ' ∂x
∂x ∂x '

thì

G '( x ') = δλρ11 δλρ22 ...δλρrr .δτσ11δτσ2 2 δτσs s .Tσλ11σλ22......σλrs ( x ) S ρτ11τρ22......τρs r ( x ) =
= Tσρ1σ1ρ22......σρrr ( x ) S ρσ11ρσ22......ρσrs ( x ) ≡ G ( x )
µ µ ... µ
Như vậy G ( x ) =Tv1v12 ...2 vs r ( x ) S µ11µ22 ... µs r ( x )
v v ...v

là một đại lượng

bất biến.
Một số trường hợp của tensor:
Đại lượng φ ( x ) được gọi là vô hướng – tensor hạng (0,0) nếu bất biến
với phép biến đổi (1.1.1):

φ '( x ') = φ( x)

(1.1.8)

Đại lượng F µ ( x) được gọi là tensor phản biến – tensor hạng 1 nếu nó
biến đổi theo quy luật:

∂x 'µ v
F ' ( x ') =
F ( x)
∂x v
µ

(1.1.9)

∂x 'µ µ
Lưu ý rằng x không phải là vector phản biến vì x ' ≠
x ,
∂x v
µ

nhưng

µ

dx µ là vector phản biến có các thành phần là vi phân của các tọa độ

x µ vì:
∂x 'µ
dx ' =
dx v
v
∂x
µ

(1.1.10)

Đại lượng Gµ ( x ) được gọi là vector hiệp biến – tensor hiệp biến hạng
1 nếu nó biến đổi theo quy luật:

11


∂x v
G 'µ ( x ') =
Gv ( x )
∂x 'µ

(1.1.11)

µ
Đại lượng Tv ( x ) được gọi là tensor hỗn hợp (1,1) hạng 1 nếu nó biến

đổi theo quy luật:

∂x 'µ ∂xσ λ
T ' ( x ') = λ
Tσ ( x)
∂x ∂x 'v
µ
v

Kí hiệu Dirac

v
δµ

(1.1.12)

là tensor hỗn hợp (1,1) vì:

∂x 'v ∂xσ λ ∂x 'v ∂x λ
δ ≡ λ
δ = λ
= δ 'vµ
µ σ
µ
∂x ∂x '
∂x ∂x '
v
µ

(1.1.13)

1.1.2. Metric Riemann không – thời gian cong
µ
v
Trong thuyết tương đối rộng, metric Minkowski η
không
µ
v ,η

phải là tensor. Vì vậy, trong trường hợp biến đổi tổng quát (1.1.1) thay vì ηµv
ta dùng tensor metric g µ v ( x) cũng có tính đối xứng:

g µ v ( x ) = g vµ ( x )

(1.1.14)

biến đổi theo qui luật tensor:

∂x λ ∂xσ
g µν ( x ) = ' µ
g λσ ( x )
∂x ∂x 'ν
'

'

(1.1.15)

(dựa theo công thức (1.1.6) ở trên)
Bình phương yếu tố độ dài dạng tổng quát là một đại lượng bất biến:

ds 2 = gαβ ( x µ )dxα dx β
Thật vậy:
'
ds '2 = g µν
( x ' )dx ' µ dx 'ν

Theo (1.1.15)

12


∂x λ ∂xσ
ds ' = ' µ
g λσ ( x )dx ' µ dx 'ν
'ν
∂x ∂x
σ
 ∂x λ

' µ   ∂x
= g λσ ( x)  ' µ dx ÷.  'ν dx 'ν ÷
 ∂x
  ∂x

2

λ

σ

mà theo (1.1.10) nó chính là g λσ ( x).dx .dx = ds = inv
2

µ

ν

Như vậy, đại lượng: ds = g µν ( x ).dx .dx , được gọi là khoảng
2

bất biến, g µν ( x) và

dx µ là tensor.

