Hàm đặc trưng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HOÀI

HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HOÀI

HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRẦN TRỌNG NGUYÊN

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, cán bộ hướng
dẫn khoa học PGS.TS Trần Trọng Nguyên, người thầy đã tận tình hướng
dẫn tôi từ những buổi đầu tiên khi tiếp cận với đề tài khoa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô ở trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, và các thầy cô trong
tổ Toán ứng dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho tôi học
tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến gia đình và bạn
bè tôi, những người đã động viên, tạo điều kiện cho tôi lao động và học
tập trong suốt thời gian qua.
Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoài

i


Lời cam đoan
Khóa luận của tôi được hoàn thành nhờ sự nỗ lực của bản thân cùng
sự chỉ bảo tận tình của PGS.TS.Trần Trọng Nguyên, những ý kiến đóng
góp của các thầy cô trong tổ, trong khoa và các bạn trong nhóm.
Tôi xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài này
tôi tự nghiên cứu, tìm hiểu và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham
khảo. Những nội dung này chưa được công bố trong bất kì khóa luận

nào.

Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoài

ii


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Lời mở đầu

1

1 HÀM ĐẶC TRƯNG

3

1.1

Nhắc lại một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Quy luật phân phối xác suất . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2.1 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2.2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2.3. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.3

15

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . .

1.1.3.1. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên một
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.3.2. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.1.3.3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên nhiều
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

21


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Nguyễn Thị Hoài

Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.2.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.3

Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên thường
gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.3.1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối
Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.3.2. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối
nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.3.3. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.3.4. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.3.5. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối
“Khi- bình phương” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.3

Mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối . . . .

27

1.4

Mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và các mô-men . . . . .

28

2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM ĐẶC TRƯNG
2.1

Tính các đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . .

2.2

Xác định quy luật phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên

2.3

30
30

độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Chứng minh định lí giới hạn trung tâm . . . . . . . . . .

37

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong hoạt động thực tiễn, con người bắt buộc phải tiếp xúc với các
hiện tượng ngẫu nhiên mà không dự đoán trước được. Tuy nhiên con
người có thể nghiên cứu và hệ thống hóa các hiện tượng ngẫu nhiên để
rút ra các quy luật của hiện tượng ngẫu nhiên và biểu diễn chúng bằng
mô hình toán học. Từ đó một lĩnh vực của Toán học mang tên “ Lý
thuyết xác suất” đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật của các hiện
tượng ngẫu nhiên.
Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỉ XVII. Một số nhà Toán
học như Huygens, Bernoulli, De Moivre là những người có công đầu tiên
tạo nên cơ sở Toán học của Lý thuyết xác suất.
Chebyshev(1821- 1894), Borel (1871-1956), Kolmogorov(1903- 1987). . .
đã có nhiều đóng góp to lớn cho sự phát triển của Lý thuyết xác suất.
Ngày nay, Lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành Toán học lớn,
chiếm vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn ứng dụng. Nó được ứng dụng
rộng rãi trong nhiều ngành Khoa học kĩ thuật, Kinh tế, Xã hội và Quân
sự...
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về Lý thuyết xác suất em đã chọn đề
tài “Hàm đặc trưng và ứng dụng” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp
đại học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu định nghĩa và các tính chất của hàm đặc trưng cũng như

mối liên hệ của nó với hàm phân phối và các mô-men. Từ đó đưa ra một
số ứng dụng cơ bản của hàm đặc trưng như: tính các đặc trưng của biến
ngẫu nhiên, xác định phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
và chứng minh định lí giới hạn trung tâm.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu khái niệm và một số tính chất cơ bản của hàm đặc trưng,
cũng như mối liên hệ giữa hàm đặc trưng với hàm phân phối và các
mô-men.
Nghiên cứu một số ứng dụng cơ bản của hàm đặc trưng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về một số tính chất
và ứng dụng cơ bản của hàm đặc trưng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.
Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn qua đó tổng hợp kiến
thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn
thành khóa luận.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp
gồm 2 chương:
Chương 1: Hàm đặc trưng
Chương này sẽ đi trình bày lại một số kiến thức về xác suất như: biến
ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất và đặc trưng của biến ngẫu

