Một số định lý cơ bản về chuỗi fourier và ứng dụng

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Hương

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Thị Hương

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA CHUỖI FOURIER
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. Nguyễn Anh Tú

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp em đã nhận được sự giúp đỡ,
quan tâm của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên.Em xin chân thành cảm ơn
thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình dạy dỗ em
trong 4 năm vừa qua đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp
này.
Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Anh Tú người đã
trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa
luận tốt nghệp.
Do hạn chế về thời gian nên đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của quý thầy cô và các bạn để đề tài
của em hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên
Trần Thị Hương

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan rằng kết quả nghiên trong khóa luận này là hoàn toàn trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác .Khóa luận tốt nghiệp là công trình
nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Anh Tú. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện đề tài này em có tham khảo một số tài liệu (đã nêu trong
phần tài liệu tham khảo).

Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên
Trần Thị Hương

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI MỞ ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Không gian đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Một số không gian hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

1.5

1.3.1

Không gian Lp

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Không gian lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.3

Không gian C α . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Một số khái niệm hôi tụ . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.1

Hội tụ hầu khắp nơi . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.2

Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.3

Hội tụ trong không gian Lp . . . . . . . . . . .

8

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ CHUỖI FOURIER 11
2.1

Tổng Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i

Footer Page 5 of 161.

11


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

2.2

Hội tụ từng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3

Tổng Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4

Dãy xấp xỉ đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 Ứng dụng của chuỗi Fourier

27

3.1

Ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính một số chuỗi 27

3.2

Ứng dụng chuỗi Fourier để giải các bài toán vật lý . . .

30

3.2.1

Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . .

30

3.2.2

Phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3

3.4

Ứng dụng của chuỗi Fourier trong chứng minh định lý
Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Ứng dụng của chuỗi Fourier trong bài toán đẳng chu .

35

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

37

ii

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong toán học giải tích chiếm một vị trí quan trọng. Các kết
quả của giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của toán
học mà còn áp dụng trong nhiều ngành khoa học khác nữa như:
vật lý, hóa học, thiên văn học...
Trong giải tích các kết quả của chuỗi Fourier không chỉ có ý
nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng. Trong thực
tế có nhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì. Các hàm
số có tính chất như vậy trong toán học được gọi là các hàm số
tuần hoàn. Một trong những hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là
các hàm lượng giác sin 2nπx và cos 2nπx. Trong công trình mang
tính cách mạng năm 1822, Fourier đưa ra một ý tưởng táo bạo là

bất cứ một hàm tuần hoàn chu kỳ 1 nào cũng biểu diễn được dưới
dạng tổng của các hàm lượng giác sin 2nπx và cos 2nπx, n ∈ N.
Mặc dù sau này hàm số không có tính chất trên đã được xây
dựng, công trình của Fourier là nền tảng cho giải tích Fourier.
Đến nay, giải tích Fourier đã trở thành một công cụ không thể
thiếu của nhiều ngành toán học.
Để bước đầu tìm hiểu về lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng
của nó, em chọn đề tài Một số định lý cơ bản về chuỗi Fourier và
ứng dụng.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Footer Page 7 of 161.

1


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

- Trình bày một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier.
- Ứng dụng của chuỗi Fourier.
3. Phạm vi nghiên cứu
- Một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier và ứng dụng
- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu
4. Đối tượng nghiên cứu
- Một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier.
- Ứng dụng của chuỗi Fourier.
5. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận tài liệu tham khảo.
- Phân tích tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp của khóa luận
Khóa luận trình bày một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier và
ứng dụng của nó trong toán học cũng như trong giải các bài toán
vật lý...
7. Cấu trúc khóa luận
Luận văn gồm ba chương. Chương 1 trình bày khái niệm cơ bản
của giải tích phục vụ cho việc phát biểu các kết quả các chương
sau. Chương 2 đề cập một số định lý cơ bản của chuỗi Fourier.
Chương 3 đưa ra một số ứng dụng minh họa cho các định lý trong
Chương 2.
Em chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Anh Tú đã tận tình hướng
dẫn trong việc tìm tài liệu và tập dượt nghiên cứu.

