Phương pháp lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ ÁI

PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO BÀI TOÁN
CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí
Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12
tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong lý thuyết và ứng dụng ta thƣờng gặp các bài toán cực trị
có điều kiện (tìm cực đại và cực tiểu). Khi giải một bài toán cực trị
ngƣời ta thƣờng tìm cách đƣa nó về các bài toán đơn giản hơn: với số
biến hoặc số ràng buộc ít hơn, thậm chí không có ràng buộc. Ý tƣởng
này đƣợc thể hiện rõ nét trong phƣơng pháp nhân tử Lagrange và
trong một số phƣơng pháp tối ƣu khác.
Phƣơng pháp nhân tử Lagrange là một phƣơng pháp tìm cực
trị của hàm số với các ràng buộc cho bởi phƣơng trình. Phƣơng pháp
tƣơng đối hiệu quả, dễ áp dụng. Trong chƣơng trình toán đại học,
phƣơng pháp này cũng đã đƣợc giới thiệu và áp dụng để giải một số
bài toán cực trị có điều kiện. Tuy nhiên, hầu hết các giáo trình tiếng
việt, chƣa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phƣơng
pháp nhân tử Lagrange. Trong chƣơng trình toán phổ thông, bài toán
cực trị có điều kiện cũng xuất hiện dƣới dạng tìm giá trị lớn nhất
hoặc nhỏ nhất của một biểu thức với các điều kiện nào đó cho các ẩn
số. Các bài toán dạng này thƣờng xuất hiện trong các tài liệu, trong
các kỳ thi dành cho học sinh giỏi.
Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều
kiện và các phƣơng pháp giải là cần thiết cho giáo viên và có thể đƣa
vào giảng dạy bồi dƣỡng học sinh giỏi và học sinh trƣờng chuyên,
giúp học sinh có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề
cực trị của hàm nhiều biến. Góc nhìn này sẽ giúp các học sinh THPT
giải các bài cực trị trong các kì thi học sinh giỏi và các đề thi Đại
học. Việc nắm chắc cơ sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và
các phƣơng pháp giải cũng giúp cho giáo viên có khả năng giải và

sáng tạo ra các bài toán mới, điều này đặc biệt quan trọng khi ra đề
thi học sinh giỏi.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều


2
kiện, các phƣơng pháp giải cũng nhƣ cách sáng tạo ra các bài toán
mới, tôi chọn đề tài “ Phƣơng pháp Lagrange cho bài toán cực trị
có điều kiện và ứng dụng” để làm đề tài cho luận văn cao học của
mình.
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
- Nắm đƣợc bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều
kiện cần và đủ của cực trị.
- Phƣơng pháp nhân tử Lagrange và ứng dụng để giải bài toán
cực trị của hàm nhiều biến.
- Sáng tạo đƣợc bài toán mới vận dụng phƣơng pháp này.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Sử dụng Phƣơng pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực
trị trong hình học và đại số trong chƣơng trình toán ở cấp phổ thông
và ở cấp đại học.
- Sáng tạo ra một số bài toán mới.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phân tích, tổng hợp các tài liệu trong nƣớc và ngoài nƣớc để
tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đề tài.
- Hệ thống hóa lý thuyết đã thu thập.
- Thảo luận, trao đổi.
- Dựa trên các kết quả đã đạt đƣợc để sáng tạo và giải một số
bài toán mới.
5. Cấu trúc luận văn:
Phần mở đầu.

Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
Chƣơng 2. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC
PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
Chƣơng 3. ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN


3
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. KHÔNG GIAN n VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
 Một số khái niệm và tính chất cơ bản:
- Với mỗi số nguyên không âm n, tập

n

bộ n số thực có thứ tự. Một phần tử của

là tập tất cả các
đƣợc viết là:

n

x  ( x1 , x2 ,...xn ), xi  , i  1, n .

- Trên
mọi  

ta định nghĩa phép cộng và phép nhân nhƣ sau: với

n

và với mọi x  ( x1 , x2 ,, xn ), y  ( y1, y2 ,, yn ) 

n

,

x  y  ( x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  yn ) ,  x  ( x1 , x2 ,..., xn ) .

- Tập n cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hƣớng ở
trên tạo thành một không gian vectơ n chiều trên
và thƣờng đƣợc
gọi là không gian vectơ

n

hoặc không gian

- Không gian vectơ
e1  1;0;0;...;0  ,

đó, một vectơ trong

n

n

n

cho ngắn gọn.

có một cơ sở chính tắc:

e2   0;1;0;...;0  , ..., en   0;0;...;0;1 . Khi

có thể đƣợc viết dƣới dạng: x 

n

x e .
i i

i 1

- Tích vô hƣớng trên
định bởi

x, y 

n

x y

i i

n

là ánh xạ:

, :

n



n



xác

 x1 y1  x2 y2  ...  xn yn .

i 1

- Độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x đƣợc định nghĩa bởi:
x 

x, x 

n

x

2
i

.

i 1

- Không gian
không gian Hilbert.

n

cùng với tính vô hƣớng .,. tạo thành một


4
Định nghĩa 1.1.1. (Hình cầu mở và hình cầu đóng)
- Hình cầu mở tâm tại điểm x0 
các điểm trong R n định nghĩa bởi



B( x0 ,  )  x 

n

n

- Hình cầu đóng tâm tại điểm x0 
tập các điểm trong

n

và bán kính   0 là tập



x  x0   .
n

và bán kính   0 là

định nghĩa bởi





B[x0 ,  ]  x  R n x  x0   .