nhiên; và nghiên cứu về hàm đặc trưng với định nghĩa, các tính chất
cũng như mối liên hệ giữa nó với hàm phân phối và các mô-men.
Chương 2: Một số ứng dụng của hàm đặc trưng
Chương này sẽ đi nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đặc trưng
như: tính các đặc trưng của biến ngẫu nhiên, xác định quy luật phân
phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và chứng minh định lí giới
hạn trung tâm.

2


Chương 1
HÀM ĐẶC TRƯNG
Trong chương này, ta sẽ trình bày lại một số kiến thức chuẩn bị có
liên quan, sau đó sẽ đi tìm hiểu hàm đặc trưng với khái niệm và tính
chất của nó cũng như mối liên hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối,
hàm đặc trưng và các mô-men.

1.1
1.1.1

Nhắc lại một số kiến thức liên quan
Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1. (Biến ngẫu nhiên một chiều) Cho (Ω, F, P ) là một
không gian xác suất. Nếu X là một ánh xạ đo được từ Ω vào R thì X
được gọi là một biến ngẫu nhiên ( hoặc một đại lượng ngẫu nhiên ). Nói
cách khác X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên Ω sao cho với
mỗi x ∈ R thì {x ∈ Ω : X (ω) < x} ∈ F.
Ví dụ 1.1. Tung 2 đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là “số lần xuất

hiện mặt sấp”. Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.
Thật vậy, ta xây dựng không gian xác suất (Ω, F, P ) ứng với phép
thử này. Ta có
Ω=

SS, SN, N S, N N
ω1 , ω 2 , ω 3 , ω 4

,

F = σ (Ω) = {∅, {ω1 } , {ω2 } , ..., {ω1 , ω2 } , {ω1 , ω3 } , ..., Ω} .
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Như ta đã biết σ - đại số các biến cố này bao gồm: C40 +C41 +C42 +C43 +C44 =
(1 + 1)4 = 24 = 16 phần tử. Vì tính chất cân đối và đồng chất của hai
đồng xu nên ta có thể đặt các xác suất như sau:
1
P (ω1 ) = P (ω2 ) = P (ω3 ) = P (ω4 ) = .
4
Bây giờ ta xác định X: Vì X : Ω → R nên miền giá trị của nó là
Im (X) = {0, 1, 2}.
Từ đó ta thấy:


∅





 {ω }
4
(X < x) = {ω ∈ Ω : X (ω) < x} =

{ω2 , ω3 , ω4 }




Ω

khi x ≤ 0
khi 0 < x ≤ 1
khi 1 < x ≤ 2
khi x > 2

Do tất cả các tập hợp viết ở vế phải đều là các tập thuộc F nên theo
định nghĩa X là một biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.2. (Biến ngẫu nhiên hai chiều) Cho không gian xác suất
(Ω, F, P ) và hai biến ngẫu nhiên X và Y xác định trên nó. Khi đó hệ
V = (X, Y ) được gọi là biến ngẫu nhiên 2-chiều hay véc-tơ ngẫu nhiên
2-chiều, tức là V là một ánh xạ từ Ω vào R2 sao cho mỗi ω ∈ Ω thì
V (ω) = (X (ω) , Y (ω)).
Định nghĩa 1.3. (Biến ngẫu nhiên nhiều chiều) Cho X1 , X2 , ..., Xn là
các biến ngẫu nhiên 1-chiều được xác định trên không gian xác suất
(Ω, F, P ). Nhờ các biến ngẫu nhiên này, với mỗi ω ∈ Ω, ta có thể làm

phép tương ứng với mỗi điểm X (ω) = (X1 (ω) , X2 (ω) , ..., Xn (ω)) của
không gian Ơ-cơ-lít n-chiều.
Ánh xạ Ω → Rn lập bởi các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn được gọi là
một biến ngẫu nhiên n-chiều hoặc một véc-tơ ngẫu nhiên n-chiều.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