Footer Page 8 of 161.

2


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

Em chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi
cho em trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Tác giả khóa luận

Trần Thị Hương

Footer Page 9 of 161.

3


Header Page 10 of 161.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Không gian topo

Định nghĩa 1.1. Không gian topo là một cặp (X, τ ) trong đó X là
một tập hợp và τ là một họ những tập con của tập hợp X, thỏa mãn
các điều kiện sau:
• ∅ ∈ τ, X ∈ τ.
• Nếu A1 , A2 ∈ τ thì A1 ∩ A2 ∈ τ .
• Nếu {Ai }i∈I ⊂ τ thì

i∈I

Ai ∈ τ .

Tập hợp X được gọi là không gian, các phần tử của X gọi là các
điểm của không gian X. Họ τ gọi là một topo trên X.

1.2

Không gian đo

Định nghĩa 1.2. Một họ M những tập con của tập X gọi là một đại
số những tập con của tập X nếu
• X ∈ M.

Footer Page 10 of 161.

4


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

• Nếu A ∈ M thì Ac = X\A ∈ M.
n
i=1 Ai

• Nếu A1 , .., An ∈ M thì

∈ M.

Định nghĩa 1.3. M gọi là một σ-đại số các tập con của X nếu M
là một đại số những tập con của tập X và thỏa mãn:
∞

A1 , A2 , .. ∈ M thì

Ai ∈ M.
i=1

Định nghĩa 1.4. Cho một không gian topo (X, τ ). σ-đại số nhỏ nhất
chứa tất cả các tập mở trong X được gọi là σ-đại số Borel của không
gian X và được kí hiệu là B(X).
Định nghĩa 1.5. Giả sử M là một σ-đại số những tập con của tập
hợp X. Hàm số µ: M → [0, ∞] là một độ đo trên M nếu
• µ(∅) = 0.
• µ là σ-cộng tính tức là nếu A1 , A2 , ... là một họ đếm được những
tập hợp đôi một rời nhau thuộc M thì
∞

µ(

∞

Aj ) =

j=1

µ(Aj ).
j=1

Bộ ba (X, M, µ) trong đó M là một σ-đại số những tập con của
X, µ là một độ đo trên M, được gọi là một không gian đo.

1.3

Một số không gian hàm

Định nghĩa 1.6. Cho không gian đo (X, M) tập A ∈ M và hàm
f : A → R gọi là đo được trên tập A đối với σ-đai số M nếu:

Footer Page 11 of 161.

5


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

(∀a ∈ R) {a ∈ A : f (x) < a} ∈ M.
1.3.1

Không gian Lp

Định nghĩa 1.7. Cho một không gian đo (X, M, µ) và 1 ≤ p < ∞.
Họ tất cả các hàm số đo được f sao cho
f

|f |p dµ

:=

p

1
p

<∞

X

được gọi là không gian các hàm p-khả tích và được kí hiệu là Lp (X, µ) .
Không gian các hàm đo được bị chặn L∞ (X, µ) được định nghĩa là tập
tất cả các hàm đo được f sao cho
f

∞

:= esssupX |f | < ∞.

Trong các không gian Lp , ta không phân biệt các hàm tương đương
nhau nghĩa là nếu µ{x : f (x) = g(x)} = 0 thì ta coi hai hàm f và g
là một.
Mệnh đề 1.1. Cho 1 ≤ p ≤ ∞. Tập hợp Lp (X, µ) với các phép toán
thông thường về cộng hàm số và nhân hàm số với hằng số cùng với
chuẩn ·
1.3.2

p

là một không gian Banach.

