Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace

Mục lục
•
•

•
•

•
•
•

•

1 Lịch sử
2 Định nghĩa
o 2.1 Biến đổi Laplace hai phía
o 2.2 Biến đổi Laplace ngược
3 Tính chất hàm gốc
4 Tính chất của biến đổi Laplace
o 4.1 Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm
o 4.2 Liên hệ với các biến đổi khác
 4.2.1 Biến đổi Fourier
 4.2.2 Biến đổi Mellin
 4.2.3 Biến đổi Z
 4.2.4 Biến đổi Borel
 4.2.5 Mối quan hệ cơ bản
5 Bảng các biến đổi Laplace
6 Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s
7 Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace
o 7.1 Giải phương trình vi phân
o 7.2 Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

o 7.3 Hàm truyền
o 7.4 Phương pháp khai triển thừa số riêng phần
o 7.5 Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ
o 7.6 Sự trễ pha
8 Xem thêm

I.LỊCH SỬ:
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu
ích và thường được sử dụng trong giải các bài toán vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán
giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số (giống
như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của
chúng). Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm
riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý,
trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua biến đổi
Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra
nghiệm là các hàm ảnh trong không gian p, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm
gốc trong không gian thực t.
Trong toán học, một biến đổi tích phân là biến đổi T có dạng sau:


Đầu vào của biến đổi là một hàm f, và đầu ra là một hàm Tf khác.
Có nhiều loại biến đổi tích phân. Mỗi loại tương ứng với một lựa chọn hàm K khác nhau, gọi là
nhân (tiếng Anh: kernel hay nucleus) của phép biến đổi.
Một số nhân có nghịch đảo tương ứng K − 1(u,t), có nghĩa là tồn tại phép biến đổi ngược:

Lí do để có phép biến đổi tích phân là như sau. Có nhiều lớp bài toán mà khó có thể giải quyết hay ít nhất là việc biểu diễn nó dưới góc nhìn đại số ban đầu. Một biến đổi tích phân sẽ ánh xạ
một hàm từ "miền" gốc (ví dụ: hàm mà thời gian là một biến độc lập thì nó thuộc miền thời gian)
sang một miền khác (miền đích). Việc giải bài toán trên miền đích sẽ thuận lợi hơn so với giải
trên miền gốc. Sau đó, kết quả sẽ được ánh xạ trở lại miền gốc ban đầu.
Biến đổi tích phân dựa trên khái niệm spectral factorization trên hệ cơ sở trực giao chuẩn. Ý

nghĩa của nó là các hàm phức tạp tùy ý đều có thể được biễu diễn dưới dạng tổng của các hàm
đơn giản hơn. Ví dụ, dùng chuỗi Fourier, các hàm theo thời gian (ví dụ: điện áp của một thiết bị
điện tử) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các hàm sin hay cos, mỗi hàm sẽ được nhân tỉ
lệ (nhân với một hệ số là hằng số) và dịch (lên hay xuống theo thời gian). Các hàm sin và cos
trong chuỗi Fourier là một ví dụ của hệ cơ sở trực giao chuẩn.
Trực giao (từ ortho- trong orthonormal) có nghĩa là mỗi hàm cơ sở là trực giao với nhau; tức là
tích của hai hàm khác nhau —lấy tích phân trên một chu kì—là bằng 0. Tương tự, từ "chuẩn" (normal trong orthonormal) nghĩa là lấy một hàm cơ sơ, nhân với chính nó và lấy tích phân trên
một chu kì, sẽ cho kết quả là 1. Một biến đổi tích phân là phép thay đổi một biểu diễn trên hệ cơ
sở trực giao chuẩn này sang hệ trực giao chuẩn khác. Mỗi điểm trong biểu diễn của hàm được
biến đổi trong miền đích tương ứng với phân bố của hàm cơ sở trực giao chuẩn cho trước được
khai triển. Quá trình khai triển một hàm từ biểu diễn chuẩn của nó thành tổng của các hàm cơ sở
trực giao chuẩn, có thể được nhân tỉ lệ và dịch, gọi là quá trình "spectral factorization."
Xem xét một cách triệt để, đồ thị trong trục Descarte chuẩn của một hàm có thể xem là một khai
triển trực giao chuẩn. Thực ra, mỗi điểm phản ánh đóng góp của một hàm cơ sở trực giao chuẩn
cho tổng đó. Một cách trực quan, điểm (3,5) trên đồ thị chính là hàm cơ sở trực giao chuẩn δ(x3), với "δ" là hàm delta Kronecker, được nhân tỉ lệ bởi một hệ số là 5 và đóng góp cho tổng dưới
dạng này. Với ý nghĩa đó, đồ thị của một hàm thực liên tục trong mặt phẳng tương ứng với một
tập vô hạn các hàm cơ sở; nếu số hàm cơ sở là hữu hạn, đường cong sẽ bao gồm một tập rời rạc
các điểm thay vì là một đường bao liên tục.
Lấy ví dụ của biến đổi tích phân là biến đổi Laplace. Đây là kĩ thuật ánh xạ các phương trình vi
phân hay phương trình tích-vi phân (integro-differential) trong miền thời gian thành các phương