Nguyễn Thị Hoài

Quy luật phân phối xác suất

1.1.2.1 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên một
chiều
Định nghĩa 1.4. (Hàm phân phối xác suất) Hàm phân phối xác suất
của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu và định nghĩa như sau:
FX (x) = P {ω : X (ω) < x} , x ∈ R.
Như vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất P lên
lớp các khoảng (−∞, x) của đường thẳng thực R. Để cho gọn ta sẽ kí
hiệu F (x) = P (X < x) , x ∈ R.
Ví dụ 1.2. Gọi X là “số lần xuất hiện mặt sấp khi tung hai đồng xu
cân đối và đồng chất”. Hãy xây dựng hàm phân phối xác suất của X.
Bài giải
Theo Ví dụ 1.1 ta đã thấy X là 1 biến ngẫu nhiên vì



∅
với x ≤ 0




 {ω }
với 0 < x ≤ 1
4
(X < x)

{ω2 , ω3 , ω4 }
với 1 < x ≤ 2




Ω
với x > 2
Các tập đều thuộc F . Từ đó


P




P
F (x) = P (X < x) =


P




P

với x ≤ 0

(∅) = 0
{ω4 } =

1
4

{ω2 , ω3 , ω4 } =
(Ω) = 1

với 0 < x ≤ 1
3
4

với 1 < x ≤ 2
với x > 2

Tóm lại nếu trừu xuất khỏi không gian xác suất cũ ta có thể viết biểu

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

thức của F (x) như sau:

F (x) = P (X < x) =



0




 1







4
3
4

1

với x ≤ 0

với 0 < x ≤ 1
với 1 < x ≤ 2
với x > 2

Định nghĩa 1.5. (Biến ngẫu nhiên rời rạc) Biến ngẫu nhiên X được gọi
là rời rạc nếu miền giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm
được.
Định nghĩa 1.6. (Hàm khối lượng xác suất) Nếu Im (X) = {xi , i ∈ I}
với I = (1, 2, ..., n) hoặc I = N thì tập hợp các xác suất P (X = xi ) với
i ∈ I lập thành một quy luật phân phối xác suất của X.
Khi đó, hàm số:
P (X = x) = P (x) =

P (X = xi )

với x = xi

0

với x = xi

i∈I

được gọi là hàm khối lượng xác suất (hoặc hàm xác suất) của biến ngẫu
nhiên rời rạc X. Do




(X = xi ) = Ω

i=j

i∈I

(X = xi ) ∩ (X = xj ) = ∅,

tức là các biến cố (X = xi ) (i ∈ I) lập thành một nhóm đầy đủ nên ta
suy ra
P (X = xi ) = 1.
i∈I

Định nghĩa 1.7. (Bảng phân phối xác suất) Để thực hiện một cách
trực quan quy luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc
X, người ta thường liệt kê các giá trị có thể có của X kèm theo các xác
suất tương ứng để nhận mỗi giá trị có thể có đó trong một bảng có dạng
sau:
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

X

x1

x2

...

xi

...

P (x) P (x1 ) P (x2 . . . P (xi ) . . .
Bảng này gọi là bảng phân phối xác suất của X với 2 điều kiện cơ bản
là


 P (xi ) ≥ 0


i∈I

P (xi ) = 1
i∈I

Ví dụ 1.3. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là “số lần xuất hiện
mặt sấp khi tung hai đồng xu cân đối và đồng chất”.
Bài giải
Ta đã biết các giá trị có thể có của X là Im (X) = {0, 1, 2}. Từ hàm
phân phối xác suất đã thiết lập được ta suy ra:
P (X = 0) = F 0+ − F (0) =

1
1
−0= .
4
4

3 1 2
− = .
4 4 4
3 1
P (X = 2) = F 2+ − F (2) = 1 − = .
4 4
Vậy bảng phân phối xác suất của X như sau:
P (X = 1) = F 1+ − F (1) =

X

0

1

2

P (x)

1
4

2
4

1
4

Ta thấy hai điều kiện cơ bản nêu trên được thỏa mãn.