Không gian lp

Định nghĩa 1.8. Với 1 ≤ p < ∞, lp là tập tất cả các dãy số x = (xn )
thỏa mãn

∞

x

p

1

|xn |p ) p < ∞.

:= (
n=−∞

Footer Page 12 of 161.

6


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

l∞ là tập tất cả các dãy số x = (xn ) thỏa mãn
x

∞

:= sup |xn | < ∞.
n

Tương tự như trên, ta có lp với chuẩn ·

p

là một không gian

Banach.
1.3.3

Không gian C α

Định nghĩa 1.9. Cho α ∈ (0, 1). Ta kí hiệu C α [a, b] là tập hợp các
hàm số f liên tục trên [a, b] sao cho tồn tại C > 0 để
|f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|α ,

∀x, y ∈ [a, b].

Ta đặt
[f ]α = sup
x=y

|f (x) − f (y)|
.
|x − y|α

Định nghĩa 1.10. Ta nói f là hàm C α từng khúc trên [a, b] nếu tồn
tại một phân hoạch a = a0 < a1 < a2 < . . . an = b của [a, b] và các
hàm fj ∈ C α [aj , aj+1 ], j = 0, 1, . . . , n − 1 sao cho
f (x) = fj (x), ∀x ∈ (aj , aj+1 ), j = 0, 1, . . . , n − 1.
Ta nhận xét là nếu f là C α từng khúc trên [a, b] thì với mọi x ∈ [a, b]
tồn tại
f (x+) = lim f (x + h), f (x−) = lim f (x − h).
h↓0

Footer Page 13 of 161.

h↓0

7


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4
1.4.1

Trần Thị Hương

Một số khái niệm hôi tụ
Hội tụ hầu khắp nơi

Định nghĩa 1.11. Cho không gian đo (X, M, µ), A ∈ M. Ta nói
dãy hàm {fn } hội tụ hầu khắp nơi tới f trên A nếu ∃B ∈ M sao cho

B ⊂ A, µ(B) = 0 và tại mỗi điểm x ∈ A\B thì dãy {fn (x)} hội tụ
đến f (x).
1.4.2

Hội tụ theo độ đo

Định nghĩa 1.12. Giả sử (X, M, µ) là một không gian đo và f, f1 , f2 ....
là những hàm số đo được hữu hạn hầu khắp nơi. Dãy {fn } gọi là hội
tụ theo độ đo đến hàm số f (x) nếu ∀ε > 0 ta đều có
lim µ ({x ∈ A : |fn (x) − f (x)| ≥ ε}) = 0.

n→∞

µ

Để biểu đạt sự hội theo đọ đo ta dùng kí hiệu fn → f .
1.4.3

Hội tụ trong không gian Lp

Định nghĩa 1.13. Cho không gian đo (X, M, µ) và dãy {fn } ⊂
Lp (X, µ). Dãy fn hội tụ trong Lp đến hàm số f nếu
lim fn − f

n→∞

p

= 0.

Mệnh đề 1.2. Không gian C[a, b] trù mật khắp nơi trong không gian
Lp [a, b]
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh các hàm đơn giản trù mật

Footer Page 14 of 161.

8


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

trong Lp [a, b]. Một hàm đơn giản là hàm có dạng

αi χAi (x) trong
i

đó Ai đo được và rời nhau. Thật vậy, xét hàm bất kì f ∈ Lp [a, b]. Ta
có f = f + − f − với f + , f − ≥ 0. Do đó tồn tại một dãy hàm đơn giản
không âm fn