Định nghĩa 1.1.2. (Tập mở trong n ) Tập S  n là mở nếu
với mỗi x  S tồn tại   0 sao cho hình cầu mở B( x0 ,  )  S .
Định lý 1.1.3. (Định lý về các tập mở trong
1. Tập rỗng là một tập mở.

n

)

2. n là một tập mở.
3. Hợp các tập mở là một tập mở.
4. Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở.
Định lý 1.1.4. (Mọi tập mở là họ của các hình cầu mở) Giả sử
S

n

là một tập mở. Với mỗi x  S chọn  x  0 sao cho
B ( x,  x ) .

B( x,  x )  S . Khi đó S 
xS

Định nghĩa 1.1.5. (Tập đóng trong
và chỉ khi phần bù của S trong

n

:(

n

n

) S

n

là đóng khi

\ S ) là tập mở.

Định lý 1.1.6. Ta có một số tính chất sau của các tập đóng:
1. Tập rỗng là một tập đóng.
2. Toàn không gian n là một tập đóng.
3. Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng.

4. Giao các tập đóng là một tập đóng.
Định lí 1.1.7. (Các tập đóng trong
và các khoảng đóng)
Giả sử S là một tập đóng bất kì trong
. Khi đó:


5
S

((, ai ]  [bi , )) , với các số thực ai  bi và tập chỉ số I
iI

nào đó.
Định nghĩa 1.1.8. (Tập bị chặn trong n ) Tập S  n đƣợc
gọi là bị chặn nếu nó chứa đƣợc trong một hình cầu (mở hay đóng)
bán kính  nào đó.
Định lý 1.1.9. (Cận trên và cận dưới của một tập trong )
1. Giả sử S  là một tập mở bị chặn và giả sử a là một cận
dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S . Khi đó, a  S
và b  S .
2. Giả sử S  là một tập đóng bị chặn và giả sử a là một
cận dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S . Khi đó,
a  S và b  S .
Định nghĩa 1.1.10. (Heine – Tập Compact trong

n

) Tập

đƣợc gọi là Compact khi và chỉ khi S đóng và bị chặn.
S
1.2. HÀM NHIỀU BIẾN
n

Định nghĩa 1.2.11. Cho   A 
f : A

p

n

. Khi đó, ánh xạ

p

.

xác định bởi

x  ( x1 , x2 ,..., xn )  A  f ( x1 , x2 ,..., xn ) 

- Khi p  1 , f đƣợc gọi là hàm thực nhiều biến.
- Khi p  1 , f đƣợc gọi là hàm vectơ nhiều biến.
Tập A đƣợc gọi là miền xác định của hàm số, các số
x1 , x2 ,..., xn đƣợc gọi biến số của hàm f.
Định nghĩa 1.2.12. (Giới hạn của hàm vectơ n biến) Cho hàm
vectơ f : A 

n



p

và điểm a  A .

Ta nói rằng hàm f tiến đến giới hạn b 

p

khi x tiến đến

a , hay b là giới hạn của hàm f tại a , nếu với mọi   0 cho trƣớc

tồn tại   0 (  phụ thuộc vào  ) sao cho với mọi x  A thỏa mãn


6
0  x  a   ta có f ( x)  b   . Khi đó ta viết lim f ( x)  b hay
x a

f ( x)  b khi x  a .

với

Vì sự hội tụ trong không gian n là sự hội tụ theo tọa độ nên
ta còn dùng kí hiệu
x  ( x1 ,..., xn ), a  (a1 ,..., an )

lim f ( x1 ,..., xn )  b .

x1  a1
...
xn an

Định nghĩa 1.2.13. (Hàm liên tục nhiều biến)
a. Hàm f : A 

n



p

đƣợc gọi là liên tục tại một điểm x0

trên A nếu lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0

b. Hàm f : A 

n



p

đƣợc gọi là liên tục trên A nếu f

liên tục tại mọi điểm a  A .
c.Hàm f đƣợc gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi   0
tồn tại    ( )  0 (chỉ phụ thuộc vào  ) sao cho với mọi x, x'  A
thỏa mãn x  x'   ta đều có f ( x)  f ( x' )   .
d. Hàm f  ( f1 ,..., f p ) : A 

n



p

liên tục tại a  A khi

và chỉ khi các hàm thành phần của nó liên tục tại a .
Định nghĩa 1.2.14. (Hàm liên tục theo từng biến) Hàm
f : A

n



p

đƣợc gọi là liên tục theo biến xi tại điểm

a  (a1 ,..., an ) nếu với mọi   0 tồn tại   0 sao cho với mọi

xi  Ai  xi 

(a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,...an )  A thỏa mãn xi  ai  

ta đều có f (a1 ,..., ai 1 , xi , ai 1 ,..., an )  f (a1,..., an )   .
Định lí 1.2.15. Cho hàm f : A 
trên A . Nếu A là tập Compact trong
trong

p

.