Định nghĩa 1.8. (Biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối) Biến ngẫu nhiên
X được goi là liên tục tuyệt đối nếu tồn tại một hàm thực không âm
f (u) sao cho hàm phân phối xác suất của X có thể biểu diễn dưới dạng:
x

f (u) du , (−∞ < x < ∞) .

F (x) =
−∞

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Định nghĩa 1.9. (Hàm mật độ) Hàm f (u) được gọi là hàm mật độ xác
suất của biến ngẫu nhiên X vì
f (x) = F (x) =

dF (x)
dx

hầu khắp nơi.
Một số quy luật phân phối xác suất
Định nghĩa 1.10. (Phân phối Bernoulli) Hàm khối lượng xác suất
P (X = x) = px (1 − p)1−x (x = 0, 1) xác lập nên một quy luật phân
phối xác suất gọi là quy luật Bernoulli (hoặc phân phối “0-1”) với tham
số là p (0 ≤ p ≤ 1). Luật phân phối này được kí hiệu là quy luật A (p)

hoặc B (1; p).
Định nghĩa 1.11. (Phân phối nhị thức) Hàm khối lượng xác suất
P (X = x) = Cnx px q n−x x = 0, n xác lập nên một quy luật phân phối
xác suất gọi là quy luật nhị thức với hai tham số là n và p và được kí
hiệu là B (n; p).
Định nghĩa 1.12. (Phân phối Poisson) Hàm khối lượng xác suất P (X = x) =
e−λ λx
x!

với (x = 0, 1, 2, ... và λ > 0) xác lập nên một quy luật phân phối

xác suất gọi là phân phối Poisson với tham số λ.
Quy luật này được kí hiệu là G (λ) hoặc P (λ).
Định nghĩa 1.13. (Phân phối chuẩn) Biến ngẫu nhiên liên tục X được
gọi là tuân theo quy luật phân phối chuẩn với hai tham số là µ và σ 2
nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng sau:
2
1
− (x−µ)
2
2σ
f (x) = √ e
,
σ 2π

(−∞ < x < ∞) .

Quy luật này được kí hiệu là N µ; σ 2
Dễ thấy hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

có dạng:
x

1
FX (x) = √
σ 2π

e−

(t−µ)2
2σ 2

dt,

(−∞ < x < ∞) .

−∞

Định nghĩa 1.14. (Phân phối “Khi-bình phương”) Biến ngẫu nhiên liên
tục X được gọi là tuân theo quy luật “Khi-bình phương” nếu hàm mật
độ xác suất của nó có dạng:

0

f (x, n) =
 n2

x≤0

1
e
2 Γ( n2 )

− x2

x

n
2 −1

x > 0.

Quy luật này được kí hiệu là χ2 (n), trong đó n được gọi là bậc tự do
của phân phối.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên χ2 (n) có dạng
x

F (x, n) =

f (x, n) dx.
−∞

Định nghĩa 1.15. (Phân phối Student) Biến ngẫu nhiên liên tục X
được gọi là tuân theo quy luật phân phối Student với n bậc tự do nếu

hàm mật độ xác suất của nó có dạng
1 Γ n+1
2
f (x, n) = √
n
nπ Γ 2

x2
1+
n

− n+1
2

,

(−∞ < x < ∞) .

Quy luật này được kí hiệu là T (n), với n là số bậc tự do của phân phối.
Định nghĩa 1.16. (Phân phối Fisher) Biến ngẫu nhiên liên tục X được
gọi là tuân theo quy luật Fisher với bậc tự do thứ nhất là m và bậc tự
do thứ hai là n nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng
f (x, m, n) =

Γ
Γ

m
2

m+n
2

Γ

n
2

m
n

m
2

x

m
2 −1

m
1+ x
n

− m+n
2

,

(x > 0) .

