Đề thi học sinh giỏi toán 7

đề chọn học sinh năng khiếu
NM HC 2010-2011
Mụn thi : Toỏn 7
Thi gian: 90 phỳt (Khụng k thi gian giao )

PHONG GD&T SN DNG

ấ CHINH THC

Cõu 1( 6): Tỡm cỏc s x, y, z bit.
a/ (x 1)3 = - 8
c/ x - 3 x = 0
Bi 2:(4 )

b/ 9 7 x = 5 x 3
d/ 12x = 15y = 20z v x + y + z = 48

a) Thc hin phộp tớnh:

A=

212.35 46.92

( 2 .3)
2

6

+ 8 .3
4

5



510.73 255.492

( 125.7 )

3

+ 59.143

b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ :
3n + 2 2n+ 2 + 3n 2n chia ht cho 10

Cõu 3:(3.5)
a/ Tỡm s d khi chia 22011 cho 31
b/ Vi a, b l cỏc s nguyờn dng sao cho a + 1 v b + 2007 chia ht cho 6.
Chng minh rng: 4a + a + b chia ht cho 6
Câu 4( 2.5). Cho 2 đa thức
P ( x ) = x 2 + 2mx + m 2 và
Q ( x ) = x 2 + (2m+1)x + m 2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Cõu 5:(4) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. V v phớa ngoi tam
giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng cõn ti A. T E v F k ng vuụng gúc
EK v FN vi ng thng HA.
a/ Chng minh rng: EK = FN.
b/ Gi I l giao im ca EF vi ng thng HA. Tỡm iu kin ca tam giỏc
ABC EF = 2AI.
-----------------------Ht-----------------------

/>

HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu
MÔN: TOÁN 7

========================================
Câ Phầ
Nội dung cần trình bày
u
n
1
a 1,5 (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1
3
(6đ)
9 − 7 x = 5 x − 3 Điều kiện: x ≥
5
b
9 − 7 x = 5 x − 3
12 x = 12  x = 1
⇒
=> 
(Thỏa mãn điều kiện)
1,5đ => 
9 − 7 x = 3 − 5 x

c
1,5đ
d
1,5đ

2
(4đ)
a
2đ

2 x = 6

Điể
m
1.5

x = 3

1.5

Vậy x = 1 hoặc x = 3.
x - 3 x = 0 Điều kiện x ≥ 0
=> x ( x − 3) = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 0 hoặc x = 9
12x = 15y = 20z =>

1.5

x y z
x y z x + y + z 48
= = => = = =
=
=4
5 4 3
5 4 3

12
12

1.5
1

=> x = 20; y = 16; z = 12
a)

212.35 − 46.92

510.73 − 255.49 2

10

212.35 − 212.34 510.73 − 5 .7 4
A=
−
= 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3
6
3
9
3
2
4 5
2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7
125.7
+
5
.14

( 2 .3) + 8 .3 ( )
212.34. ( 3 − 1) 510.73. ( 1 − 7 )
= 12 5
−
2 .3 . ( 3 + 1) 59.73. ( 1 + 23 )
10 3
212.34.2 5 .7 . ( −6 )
= 12 5 −
2 .3 .4
59.73.9
1 −10 7
= −
=
6
3
2

b)

b
2đ

3
(3.5
đ)

a,
2đ
b
1,5đ

1

3n + 2 − 2n + 2 + 3n − 2n = 3n + 2 + 3n − 2n + 2 − 2n
= 3n (32 + 1) − 2n (2 2 + 1)
= 3n ×10 − 2n ×5 = 3n ×10 − 2n−1 ×10

= 10( 3n -2n-1)
Vậy 3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n M 10 với mọi n là số nguyên dương.
Ta có 25 = 32 ≡ 1 (mod31) => (25)402 ≡ 1 (mod31)
=> 22011 ≡ 2 (mod31). Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2.

1
1
2

Vì a nguyên dương nên ta có 4a ≡ 1 (mod3) => 4a + 2 ≡ 0 (mod3)
Mà 4a + 2 ≡ 0 (mod2) => 4a + 2 M 6
0,5
a
a
Khi đó ta có 4 + a + b = 4 + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 M 6
0,5
Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia

/>

hết cho 6 thì 4a + a + b chia hết cho 6

0,5

Cho 2 ®a thøc

4

P ( x ) = x 2 + 2mx + m 2 vµ
Q ( x ) = x 2 + (2m+1)x + m 2
T×m m biÕt P (1) = Q (-1)
2.5đ

P(1) = 12 + 2m.1 + m2

1

= m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
1

= m2 – 2m

5 0.5đ
(4đ)

§Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m =

0.5

-1/4
Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp

0,5
F

N

a
2.5

I = AH
Chứng minh ∆ KAE = ∆ HBA ( ch – gn) => EK
Chứng minh ∆ NFA = ∆ HAC ( ch – gn)E => FNK= AH
Suy ra EK = FN
A

Chứng minh ∆ KEI = ∆ NFI ( c.g.c) => EI = FI =
b
1đ

Mà AI =

EF
2

1
1
0.5
0,5

B
C

EF
H
(gt) => AI = EI = FI => IEA = IAE
và IAF = IFA
2

=> EAF = 900 => BAC = 900
Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A

Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng
bằng cách khác cho điểm tối đa
Giáo viên ra đề

Lê Minh Quảng

/>
0,5