Ứng dụng của tích phân trong các bài toán thực tế và toán sơ cấp

✬

✩

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————————o0o————————

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC
BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

✫

Hà Nội – Năm 2016

✪


✬

✩

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————————o0o————————

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC
BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN

Hà Nội – Năm 2016
✫

✪


i

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới các thầy giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa và
trong suốt thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.s Nguyễn Quốc Tuấn giảng viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp
hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trình làm
khóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân
còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất

mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn
đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Quốc Tuấn.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài này tôi đã tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định đề tài “Ứng dụng của tích phân trong các bài
toán thực tế và toán sơ cấp” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và
nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với khóa luận trước đó.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

i


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Một số kiến thức cơ bản

3

1.1

Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Các tính chất và định lý của tích phân . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Các định lý tích phân . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Tích phân xác định và nguyên hàm . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Tích phân xác định là hàm theo cận trên . . . . .

8

1.3.2

Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Tính toán và biến đổi các tích phân . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Công thức Newton- Leibnitz . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Đổi biến trong tích phân

. . . . . . . . . . . . .

9

1.4.3

Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . .

10

1.3

1.4

2 Ứng dụng của tích phân trong bài toán thực tế
2.1

11

Ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích, độ dài .

11

2.1.1

Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.2

Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.3

Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . .

22

ii


Khóa luận tốt nghiệp

2.1.4
2.2

Nguyễn Thị Thùy Dương

Tính diện tích của vật thể tròn xoay . . . . . . .

27

Ứng dụng của tích phân trong vật lý . . . . . . . . . . .

33

2.2.1

Moment và trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.2

Ứng dụng tích phân trong các bài tập điện . . . .

38

2.2.3

Bài toán tính Công . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2.4

Bài toán Lực-Áp suất . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.2.5

Bài toán Phân hủy-Phóng xạ . . . . . . . . . . .

49

3 Ứng dụng của tích phân trong toán sơ cấp
3.1

Ứng dụng của tích phân trong bài toán chứng minh đẳng
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

52

52

Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh sự tồn
tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.3

Ứng dụng của phép tính tích phân trong bài toán cực trị

59

3.4

Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh bất
đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

61

Ứng dụng của phép tính tích phân để tính giới hạn của dãy 65

Kết luận

68

Tài liệu tham khảo

69

iii


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

Lời mở đầu
Lĩnh vực về Tích phân có vị trí rất đặc biệt trong toán học, nó không
chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Giải tích mà còn là một công
cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực của lý thuyết hàm số và các ứng dụng
liên quan. Bản thân phép tính tích phân thường được sử dụng trong
nghiên cứu Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Y học. . . như một giải pháp
hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể của các hoạt động thực tiễn.
Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây
2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính

diện tích bề mặt và thể tích của một vài hình như hình cầu, hình parabol
và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời
ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng
thập phân. Tích phân đã chính thức được khám phá bởi Isaac Newton
(1642–1727) và Leibniz (1646–1716) với ý tưởng chủ đạo là tích phân và
vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình
thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài
toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.
Trong định nghĩa của tích phân xác định đã sử dụng chia nhỏ hình
phẳng để tính diện tích của một hình phẳng đó cũng như chia nhỏ vật
thể để tính khối lượng của một vật thể đó khi biết hàm mật độ khối. Vì
thế, tích phân xác định từ nội tại đã có những ứng dụng trong thực tế.
Một số ứng dụng tích phân trong thực tế đã được nghiên cứu như
tính diện tích, tính thể tích, độ dài đường cong, tính monent, tìm trọng
tâm, tính cường độ điện trường, điện trở, từ trường, công, lực áp suất...
1


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

Những ứng dụng trong hình học đã được đề cập khá nhiều trong các
sách giáo khoa, sách chuyên khảo nâng cao, cũng như trong các đề thi
vào Đại học nhiều năm. Nhưng việc sử dụng Toán học có hiệu quả trong
việc giải các bài toán của Vật lý là việc rất khó đối với học sinh phổ
thông, kể cả các học sinh khá, giỏi.
Ứng dụng tính phân trong toán sơ cấp như chứng minh đẳng thức,
chứng minh sự tồn tại nghiệm, tìm cực trị, chứng minh bất đẳng thức,
tính giới hạn của dãy đã được đề cập khá nhiều trong các sách giáo khoa,

sách chuyên khảo nâng cao, cũng như trong các đề thi vào Đại học và
đề thi Olympic nhiều năm.
Khóa luận này gồm mở đầu; ba chương nội dung; kết luận và tài liệu
tham khảo.
Chương 1: trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định. Kiến
thức của chương này dựa trên các tài liệu [2], [7] và một số tài liệu khác.
Chương 2: trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hình
học và Vật lý.
Chương 3: trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong toán sơ
cấp.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016.
Tác giả khóa luận

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG
2


Chương 1
Một số kiến thức cơ bản
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định.