n

n



p

là hàm liên tục

thì f ( A) là tập Compact


7
Định lí 1.2.16. Nếu f : A 
A là tập Compact trong

n

n



là hàm liên tục trên A và

thì hàm f đạt được cận trên đúng và

cận dưới đúng trên A .
Định nghĩa 1.2.17. (Hàm bị chặn) Hàm f : A 
đƣợc gọi là bị chặn trên A nếu f ( A) là tập bị chặn trong

n



p

, tức là

p

nếu tồn tại số M  0 sao cho f ( x)  M với mọi x  A .
1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO
1.3.1. Đạo hàm riêng
Giả sử e1 , e2 ,..., en là cơ sở chính tắc trong không gian
là một tập hợp mở trong

n

và f : U 

n

,U

là một hàm số của n biến

số, x  ( x1 ,..., xn ) U .
Định nghĩa 1.3.18. Đạo hàm riêng cấp một: Xét giới hạn
f ( x  tei )  f ( x)
,
lim
t 0
t
Nếu nó tồn tại thì đƣợc gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f
tại x hay đạo hàm riêng theo biến xi của hàm f tại x và kí hiệu là
Di f ( x) hay

f
( x) hoặc f x'i ( x) .
xi

Định nghĩa 1.3.19. Đạo hàm riêng cấp cao: Cho tập hợp mở
U

n

và điểm a U . Giả sử f : U 
tồn tại với mọi

Di f ( x)

là hàm số sao cho

x U . Nhƣ thế ta có ánh xạ

Di f : U  , x  Di f ( x) .

Nếu hàm số Di f có đạo hàm theo biến thứ j tại a tức là nếu
tồn tại D j ( Di )(a) thì đạo hàm này đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp hai
của f tại a theo các biến thứ các biến thứ i và thứ j hay theo các
biến

xi

và

xj

và

đƣợc

kí

hiệu

là

Di , j f (a)

hay


8
2 f
2 f
   
(a),
(a) 
f  (a) .

xi x j
xi x j
x j  xi 
Định nghĩa 1.3.20. (Gradien của f ): là hàm vectơ mà thành

phần là các đạo hàm riêng theo từng biến của f . Kí hiệu grad f
hoặc f xác định bởi f  (

f f
f
, ,..., ) .
x1 x2
xn

1.3.2. Đạo hàm của hàm hợp
* Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp
Cho hàm f , g : A 

n




( g f )(a) 
x j

m

p

:

g

fi

i

j

 y (b) x
i 1

(a),( j  1,..., n) .

* Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến
Giả sử U là tập mở trong

n

, a U và f : U 

. Ta kí

hiệu toán tử
Ta ()  ( x1  a1 )




,
 ( x2  a2 )
 ...  ( xn  an )
x1
x2
xn

xác định nhƣ sau Ta ( f ) 

f

n

 ( x  a ) x (a) , ở đây a  (a ,..., a ) ,
1

1

i 1

Và

Tak ()

là

1

n

i

luỹ

thừa

hình

thức

k

Tak ()

trong





 
 ( x1  a1 )
 ( x2  a2 )
 ...  ( xn  an )
 .
x1
x2
xn 

Định lí 1.3.21. (Công thức Taylor) Giả sử U là một tập mở
n

, a U và r  0 sao cho B(a, r )  U . Cho f  C k (U ) ,

khi đó với mọi x  B(a, r ) tồn tại    a, x  sao cho


9
1
1
1
1
f ( x)  f (a)  Ta ( f )  Ta2 ( f )  ... 
Tak 1 ( f )  Tk ( f ) .
1!
2!
(k  1)!
k!

1.3.3. Vi phân hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.3.22. (Vi phân cấp một)
Giả sử U là tập mở trong

n

, f :U 

n

là hàm vectơ xác

định trên U sao cho với mọi x U
f ( x)  ( f1 ( x), f 2 ( x),..., f m ( x)) 

Trong đó, fi : U 

n

.

