Đề thi học sinh giỏi môn toán 6 huyện vũ thư tỉnh thái bình năm học 2015 2016(có đáp án)

Ubnd huyện vũ th
phòng GIáo Dục & ĐàO Tạo

Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện

Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 6
(Thời gian làm bài: 120 phút )

Bài 1 (4 điểm):
Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016
1 1 1 1
1
1
1

2) B = 1ữ : 1ữ : 1 ữ : 1 ữ : ... : 1ữ : 1ữ :
1ữ
2 3 4 5
98 99 100
Bài 2 ( 4 điểm):
1) Cho C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ... + 42014 + 42015 + 42016
Chứng minh rằng C M21 v C M105
2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc t nhiờn là một
số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Bài 3 ( 4 điểm):
1) Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số
tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4.
x
1

+1=
2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết:
5
y-1
Bài 4 (2 điểm):
1
1
1
1
1
1
1
1
Cho E =
và F =
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
1.101 2.102 3.103
10.110
1.11 2.12 3.13
100.110
E
Tính tỉ số:
F
Bài 5 ( 4 điểm):
ã

ã
Cho tam giác ABC có BAC
= 1200 . Điểm E nằm giữa B và C sao cho BAE
= 300 .
ã
Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho CAx
= 300 , tia Ax cắt BC ở F.
ã
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của EAF
.
ã
ã
b) Gọi AI là tia phân giác của BAC
. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của EAF
.
Bài 6 (2 điểm): Cho biểu thức: D =

( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

2

+ 2 + 2 + 2 + ... +
12
3
5
7
20152
So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3.....n; n N
-------------------Hết----------------

Họ và tên thí sinh: ....................................................... Số báo danh: .........................
Đáp án và biểu điểm
Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2015 - 2016
Môn Toán lớp 6
Bài

ý

Nội dung

Điểm

Bµi 1

(4 ®iÓm)

A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ..... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016
A = (- 1 - 2 + 3 + 4)+(- 5 - 6 + 7 + 8)+(- 9 - 10 + 11 + 12)+ ..... +(-2013 - 2014 + 2015 + 2016)
cã tæng A cã 2016 sè h¹ng nªn cã 2016 : 4 = 504 nhãm
1 Ta
A = 4 + 4 + 4 + ….. + 4 (tæng cã 504 sè 4)
A = 4. 504
A = 2016
VËy A = 2016
1  1  1  1 
 1
  1
  1

B =  − 1÷ :  − 1 ÷ :  − 1÷ :  − 1 ÷ : ..... :  − 1 ÷ :  − 1 ÷ : 
− 1÷
2
3
4
5
98
99
100

 
 
 



 
 

 1  2  3  4
 97   98   99 
B =  − ÷ :  − ÷ :  − ÷ :  − ÷ : ..... :  − ÷ :  − ÷ :  −
÷
 2  3  4  5
 98   99   100 
 1  3  4  5
 98   99   100 
B =  − ÷ .  − ÷ .  − ÷ .  − ÷ . ..... .  − ÷ .  − ÷ .  −
÷
 2  2  3  4
 97   98   99 

2 Ta thÊy tÝch B cã 99 thõa sè ©m nªn tÝch mang dÊu ©m
1.3.4.5.6.....98.99.100
2.2.3.4.5.....97.98.99
100
B=2.2

2,0
®iÓm
0,5
0,25
0,5
0,25

0,5
2,0
®iÓm
0,5
0,5
0,5

B=-

0,5

B = - 25
VËy B = - 25
Bµi 2
1 Cho C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016
(4®iÓm)
Chøng minh r»ng C M21 và C M105
Chøng minh C M21
Ta cã:
C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016

2,0
®iÓm
0,75

C = 4.( 1 + 4 + 42 ) + 44 .( 1 + 4 + 42 ) + ..... + 4 2014. ( 1 + 4 + 4 2 )

0,25

C = ( 4 + 42 + 43 ) + ( 44 + 45 + 46 ) +.....+ ( 42014 + 42015 + 42016 )

C = 4.21 + 44 .21 + ..... + 42014 .21

C = 21.( 4 + 44 + ..... + 42014 )
Do ®ã: C M21
Chøng minh C M105

0,25
1,25
®iÓm
0,75

Chøng minh C M5
C = 4 + 42 + 43 + 4 4 + 45 + 46 + ..... + 4 2014 + 42015 + 4 2016