1.1

Định nghĩa tích phân

Định nghĩa 1.1 (xem [2]). Cho hàm f xác định trên đoạn [a, b]. Ta
thực hiện phép phân hoạch Π chia đoạn [a, b] thành n đoạn con [xi−1 , xi ]

(i = 1, 2, ..., n) bởi các điểm chia tùy ý
a = x0 < x1 < ... < xn = b.

(1.1)

Đặt ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, ..., n) và kí hiệu d = max ∆xi gọi là đường
1≤i≤n

kính của phép phân hoạch Π. Trên mỗi đoạn [xi−1 , xi ] chọn một điểm
tùy ý ξi (i = 1, 2, ..., n). Khi đó, tổng
n

Sf (Π, ξ) =

f (ξi )∆xi = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 + ... + f (ξn ) ∆xn ,
i=1

(1.2)

3


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

được gọi là tổng tích phân của hàm f trên [a, b] ứng với phép phân hoạch
Π và cách chọn các điểm ξi . Nếu khi d → 0 mà tổng (1.2) tiến về một
giới hạn hữu hạn I không phụ thuộc vào phép phân hoạch Π và cách
chọn điểm ξi trên [xi−1 , xi ] thì ta nói hàm f khả tích trên đoạn [a, b] và

giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm số f lấy trên đoạn [a, b], kí
b

f (x)dx, hay

hiệu là
a

n

b

f (x)dx = lim

d→0 i=1

a

f (ξi ) ∆xi .

(1.3)

Nhận xét 1.1. Tích phân xác định không phụ thuộc vào sự lựa chọn
biến lấy tích phân
b

b

f (x)dx =
a

1.2
1.2.1

b

f (y)dy =
a

f (t)dt, ...
a

Các tính chất và định lý của tích phân
Các tính chất cơ bản

Trong phần này, ký hiệu [a, b] có thể được hiểu là các khoảng
a ≤ x ≤ b, a ≥ x ≥ b.
i. Giả sử f , g là những hàm khả tích trên [a, b], còn α, β là các số thực
tùy ý. Khi đó, hàm αf (·) + βg(·) khả tích trên đoạn [a, b] và ta có đẳng
thức

b

b

[αf (x) + βg(x)]dx = α
a

b

f (x)dx + β
a

g (x)dx.
a

ii. Nếu f khả tích trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [b, a],

4


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

ngoài ra
b

a

a

f (x)dx = −
a

f (x)dx = 0.

f (x)dx,
a

b

iii. Giả sử f khả tích trong ba khoảng [a, b]; [b, c] và [a, c]. Khi đó,
hàm f khả tích ta có
b

c

f (x)dx =

b

f (x)dx +

a

a

f (x)dx.
c

Trong phần này, ký hiệu [a, b] là khoảng mà a < b.
iv. Nếu f (x) ≥ 0 trên khoảng [a, b] (a < b), f ≡ 0 thì
b

f (x)dx > 0.
a

v. Nếu f (x) ≤ g (x), với mọi x ∈ [a, b] , a < b thì
b

b

f (x)dx ≤
a

g (x)dx.
a

vi. Nếu f khả tích trên [a, b], a < b thì
b

|

b

|f (x)|dx.

f (x) dx| =
a

a

vii. Cho f là hàm khả tích trên [a, b], m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b]
thì

b

m (b − a) ≤

f (x)dx ≤ M (b − a) .
a

5


Khóa luận tốt nghiệp

1.2.2

Nguyễn Thị Thùy Dương

Các định lý tích phân

Định lý 1.1 (xem [2]). Mọi hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b] thì khả
tích trên đoạn đó.
Định lý 1.2 (xem [5]). Giả sử hàm số y = f (x) xác định và liên tục
trên [a, b]. Khi đó, nếu tồn tại các số thực x1 , x2 ∈ [a, b] với x1 < x2 sao
x2

f (x) dx = 0 thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong (x1 , x2 ).

cho
x1

Định lý 1.3 (xem [5]). Cho hai số thực a, b trái dấu (a < 0 < b) và f là
một hàm số liên tục, không đổi dấu (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn
x