Chỉ số phản biến có thể hạ xuống thành chỉ số hiệp biến theo qui tắc:

Aµ ( x) = g µν ( x) Aν ( x)

(1.1.16)

Aµ ( x) = g µν ( x) Aν ( x )
Bên cạnh tensor metric

g µν ( x) ta dùng tensor metric g µν ( x ) đối

xứng thỏa mãn hệ thức:

g µv ( x) g vλ ( x ) =δλµ

(1.1.17)

và biến đổi theo quy luật:

∂x 'µ ∂x 'v λσ
g ' ( x ') =
.
.g ( x )
∂x λ ∂xσ
µv

(1.1.18)

v
Nhân hai vế của Aµ ( x) = g µ v ( x). A ( x) với g µσ ( x) ta được biểu thức:

g µσ ( x). Aµ ( x ) = g µσ ( x ).g µv ( x ). Av ( x ) = δvσ . Av ( x ) = Aσ ( x )
µ
µv
Suy ra A ( x) = g ( x ). Av ( x )
µv
µv
µ
µ µ
µ
(vì g ( x). Av ( x) = g ( x ).g vµ ( x).A ( x) = σ µ A ( x ) = A ( x ) )

Giả sử ta có vector F µ ( x) và Gµ ( x) . Đạo hàm bình thường của chúng

13

∂v F µ ( x ) ≡

∂Gµ
∂F µ
không phải là tensor vì không biến
;
∂
G
(
x
)
≡
v
µ
∂x v
∂x v

đổi theo quy luật (1.1.4).
µ
Thật vậy: nếu ∂ v F ( x) là một tensor thì:

∂x λ ∂x µ
∂F µ
σ
∂v F ( x ) = v . σ .∂λ F ( x) ≠
∂x ∂x
∂x v
µ

µ
Vậy ∂ v F ( x ) và ∂ v Gµ ( x) không phải là tensor.

µ
Để tạo được tensor ta phải lập đạo hàm hiệp biến ∆ν F ( x ) biến đổi

theo qui luật (1.1.4). Cụ thể như sau:

∂x'µ ∂xβ
∇ F ( x ) = α . 'ν .∇ β F α ( x )
∂x ∂x
'
ν

'µ

Mặt khác: Đạo hàm hiệp biến được định nghĩa:

∇ ν F µ ( x ) ≡ ∂ ν F µ ( x ) + Γ νσµ ( x ) F σ ( x )
µ
Trong đó Γνσ ( x ) được gọi là liên thông Affine hoặc kí hiệu

µ
µ
Christoffel. Γνσ không phải là tensor mà được chọn sao cho ∆ν F ( x ) là

tensor, tức là khi chuyển sang hệ tọa độ khác, ta có:

( )

( )

( )

'µ
∇ν' F ' µ x ' ≡ ∂ν' F ' µ x ' + Γνσ
F 'σ x '

∂x ' µ ∂x β
= α . 'ν ∇ β F α ( x )
∂ x ∂x
cũng là một tensor.
Trong trường hợp tổng quát khi tensor metric g µν phụ thuộc x ta có không –
thời gian cong Riemann. Trường hợp đặc biệt khi:

g µν ( x ) = η µν = diag ( 1, −1, −1, −1)
ta có không – thời gian phẳng Minkowski.

14


1.2. Tensor độ cong
Khác với đạo hàm thường, các đạo hàm hiệp biến không giao hoán với
nhau, tức là:
∇µ , ∇ν  ≡ ∇µ ∇ν −∇ν ∇µ ≠ 0

Ta hãy tính giao hoán tử của các đạo hàm hiệp biến khi tác dụng lên
một vectơ hiệp biến:
[∇µ, ∇ν ]G λ (x) =∇µ∇νGλ ( x) −∇ν∇µGλ ( x)

(1.2.1)