(i  1,2,..., m) là các hàm thành phần của

hàm vectơ f , xác định trên U .
Định nghĩa 1.3.23. (Vi phân cấp cao)
Cho tập hợp mở U 

n

f :U 

,

f  C 2 (U ) . Nhƣ ta đã biết hàm
h  (h1 , h2 ,...hn ) ta có Df (a)h 

n

khả vi tại a và với

f

f

 x (a)h .
i

i 1

Mỗi đạo hàm riêng

, a U . Giả sử

i

f
là một ánh xạ từ U vào
xi

. Vì

f
xi

có các đạo hàm riêng liên tục nên nó là hàm khả vi tại a và với
k  (k1 , k2 ..., kn ) ta có D

Biểu thức

f
(a)(k ) 
xi

D



2 f
kj .
j 1 xi x j
n




f
(a)hi )  k 

j 1 xi


n



Là một dạng song tuyến tính trên

n

2 f
hi k j
j 1 xi x j

n

n


i 1



n

, ma trận của dạng

  2 f (a) 
song tuyến tính là ma trận vuông 
. Ánh xạ song


 xi x j 

1i , j  n


10
tuyến tính từ

n



n



xác định bởi ma trận này đƣợc gọi là đạo

hàm cấp hai của f tại a , kí hiệu là D2 f (a) hay f '' (a) .
Nếu lấy k  h thì biểu thức D 2 f (a)(h, h) 

2 f
(a)hi h j
i , j 1 xi x j
n



Đƣợc gọi là vi phân cấp hai của f tại a , kí hiệu là d 2 f (a) .
Thông thƣờng ta kí hiệu hi  dxi , khi đó vi phân cấp hai đƣợc viết

dƣới dạng d 2 f (a) 

 2 f (a)
dxi dx j .
i , j 1 xi x j
n



Tƣơng tự nhƣ trên thì ta sẽ định nghĩa đƣợc các vi phân cấp
cao hơn của f .
1.4. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM
Định nghĩa 1.4.24. (Hàm lồi) Cho  là một tập con lồi của
n

. Một hàm f xác định trên một tập lồi  đƣợc gọi là lồi nếu với

mỗi x1 , x2  và mỗi  ,0    1 , ta có:
f  ax1  (1   ) x2   af ( x1 )  (1   ) f ( x2 ) .

Hơn nữa, nếu với mỗi  ,0    1 và x1  x2 , ta có:
f  ax1  (1   ) x2   af ( x1 )  (1   ) f ( x2 ),

thì f đƣợc gọi là

lồi chặt.
Định nghĩa 1.4.25. (Hàm lõm) Một hàm g xác định trên một
tập lồi  đƣợc gọi là lõm nếu hàm f   g là lồi. Hàm g là lõm
chặt nếu  g là lồi chặt.
Định nghĩa 1.4.26. (Ma trận xác định)

 Ma trận A n  n đƣợc gọi là xác định dƣơng (tƣơng ứng xác
định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ x 
toàn phƣơng xác định bởi Q( x)  xT A x .

n

, x  0 dạng


11
chỉ nhận các giá trị dƣơng (tƣơng ứng chỉ nhận các giá trị âm;
nhận cả giá trị âm và giá trị dƣơng), tức là xT Ax  0, x 

n

,x  0.

 Nếu dạng toàn phƣơng chỉ nhận giá trị không âm (tƣơng ứng
chỉ nhận giá trị không dƣơng), ma trận đƣợc gọi là nửa xác định
dƣơng (tƣơng ứng nửa xác định âm) và ma trận không xác định chính
xác khi nó không là ma trận nửa xác định dƣơng hoặc ma trận nửa
xác định âm.
Mệnh đề 1.4.27. Cho f1 và f 2 là những hàm lồi trên tập lồi
 . Khi đó hàm f1  f 2 là lồi trên  .

Mệnh đề 1.4.28. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi  . Khi
đó af là hàm lồi với bất kì a  0 .
Từ hai mệnh đề trên chúng ta có thể nhận thấy rằng tổ hợp
a1 f1  a2 f 2  ...  am f m của các hàm lồi cũng lồi.
Cuối cùng, chúng ta xét các tập xác định bởi các bất đẳng thức

ràng buộc cho hàm lồi.
Mệnh đề 1.4.29. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi  . Tập
c  x x , f ( x)  c là lồi với mỗi số thực c . Ta thấy rằng, vì

giao của các tập lồi cũng là tập lồi nên tập các điểm đồng thời thỏa
mãn f1 ( x)  c1 , f 2 ( x)  c2 ,..., f m  cm , Sao cho với mỗi f i là một
hàm lồi, xác định một tập lồi. Điều này rất quan trọng trong toán
học, bởi vì tập ràng buộc thường được định nghĩa bằng cách này.
Mệnh đề 1.4.30. (Tính chất của hàm lồi khả vi) Cho f  C1 .
Khi đó

f

là lồi trên một tập lồi 

nếu và chỉ nếu

f ( y)  f ( x)  f ( x)( y  x) , với mọi x, y  .