điểm) trên [a, b]. Khi đó, trong [a, b] phương trình F (x) =

f (t)dt = 0
0

có nghiệm duy nhất x = 0.
Định lý 1.4 (xem [5]). Cho ba số thực a, b, c (a ≤ c ≤ b, a < b) và f là
một hàm số liên tục, không đổi dấu (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn
điểm) trên [a, b]. Khi đó, trong đoạn [a, b] phương trình
x

F (x) =

f (t)dt = 0
c

có nghiệm duy nhất x = c.
Định lý 1.5 (xem [5]). Cho f là hàm liên tục và đồng biến trên [0, b],
với mọi a ∈ [0, b] thì
a

b

f (x)dx ≥ a

b
0

f (x)dx.

(1.4)

0

Tương tự, khi f liên tục và nghịch biến trên [0, b], với mọi a ∈ [0, b] thì
a

b

f (x)dx ≤ a

b
0

f (x)dx.
0

6

(1.5)


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

Định lý 1.6 (Định lý trung bình tích phân thứ nhất, xem [7]). Giả sử
f khả tích trên [a, b] (a < b hoặc a > b) và m ≤ f (x) ≤ M , với mọi
x ∈ [a, b]. Khi đó, tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho
b

f (x)dx = µ (b − a) .
a

Định lý 1.7 (Định lý trung bình tích phân thứ nhất mở rộng, xem [7]).
Nếu hàm số f, ϕ khả tích trên đoạn [a, b], ϕ (x) không thay đổi trong
khoảng (a, b); kí hiệu M = sup f (x) , m = inf f (x) thì tồn tại một
x∈[a,b]

x∈[a,b]

số µ, m ≤ µ ≤ M , sao cho
b

b

f (x)ϕ (x) dx = µ
a

ϕ (x)dx.

(1.6)

a

Hệ quả 1.1. Nếu f là hàm liên tục trong đoạn [a, b] thì tồn tại một số
c, a ≤ c ≤ b sao cho
b

b

f (x) ϕ (x) dx = f (c)
a

ϕ (x)dx.

(1.7)

a

Định lý 1.8 (Định lý trung bình tích phân thứ hai, xem [7]). .
i. Nếu trong đoạn [a, b] (a < b); hàm f liên tục, không âm và đơn điệu
giảm, còn hàm g khả tích trên [a, b], thì
b

ξ

g (x)dx, ξ ∈ [a, b] .

f (x)g (x) dx = f (a)
a

(1.8)

a

ii. Nếu trong đoạn [a, b] (a < b); hàm f liên tục, không âm và đơn
điệu tăng, còn hàm g khả tích trên [a, b], thì
b

b

g (x)dx, ξ ∈ [a, b] .

f (x)g (x) dx = f (b)
a

ξ

7

(1.9)


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

iii. Nếu trong đoạn [a, b] (a < b); hàm f liên tục, không âm và đơn
điệu giảm, còn hàm g khả tích trên [a, b], thì
b

ξ

f (x) g (x) dx =f (a)
a

b

g (x) dx, ξ ∈ [a, b]. (1.10)

g (x) dx + f (b)
a

ξ

1.3

Tích phân xác định và nguyên hàm

1.3.1

Tích phân xác định là hàm theo cận trên

Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó, tồn tại tích phân xác
định với cận trên biến đổi trong đoạn [a, b]
x

f (t)dt, a ≤ x ≤ b.

F (x) =

(1.11)

a

Định lý 1.9 (xem [2]). Nếu f là hàm liên tục trong [a, b], thì F khả vi
trên [a, b] và có đạo hàm F (x) = f (x) với mọi x ∈ [a, b].
1.3.2

Nguyên hàm

Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa nguyên hàm, xem [2]). Cho hàm số f
xác định trong khoảng mở (a, b). Khi đó, ta nói rằng hàm số F xác
định trong (a, b) là một nguyên hàm của f nếu F khả vi trong (a, b) và
F (x) = f (x), với mọi x ∈ (a, b).
Nhận xét 1.2. Nếu f có nguyên hàm là F trên khoảng mở (a, b) thì
f có vô số nguyên hàm trên khoảng (a, b) và hơn nữa, các nguyên hàm
đều có dạng
F (x) + C, ∀x ∈ (a, b)
với C là hằng số tùy ý.
8


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

Định lý 1.10 (xem [2]). Cho hàm f xác định trên khoảng (a, b). Khi
đó, tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f xác định trong khoảng
(a, b) được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu là
f (x) dx.
Nếu F là một nguyên hàm của f trên khoảng (a, b) thì
f (x) dx = F (x) + C.