Quy luật này được kí hiệu là F (m; n) với m, n là các bậc tự do của phân
phối.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Fisher
x

F (x, m, n) =

f (x, m, n) dx.
−∞

1.1.2.2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai
chiều
Định nghĩa 1.17. (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối xác suất
đồng thời của một biến ngẫu nhiên 2-chiều V = (X, Y ) được định nghĩa
như sau:
F (x, y) = P [(X < x) (Y < y)] ,

(−∞ < x, y < ∞) .

Định nghĩa 1.18. (Hàm phân phối biên) Nếu F (x, y) là hàm phân phối
xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên 2-chiều V = (X, Y ) thì các hàm
F (x, +∞) = P (X < x) = F1 (x) ; F (+∞, y) = P (Y < y) = F2 (y) .
Là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tương ứng

X và Y . Các hàm này gọi là các hàm phân phối biên của V .
Định nghĩa 1.19. (Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc) Nếu X và Y đều
là các biến ngẫu nhiên 1-chiều rời rạc thì hệ V = (X, Y ) gọi là biến ngẫu
nhiên 2-chiều rời rạc.
Định nghĩa 1.20. (Xác suất đồng thời) Nếu {xi } i = 1, n và {yj } j = 1, m
là các giá trị có thể có tương ứng của X và Y thì ta kí hiệu
P [(X = xi ) (Y = yj )] = P (xi , yj ) = Pij .
Các xác suất Pij này i = 1, n; j = 1, m gọi là các xác suất đồng thời của
hệ V = (X, Y ). Vì các biến cố [(X = xi ) (Y = yj )] , i = 1, n; j = 1, m
lập thành một nhóm đầy đủ (n × m) biến cố nên
n

m

m

n

Pij =
i=1 j=1

Pij = 1.
j=1 i=1

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Ngoài ra ta có thể phân tích biến cố
m

(X = xi ) =

[(X = xi ) (Y = yj )]
j=1

nên
m

P (X = xi ) = P (xi ) = Pi∗ =

P [(X = xi ) (Y = yj )]
j=1

m

tức là Pi∗ =

Pij .
j=1

Tương tự ta có
n

P (Y = yj ) = P (yj ) = P∗j =

P [(X = xi ) (Y = yj )],

i=1

n

Pij . Các xác suất này có thể biểu thị trên bảng phân

tức là P∗j =
i=1

phối xác suất 2-chiều như sau
Y

❅

y1

...

yj

...

ym

P (xi )

x1

P11

...

P1j

...

P1m

P (x1 )

...

...

...

...

...

...

...

xi

Pi1

...

Pij

...

Pim

P (xi )

...

...

...

...

...

...

...

xn

Pn1

...

Pnj

...

Pnm

P (xn )

❅

X

❅
❅
❅

P (yj ) P (y1 ) . . . P (yj . . . P (ym )

1

Định nghĩa 1.21. (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối đồng
thời của biến ngẫu nhiên 2-chiều rời rạc được xác định như sau
F (x, y) = P [(X < x) (Y < y)] =

P (xi , yj ).
xi
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Định nghĩa 1.22. (Các phân phối biên) Các hàm phân phối biên của
X và của Y được xác định như sau
F1 (x) = P (X < x) =

Pi∗ ; F2 (y) = P (Y < y) =
xi
P∗j
yj
Định nghĩa 1.23. (Các phân phối có điều kiện) Hàm phân phối có điều
kiện của Y trong điều kiện X = xi được xác định như sau
F (y|X=xi ) = P (Y < y|X=xi ) =
yj
P [(Y = yj ) (X = xi )]
=
P (X = xi )
y

Pij
.
Pi∗

j
Nếu X có n giá trị có thể có thì ta sẽ có n phân phối có điều kiện của
Y đối với X.