* Tính
∇ µ ∇ν Gλ ( x ) = ∂ µ (∇ν Gλ ( x)) − Γσµν (∇σ Gλ ( x)) − Γσµλ (∇ν Gσ ( x ))
σ
ρ
ρ
= ∂ µ (∂ν Gλ − Γνλ
Gσ ) − Γσµν (∂σ Gλ − Γλσ
Gρ ) − Γσµλ (∂ν Gσ − Γνσ
Gρ )
σ
σ
ρ
= ∂ µ ∂ν Gλ − ∂ µ Γνλ
.Gσ − Γνλ
.∂ µ Gσ − Γσµν .∂σ Gλ + Γσµν Γλσ
Gρ

(1.2.2)

ρ
−Γσµλ ∂ν Gσ + Γσµλ Γνσ
Gρ

* Tính ∇ν∇µGλ ( x ) , tương tự ta có:
σ
∇ν ∇µGλ ( x) = ∂ν ∂µ Gλ −∂ν Γσµλ .Gσ −Γσµλ .∂ν Gσ −Γνµ
.∂σ Gλ

σ
ρ
σ
σ
ρ
+Γνµ
Γλσ
Gρ −Γνλ
∂µGσ + Γνλ
Γµσ
Gρ

Thay (1.1.2) và (1.1.3) vào (1.1.1) ta có:
σ
σ
 ∇ µ , ∇ν  Gλ ( x) = ∂ µ ∂ν Gλ − ∂ µ Γνλ
.Gσ − Γνλ
.∂ µ Gσ − Γ σµν .∂ σ Gλ
ρ
ρ
+Γσµν Γ λσ
Gρ − Γ σµλ ∂ν Gσ + Γ σµλ Γνσ
Gρ − ∂ν ∂ µ Gλ − ∂ν Γ σµλ .Gσ
σ
σ
ρ
σ
σ
ρ
−Γσµλ .∂ν Gσ − Γνµ

.∂σ Gλ + Γνµ
Γλσ
Gρ − Γνλ
∂ µ Gσ + Γνλ
Γ µσ
Gρ

Suy ra:

(

)

(

)

σ
ρ
σ
ρ
∇µ , ∇ν  Gλ ( x) = ∂ν Γσµλ − ∂ µ Γνλ
Gσ + Γσµλ Γνσ
− Γνλ
Γµσ
Gρ

(

)

σ
ρ
σ
ρ σ
= ∂ν Γσµλ − ∂ µ Γνλ
+ Γµλ
Γνρ
− Γνλ
Γµρ Gσ

(thay

σ → ρ, ρ → σ

).

15

(1.2.3)


σ
σ
σ
ρ
σ
ρ σ
Đặt: R.λνµ = ∂ν Γµλ − ∂ µ Γνλ + Γµλ Γνρ − Γνλ Γ µρ
σ

Vậy:  ∇ µ , ∇ν  Gλ ( x) = R.λνµ Gσ ( x )

(1.2.4)

σ
trong đó: R.λνµ được gọi là tensor độ cong Riemann.

Một số tính chất của tensor độ cong Riemann:
 Tính phản xứng:

R.σλνµ = − R.σλµν


(1.2.5)

Tính chất hoán vị vòng:
σ
R.σλνµ + R.σµλν + R.νµλ
=0

(1.2.6)

σ
Bên cạnh R.λνµ ta cũng thường dùng Rρλνµ liên hệ với nhau bởi tensor

metric g ρσ :

Rρλνµ =g ρσR.σ
λνµ

(1.2.7)

ρσ
R.σ
Rρλνµ
λνµ =g

(1.2.8)

 Có thể thấy tính chất đối xứng và phản đối xứng của Rρλνµ :

Rρλνµ = − Rρλµν

(1.2.9)

Chứng minh (1.2.9), từ tính chất phản đối xứng (1.2.5) ta có:

R.σλνµ = − R.σλµν
↔ g ρσ Rρλνµ = − g ρσ Rρλµν
↔ Rρλνµ = − Rρλµν
Rρλνµ = − Rλρνµ

(1.2.10)