1.4
1.4.1

Tính toán và biến đổi các tích phân
Công thức Newton- Leibnitz

Định lý 1.11 (xem [2]). Nếu hàm f xác định và liên tục trên đoạn [a, b],
F là một nguyên hàm của hàm f trên đoạn [a, b] thì
b

b

f (x)dx = F (x)| = F (b) − F (a) .
a

1.4.2

(1.12)

a

Đổi biến trong tích phân

Định lý 1.12 (xem [2]). Với cách đặt biến phụ x = ϕ (t), trong đó ϕ (t)
là một hàm khả vi, đơn điệu đối với t, thì ta có công thức
f (x)dx =

f [ϕ (t)]ϕ (t) dt.
b

f (x) dx,

Định lý 1.13 (xem [7]). Giả sử cần tính tích phân xác định
a

trong đó f là hàm liên tục trong khoảng [a, b]. Thực hiện đổi biến

x = ϕ (t) với ϕ(t) xác định và liên tục trong khoảng [α, β] và ϕ (α) = a,
9


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

ϕ (β) = b. Khi đó, nếu tồn tại trong [α, β] đạo hàm liên tục ϕ (·) thì ta
có đẳng thức
b

β

f (x)dx =
a

1.4.3

f [ϕ (t)]ϕ (t) dt.
α

Công thức tích phân từng phần

Định lý 1.14 (xem [2]). Giả sử u, v là những hàm khả vi trên đoạn
[a, b]. Khi đó, ta có công thức tích phần từng phần sau dây
b

udv =
a

uv|ba

10

b

−

vdu.
a

(1.13)


Chương 2
Ứng dụng của tích phân trong bài
toán thực tế
Chương này trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hình
học, các bài toán của Vật lý.

2.1

Ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích,
độ dài

2.1.1

Tính diện tích hình phẳng

Trong cuộc sống cũng như trong sinh hoạt loài người chúng ta luôn gặp
các bài toán về diện tích như chia ruộng đất, trong xây dựng các công
trình... Cụ thể, ta xét bài toán 2.1.1.
Bài toán 2.1.1 (xem [2]). Cho hình H được giới hạn bởi hàm số
f (x) ≥ 0 (liên tục trên [a, b]); các đường x = a; x = b và trục Ox. Ta sẽ
định nghĩa và tính diện tích S của hình H.
Lời giải. Trước đây, chúng ta đã biết công thức tính diện tích các hình
tam giác, hình chữ nhật, hình thang và tính gần đúng diện tích hình tròn.
11


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

Để tính diện tích hình H, chúng ta phải dùng phép xấp xỉ, đưa ra giá trị
diện tích tương đối bằng cách chia
hình ban đầu thành nhiều hình chữ
nhật nhỏ. Sau đó, cộng tất cả các
diện tích hình chữ nhật nhỏ với
nhau. Khi ta chia càng nhỏ thì giá
trị diện tích đó càng tiến dần về
diện tích hình H cần tính. Bây giờ,
chúng ta sẽ xây dựng khái niệm và

Hình 2.1:

công thức tính diện tích hình H
dựa trên ý tưởng đó. Cụ thể, ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng
nhau bởi các điểm chia

a = x0 < x1 = a +

b−a
b−a
< ... < xi−1 = a +
(i − 1)
n
n
b−a
< xi = a +
i < ... < xn = b.
n

(2.1)

Từ các điểm chia xi (i = 0, 1, 2...n) ta dựng các đường thẳng x = xi như
thế hình H được chia nhỏ thành n hình thang cong (là hình có ba cạnh
là đoạn thẳng và một cạnh là đường cong) nhỏ có đáy
∆xi = xi − xi−1 =

b−a
(1 ≤ i ≤ n)
n

và diện tích là ∆Si , i = 1, 2, ..., n. Khi đó, diện tích hình H bằng tổng
diện tích của các hình thang cong nhỏ nghĩa là
n

SH =

∆Si .
i=1

12


Khóa luận tốt nghiệp

Mặt khác ∆Si ≈ f (xi )

Nguyễn Thị Thùy Dương

b−a
, i = 1, 2, ...n. Vì vậy, diện tích hình H là
n
n

SH ≈

f (xi )
i=1

b−a
.
n

(2.2)