trình đa thức trong miền "tần số phức". (Tần số phức là giống với tần số vật lí thực, nhưng tổng
quát hơn. Đặc biệt, thành phần ảo của tần số phức tương ứng với khái niệm thông thường của tần
số, viz., là tốc độ mà tại đó đường sin lặp lại chu kì, trong khi thành phần thực của tần số phức
tương ứng với độ "giảm dần" (damping), hay là nhân bởi nghịch đảo hàm mũ của đường sin.
Biểu thức toán exp([−s+jω]t) đánh giá exp(−st)exp(jωt), với exp(jωt) là đường sin và exp(−st) là
hệ số giảm (damping factor).)
Biến đổi Laplace có ứng dụng rộng rãi trong vật lí, đặc biệt trong kĩ thuật điện, nơi mà các
phương trình đặc trưng mô tả hoạt động của một mạch điện tử trong miền tần số phức, tương ứng

là sự kết hợp tuyến tính của các hàm sin được biến đổi tỉ lệ, dịch theo thời gian. Các biến đổi tích
phân khác có ứng dụng đặc biệt trong các kiến thức toán học và khoa học khác.
2.ĐỊNH NGHĨA:
Giả sử f là một hàm (có thể là hàm phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho tích phân
hội tụ ít nhất với một số phức s = a + ib, thì khi đó ảnh của hàm f qua biến đổi
Laplace là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau

Một số trường hợp để đảm bảo cho cả những trường hợp hàm gốc f(t) không xác định tại t=0, ta
có thể định nghĩa một cách chính xác hơn.

o

2.1 Biến đổi Laplace hai phía

Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía.
Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới
hạn của tích phân đến âm vô cực.

Nếu như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi
Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside.
2.2 Biến đổi Laplace ngược
Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(p). Biến đổi Laplace
ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.


Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm
gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).
•

3 Tính chất hàm gốc

Tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân
hội tụ ít nhất với một
số phức p gọi là lớp hàm gốc. Trong khi đó tập hợp các giá trị của p sao cho tích phân
tồn tại thì được gọi là miền hội tụ (hay miền qui tụ).
Ta có thể chứng minh được lớp các hàm gốc phải thỏa mãn các tính chất sau.
•
•
•

f(t) = 0, với mọi t < 0.
Khi t ≥ 0, hàm f(t) liên tục cùng với các đạo hàm cấp đủ lớn trên toàn trục t, trừ một số
hữu hạn điểm gián đoạn loại một.
Khi
hàm f(t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số s>0 và M>0 sao cho
Khi đó s o = inf {s} được gọi là chỉ số tăng của hàm f. (Tức là
hàm f(t) không được tăng nhanh hơn hàm est để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ).