Tương tự hàm phân phối có điều kiện của X khi Y = yj sẽ là
F (x|Y = yj ) = P (X < x|Y = yj ) =

Pij
.
P
∗j
x i

Nếu Y có m giá trị có thể có thì ta sẽ có m phân phối có điều kiện của
X đối với Y .
Định nghĩa 1.24. (Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục tuyệt đối) Biến
ngẫu nhiên 2-chiều V = (X, Y ) được gọi là liên tục tuyệt đối nếu tồn tại
hàm f (u, v) không âm sao cho
y

x

F (x, y) =

f (u, v) dudv.
−∞ −∞

Hàm f (x, y) được gọi là hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu
nhiên 2-chiều liên tục tuyệt đối V = (X, Y ).
Định nghĩa 1.25. (Phân phối đồng thời) Phân phối đồng thời được thể
hiện qua hàm mật độ đồng thời với các tính chất chủ yếu sau đây
+∞ +∞

a.

F (−∞; +∞) =

b.

P [(X, Y )] ∈ D =

f (x, y) dxdy = 1.
−∞ −∞

f (x, y)dxdy.
D

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Định nghĩa 1.26. (Các phân phối biên)
a. Hàm phân phối biên của X
 +∞

x

F1 (x) = F (x, +∞) =

f (x, y) dy  dx.


−∞



−∞

Hàm mật độ biên của X là
+∞

dF1 (x)
=
f1 (x) =
dx

f (x, y) dy.
−∞

b. Hàm phân phối biên của Y
y

F2 (y) = F (+∞, y) =

 +∞

f (x, y) dx dy.


−∞



−∞

Hàm mật độ biên của Y là
+∞

dF2 (y)
f2 (y) =
=
dy

f (x, y) dx.
−∞

Định nghĩa 1.27. (Các phân phối có điều kiện) Hàm mật độ có điều
kiện của đối với mỗi giá trị y của Y là
f (x|y) =

f (x, y)
=
f2 (y)

f (x, y)
+∞

.

f (x, y) dx

−∞

Hàm mật độ có điều kiện của Y đối với mỗi giá trị x của X là
f (y|x) =

f (x, y)
=
f1 (y)

f (x, y)
+∞

f (x, y) dy
−∞

Quy luật phân phối chuẩn hai chiều

13

.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Định nghĩa 1.28. Giả sử U1 và U2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập và
đều tuân theo quy luật N (0; 1) khi đó hàm mật độ đồng thời của chúng
là
u1 2

u2 2
1
1
g (u1 ; u2 ) = √ e− 2 · √ e− 2
2π
2π
1
1 − 12 (u1 2 +u2 2 )
1
=
=
e
exp − u1 2 + u2 2
2π
2π
2

(1.1)

với (u1 , u2 ) ∈ R2 .
Với các hằng số là µ1 , µ2 , σ1 , σ2 và ρ sao cho −∞ < µi < +∞; σi > 0
(i = 1, 2) và −1 < ς < 1 ta xác định hai biến ngẫu nhiên mới như sau

 X = σ1 U1 + µ1
1
(1.2)
 Y = σ2 ρU1 + 1 − ρ2 2 U2 + µ2
Ta xác định được hàm mật độ đồng thời f (x, y) của X và Y như sau
f (x; y) =

1
1

2π (1 − ρ2 ) 2 σ1 σ2

× exp

x − µ1
− 2ρ
σ1

1
−
2 (1 − ρ2 )
y − µ2
σ2

+

2

x − µ1
σ1
y − µ2
σ2

2

(1.3)

với (x, y) ∈ R2 .
Định nghĩa 1.29. Biến ngẫu nhiên liên tục hai chiều V = (X; Y ) được
gọi là tuân theo quy luật chuẩn hai chiều với các tham số là µ1 , µ2 , σ1 2 , σ2 2
và ρ nếu hàm mật độ đồng thời của nó có dạng như ở (1.3).
1.1.2.3. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều
chiều
Định nghĩa 1.30. (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối xác suất
đồng thời của biến ngẫu nhiên n-chiều được định nghĩa như sau
F (x1 , x2 , ..., xn ) = P [(X1 < x1 ) (X2 < x2 ) ... (Xn < xn )]
với (−∞ < Xi < +∞) i = 1, n .
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Định nghĩa 1.31. (Các hàm phân phối biên)
a. Hàm phân phối biên của một biến.
Hàm phân phối xác suất của biến Xi là
Fi (xi ) = P [(X1 < +∞) (X2 < +∞) ... (Xi < +∞) ... (Xn < +∞)]
= lim F (x1 , x2 , ..., xn )

với j = i.

xj →+∞

b. Hàm phân phối biên của một số biến.
Hàm phân phối biên của các biến Xi , Xj và Xk là
Fijk (xi , xj , xk ) = lim F (x1 , x2 , ..., xn ) ,

xr →+∞

1.1.3

(r = i, j, k) .