Rρλνµ = − Rµνρλ

(1.2.11)

Như vậy ta có các tính chất đối xứng và phản đối xứng của Rρλνµ

16


Rρλνµ = − Rρλµν
Rρλνµ = − Rλρνµ
Rρλνµ = Rνµρλ
σ
Từ R.λνµ ta lập đại lượng:

Rλν ≡ R.σλνσ = g σρ Rρλνσ

(1.2.12)

được gọi là tensor Ricci
Áp dụng (1.2.12) ta được:
σ
Rνλ = R.νλσ
= g σρ Rσνλρ = g σρ Rλρσν

= − g σρ Rρλσν = g σρ Rρλνσ

(1.2.13)

Ta thấy rằng tensor Ricci có tính chất đối xứng như sau:

Rλν =Rνλ

(1.2.14)

Từ tensor Ricci ta lập được đại lượng:

λ
R =g λρRλρ =Rλ

(1.2.15)

được gọi là độ cong vô hướng.
1.3. Trường hấp dẫn
Tương tác hấp dẫn là tương tác rất yếu so với các tương tác mạnh,
yếu, điện từ. Điều đó cho phép ta đặt:
g µν ( x ) = η µν + hµν ( x )

(1.3.1)

Trong đó hµν ( x ) là đối xứng: hµν = hνµ , rất bé

hµν ( x ) << 1

(1.3.2)

và được đồng nhất với trường hấp dẫn.

17


Chú ý hµν ( x ) là tensor hạng 2 đối với phép biến đổi Lorentz, nhưng
không phải là tensor đối với phép biến đổi tổng quát, cụ thể là hµν ( x ) biến đổi
theo quy luật:
h 'µν ( x ' ) =

∂x λ ∂x ρ

.
( hλρ ( x ) +ηλρ ) −ηµν
∂x ' µ ∂x 'ν

(1.3.3)

Trong phép gần đúng cấp 1 theo hµν , ta có:
g µν ( x ) = η µν − h µν ( x )

(1.3.4)

trong đó sự nâng và hạ chỉ số ở h được thực hiện bởi metric Minkowski

h µν ( x ) = η µρηνσ hρσ ( x )

(1.3.5)

Xuất phát từ phương trình trắc địa:
ν
d 2 xµ
dxσ
µ dx
+
Γ
.
=0
νσ
dτ 2
dτ dτ

(1.3.6)

trong “giới hạn Newton” khi:
- Vận tốc của vật thể rất bé so với vận tốc ánh sáng.
- Trường hấp dẫn là trường tĩnh,

∂ 0 g µν = 0
Có thể chứng tỏ rằng h00 = −2φ , với φ là thế năng Newton.
d 2x 1
= ∇h

 dt 2 2 00
GM
( xuất phát từ  2
, ta suy ra được h00 , với φ = −
)
r
 d x = −∇φ

 dt 2

1.4. Phương trình Einstein và tác dụng bất biến
Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay
hình học không gian quyết định đến nội dung vật lí? Einstein đi tìm mối quan
hệ đó như sau:

18


Trong lí thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L(x) thì tác

4
dụng được định nghĩa bởi: S = ∫ d xL ( x ) cũng bất biến.

Trong lí thuyết tương đối rộng thì không vậy. Để xây dựng tác dụng bất
biến thay vì d 4 x ta phải đi tìm phần tử bất biến tương ứng.
Từ qui luật biến đổi của tensor metric g µν ( x ) :

∂ xα ∂ x β
g 'µν ( x ') =
gαβ ( x )
∂x 'µ ∂x 'ν

(1.4.1)

ta có thể suy ra qui luật biến đổi của định thức:

g = det ( g µν ) =

g 00

g 01

g02

g03

g10

g11

g12

g13

g 20
g30

g 21
g31

g 22
g32

g 23
g33

(1.4.2)

