Tính ổn định hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯỜNG THANH NGA

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái nguyên, năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯỜNG THANH NGA

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH Vũ Ngọc Phát

Thái nguyên, năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ö❝ ❧ö❝
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

✶ ❈ì sð t♦→♥ ❤å❝

✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➔♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤✱ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❤➺ ❝â tr➵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤ ❤➺ ❝â tr➵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ✤✐➲✉
❦❤✐➸♥ ❝â tr➵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸ ▼ët sè ❜ê ✤➲ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✼
✼
✾
✶✶
✶✷

✶✷
✶✸
✶✹

✷ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤
❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ❝â tr➵
✶✻
✷✳✶ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ✳ ✳ ✶✻
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✷✳✶✳✶ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✷ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ✳ ✳
✷✳✷ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ❝â
tr➵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ❝â tr➵ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ❝â
tr➵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻
✷✵
✷✸
✷✸
✸✶

✸ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ❝â
tr➵ ❤é♥ ❤ñ♣

✸✻
✸✳✶ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ❝â tr➵ ❤é♥ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳
✸✳✷ ❙ü ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ❝â tr➵ ❤é♥ ❤ñ♣
✸✳✸ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❜➲♥ ✈ú♥❣ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ætæ♥æ♠ ❝â tr➵ ✳ ✳
❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✺✺

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✸✻
✹✻
✺✵
✺✹




▼❐❚ ❙➮ ❑➑ ❍■➏❯ ❉Ò◆● ❚❘❖◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆
• R+ ✿

❚➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳

• Rn ✿

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➨❝ tì n ✲ ❝❤✐➲✉ ✈î✐ ❦➼ ❤✐➺✉ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❧➔
❝❤✉➞♥ ✈➨❝ tì ❧➔ ||.||✳

• Rn×r ✿

❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [a, b] ✈➔ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr➯♥ Rn✳

• L2 ([a, b], Rm )✿
Rm ✳

• I✿

✈➔

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ (n × r) ✲ ❝❤✐➲✉✳

• C([a, b], Rn )✿

• AT ✿

., .

❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ ❤❛✐ tr➯♥ [a, b] ❧➜② ❣✐→ trà tr♦♥❣

▼❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A✳

▼❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à✳

• λ(A)✿

❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ A✳

• λmax (A)

✿❂♠❛① {Reλ : λ ∈ λ(A)}✳

• BM + (0, ∞)✿

❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ ❜à
❝❤➦♥ tr➯♥ (0, ∞)✳

• A > 0✿

▼❛ tr➟♥ A ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳

• A ≥ 0✿

▼❛ tr➟♥ A ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳

• ||A|| =

λmax (AT A)✿

❈❤✉➞♥ ♣❤ê ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❆✳

✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ớ

ỵ tt ờ ữủ t ự tứ ố t
t ồ ữớ r q q tr t tr ỡ ởt
tr ỵ tt ổ tọ r ờ tr ởt ỵ
tt t ồ t tr t ữủ t tỹ rỹ rù
tr t q sỹ t tr ỵ tt ự ử
ú ừ õ ỵ tt ờ ữủ ự
t tr ữ ởt ỵ tt t ồ ở ữủ ự ử tr
ỹ ữ t ồ tt s t ồ
tố ữ tố
ữ ú t t õ ữỡ ự t ờ
ừ ữỡ tr ộ ữỡ õ ỳ ữ ữủ
r r ú tổ ự t ờ ờ
ừ ữỡ tr õ tr ữỡ
ỏ ồ ữỡ tự ởt ữỡ
rt ỳ tr ự t t ờ ừ ữỡ
tr ỗ tớ ữỡ ụ ởt ổ ử q trồ
tr ỵ tt t ở ỹ
ỗ ữỡ ử t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




ữỡ ỡ s t ồ
r ữỡ ú tổ tr ởt số tự ỡ s ữỡ
tr õ tr t ờ ờ
ữỡ tr õ tr ởt số ờ ũ ự
t q ữỡ s
ữỡ ờ ờ t t ổ ổtổổ õ

tr
r ữỡ ú tổ tr ởt số t q sỹ ờ ụ
ởt số ợ ởt ữỡ tr t t ổ ổtổổ õ
tr ờ t ụ ờ ụ ởt số ử
ữỡ ờ ờ t t ổ ổtổổ õ
tr ộ ủ
r ữỡ ú tổ tr ởt số t q sỹ ờ ụ
ởt số ợ ởt ữỡ tr t t ổ ổtổổ õ
tr ộ ủ ởt số ử
ổ tọ ỏ ử t ỡ s s tợ ụ ồ
Pt ữớ t t t tổ tr sốt q tr
ổ ữủ tọ ỏ t ỡ tợ t ổ tr ồ
ú ù tổ t
ỗ tớ tổ ụ tọ ỏ t ỡ tợ ỳ t ổ
ồ trữớ ồ sữ ú ù t
tổ tr q tr ồ t t trữớ
ố ũ tổ ỡ ỳ ữớ t ỳ ữớ ổ
ở ừ ở ộ ỹ t t tổ tr ở số ồ t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝è ❣➢♥❣ r➜t ♥❤✐➲✉ ♥❤÷♥❣ ✈➻ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ tr➻♥❤ ✤ë ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳
♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ s❛✐ ❧➛♠✱ t❤✐➳✉ sât✳ ❚æ✐ r➜t ♠♦♥❣
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ❝❤➾ ❜↔♦ ✈➔ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ q✉➼ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦

✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




❈❤÷ì♥❣ ✶
❈ì sð t♦→♥ ❤å❝
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t➼♥❤ ê♥
✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣ ✈➔ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝â tr➵ ❬✸❪✱ ❬✺❪✱ ❬✽❪✳

✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ê♥ ✤à♥❤ ❤♦→

✶✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ê♥ ✤à♥❤
❳➨t ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ✤÷ñ❝ ♠æ t↔ ❜ð✐ ♠ët ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✿

x(t)
˙
= f (t, x(t)), t ≥ t0 ✱
 x(t ) = x ,
t0 ≥ 0✱
0
0

✭✶✳✶✮

tr♦♥❣ ✤â✿ f (t, x) : R+ × Rn → Rn✱ ✈î✐ ♠é✐ t ≥ t0, x(t) ∈ Rn✳
❈❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t ❤➺ ✭✶✳✶✮ ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t x(t, x0) tr➯♥ [0, ∞)✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ◆❣❤✐➺♠ x0(t) ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ sè
ε > 0✱

✈î✐ ♠å✐ t0 ≥ 0✱ tç♥ t↕✐ sè δ > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ y(t) ❦❤→❝
x0 (t) ✈î✐ y(t0 ) = y0 ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮ t❤♦↔ ♠➣♥ ||y0 − x0 || < δ t❤➻ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




s❛✉ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣✿
||y(t) − x0 (t)|| < ε, ∀t ≥ t0 .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ◆❣❤✐➺♠ x0(t) ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ ♥➳✉

♥❣❤✐➺♠ ✤â ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ tç♥ t↕✐ sè δ0 > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ||y0 − x0|| < δ0 t❤➻
lim y(t) − x0 = 0.

t→∞

❱➟② t❛ ❝â✿ ◆❣❤✐➺♠ x0(t) ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ ♥➳✉ ♥â ê♥ ✤à♥❤ ✈➔ ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠
y(t) ❦❤→❝ ❝â ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ y0 ❣➛♥ ✈î✐ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ x0 s➩ t✐➳♥ ❣➛♥ x(t)
❦❤✐ t t✐➳♥ tî✐ ✈æ ❝ò♥❣✳
❱î✐ x0(t) ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮✱ ❜➡♥❣ ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ z(t) = x(t) −
x0 (t)✱ ❤➺ ✭✶✳✶✮ s➩ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✈➲ ❞↕♥❣✿

z(t)
˙ = F (t, z(t)), t ≥ t0 , F (t, 0) = 0,
 z(t ) = z ,

0

✭✶✳✷✮

0

tr♦♥❣ ✤â✿
F (t, z(t)) = f (t, z(t) + x0 (t)) − f (t, x0 (t)).

❑❤✐ ✤â✿ z ≡ 0 ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✷✮ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ z(t0) = z0✳
◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ x0(t)
♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✈➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣
✭♥❣❤✐➺♠ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ❜➡♥❣ ✵✮ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✷✮✳ ✣➸ ♥❣➢♥ ❣å♥✱ tø ♥❛② t❤❛② ✈➻ ♥â✐
♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✷✮ ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ t❛ s➩ ♥â✐ ❤➺ ✭✶✳✷✮ ❧➔ ê♥ ✤à♥❤✳ ❉♦ ✈➟②✱
tø ❜➙② ❣✐í t❛ ①➨t ❤➺ ✭✶✳✶✮ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❤➺ ❝â ♥❣❤✐➺♠ 0✱ tù❝ ❧➔✿
f (t, 0) = 0, t ∈ R+ .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❍➺ ✭✶✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ê♥ ✤à♥❤ ♥➳✉ ❜➜t ❦ý sè ε > 0, t0 ≥ 0
tç♥ t↕✐ sè δ > 0 s❛♦ ❝❤♦ ❜➜t ❦ý ♥❣❤✐➺♠ x(t) ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ x(t0) = x0
t❤♦↔ ♠➣♥ ||x0|| < δ t❤➻ t❛ ❝â ||x(t)|| < ε, ✈î✐ ♠å✐ t ≥ t0.
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not

read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....