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.1.3.1. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên một chiều
a. Kì vọng toán
Định nghĩa 1.32. Trên không gian xác suất (Ω, F, P ) cho biến ngẫu
nhiên X có hàm phân phối xác suất F (x). Kì vọng toán của X là một
số kí hiệu là E (X) và được xác định như sau
E (X) =

xdF (x)

(1.4)

Ω

|x| dF (x) tồn tại.

với giả thiết
Ω

Nhận xét 1.1. Tích phân (1.4) là tích phân Stieljes
- Nếu F (x) là hàm bậc thang thì tích phân này trở thành
E (X) =

xi p (xi )

(1.5)

i∈I

trong đó I là một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được các chỉ số. Đây chính
là công thức định nghĩa cho kì vọng toán của một biến ngẫu nhiên rời
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

rạc X.
- Nếu F (x) có hàm mật độ xác suất là f (x) thì tích phân (1.4) trở thành
+∞

E (X) =

xf (x) dx.

(1.6)

−∞

Đây cũng chính là công thức định nghĩa cho kì vọng toán của một biến
ngẫu nhiên liên tục X.
Trong hai công thức (1.5) và (1.6), nếu chuỗi hoặc tích phân suy rộng

không hội tụ tuyệt đối thì ta nói biến ngẫu nhiên X tương ứng không
có kì vọng toán.
- Về mặt ý nghĩa ta có thể hiểu kì vọng toán là giá trị trung bình (có
trọng số) của biến ngẫu nhiên X hoặc là điểm cân bằng của phân phối.
Đơn vị của kì vọng toán trùng với đơn vị của biến ngẫu nhiên X.
Một số tính chất của kì vọng toán.
Tính chất 1.1. Nếu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm khối
lượng xác suất P (x) và Y = ϕ (X) là một hàm của X thì
E (Y ) = E [ϕ (x)] =

ϕ (x) P (x).
x

Tương tự nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác
suất f (x) thì
+∞

E (Y ) = E [ϕ (x)] =

ϕ (x) f (x) dx
−∞

Tính chất 1.2. Ta có E(aX + b) = aE (x) + b
Tính chất 1.3. Nếu Ci là các hằng số i = 1, n thì
n

E

n

Ci ϕi (X) =
i=1

Ci E [ϕi (X)]
i=1

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

b. Các mômen
Định nghĩa 1.33. Mô-men bậc k (k ≥ 0) lấy đối với một điểm cố định
a là: γk (a) = E[X − a]k .
Nếu a là gốc 0 thì ta có mô-men gốc bậc k là αk = E X k .
Như vậy kì vọng toán E (X) chính là mô-men gốc bậc 1, tức là E (X) =
α1 .
Định nghĩa 1.34. Nếu a là E (X) thì ta có mô-men trung tâm bậc k
là
µk = E[X − E (X)]k .
Từ định nghĩa này ta thấy
µ0 = E[X − E (X)]0 = E (1) = 1,
µ1 = E[X − E (X)]1 = E (X) − E [E (X)]
= E (X) − E (X) = 0,
µ2 = E[X − E (X)]2 = E X 2 − 2X.E (X) + [E (X)]2
= E X 2 − 2[E (X)]2 + [E (X)]2
= E X 2 − [E (X)]2 = α2 − α1 2 .
Tương tự, ta suy ra