•
•

4 Tính chất của biến đổi Laplace
Cho các hàm f(t) và g(t), và các hàm ảnh tương ứng F(s) và G(s):

•

•

Sau đây là bảng các tính chất của biến đổi Laplace:

Hàm gốc
Tuyến tính

Hàm ảnh


Đạo hàm
hàm ảnh
Đạo hàm
hàm ảnh
(tổng quát)
Đạo hàm
hàm gốc
Đạo hàm
bậc 2
Tổng quát
Tích phân
hàm ảnh
Tích phân
hàm gốc
Đồng dạng
Biến đổi
hàm ảnh
Biến đổi
hàm gốc
Phép nhân
chập
Hàm tuần
hoàn
•

Định lý giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

•

Định lý giá trị cuối: (Định lý giới hạn)


, trong nửa mặt phẳng (Re.s > so)
o

4.1 Biến đổi Laplace của phép đạo hàm của một hàm

Thường dùng phép tính vi phân của biến đổi Laplace để tìm dạng đạo hàm của một hàm. Ta có
thể thu được từ biểu thức cơ bản đối với biến đổi Laplace như sau:

(Từng phần)

Trong trường hợp 2 bên, ta có

4.2Liên hệ với các biến đổi khác
1. Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục tương đương với giá trị của biến đổi Laplace hai bên với argument là số
phức s = iω hay s = 2πfi


Chú ý biểu thức này không tính đến hệ số tỉ lệ
của biến đổi Fourier.

, điều này được tính đến trong định nghĩa

Mối quan hệ này giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được dùng để xác định quang
phổ tần số của một tín hiệu hay hệ thống động lực học (dynamic system).
2. Biến đổi Mellin
Biến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó liên hệ với biến đổi Laplace hai bên bằng cách thay
đổi biến. Trong biến đổi Mellin

Ta đặt θ = e-t, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên.
3. Biến đổi Z
Biến đổi Z là biến đổi Laplace của một tín hiệu thử lý tưởng bằng cách thay thế
, với

là chu kỳ (đơn vị là giây), và

là tần số (đơn vị là hertz)

đặt

là xung lực thử (còn gọi là lực Dirac).
và

là sự biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của x(t) còn
rời rạc của x(t).
Biến đổi Laplace đối với tín hiệu thử x q (t) là

là biểu diễn sự


Đây là định nghĩa chính xác của biến đổi Z đối với hàm x[n].

(thay

)

So sánh 2 phương trình cuối ta thấy mối liên hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu
thử

4. Biến đổi Borel
Dạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn
khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho
những hàm không phải hàm mũ.
5. Mối quan hệ cơ bản
Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ
biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các
biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích
phân.
•

5 Bảng các biến đổi Laplace

Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên
•

Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi Laplace của các số hạng


•

Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội số nhân cho biến đổi Laplace của hàm
đó

Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời
gian ở bảng dưới là bội của hàm nhảy Heaviside u(t).
•

Bảng cung cấp những biến đổi Laplace đối với những hàm chung một biến.

ST
T

Hàm

1

ideal delay

1a

unit impulse

2

delayed nth
power
with
frequency
shift

2a

nth power
(for integer n)

2a.1

qth power
(for real q)

2a.2

unit step

2b

delayed unit
step

2c

ramp

2d

nth power
with
frequency
shift

Hàm gốc (miền t)

Hàm ảnh (miền s)

Miền hội tụ

mọi s


2d.1

exponential
decay

3

exponential
approach

4

sine

5

cosine

6

hyperbolic
sine

7

hyperbolic
cosine

Exponentially
8
-decaying
sine wave
Exponentially
9
-decaying
cosine wave
10

nth root

11

natural
logarithm

12

Bessel
function
of the first
kind,
of order n

13

Modified
Bessel
function
of the first


kind,
of order n
Bessel
function
14 of the second
kind,
of order 0
Modified
Bessel
function
15
of the second
kind,
of order 0
16 Error function

•

6 Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong
mạch miền s

Biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch

miền s


Bảng so sánh giữa mạch miền t và mạch miền s
Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC
V R (s) = R.I(s)
V L (s) = s.L.I(s) − L.I o

Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau. Riêng đối với cuộn cảm L và
tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban
đầu đối với tụ điện)

7 Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học. Việc tính toán được chuyển
sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có
thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số.


Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phân và được ứng dụng rộng rãi
trong kỹ thuật điện (electrical engineering). Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải
phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside.
Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI

7.1 Giải phương trình vi phân

o

Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử
Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ

(1) N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị phân rã ở thời điểm t(s)
λ: hằng số phân rã
Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này
Từ (1) ta có

Thực hiện biến đổi Laplace cho cả 2 vế của phương trình

Với

Giải phương trình ta có

Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về miền t


o

7.2 Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

Ví dụ này dựa vào lí thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit)
Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t

Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là
điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t
Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s
V R (s) = R.I)(s)
V L (s) = s.L.I(s) − L.I o

Với

,

I o = i(0): dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L
V o = V C (0): điện áp ban đầu qua tụ điện C
Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0

Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC
Z R (s) = R
Z L (s) = s.L


o

7.3 Hàm truyền

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau:

Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập
Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với
h(t) = Ae − αtcos(ω d t − φ d ) (1)

: sự trễ pha
Ta biến đổi (1)

Với

: thời gian trễ của hệ và u(t) là hàm bước nhảy Heviside.

Hàm truyền H(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi Laplace đối với hàm h(t)

với

là tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

7.4 Phương pháp khai triển thừa số riêng phần
Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền

: biến đổi Laplace ngược của hàm truyền H(s)
Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp
khai triển riêng phần

P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta dùng đồng nhất thức

Từ đây suy ra

và

Thay vào H(s) ta tìm được


Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho
hàm H(s)

o

7.5 Tổng hợp hàm sin, cos và hàm mũ
Hàm thời gian

Biến đổi Laplace

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace
Ta tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt hằng số vào tử số

Dựa vào định lý dịch chuyển ta có

Cuối cùng, dùng biến đổi Laplace cho hàm sin và cos, ta thu được


o

7.6 Sự trễ pha

Hàm thời gian Biến đổi Laplace
sin(ωt + φ)

cos(ωt + φ)

Ta bắt đầu với hàm biến đổi Laplace

Suy ra

Thực hiện biến đổi ngược cho X(s), ta có

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác (trigonometric identity)

Ta suy ra


Tương tự ta cũng nhận được

_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace - 1

Ò CHƯƠNG 10
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Ò DẪN NHẬP
Ò PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
♦ Phép biến đổi Laplace
♦ Phép biến đổi Laplace ngược
Ò CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Ò ÁP DỤNG VÀO GIẢI MẠCH
Ò CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(S)/Q(S)
♦ Triển khai từng phần
♦ Công thức Heaviside
Ò ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ CUỐI
♦ Định lý giá trị đầu
♦ Định lý giá trị cuối
Ò MẠCH ĐIỆN BIẾN ĐỔI
♦ Điện trở
♦ Cuộn dây
♦ Tụ điện
__________________________________________________________________________________________
_____

10.1 DẪN NHẬP
Phép biến đổi Laplace, một công cụ toán học giúp giải các phương trình vi phân, được
sử dụng đầu tiên bởi Oliver Heaviside (1850-1925), một kỹ sư người Anh, để giải các mạch
điện.
So với phương pháp cổ điển, phép biến đổi Laplace có những thuận lợi sau:

* Lời giải đầy đủ, gồm đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, trong một phép toán.
* Không phải bận tâm xác định các hằng số tích phân. Do các điều kiện đầu đã được đưa vào
phương trình biến đổi, là phương trình đại số, nên trong lời giải đầy đủ đã chứa các hằng số.
Về phương pháp, phép biến đổi Laplace tương tự với một phép biến đổi rất quen
thuộc: phép tính logarit
(H 10.1) cho ta so sánh sơ đồ của phép tính logarit và phép biến đổi Laplace

Các con số

Lấy logarit

Nhân chia trực tiếp

logarit của các
số
Cộng các số

Lấy logarit ngược
Tổng logarit
Kết quả các
của các số
phép tính
Pt sau
Pt vi tích
___________________________________________________________________________
Biến
đổi
phân

Nguyễn Trung Lập

MẠCH

LÝ THUYẾT


_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace - 2
Biến đổi Laplace
Phép giải cổ điển

Đk đầu

Phép tính đại số

Đk đầu
Biến đổi Laplace ngược
lãnh vực thời gian

Lãnh vực tần số
(H 10.1)

Để làm các phép tính nhân, chia, lũy thừa . . . của các con số bằng phép tính logarit ta
thực hiện các bước:
1. Lấy logarit các con số
2. Làm các phép toán cộng, trừ trên logarit của các con số
3. Lấy logarit ngược để có kết quả cuối cùng.
Thoạt nhìn, việc làm có vẻ như phức tạp hơn nhưng thực tế, với những bài toán có
nhiều số mã, ta sẽ tiết kiệm được rất nhiều thời gian vì có thể sử dụng các bảng lập sẵn (bảng
logarit) khi biến đổi. Hãy thử tính 1,43560,123789 mà không dùng logarit.
Trong bài toán giải phương trình vi tích phân dùng phép biến đổi Laplace ta cũng thực

hiện các bước tương tự:
1. Tính các biến đổi Laplace của các số hạng trong phương trình. Các điều kiện đầu được đưa
vào
2. Thực hiện các phép toán đại số.
3. Lấy biến đổi Laplace ngược để có kết quả cuối cùng.
Giống như phép tính logarit, ở các bước 1 và 3 nhờ sử dụng các bảng lập sẵn chúng ta
có thể giải quyết các bài toán khá phức tạp một cách dễ dàng và nhanh chóng.

10.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
10.2.1 Phép biến đổi Laplace
Hàm f(t) xác định với mọi t>0. Biến đổi Laplace của f(t), được định nghĩa

L[f(t)] = F(s) = ∫

∞
0

f(t).e −st dt

(10.1)

s có thể là số thực hay số phức. Trong mạch điện s=σ+jω

L

thay cho cụm từ 'biến đổi Laplace của"
Toán tử
Điều kiện đủ để f(t) có thể biến đổi được là

∫

∞
0

f(t) .e− δt dt < ∞

(10.2)

δ là số thực, dương.
Điều kiện này hầu như được thỏa đối với những hàm f(t) gặp trong mạch điện. Vì e-δt
là hàm mũ giảm khi t tăng nên khi nhân với |f(t)| ta cũng được kết quả tương tự.
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH

LÝ THUYẾT


_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace - 3
Thí dụ, với hàm f(t)=tn, dùng qui tắc Hospital, người ta chứng minh được
n − δt
lim t e = 0, δ > 0
t →∞

Với n=1, ta có
∞
1
− δt
∫ 0 t.e dt = δ2 , δ > 0

Với giá trị khác của n, tích phân trên cũng xác định với δ ≠ 0
n
Có những hàm dạng eat không thỏa điều kiện (10.2) nhưng trong thực tế với những
kích thích có dạng như trên thì thường đạt trị bảo hòa sau một khoảng thời gian nào đó.
2
⎧⎪eat , 0 ≤ t ≤ t 0
Thí dụ
v(t)= ⎨
⎪⎩ K , t > t 0
v(t) trong điều kiện này thỏa (10.2)