+

b

f

+

b
+

(f −

hay

fn+ )p

a

Nghĩa là f + − fn+

p

0 = 0.
a

→ 0.Vậy với n đủ lớn ta sẽ có f + − fn+

p

<

ε/2.Tương tự với n đủ lớn ta sẽ có hàm f − với f − − fn− < ε/2. Đặt
g = f + − f − ta được f − g

p

≤ f + − fn+

p

+ f − − fn−

p

< ε. Hàm

g là hiệu của những hàm đơn giản nên cũng là hàm đơn giản. Vì ε bé
tùy ý, ta suy ra tập các hàm đơn giản là trù mật trong Lp [a, b].
Tiếp theo, ta chứng minh C[a, b] là trù mật trong tập các hàm
đơn giản. Thật vậy ta xét hàm χA (x) trong đo A đo được. Với mọi
ε > 0 tồn tại một tập mở G ⊃ A và một tập đóng F ⊂ A sao cho
µ(G\A) < εp /2, µ(A\F ) < εp /2. Tức là µ(G\F ) < εp . Ta lấy hàm
g(x) =

ρ(x, R\G)
,
ρ(x, R\G) + ρ(x, F )

trong đó ρ(x, M ) = inf |x − y| khoảng cách từ x đên tập M . Dễ
y∈M

thấy hàm g = 0 trên tập R\G và bằng 1 trên tập F . Do các hàm
ρ(x, R\G),ρ(x, F ) liên tục và có tổng khác không nên g cũng liên tục.
Hiệu χA (x) − g(x) có giá trị giữa 0 và 1 trên tập G\F và bằng 0 ngoài
tập đó, cho nên
b

χA (x) − g(x)

p

1

1

(χA (x) − g(x))p ) p ≤ (µ(G\F )) p < ε.

=(
a

Mỗi hàm có dang χA (x), với A đo được đều có thể xấp xỉ tùy ý bởi
một hàm liên tục. Do đó C[a, b] trù mật trong không gian các hàm

Footer Page 15 of 161.

9


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

đơn giản, ta suy ra C[a, b] trù mật trong Lp [a, b].

1.5

Tích chập

Định nghĩa 1.14. Giả sử các hàm f và g liên tục trên T khi đó
f ∗ g(x) =

f (y)g (x − y) dy
T

được gọi là tích chập của hàm f và g.
Mệnh đề 1.3. Cho f, g ∈ L1 (T) thì f (x − y)g(y) ∈ L1 (T) trong y với
hầu hết x ∈ T và f ∗ g

1

≤ f

g

1

1

Chứng minh. Ta có
f ∗g

1

|f ∗ g(x)|dx =

=
T

f (x − y)g(y)dy dx
T

≤

T

|f (x − y)g(y)|dydx
T

T

|g(y)|

=
T

|f (x − y| dx dy
T

|g(y)| f

=

L1

= f

1

g 1.

T

Tổng quát hơn ta có
Mệnh đề 1.4. (bắt đẳng thức Young) Giả sử 1 ≤ r, p, q ≤ ∞ sao cho
1+

1
r

=

1
p

+

1
q

và f ∈ Lp , g ∈ Lq . Khi đó ta có
f ∗g

Footer Page 16 of 161.

r

≤ f

10

p

g q.


Header Page 17 of 161.

Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ
CHUỖI FOURIER
2.1

Tổng Dirichlet

Định nghĩa 2.1. Với f ∈ L1 (T), trong đó T = R/Z ta định nghĩa
chuỗi Fourier của f là chuỗi hình thức
+∞

f (n)e2πinx ,
n=−∞

trong đó f (n) =

Te

−2πinx

f (x)dx, ∀n ∈ Z được gọi là các hệ số Fourier

của f .
Chuỗi Fourier định nghĩa như trên chỉ là một chuỗi hình thức và
có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Một điều kiện cần (nhưng không đủ) để
một chuỗi hội tụ là các số hạng của dãy tiến về không. Điều này được
khẳng định qua bổ đề cơ bản sau.
Mệnh đề 2.1. (Bổ đề Riemann-Lebesgue) Nếu f ∈ L1 (T) thì f (n) → 0
khi |n| → ∞.

Footer Page 17 of 161.