Kí hiệu: (g) là ma trận với phần tử ở hàng µ cột ν là

g µν ( x )

 δ xν 
 ∂x 
µ
ν
cột là 

÷ là ma trận với phần tử ở hàng
µ ÷

 ∂x ' 
 δ x' 
T

 δx 
 δx 
Ta viết (1.4.1) thành: ( g ' ( x ' ) ) = 
÷( g ' ( x ' ) ) 
÷
δ x'
δ x'

Và từ đây suy ra:
 δx 
 δx 
2
g ' = det 
÷g det 
÷= J g
δ x'
δ x'

 δx 
 x
Trong đó : J = det 
÷= D  ÷
δ x'
 x'

x 4

4
4
Mặt khác: d x = D  ÷d x ' = J .d x ' =
 x'

19

(1.4.3)

g' 4
.d x '
g

(1.4.4)


− g d 4 x = − g 'd 4 x '

Suy ra:

Vậy trong lí thuyết tương đối rộng, từ Lagrangian bất biến L(x) ta có
thể lập tác dụng bất biến dạng:

S = ∫ d 4x g L ( x)
Lagrangian bất biến của hệ trường vật chất ϕ ( x ) và trường hấp dẫn thể
hiện trong metric tensor g( µν ) ( x ) . Einstein đã chọn là:
L( ϕ , g ) = R + L ( ϕ , ∇µϕ ) . Do đó tác dụng bất biến mô tả hệ trường vật chất và

trường hấp dẫn như sau:

(

)

S = ∫ d 4 x − g L ( x ) = ∫ d 4 x − g Lg + L ( ϕ , ∇ µ ϕ ) = S g + Sϕ
với

(1.4.5)

S g = ∫ d 4 x − g Lg mô tả bản thân trường hấp dẫn.

Sϕ = ∫ d 4 x − g L ( ϕ , ∇ µϕ ) mô tả trường vật chất tương tác với trường
hấp dẫn.
Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lí tác dụng tối thiểu đối
với tác dụng (1.4.5):

∂S = ∂S g + ∂Sϕ = 0

(1.4.6)

Ta lần lượt tính ∂Sϕ và ∂S g
S g có thể được trình bày dưới dạng
S g = ∫ d x − g R = ∫ G − gd x + ∫
4

4

∂

(

− gω i
∂x

i

)d x
4

Ở đây G chỉ chứa các tensor g µν và các dẫn xuất đầu tiên của nó.
Tích phân thứ hai có hình thức phân kỳ của một đại lượng nhất định ω ' .
Ta có:

20


∂S g = δ ∫ R − g d 4 x = δ ∫ G − gd 4 x

Phía bên trái là một vô hướng, do đó các biểu thức bên phải cũng là
một vô hướng. (Đại lượng G, bản thân nó tất nhiên không là một vô hướng).
Đại lượng G đáp ứng các điều kiện ở trên, nó chỉ chứa g µν và các dẫn
xuất của nó. Do vậy chúng ta có thể viết:

c3
c3
δ ∫ G − gd 4 x = −
δ ∫ R − gd 4 x
16π k
16π k

∂S g = −
(1.4.7)

Ở đây k được gọi là hằng số hấp dẫn.
k =6, 672 ×10

−11

N .m 2
kg 2

4
Đặt δ ∫ R − g d x = ∂S 'g
4
µν
4
Ta xét: ∂S 'g = δ ∫ R − gd x = δ ∫ g Rµν − gd x

{ ( −g )g

= ∫ d 4x δ

µν

Rµν + − g δ g µν Rµν + − g g µν δ Rµν

(1.4.8)
(1.4.9)

Tính các biến phân ở vế phải. Ta có:

{δ (

−g

Để tính

g =

)} =

δ

(

−g

δ g µν

) δg

µν

=−

1
δg
δ g µν
2 − g δ g µν

δg
δ g µν ta làm như sau, viết g dưới dạng:

1
.εµνλρ.εαβγσ .g µα.gνβ .g λγ .g ρσ
4!