Đối với hàm khả vi cấp hai liên tục thì có một đặc tính khác
trong tính lồi.
Mệnh đề 1.4.31. Cho f  C 2 . Khi đó f là lồi trên tập lồi 


12
chứa một điểm trong nếu và chỉ nếu ma trận Hessian F (ma trận của
đạo hàm riêng cấp hai) là nửa xác định dương trong  .
1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
1.5.1. Cực trị tự do
Cho hàm f :

x0 

n

n



. Bài toán cực trị tự do là bài toán: tìm

sao cho
f ( x0 )  inf f ( x) hoặc f ( x0 )  sup f ( x).
xD

xD

Nhƣ vậy, bài toán cực trị tự do là bài toán tìm x0 để hàm f đạt
giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên n . Những giá trị đó chúng
ta gọi là cực trị toàn cục (xem định nghĩa ở bên dƣới).
Định nghĩa 1.5.32. (Cực trị địa phƣơng)
1. Một điểm x*  n đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa
phƣơng của f nếu tồn tại   0 sao cho f ( x)  f ( x*) với mọi
x  B( x*,  ) .

Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x  B( x*,  ) , x  x * thì x * đƣợc
gọi là điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của f trên B( x*,  ) .
2. Một điểm x*  n đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng
của f nếu tồn tại   0 sao cho f ( x)  f ( x*) với mọi x  B( x*,  ) .
Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x  B( x*,  ) , x  x * thì x * đƣợc
gọi là điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của f trên B( x*,  ) .

Định nghĩa 1.5.33. (Cực trị toàn cục)
1. Một điểm x* 
của f :

n



n

đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục

nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x 

Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x 

n

n

.

, x  x * thì x * đƣợc gọi là

một điểm cực tiểu toàn cục thực sự của f trên
2. Một điểm x* 

n

n

.

đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục


13
của f :

n



nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x 

Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x 

n

n

.

, x  x * thì x * đƣợc gọi là

một điểm cực đại toàn cục thực sự của f trên

n

.

i. Điều kiện cần cấp một
Định lý 1.5.34. (Định lý Fermat) Cho hàm f  C1 xác định
trên

n

. Nếu x * là một điểm cực trị địa phương của f trên

n

thì

f ( x*)  0 .

Định nghĩa 1.5.35. Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f
đều bằng 0 đƣợc gọi là điểm dừng của hàm. Hàm f chỉ có thể đạt
cực trị tại các điểm dừng. Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để có
cực trị, nên điểm dừng chƣa chắc là điểm cực trị.
Điều kiện cần cho điểm cực trị địa phƣơng dẫn đến n phƣơng
trình (mỗi một phƣơng trình cho mỗi thành phần của f ) với n ẩn
(các thành phần của x * ), trong nhiều trƣờng hợp có thể giải để xác
định nghiệm. Chúng ta minh họa bằng ví dụ sau:
ii. Điều kiện cần cấp hai
Mệnh đề 1.5.36. Giả sử x * là một điểm cực tiểu địa phương
trên

n

của hàm f  C 2 :

n



. Khi đó,

i. f ( x*)  0 ,
ii. d T 2 f ( x*)d  0 , với mọi d.
Để đơn giản chúng ta thường kí hiệu 2 f ( x) , ma trận n  n
của đạo hàm riêng cấp hai của f , ma trận Hessian của f kí hiệu là
F ( x) . Điều kiện (1.5.2) là tương đương với ma trận F ( x*) là nửa

xác định dương.
iii. Điều kiện đủ cấp hai
Mệnh đề 1.5.37. Cho f  C 2 là một hàm xác định trong

n

.


14
Giả sử điểm x * thỏa mãn các điều kiện
1. f ( x*)  0 ,
2.

F ( x*) xác định dấu.

Khi đó x * là một điểm cực tiểu địa phương thực sự của f

nếu F ( x*) xác định dương và x * là một điểm cực đại địa phương
thực sự của f nếu F ( x*) xác định âm. Nếu F ( x*) không xác định
thì x * không phải là cực trị của f.
Nhận xét 1.5.38. Chúng ta có thể dùng tiêu chuẩn sau để
nhận biết ma trận F ( x*) là xác định dương hay xác định âm:
1. Nếu tất cả các định thức con chính của F ( x*) đều dương
thì điểm dừng x * là điểm cực tiểu của nó.
2. Nếu F ( x*) có các định thức con chính cấp lẻ âm và tất cả
các định thức con chính cấp chẵn dương thì điểm dừng x * là điểm
cực đại của nó.
Nhận xét 1.5.39. Đối với trường hợp hàm hai biến, chúng ta
có tiêu chuẩn chi tiết hơn như sau: Giả sử hàm f  C 2 đi từ
2



có điểm dừng ( x0 , y0 ) . Gọi  là định thức của ma trận



F ( x0 , y0 ) , tức là   f xy'' ( x0 , y0 )



2

 f xx'' ( x0 , y0 ) . f yy'' ( x0 , y0 ) .