11


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

Chứng minh. ta có:
1

f (x)e−2πinx dx

f (n) =
0
1

1

f (x) cos 2nπxdx − i

=
0

f (x) sin 2nπxdx
0

mà
1

1

f (x) sin 2nπxdx = − f (x) sin 2nπ(x +
0
1
1+ 2n

0

=−

f (x −
0
1

= − f (x −

0
1
2n

0
1
1+ 2n

f (x −

1
1

= − f (x −
0
1

⇒2

1
2n ) sin 2nπxdx

1
2n ) sin 2nπxdx

1
2n ) sin 2nπxdx

f (x −

+

1
2n )dx

1
2n ) sin 2nπxdx

1
2n ) sin 2nπxdx

+ 0(1)

1

[f (x) − f (x −

f (x) sin 2nπxdx =
0

1
)] sin 2nπxdx + 0(1)
2n

0
1

Ta đã biết nếu f ∈ C(T) thì

[f (x) − f (x −

0

1
2n )] sin 2nπxdx

n → ∞.
Mà C(T) trù mật trong L1 (T).
1

[f (x) − f (x −

Nên
0

Footer Page 18 of 161.

1
2n )] sin 2nπxdx

12

→ 0 khi n → ∞.

→ 0 khi


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

1

f (x) sin 2nπxdx → 0 khi n → ∞ với ∀f ∈ L1 (T).

⇒
0

1

f (x) cos 2nπxdx → 0 khi n → ∞ với ∀f ∈ L1 (T).

Tương tự ta có
0
1

Vậy nếu f ∈ L (T) thì f (n) → 0 khi |n| → ∞.
Để nghiên cứu sâu hơn tính hội tụ của chuỗi Fourier, ta định nghĩa
các tổng riêng, còn gọi là tổng Dirichlet, như sau
N

N
2πinx

f (n)e

SN f (x) =

T

n=−N

n=−N

e−2πniy f (y)dy

e2πinx

=

N

e2πni(x−y) f (y)dy

=
T

n=−N

DN (x − y)f (y)dy = (DN ∗ f )(x)

=
T

Ở đây DN (x) =

N
n=−N

e2πinx được gọi là nhân Dirichlet. Rõ ràng

là DN quyết định tính hội tụ của chuỗi Fourier. Các tính chất cơ bản
của DN được liệt kê trong hai mệnh đề tiếp theo.
Mệnh đề 2.2.

1. ∀N ≥ 0 thì DN (x) =

sin((2N +1)πx)
.
sin πx

2. Tồn tại một hằng số dương C sao cho ∀N > 0 và ∀x ∈ T ta có
1
|DN (x)| ≤ C min(N, |x|
).

Chứng minh.

1. Ta có
N
2πinx

DN (x) =

e

n=−N
−(2N +1)ix

e−2πi(N +1)x − e2πiN x

=
e−2πix − 1

− e(2N +1)πix
=
e−πix − eπix
sin((2N + 1)πx)
=
.
sin πx
e

Footer Page 19 of 161.

13

(2.1)
(2.2)
(2.3)


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

2. Ta có
n=N

n=N

|DN (x)| =

e

2πinx

e2πinx = 2N + 1.

≤
n=−N

n=−N

Hơn nữa, từ mục trước, ta có
n=N

e2πinx =

|DN (x)| =
n=−N

Đặt f (x) =

sin πx
x

sin((2N + 1)πx
1
≤

sin πx
|sin πx|

là hàm liên tục trên [0, 12 ].Ta có
f (x) =

πx cos πx − sin πx
.
x2

Đặt f1 (x) = πx cos πx − sin πx. Ta có
f1 (x) = −π 2 x sin πx < 0

1
∀x ∈ (0, ).
2

Vì f1 (0) = 0 ta suy ra f1 (x) < 0 với mọi x ∈ (0, 12 ). Vậy f (x) là
hàm nghịch biến trên (0, 12 ), kéo theo
sin πx
≥2
x

1 1
∀x ∈ [− , ].
2 2

1
Ta suy ra |DN (x)| ≤ C min(N, |x|
)

Mệnh đề 2.3.

1.