Từ đó suy ra:

dg =

1
.ε µνλρ .ε αβγσ .dg µα .gνβ .g λγ .g ρσ
3!

21

(1.4.10)


τσ
Thay vào biểu thức sau: dg µα = dgσα .g µτ .g và sử dụng đồng

nhất thức:

ε µνλρ .g µα .gνβ .g λγ .g ρσ = ετβγσ .g
và ε µνλρ .ε τβγσ = 3!δ ατ
ασ
Ta có: dg = dg .g dgασ

từ đây suy ra

δg
= g .g µν
δ g µν
Kết quả là:

{δ (

−g

) } = − 2 1− g δδgg

µν

=−

δ g µν = −

1
.g .g µν .δ g µν
2 −g

 −g
− g µν
.g .δ g µν = − 
.g µν .δ g µν
 2
2



÷
÷


(1.4.10)

Ta tìm được
 1
∂S g' = δ ∫ R − gd 4 x = ∫ d 4 x − g  − g µν .R + Rµν
 2

 µν
µν
4
÷δ g + ∫ g δ Rµν − g d x


Để tính δ Rµν ta dùng hệ qui chiếu quán tính định xứ, tại đó liên thông
λ
Affine: Γ µν = 0 . Từ đó suy ra:

σ
σ
σ
δ Rµν = δ Rµνσ
= δ ( ∂ν Γσµ
− ∂σ Γνµ
)

(

)

(

(1.4.11)

)

σ
σ
σ
σ
= δ ∇ν Γσµ
− ∇σ Γνµ
= ∇ν δΓσµ
− ∇σ δΓνµ

Do có cấu trúc tensor nên hệ thức cuối cùng cũng đúng cho mọi hệ qui
chiếu. Vậy ta có:

∫g

µν

{

σ

δ Rµν − gd 4 x = ∫ d 4 x − g .g µν . ∇ν ( δΓσµ
) − ∇σ δΓνµσ

Vì trong hệ qui chiếu quán tính:

22

}

(1.4.12)


∇ λ g µν = ∂ λ g µν + Γ λσµ g σν − Γ νλσ g µσ = 0

(1.4.13)

µν
Nên ∇λ g = 0 trong mọi hệ qui chiếu, do đó vế phải của (1.4.12)

g µν vào trong ∇ và viết:

có thể đưa

{

σ
− g { g µν .δ Rµν } = ∫ d 4 x − g . ∇ ν ( g µν δ Γ σµ
) − ∇ σ ( g µν δ Γνµσ )

∫d x

4

}

(1.4.14)

Tiếp tục biến đổi vế phải:
ν
µν
σ
µν
σ
ν
Xét ∇ν F với F = g δΓσµ hoặc bằng g ∂Γµν

Ta có:

∇ ν F ν = ∂ ν F ν + Γ ννµ F µ
Do

1
Γλµν = .gνσ ( ∂ν gσµ + ∂ µ gσν − ∂σ gνµ )
2
1
1 δg
1
= .gνσ ∂ µ gνσ =
.
∂ µ gσν = ∂ µ ( ln g )
2

2 g δ gνσ
2
=

ν
Nên ∇ν F =

Ta có:

∫d

4

1
∂ µ ln ( − g ) =
2

1
∂
−g

(

−g

)

(

−g Fν = 0

1
∂µ −g .F ν
−g

x − g .∇ν F ν = ∫ d 4 x∂ν
 −1

)



'
µν
−g d 4 x
Do đó: ∂S g = ∫  g µν .R + Rµν ÷δ g
 2


Kết quả là:
∂S g = −

c2
 −1
 g µν .R + Rµν
∫
16π k  2

 µν
−g d 4 x

÷δ g


(1.4.15)

Tính ∂Sϕ như sau:

∂Sϕ =

1
Tµν δ g µν −g d 4 x
∫
2c

23

(1.4.16)