C = ( 4 + 4 2 ) + ( 43 + 44 ) + ( 45 + 46 ) + ..... + ( 4 2013 + 4 2014 ) + ( 42015 + 4 2016 )
C = 4. ( 1 + 4 ) + 4 .( 1 + 4 ) + 4 . ( 1 + 4 ) + ..... + 4
3

5

C = 5.( 4 + 4 + 4 + ..... + 4 + 4 )
Do ®ã: C M5
Ta cã C M5 vµ C M21 mµ (5 ; 21 ) = 1
3

5

2013

0,25

2015

.( 1 + 4 ) + 4

2013

.( 1 + 4 )

0,25

2015

0,25
0,25
0,5


Do đó C M5.21 hay C M105
2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là
một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Gọi số tự nhiên đó là P (P ạ 0)
Nếu P = 1 ta có 1 = 12 ị P là số chính phơng
Nếu P > 1. Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có P = a x .b y .....c z
(với a, b, ... , c là các số nguyên tố)
Khi đó số lợng các ớc của P là (x + 1).(y + 1).....(z + 1)
Theo bài ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) là số lẻ
ị x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 đều là các số lẻ
ị x, y , ... , z đều là các số chẵn
Do đó x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t

2
Nên P = a 2.m .b 2.n .....c 2.t = ( a m .b n .....c t )
ị P là số chính phơng
Vậy chứng tỏ với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một
số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Bài 3

1 Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng
nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4.
Gọi số tự nhiên đó là a
Theo bài ra ta có: a = 7.p + 5 và a = 13.q + 4 (với p, q ẻ N )
Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) M7
a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) M13
Ta có a + 9 M7 và a+ 9 M13 mà (7 ; 13) = 1
Do đó a + 9 M7. 13 hay a + 9 M91
Vậy a + 9 = 91.k (với k ẻ N )
ị a = 91.k 9 = 91.k 91 + 82 = 91.(k-1) + 82
Nên a chia cho 91 có số d là 82.
2
x
1
+1=
Tìm các cặp số nguyên (x; y) biết:
5
y -1
x
1
x +5
1
+1=

=
Ta có:

( x + 5) .( y - 1) = 5.1
5
y -1
5
y- 1
( x + 5) .( y - 1) = 5.1 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5)
Nên ta có bảng sau
x+5
5
1
-5
-1
y-1
1
5
-1
-5
x
0
-4
-10
-6
y
2
6
0
-4

Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ; (- 6;- 4)
Bài 4
1
1
1
1
1
1
1
1
Cho E =
và F = +
+
+
+ ..... +
+ + ..... +
2 điểm
1.101 2.102 3.103
10.110
1.11 2.12 3.13
100.110
E
Tính tỉ số:
F
1 Ta có
(4điểm)

2,0
điểm
0,5

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2,0
điểm
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2,0
điểm
0,5
0,25
0,75

0,5
2,0
điểm

0,75


1
1
1
1

+
+
+ ..... +
1.101 2.102 3.103
10.110
1 ổ
100
100
100
100 ử
ữ
E=
.ỗ
+
+
+ ..... +
ữ
ỗ
ữ
ố1.101 2.102 3.103
100 ỗ
10.110 ứ
1 ổ
1
1
1
1 1
1
1 ử
ữ

E=
.ỗ
1
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
100
101 2 102 3 103
10 110 ữ
ự
1 ộổ
1 1
1ử ổ
1
1
1
1 ử
ữ
ỗ
ỳ
E=
. ờỗ
1 + + + ..... + ữ

+
+
+
.....
+
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ỗ
ữỳ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
100 ờ
2
3
10
101
102
103
110
ở
ỷ
E=

1
1

1
1
+
+
+ ..... +
1.11 2.12 3.13
100.110
ử
1 ổ10
10
10
10 ữ
F = .ỗ
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ố1.11 2.12 3.13
ứ
10 ỗ
100.110 ữ
ử
1 ổ 1 1 1 1 1
1
1 ữ
F = .ỗ
1+ + + ..... +