µ3 = α3 − 3α1 α2 + 2α1 3 ,
µ4 = α4 − 4α1 α3 + 6α1 2 α2 − 3α1 4 .
Chú ý 1.1. Các biểu thức E |X − a|k , E |X|k và E |X − E (X)|k
được gọi là các mô-men tuyệt đối. Nếu các mô-men tuyệt đối này tồn
tại thì các mô-men γk , αk và µk tương ứng mới tồn tại.
Tính chất 1.4. Nếu biến ngẫu nhiên X có mô-men bậc k thì nó cũng
có mô-men bậc k với 0 ≤ k ≤ k.
c. Phương sai và độ lệch chuẩn
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

Định nghĩa 1.35. Phương sai của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là
V (X) (hoặc var (X) - viết tắt từ tiếng Anh variance) và được định nghĩa
như sau
V (X) = µ2 = σ 2 (X) = E [X − E (X)]2

=









[xi − E (X)]2 P (xi ) với X rời rạc
i
+∞

[x − E (X)]2 f (x) dx với X liên tục

−∞

Nhận xét 1.2. Từ định nghĩa ta thấy, phương sai là trung bình của
bình phương các độ sai lệch giữa các giá trị của X xung quanh E (X);
các độ sai lệch này càng nhiều (tức độ tập trung càng ít) thì V (X) càng
lớn. Với ý nghĩa như vậy, trong thực tế người ta cũng dùng phương sai
để đo: độ lệch phân tán, độ rủi ro, độ biến động,. . . , độ ổn định, độ đồng
đều, độ chính xác,. . .
1.1.3.2. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều
a. Kì vọng toán
Định nghĩa 1.36. Nếu R = ϕ (X, Y ) trong đó X và Y là hai biến ngẫu
nhiên thì

E (R) = E [ϕ (X, Y )] =









ϕ (xi , yj ) pij

(1.7)

i j
+∞ +∞

ϕ (x, y) f (x, y) dxdy (1.8)
−∞ −∞

trong đó công thức (1.7) áp dụng khi X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời
rạc, còn công thức (1.8) dùng cho hai biến ngẫu nhiên liên tục X và Y
với hàm mật độ xác suất đồng thời là f (x, y).
Tính chất 1.5. Với X và Y là các biến ngẫu nhiên, ta có
E (X ± Y ) = E (X) ± E (Y ) .
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hoài

b. Các mô-men
b1 . Các mô-men gốc
Định nghĩa 1.37. Mô-men gốc bậc (k, s) của biến ngẫu nhiên hai chiều
V (X, Y ) được kí hiệu và định nghĩa như sau:


xi k yj s Pij
(1.9)



i
j
αk,s = E X k Y k =
+∞ +∞


xk y k f (x, y) dxdy (1.10)

−∞ −∞

Công thức (1.9) dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc, còn (1.10) dùng cho
biến ngẫu nhiên liên tục.
Nhận xét 1.3. Từ định nghĩa vừa nêu ta suy ra:
α1,0 = E X 1 Y 0 = E (X)
α0,1 = E X 0 Y 1 = E (Y ) .
Vậy E (X) và E (Y ) là tọa độ của một điểm M mà quanh đó được phân
phối các điểm (x, y) là các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên hai chiều
V (X, Y ). Điểm M (E (X) , E (Y )) được gọi là tâm phân phối.
Tính chất 1.6. Nếu hai biến ngẫu nhiên thành phần X và Y của biến
ngẫu nhiên hai chiều V (X, Y ) mà độc lập thì α1,1 = α1,0 × α0,1 , tức là
E (XY ) = E (X) .E (Y ).
Nói cách khác: kì vọng toán của tích phân hai biến độc lập sẽ bằng tích
các kì vọng của hai biến ngẫu nhiên thành phần.
Chú ý 1.2. Nếu E (XY ) = E (X) .E (Y ) thì chưa chắc X và Y đã là
hai biến ngẫu nhiên độc lập.
b2 . Các mô-men trung tâm
Định nghĩa 1.38. Mô-men trung tâm bậc (k, s) của biến ngẫu nhiên
hai chiều V = (X, Y ) được kí hiệu và định nghĩa như sau:
µ(k,s) = E [X − E (X)]k [Y − E (Y )]s

19