L

biến đổi hàm f(t) trong lãnh vực thời gian sang hàm F(s) trong lãnh
Ta nói toán tử
vực tần số phức. Hai hàm f(t) và F(s) làm thành một cặp biến đổi
Thí dụ 10.1
Tìm biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vị
⎧1 , t ≥ 0
u(t) = ⎨
⎩0 , t < 0

L[u(t)] = ∫

Nếu

∞ 1
1
e−st dt = − e−st =
0

0 s
s
V
f(t)=Vu(t) ⇒ [Vu(t)] =
s
∞

L

Thí dụ 10.2
Tìm biến đổi Laplace của f(t) = e-at, a là hằng số

L[e

- at

∞

∞

0

0

] = ∫ e−at e−st dt = ∫ e−( a + s)t dt

=−

1 −( a + s)t ∞
1

e
=
0 s+ a
s+ a

Kết quả của 2 thí dụ trên cho một bảng nhỏ gồm 2 cặp biến đổi

f(t)
u(t)
e-at

F(s)
1
s
1
s+ a

Bằng cách tính biến đổi của một số hàm quen thuộc, ta sẽ xây dựng được một bảng
dùng để tra sau này.

10.2.2 Phép biến đổi Laplace ngược
Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH

LÝ THUYẾT


_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 4

L

1 σ 1 + j∞
(10.3)
F(s)est ds
∫
σ
−
j
∞
2πj 1
Đây là tích phân đường, lấy dọc theo đường thẳng đứng s=σ1, từ -j∞ đến +j∞
−1

f(t) =

F(s) =

jω

+j∞
σ1

σ
-j∞

(H 10.2)

Do tính độc nhất của phép biến đổi Laplace, ta không sử dụng định nghĩa (10.3) để
xác định f(t) mà ta thường dùng kết quả của những cặp biến đổi để xác định f(t) khi đã có F(s)

10.3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI
LAPLACE
10.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính
Cho 2 hàm f1(t) và f2(t), với các hằng số a, b. F1(s) và F2(s) lần lượt là biến đổi Laplace
của f1(t) và f2(t). Ta có:

L [af (t) + bf (t)] = a F (s) + b F (s)
Thật vậy
L[af (t) + bf (t)] = ∫ [af (t) + bf (t)]e
1

2

1

∞

1

2

1

0

(10.4)

2

− st

2

∞

∞

0

0

dt

= a∫ f 1 (t)e - st dt + b ∫ f 2 (t)e - st dt

L

⇒
[af1(t) + bf2(t)] = a F1(s) + b F2(s)
Thí dụ 10.3
Tìm biến đổi Laplace của cosωt và sinωt
Từ công thức Euler
e jωt + e− jωt
e jωt − e− jωt
cosωt =
và sinωt =
2

2j
Ap dụng (10.4) và dùng kết quả ở thí dụ 10.2

L[cosωt] = L[ e +2e
L[cosωt] = s +s ω
jωt

2

− jωt

]=

1 1
1
s
[
+
]= 2
2 s − jω s + jω s + ω 2

2

Tương tự:
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH

LÝ THUYẾT

_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace - 5

L[sin ωt] = L[ e −2je
L[sin ωt] = s +ωω
jωt

2

− jωt

]=

1 1
1
ω
[
−
]= 2
2j s − jω s + jω s + ω2

2

10.3.2 Biến đổi của e-atf(t)

L[e
L[e

- at

-at

∞

∞

0

0

f(t)] = ∫ e−at f(t)e −st dt = ∫ f(t)e −( a + s)t dt = F(s + a)

f(t)] = F(s + a)

(10.5)

Khi hàm f(t) nhân với e-at, biến đổi Laplace tương ứng e-at f(t) có được bằng cách thay
F(s) bởi F(s+a)
Thí dụ 10.4
Tìm biến đổi Laplace của e-atcosωt và e-atsinωt
Chỉ cần thay s bởi s+a trong các các kết quả biến đổi của hàm sinωt và cosωt ở trên.
s+ a
[e - at cosωt] =
(s + a)2 + ω 2
ω
[e - at sinωt] =
(s + a)2 + ω 2