T DN (x)dx

= 1 với mọi N ≥ 0.

2. Tồn tại một hằng số dương C sao cho C −1 log N ≤ DN
C log N với mọi N > 1.

Footer Page 20 of 161.

14

L1 (T)

≤


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chứng minh.

Trần Thị Hương

1. Ta có
N

e2nπix dx = 1

DN (x)dx =
T

n=−N

T

2. Ta có
DN

L1 (T)

|DN (x)| dx +

=

|x|≤1/N
1/2

|DN (x)|dx
|x|>1/N

C
dx = C + C ln N ≤ 2C ln N,
|x|

≤ C+

1
N

với mọi N > 2.
2k+ 1

2k+ 3

Để chứng minh chặn dưới, ta nhận xét là nếu x ∈ [ 2N +14 , 2N +14 ]
thì
|DN (x)| ≥ √

1
.
2π|x|

Do đó
3
2k+ 4
2N +1

DN

L1 (T)

≥
2|k|[N/2]

≥ C

k=0

2.2

2k+ 1
4
2N +1

1
2k +

3
2k+ 4
2N +1

|DN (x)|dx ≥
2|k|
3
4

2k+ 1
4
2N +1

√

1
2π|x|

≥ C ln N.

Hội tụ từng điểm

Trong phần này ta nghiên cứu tính hội tụ từng điểm của chuỗi Fourier.
Ta sẽ chứng minh là tồn tại một hàm liên tục f mà SN f (0) phân kỳ.
Tuy vậy, chỉ cần hàm f trơn hơn một chút (thuộc C α (T)) là chuỗi

Footer Page 21 of 161.

15


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

Fourier của nó hội tụ.
Ta bắt đầu với một kết quả quan trọng là nguyên lý địa phương.
Định lý 2.1. Giả sử f ∈ L1 (T). Khi đó với bất kì δ ∈ (0, 21 ) và x ∈ T
nào, tính hội tụ của chuỗi Fourier của hàm f tại điểm x chỉ phụ thuộc
vào giá trị của hàm f trong khoảng (x − δ, x + δ).
Chứng minh. Do nhân Dirichet DN là hàm chẵn, ta có
f (x − y)DN (y)dy

SN f (x) =

T
0

1
2

f (x − y)DN (y)dy +

=
− 21
1
2

f (x − y)DN (y)dy
0
1
2

f (x − y)DN (y)dy

f (x + y)DN (y)dy +

=
0

0
1
2

=
0

Do hàm g(y) =

f (x − y) + f (x + y)
sin((2N + 1)πy)dy.
sin πy

f (x−y)+f (x+y)
sin πy

với y ∈ (δ, 12 ) thuộc L1 , nên theo bổ

đề Riemann-Lebesgue
1
2

lim

N →∞

δ

f (x − y) + f (x + y)
sin((2N + 1)πy)dy = 0.
sin πy

Như vậy sự hội tụ của SN f khi N → ∞ chỉ phụ thuộc vào các đại
lượng
δ
0

f (x + y) + f (x − y)
sin((2N + 1)πy)dy,
sin πy

N = 1, 2, 3, . . . ,

tức là chỉ phụ thuộc vào giá trị của f trong δ lân cận của x.
Định lý 2.2. Tồn tại một hàm f liên tục trên T sao cho chuỗi Fourier
của f tại 0 phân kỳ.

Footer Page 22 of 161.