ữ
ỗ
ố 11 2 12 3 13
ứ
10 ỗ
100 110 ữ
ự
ử ổ1
1 ộổ 1 1
1 ữ
1
1
1 ử
ữ
ỗ
ỳ
F = . ờỗ
1
+
+
+
.....
+
+
+
+
.....
+
ữ
ữ

ỗ
ỗ
ỗ
ỗ11 12 13
ứ ố
ứỳ
10 ờ
100 ữ
110 ữ
ởố 2 3
ỷ
ử ổ1
ửự
1 ộổ 1 1
1ữ
1
1
1 ữ
ỗ
ỳ
F = . ờỗ
1
+
+
+
.....
+
+
+
+

.....
+
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỳ
ố
ứ
ố
ứ
10 ờ
2
3
10
101
102
103
110
ở
ỷ
2 Ta có
1
E 100
1 10 1
=

=
. =
1
F
100 1 10
10
E
1
Vậy tỉ số =
F 10
Cho tam giác ABC có góc BAC = 1200 . Điểm E nằm giữa B và C
sao cho góc BAE = 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ
tia Ax sao cho góc CAx = 300, tia Ax cắt BC ở F.
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của góc EAF.
c) Gọi AI là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh AI cũng
là tia phân giác của góc EAF.
F=

Bài 5
4 điểm

C

0,5

x
F

I
E

300
A

1

0,75

300
B

2,0
điểm


2

Bài 6
2 điểm

Theo bài ra ta có điểm E nằm giữa hai điểm B và C
Nên tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
Ta có: góc BAE + góc EAC = góc BAC
ị 300 + góc EAC = 1200
ị góc EAC = 1200 300 = 900
Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Ta có: góc CAF = 300
góc CAE = 900
ị góc CAF < góc CAE (vì 300 < 900)
Do đó tia AF nằm giữa hai tia AC và AE

Vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E
ị góc CAF + góc FAE = góc CAE
ị 300 + góc FAE = 900
ị góc FAE = 600
Ta có: AI là tia phân giác của góc BAC
0
Nên góc BAI = góc CAI = gúcBAC = 120 = 600
2
2
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600)
Suy ra tia AF nằm giữa hai tia AC và AI
ị góc CAF + góc FAI = góc CAI
ị 300 + góc FAI = 600
ị góc FAI = 300
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B
Ta có: góc FAE = 600 và góc FAI = 300
ị góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600)
ị Tia AI nằm giữa hai tia AF và AE
0
1
60
0
Hơn nữa góc FAI = góc FAE (vì 30 =
)
2
2
Do đó AI là phân giác của góc FAE.
2
2

2
2
2
2!
2!
2!
2!
2!
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Cho biểu thức D =
+ 2 + 2 + 2 + ..... +
12
3
5
7
20152
So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3..n
Ta có
2
2
2

2
2
( 2!)
( 2!)
( 2!)
( 2!)
( 2!)
D = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... +
1
3
5
7
20152
22
22
22
22
22
D = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... +
1
3
5
7
20152
ổ2
2
2
2 ử
ữ
D = 4 + 2.ỗ

+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố32
52
72
20152 ứ
2
2
2
1
Ta thấy 2 =
<
=1 3
3.3 1.3
3
2
2
2
1 1
=
<
= 2
5

5.5 3.5 3 5

0,75

0,5
0,25
0,5
2,0
điểm
0,5

0,5

0,5
0,5
2,0
điểm

0,5


Do đó

2
2
2
1 1
=
<
= 2

7
7.7 5.7 5 7

2
2
2
1
1
=
<
=
2
2015
2015.2015 2013.2015 2013 2015

0,5

0,5

ổ
1 1 1 1 1 1
1
1 ử
ữ
D < 4 + 2.ỗ
- + - + - + ..... +
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố1 3 3 5 5 7
2013 2015 ứ
ổ
1 ử
ữ
D < 4 + 2.ỗ
1
0,5
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2015 ứ
2
D <4 +2<6
2015
Vậy D < 6
Chú ý: -Trên đây chỉ là hớng dẫn một cách giải cụ thể. Các cách giải khác hợp lý, cho
kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ hình thì không chấm phần hình có
liên quan.
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm từng phần. Không làm tròn.