Khi n → +∞ thì giới hạn của
n

b−a
f (xi )
n
i=1
được gọi là diện tích của hình H, hay
n

b−a
f (xi ) .
n→∞
i=1 n

SH = lim

Kết hợp với định nghĩa tích phân xác định giới hạn đó chính là
b

f (x) dx.
a

Vậy công thức diện tích của hình H là
b

SH =

f (x) dx.
a

Với cách xây dựng trên, chúng ta cũng xây dựng được khái niệm và

công thức tính diện tích của các bài boán sau (gọi S là diện tích hình
phẳng cần tính).
Bài toán 2.1.2. Giả sử hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y = f (x) và các đường thẳng x = a; x = b; y = 0. Khi đó, diện tích của

13


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

hình phẳng được tính theo công thức
b

|f (x)|dx = {

S=
a

b
a f (x) dx
− ab f (x) dx

f (x) ≥ 0
f (x) ≤ 0.

Bài toán 2.1.3. Giả sử hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
y = f (x); y = g(x) và các đường thẳng x = a; x = b, trong đó f, g liên
tục từng khúc trên đoạn [a, b]. Khi đó, diện tích của hình phẳng được

tính theo công thức
b

|f (x) − g (x)|dx.

S=
a

Bài toán 2.1.4. Giả sử hình phẳng giới hạn bởi đường cong x =ϕ(y),
ϕ(y) liên tục trên đoạn [a, b] và các đường y = a; y = b; x = 0. Khi đó,
diện tích của hình phẳng được tính theo công thức
b

|ϕ (y)|dy.

S=
a

Bài toán 2.1.5. Giả sử đường cong cho bởi phương trình tham số
b

x =ϕ(t), y =ψ(t) thì công thức S = |f (x)| dx trở thành
a
t2

|ψ (t) ϕ (t)|dx,
t1

trong đó t1 , t2 lần lượt là nghiệm của các phương trình a =ϕ(t), b =ϕ(t)
và ϕ (t) , ψ (t) , ϕ (t) là các hàm số liên tục trên đoạn [t1 , t2 ].

Bài toán 2.1.6. Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = c;
y = d (c ≤ d); x = g1 (x); x = g2 (x) trong đó g1 , g2 liên tục từng khúc

14


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

trên [c, d]. Khi đó, diện tích của hình phẳng được tính theo công thức
d

|g1 (y) − g2 (y)|dy.

S=
c

Bài toán 2.1.7. Giả sử hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương
trình cho dưới dạng tọa độ cực r = r (ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β. Liên hệ giữa tọa
độ Descartes và tọa độ cực là x = r (ϕ) cos ϕ; y = r (ϕ) sin ϕ. Khi đó,
diện tích của hình phẳng được tính theo công thức
S=

1
2

β

r2 (ϕ)dϕ.

α

Trong ví dụ 2.1.1., chúng ta xây dựng công thức tính diện tích của
một hình cụ thể.
Ví dụ 2.1.1 (xem [2]). Tính diện tích của đường tròn có bán kính R.
Lời giải. Do tính chất đối xứng của đường tròn qua các trục tọa độ nên
diện tích của hình đường tròn bằng bốn diện tích hình quạt giới hạn bởi
hai tia Ox, Oy và cung AB của đường cong r = r (ϕ) = R trong đó r(·)
là một hàm số liên tục trong [0, π2 ]. Ta chia góc OAB thành n góc nhỏ,
π
kí hiệu là ∆ϕi =
, i = 1, 2, ..., n. Khi đó, hình quạt được chia thành
2n
n hình quạt nhỏ có diện tích là
π
1
∆Si = R2 sin .
2
2n
Suy ra, diện tích của hình quạt bẳng tổng diện tích của tất cả các hình
quạt nhỏ nghĩa là
n

S =

∆Si .
i=1

15

Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

Vì vậy, diện tích hình quạt là
n

S =

1 2
π
R sin .
2n
i=1 2

π
1 2
R sin
được gọi là diện tích của
2n
i=1 2
hình quạt, hay diện tích hình quạt giới hạn bởi hai tia Ox, Oy và cung
n

Khi n → +∞ thì giới hạn của

AB của đường cong r = r (ϕ) = R bằng
n

1 2π
R
.
n→∞
2n
i=1 2
lim

Vì vậy, diện tích của đường tròn bán kính R là
S = πR

n

2

( lim
i=1

n→∞

π
sin 2n
π
2n

)