16


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

Chứng minh. Kết quả này thực ra là một hệ quả đơn giản của nguyên
lý bị chặn đều trong giải tích hàm. Ta đã biết C(T) là một không gian
Banach và TN (f ) := SN f (0) là các phiếm hàm liên tục trên C(T).
Nếu TN (f ) hội tụ với mọi f ∈ C(T) thì các phiếm hàm TN phải bị
chặn đều, tức là tồn tại một hằng số A sao cho
|TN (f )| ≤ A f

C(T) ,

với mọi f ∈ C(T). Nhưng ta có thể dễ dàng chứng minh, từ kết quả

của Mệnh đề 2.3, là
TN ≥ C ln N,
với một hằng số C > 0 nào đó. Mâu thuẫn này chứng minh sự tồn tại
của hàm f cần tìm.
Định lý 2.3. Giả sử hàm f là khả vi từng khúc trên T. Khi đó với
mọi x ∈ T, chuỗi Fourier của hàm f tại x hội tụ đến

f (x+)+f (x−)
.
2

Đặc

biệt, nếu f liên tục tại điểm x thì SN f (x) → f (x) khi N → ∞.
Chứng minh. Ta có
1
2

f (x − y) + f (x + y)
sin((2N + 1)πy)dy
sin πy
0
1
2 f (x − y) − f (x−) + f (x + y) − f (x+)
=
sin((2N + 1)πy)dy
sin πy
0
f (x+) + f (x−)
+

.
2

SN f (x) =

Đặt g(y) =

f (x−y)−f (x−)+f (x+y)−f (x+)
,
sin πy

y ∈ [0, 21 ] . Vì f là hàm C α

từng khúc, tồn tại C > 0 sao cho ∀y ∈ [0, 21 ], |g(y)| ≤ Cy α−1 . Vì vậy

Footer Page 23 of 161.

17


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

g ∈ L1 [0, 12 ]. Theo bổ đề Riemann-Lebesgue,
1
2

lim

N →∞

g(y) sin((2N + 1)πy)dy = 0.
0

Ta suy ra
lim SN f (x) =

N →∞

f (x+) + f (x−)
.
2

Định lý 2.4. Nếu f ∈ C α (T) với (0 < α < 1) thì SN f − f

∞

→0

khi N → ∞.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ T ta định nghĩa hàm gx như sau
gx (y) =

f (x − y) + f (x + y) − 2f (x)
1
, y ∈ [0, ].
sin πy
2

Ta cần chứng minh
1
2

SN f (x) − f (x) =

N →∞

gx (y) sin((2N + 1)πy)dy −→ 0
0

đều theo x.
Vì f ∈ C α , tồn tại C > 0 sao cho |gx (y)| ≤ Cy α−1 với mọi y ∈
[0, 1/2] và x ∈ T.
Với δ > N −1 sẽ chọn cụ thể sau, ta có
δ

δ

Cy α−1 dy =

gx (y) sin((2N + 1)πy) ≤
0

Footer Page 24 of 161.

0

18

Cδ α
.
α


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Hương

Ta biến đổi
1
2

B :=

gx (y) sin((2N + 1)πy)dy
δ
1
2

= −

gx (y) sin((2N + 1)πy + π)dy
δ

= −

1

1
2 + 2N +1
1
δ+ 2N +1

gx (y −

1
2N +1 ) sin((2N

+ 1)πy)dy.

Suy ra
1
2

2B =

gx (y) sin((2N + 1)πy)dy
δ

−

=

1
1
2 + 2N +1
1
δ+ 2N +1

1
δ+ 2N +1

gx (y −

1
2N +1 ) sin((2N

+ 1)πy)dy

gx (y) sin((2N + 1)πy)dy

δ
1
1
2 + 2N +1

−

gx (y −

1
2

1
2N +1 ) sin((2N

1
2

+

1
δ+ 2N +1

(gx (y) − gx (y −

+ 1)πy)dy

1
2N +1 )) sin((2N

+ 1)πy)dy.

Ta đánh giá lần lượt từng số hạng bên vế phải. Dùng đánh giá
|gx (y)| ≤ Cy α−1 ta thu được
1
δ+ 2N +1

|

gx (y) sin((2N + 1)πy)dy| ≤ CN −1 δ α−1 ,

δ

và

1
1
2 + 2N +1

|
1
2

Footer Page 25 of 161.

gx (y −

1
2N +1 ) sin((2N

19

+ 1)πy)dy| ≤ CN −1 .