1. Nếu   0 thì điểm dừng ( x0 , y0 ) là điểm cực trị của hàm
số:

 ( x0 , y0 ) là điểm cực đại nếu f xx''  0 ,
 ( x0 , y0 ) là điểm cực tiểu nếu f xx''  0 .
2. Nếu   0 thì ( x0 , y0 ) không phải cực trị của hàm f .
3. Nếu   0 ta không kết luận gì về cực trị tại ( x0 , y0 ) .
(Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác).
1.5.2. Cực trị có điều kiện


15
Cho tập   D 

n

, hàm f : D 

. Bài toán cực trị có

điều kiện là bài toán: tìm x0  D sao cho
f ( x0 )  inf f ( x) hoặc f ( x0 )  sup f ( x) .
xD

xD

Nhƣ vậy, bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm x0 để
hàm f đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên tập D. Những giá
trị đó chúng ta gọi là cực trị toàn cục có điều kiện (xem định nghĩa ở
bên dƣới).
Định nghĩa 1.5.40. (Cực trị địa phƣơng có điều kiện)
Cho f liên tục trên một tập Compact D . Lúc đó, bài toán có
ít nhất một nghiệm.

1. Một điểm x * đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có
điều kiện của f : D  nếu có tồn tại   0 sao cho f ( x)  f ( x*)
với mọi x  B( x*,  )  D .
Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x  B( x*,  )  D , x  x * thì x *
đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực sự của
f trên B( x*,  )  D .
2. Một điểm x * đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng có
điều kiện của f : D  R nếu có tồn tại   0 sao cho f ( x)  f ( x*)
với mọi x  B( x*,  )  D .
Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi .., x  x * thì x * đƣợc gọi là
một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực sự của f trên

B( x*,  )  D .
Định nghĩa 1.5.41. (Cực trị toàn cục có điều kiện)
1. Một điểm x * đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục có
điều kiện của f : D 
nếu có tồn tại   0 sao cho

f ( x)  f ( x*) với mọi x  D .
Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x  D , x  x * thì x * đƣợc


16
gọi là một điểm cực tiểu toàn cục thực sự có điều kiện của f trên

D.
2. Một điểm x * đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục có điều
kiện của f : D  nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x  D .
Nếu f ( x)  f ( x*) với mọi x  D, x  x * thì x * đƣợc gọi
là một điểm cục đại toàn cục thực sự có điều kiện của f trên D .

* Sự tồn tại nghiệm
Định lý 1.5.42. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm (tối ưu) của
(P) là tồn tại t 

sao cho tập F  ( D)  x 

: f ( x)  t , x  D

khác  , đóng và bị chặn dưới.
Định lý 1.5.43. Cho f là một hàm lồi xác định trên tập lồi

D . Ký hiệu  là tập tất cả các điểm cực tiểu của hàm f . Khi đó

 là tập lồi, và bất kì điểm cực tiểu địa phương nào của f cũng là
cực tiểu toàn cục.
Định lý 1.5.44. Cho f  C1 là hàm lồi trên tập lồi D . Nếu
có một điểm x*  D sao cho, với mọi y  D , f ( x*)( y  x*)  0 ,
thì x * là một điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện của f trên D .
Định nghĩa 1.5.45. (Hƣớng chấp nhận đƣợc)
Cho x  D ( D là một tập lồi), một vectơ d là một hƣớng
chấp nhận đƣợc tại x nếu có một   0 thỏa mãn x   d  D với
mọi  , 0     .
Mệnh đề 1.5.46. (Điều kiện cần cấp một ) Cho D là tập hợp
con của R n và cho f  C1 là một hàm trên D . Nếu x * là một
điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D , khi đó với bất
kì d 

n

mà d là một hướng chấp nhận được tại x * , ta có

f ( x*)d  0.


17
Mệnh đề 1.5.47. (Điều kiện cần cấp 2) Cho D   là một
tập con lồi của

n

và cho f  C 2 là một hàm trên D . Nếu x * là

một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D , khi đó với
bất kì d  n mà d là một hướng chấp nhận được tại x * . Ta có:
i. f ( x*)d  0 (1.5.4)
ii. Nếu f ( x* )d  0 thì khi đó d T 2 f ( x* )d  0.
Mệnh đề 1.5.48. (Điều kiện đủ) Cho D   là một tập con
lồi của

n

và cho f  C 2 là một hàm trên D . Nếu x0  D thỏa

mãn:
i. f ( x*)d  0 ;
ii. d Tf ( x*)d  0, d thỏa mãn f ( x*) d  0 .
thì x* là cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D.
CHƢƠNG 2
BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƢƠNG
PHÁP GIẢI

2.1. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Chúng ta xem xét Bài toán phi tuyến dạng:

 min f ( x)
 h ( x)  0,
 1
 h2 ( x)  0,


 hm ( x)  0,

n
 x  D  ,
(2.2.1)
trong đó m  n và các hàm f , hi ,(i  1, 2,..., m) liên tục, và có các