L

L

Thí dụ 10.5
6s
s + 2s + 5
Viết lại F(s) , sao cho xuất hiện dạng F(s+a)
6(s + 1) - 6
6s
=
F(s) =
2
2
(s + 1) + 2
(s + 1)2 + 22
Dùng kết quả của thí dụ 10.4 với a = 1 và ω = 2
F(s) =

Tìm f(t) ứng với

F(s) = 6
⇒

f(t) =

L

2

(s + 1)
2

-3
2
2
(s + 1) + 2
(s + 1)2 + 2 2

-1

[F(s)]=6e-tcos2t - 3e-tsin2t

10.3.3 Biến đổi của f(t-τ)u(t-τ)
f(t-τ) là hàm f(t) trễ τ đơn vị thời gian. (Lưu ý là f(t)=0 khi t<0 nên f(t-τ)=0 khi t<τ)

L[f(t − τ).u(t − τ)] = ∫

∞
0

∞

f(t − τ).u(t − τ)e- st dt = ∫ f(t − τ).e- st dt
τ

Đổi biến số: x= t-τ

L[f(t − τ).u(t − τ)] = ∫
L[f(t − τ).u(t − τ)] = e

∞

0

∞

f(x).e - s(τ + x ) dx = e- sτ ∫ f(x)e - sx dx

-sτ

τ

F(s)

(10.6)

Hãy so sánh (10.5) và (10.6)
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH

LÝ THUYẾT


_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi
Laplace - 6
* Ở (10.5), F(s+a) biểu thị sự chuyển dịch của F(s) từ s đến s+a trong lãnh vực tần số tương
ứng với nhân hàm f(t) với e-at trong lãnh vực thời gian.
* Ở (10.6), f(t-τ) biểu thị sự chuyển dịch của hàm f(t) từ t đến t-τ trong lãnh vực thời gian
tương ứng với nhân F(s) với e-sτ trong lãnh vực tần số.
Thí dụ 10.6
Tìm biến đổi của f(t)=e-3tu(t-2)

Viết lại f(t):
f(t)= e-3(t-2)-6u(t-2) = e-6e-3(t-2) u(t-2)
1
Vì
[e-3tu(t)]=
s+ 3
e-2s
Nên
[e-3(t-2)u(t-2)]=
s+ 3
e-2s
[e-3tu(t-2)]= e-6(
)
s+ 3

L
L
L

10.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem)
Đây là định lý dùng để tìm biến đổi ngược y(t) của tích 2 hàm F(s)và G(s)
y(t)=

L

-1

t

[G(s).F(s)]= ∫ g( τ)f(t − τ)dτ

0

(10.7)

Tích phân trong biểu thức được gọi là kết hợp hai hàm g(t) và f(t), ký hiệu:
g(t)*f(t) =

∫

t
0

g( τ)f(t − τ)dτ

(10.8)

Thí dụ 10.7
Tìm kết hợp 2 hàm e-t và e-2t
Dùng (10.8)
e-t * e-2t =

∫

t
0

e- τ .e− 2(t − τ ) dτ
t

= e− 2t ∫ eτ dτ

0

e-t * e-2t = e-t - e-2t
Thí dụ 10.8
Xác định

L

-1

[

1
]
(s + 1)2
2

Dùng định lý kết hợp với F(s)=G(s)=

1
s +1
2

Ta được f(t)=g(t)=sint
1
-1
[ 2
]= -1[F(s).G(s)]
2
(s + 1)

= g(t)*f(t) =sint*sint

L

L
t

= ∫ sin τ.sin(t − τ)dτ
0

Ap dụng công thức biến đổi lượng giác rồi lấy tích phân, ta được
___________________________________________________________________________
Nguyễn Trung Lập
MẠCH

LÝ THUYẾT