= πR2 .
Trong ví dụ 2.1.2, ta áp dụng công thức tính diện tích trong bài toán

2.1.3.
Ví dụ 2.1.2 (xem [2]). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x2 (x ≥ 0) ; y = 2 − x.
Lời giải. Giao điểm của các đường y = x2 (x ≥ 0) và y = 2 − x là nghiệm
của hệ
{

y = x2 (x ≥ 0)
y =2−x

suy ra
{

x=1
y = 1.
16


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

Do đó, diện tích hình phẳng cần tìm được giới hạn bởi các đường y = x2 ,
y = 2 − x, x = 0, x = 1.
Vậy diện tích cần tìm là
1

|(2 − x) − x2 |dx

S=

0
1

[(2 − x) − x2 ]dx

=
0

1

x2 x3
7
= (2x −
− )| = .
2
2 0 2
2.1.2

Tính thể tích vật thể

Bài toán 2.1.8 (Vật thể bất kì, xem [2]). Cho vật thể giới hạn bởi một
mặt cong và hai mặt phẳng đáy. Giả sử, chúng ta biết diện tích thiết
diện của vật thể trên một mặt phẳng vuông góc với trục Ox là S = S(x)
trong đó x là hoành độ giao điểm của mặt phẳng cắt trục Ox, với đáy là
các đường x = a; x = b. Khi đó, S(x) là một hàm liên tục trong khoảng
đóng [a, b]. Ta sẽ định nghĩa và tính thể tích vật thể đó.

Hình 2.2:

Lời giải. Trước đây, chúng ta đã biết công thức tính thể tích của hình

17


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

trụ, hình hộp chữ nhật, hình nón... Để tính thể tích vật thể bất kì, chúng
ta phải dùng phép xấp xỉ, đưa ra giá trị thể tích tương đối bằng cách
chia hình ban đầu thành nhiều hình trụ nhỏ. Sau đó cộng tất cả thể tích
của hình trụ nhỏ với nhau. Khi ta chia càng nhỏ thì giá trị thể tích đó
càng tiến dần về thể tích vật thể cần tính. Bây giờ, chúng ta sẽ xây dựng
khái niệm và công thức tính thể tích vật thể dựa trên ý tưởng đó. Cụ
thể, ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia
a = x0 < x1 = a +

b−a
b−a
< ... < xi−1 = a +
(i − 1)
n
n
b−a
i < ... < xn = b.
< xi = a +
n

(2.3)

Qua mỗi điểm chia xi , i = 0, 1, 2, ..., n ta dựng một mặt phẳng vuông

góc với trục Ox, các mặt phẳng đó chia vật thể thành n hình trụ nhỏ có
thể tích là
b−a
, i = 1, 2, ..., n;
n
b−a
trong đó, chiều cao của hình trụ là
và diện tích là S (xi ),
n
i = 1, 2, ..., n. Do đó, thể tích vật thể cần tính bằng tổng thể tích của
Vi = S (xi )

các hình trụ nhỏ nghĩa là
n

V =

n

Vi =
i=1

Khi n → +∞ thì giới hạn của

S (xi )
i=1

b−a
.
n

b−a
S (xi ) được gọi là thể tích của
i=1 n
n

vật thể, hay
n

b−a
S (xi ) .
n→∞
i=1 n

V = lim

18


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Thùy Dương

Kết hợp với định nghĩa tích phân xác định giới hạn đó chính là
b

S (x) dx.
a

Vậy công thức thể tích vật thể bất kì là

b

S (x) dx.

V =

(2.4)

a

Với cách xây dựng trên, chúng ta cũng xây dựng được khái niệm và
công thức tính thể tích của các bài boán sau:
Bài toán 2.1.9. Giả sử vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay vật thể
được giới hạn bởi các đường y = f (x), x ∈ [a, b], f liên tục trên đoạn
[a, b]; trục Ox và các đường x = a; x = b quanh trục Ox. Khi đó, thể
tích của vật thể tròn xoay được tính theo công thức
b

Vx = π

f 2 (x)dx.

a

Bài toán 2.1.10. Giả sử vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình
thang cong giới hạn bởi đường y = f (x), x = a, x = b và y = 0 quanh
trục Oy. Khi đó, thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức
b

Vy = 2π

xf (x)dx.
a

Bài toán 2.1.11. Giả sử vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay vật thể
được giới hạn bởi x = ϕ (y) , y ∈ [c, d] , ϕ (y) liên tục trong [c, d]; trục Oy
và các đường thẳng y = c; y = d quanh trục Oy. Khi đó, thể tích của

19