18
đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Để kí hiệu đơn giản, chúng ta giới
thiệu hàm giá trị vectơ h  (h1 , h2 ,..., hm ) và (2.2.1) đƣợc viết lại

min f ( x)

 h( x )  0
x  D 


n

(2.2.2)

Với h( x)  0 đƣợc xem nhƣ là hàm điều kiện, trong khi đó
điều kiện x  D  n là một điều kiện cố định. Bỏ qua điều kiện cố
định, trong chƣơng này, chúng ta giả sử rằng D là cả không gian
n

hoặc nghiệm của (2.2.2) nằm ở phần trong của D . Một điểm
x  D mà thỏa mãn tất cả các hàm điều kiện thì đƣợc gọi là điểm
chấp nhận đƣợc. Tập tất cả các điểm chấp nhận đƣợc gọi là tập điểm
chấp nhận đƣợc.
Bài toán (2.2.2) là một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán tìm



cực trị tổng quát ở mục 1.5.2. Vì   x 

n

: h( x)  0, x  D ,

ta có bài toán (2.2.2) tƣơng đƣơng với bài toán tìm min f ( x) .
x

Định nghĩa 2.1.1. (Điểm chính quy) Một điểm x * thỏa mãn
điều kiện h( x*)  0 đƣợc gọi là điểm chính quy của điều kiện nếu
các vectơ gradient h1 ( x*), h2 ( x*),..., hm ( x*) là độc lập tuyến
tính.
Chú ý rằng nếu h là affine, h( x)  Ax  b thì sự chính quy
tƣơng đƣơng với A có hạng là m . Tại một điểm chính quy x * của
mặt S định nghĩa bởi h( x)  0 thì không gian tiếp xúc là mặt

M   y : h( x*) y  0 .
2.1.1. Điều kiện cần cấp một
Định lý 2.1.2. Cho x * là một điểm chính quy của các điều


19
kiện h( x)  0 và là một điểm cực trị địa phương có điều kiện (một
điểm cực tiểu hoặc cực đại) của f thỏa mãn các điều kiện này. Khi
đó tất cả y 

n

thỏa mãn

h( x*) y  0 ,

(2.2.3)

f ( x*) y  0

cũng phải thỏa mãn

(2.2.4)

Định lý 2.1.3. Cho x * là một điểm cực trị địa phương có điều
kiện của f với các điều kiện h( x)  0 và x * là một điểm chính quy
của điều kiện này. Khi đó, có một  

m

sao cho

f ( x*)   h( x*)  0 .
T

Từ Định lý 2.1.2 trước nếu x * là nghiệm của bài toán (2.2.2)
thì có một  

m

thỏa mãn f ( x*)   T h( x*)  0 và cùng với

điều kiện h( x*)  0 cho ta một hệ gồm n  m phương trình với

n  m ẩn gồm x*,  .
Từ đó, rất thuận lợi để giới thiệu hàm Lagrange kết hợp với
bài toán có điều kiện. Định nghĩa hàm Lagrange như sau

 ( x,  )  f ( x)   T h( x) .
Khi đó, các điều kiện cần có thể được biểu diển dưới dạng

 x ( x,  )  0 ,
 ( x,  )  0 .
Cách biểu diễn này là một sự trình bày đơn giản của các điều
kiện cần.
2.1.2. Điều kiện cần cấp hai
Trong suốt phần này, chúng ta giả sử f , h  C 2 .
Định lí 2.1.4. Giả sử x * là một cực tiểu địa phương có điều
kiện của f với h( x)  0 và x * là một điểm chính quy của các điều

20
kiện này. Khi đó, tồn tại một  

m

sao cho

f ( x*)   T h( x*)  0 .
Nếu M là không gian tiếp xúc M   y : h( x*) y  0 , thì
khi đó ma trận

L( x*)  F ( x*)   T H ( x*)
(ở đây F, H lần lượt là ma trận Hessian của f, h) là nửa xác
định dương trên M , tức là yT L( x*) y  0 với mọi y  M .
2.1.3. Điều kiện đủ cấp hai
Định lý 2.1.5. Giả sử có một điểm x * thỏa mãn h( x*)  0 ,
và một   R m sao cho

f ( x*)   T h( x*)  0 .

(2.2.14)

Cũng giả sử rằng ma trận L( x*)  F ( x*)   H ( x*) xác
T

định dương trên

M  y 

n

: h( x*) y  0 , nghĩa là với

y  M , y  0 thì ta luôn có yT L( x*) y  0 . Khi đó, x * là một cực
tiểu địa phương có điều kiện thực sự của f với h( x)  0 .
2.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI
2.2.1. Chuyển về bài toán không dùng phƣơng pháp nhân
tử Lagrange
Với công cụ cấp trung học phổ thông, một trong những
phƣơng pháp giải bài toán nhiều biến số là làm giảm dần các biến số
bằng cách tìm cực trị theo từng phƣơng.
Nếu trong (2.2.1), từ các điều kiện ràng buộc ta biểu diễn lần
lƣợt biến xi , i  1, n dƣới dạng hàm ẩn xi  i ( x1 , x2 ,..., xi 1 , xi 1 ,..., xn )
thay vào (2.2.1) ta đƣợc bài toán mới chỉ có n  1 biến,… lần lƣợt
nhƣ vậy cho đến khi hết các điều kiện ràng buộc, thì bài toán cực tiểu
có điều kiện nêu trên quy về bài toán cực trị tự do n  m biến.


21
2.2.2. Phƣơng pháp nhân tử Lagrange
Trƣớc tiên ta nhắc lại Bài toán (P): min f ( x)
(2.3.1)


hi ( x)  0, i  1, m,

n

x  D  .

Với

(2.3.2)

f , hi ; i  1, n là các hàm có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục.
Hàm Lagrange là hàm n  m biến số với nhân tử Lagrange

i  R n , i  1, m :
L( x,  )  f ( x)  i hi ( x), i  1, m
Theo điều kiện cần đã nhắc ở phần trƣớc. Nếu bài toán đạt cực
trị tại x*   x1 , x2 ,..., xn  thì tồn tại các số 1 , 2 ,..., m sao cho bộ

m  n số

 x , x ,..., x ,  ,  ,...,  
1

2

n

1

2

là nghiệm của hệ phƣơng

m

hm
h1
h2
 L f
 x  x  1 x  2 x  ...  m x  0, i  1, n
i
i
i
i
 i
h  0,
j  1, m.
 j

trình:

Nói cách khác điều kiện cần để bài toán đạt cực trị tại

x*   x1 , x2 ,..., xn  là tồn tại các số 1 , 2 ,..., m sao cho

 x , x ,..., x ,  ,  ,...,   là điểm dừng của hàm Lagrange.
1

2

n

1

2

m

Dùng điều kiện đủ cấp hai để kiểm tra xem các điểm dừng

 x , x ,..., x ,  ,  ,...,   có là điểm cực trị hay không.
1

2

n

1

2

m

Từ đó ta có phương pháp nhân tử Lagrange tổng quát như
sau:
 Bƣớc 1: Xây dựng hàm Lagrange

L( x,  )  f ( x)  .h( x), x 

n

.


22

 Bƣớc 2: Tính L'xi  f x'i   hx' i .
Và giải hệ phƣơng trình sau đây để tìm các điểm dừng ( xi )in1
cùng với giá trị i tƣơng ứng.

'

 Lxi  0,


h j ( x)  0,

i  1, n; j  1, m.

 Bƣớc 3: Xác định vi phân cấp 2 của

d 2L 

L( x ) .

n

L

i , j 1

"
xi x j

dxi dx j ,

và tính ràng buộc:

dh j ( x) 

h 
n

i 1

'

j x
i

dxi  0,

j  1, m.

Với mỗi điểm dừng x * và   0 tìm đƣợc trong Bƣớc 2, xét

A  d 2 L( x*) (phụ thuộc dxi , i  1, n ).
 Nếu A  0 với mọi dxi , i  1, n không đồng thời bằng 0
thỏa dh j ( x*)  0 thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại x * .
 Nếu A  0 với mọi dxi , i  1, n không đồng thời bằng 0
thỏa dh j ( x*)  0 thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại x * .
 Nếu dấu của A không xác định xét theo các dxi , i  1, n
không đồng thời bằng 0 thỏa dh j ( x*)  0 thì hàm f không đạt cực
trị tại x * .

23
CHƢƠNG 3
ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN
3.1. GIẢI TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG
3.1.1. Các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Ý tưởng chung là:
 Bước 1: Chuyển bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về bài
toán cực trị có điều kiện.
 Bước 2: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài
toán cực trị có điều kiện.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể giải bằng
nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây với mục đích của luận văn là
trình bày một số ứng dụng của phương pháp nhân tử Lagrange nên
chỉ trình bày phương pháp này đưa về bài toán cực trị có điều kiện.
3.1.2. Các bài toán bất đẳng thức
Ý tưởng chung:
 Bước 1: Từ bất đẳng thức ta đưa về dạng

f ( x)   , x 

n

,   . (với "  " là dấu bất đẳng thức bất kỳ

nào đó).
 Bước 2: Chuyển về bài toán cực trị có điều kiện cho hàm f .
 Bước 3: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài
toán cực trị có điều kiện sao cho giá trị nhỏ nhất tìm được phải lớn
hơn hoặc bằng  , còn giá trị lớn nhất tìm được phải nhỏ hơn hoặc
bằng  .

3.2. SÁNG TẠO BÀI TOÁN
Ý tưởng để sáng tạo ra bài toán như sau:
 Bước 1: Chọn một hàm f và các hàm ràng buộc cụ thể.
 Bước 2: Giải bài toán cực trị có điều kiện tương ứng.
 Bước 3: Trên cơ sở bước 1 và 2, chúng ta đặt ra các bài toán
mới về tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức,….