Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với Toán tử nhiễu đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ
NHIỄU ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số

: 60 46 36

Thái Nguyên, năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✶

▼ô❝ ❧ô❝

▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

✶✳✶✳

▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥

✻

❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷✳

❚♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤ç♥ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❤ç♥ ❤î♣ ✈í✐ t♦➳♥

tö ♥❤✐Ô✉ ➤➡♥ ➤✐Ö✉

✷✵

✷✳✶✳

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✷✳✷✳

❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

❑Õt ❧✉❐♥

✸✽

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✾

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






ờ
ợ t ớ sự ớ t tì sự ỉ
ủ ễ ị ủ ử ờ
t s s t ế
ũ í ử ờ t ế t
tr trờ ọ ọ ọ ũ t
t ó ọ ọ ữ ờ
ết t ết sự ệt tì ể tr ị t ề
ế tứ sở
t tể trờ P Pú ì t t
ú ỡ t ề ề ệ t ợ t tr sốt ó ọ ũ
q trì ố ù t ì t
tết ữ ờ ộ s ú t tr sốt q trì ọ
t t
ờ ết

r ị P

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn






ờ ó
X ột tự X
ợ ủ X ó ề ợ í ệ . A : X X t tử
ệ trị : X R {+} ế ồ í tờ ử


tụ ớ t t tứ ế ỗ ợ
qt

ợ t ể s

rt

f X tì x0 X s



A(x0 ) f, x x0 + (x) (x0 ) 0, x X,
ở

x , x í ệ trị ủ ế tế tí tụ x X t

x X
ó ề ợ r ể t tứ ế ỗ
ợ P ể ề P
ý t ụ t t tứ ế ỗ ợ t tử

A ó tí t ệ ề ệ
ồ ó ột t t ỉ

s

t ĩ

ệ ủ ó ụ tộ tụ ữ ệ ó ờ
t sử ụ ữ ổ ị s s số ủ ữ
ệ ỏ tì ệ ỉ tì ợ ớ ệ ú ủ
t ột tr ữ ợ sử ụ rộ r
ó ệ q ệ ỉ
sts ự ệ ệ ỉ ự tr ệ t
tứ ế tì

x X s

Ah (x ) + U s (x x ) f , x x
+ (x) (x ) 0, x X
ở

(Ah , f , ) ỉ ủ (A, f, ) = (h, , )

ụ í ủ trì ết q ủ
sts ễ ị ủ ề ệ ỉ t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn






tứ ế ỗ ợ ớ t tử ễ ệ tố ộ
ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ớ t tử ợ ệ
ộ ủ ợ trì tr trì
ột số ế tứ ề t ợ ồ ồ t tử ệ
t t tứ ế ỗ ợ tr tự


X ồ tờ trì ột t tự tế ó tể ề t t

tứ ế ỗ ợ trờ ợ ệt ủ t
tứ ế ỗ ợ ự tồ t ệ tí t ủ t ệ
ủ t tứ ế ỗ ợ ợ trì tr ố ủ

r sẽ trì ệ ỉ t tứ ế
ỗ ợ ớ t tử ễ ệ ụ tể trì ị ý
tồ t t ệ ủ t ệ ỉ sự ộ tụ ủ

ệ ệ ỉ ế ệ í ủ t tứ ế
ồ tờ tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ tr trờ
ợ t tử

A Ah ó tí t ợ ệ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✺

▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t
H

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝

X

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝

X∗

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛

Rn

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡

∅

t❐♣ rç♥❣

X

n ❝❤✐Ò✉

x := y

x ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➺♥❣ y

∀x

✈í✐ ♠ä✐

∃x

tå♥ t➵✐

inf F (x)

x∈X

x

x

✐♥❢✐♠✉♠ ❝ñ❛ t❐♣

{F (x) : x ∈ X}

I

➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ

AT

♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥

a∼b

a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b

A∗

t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

D(A)

♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

R(A)

♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö

xk → x
xk

x

❞➲②
❞➲②

A

A

A

A

{xk } ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x
{xk } ❤é✐ tô ②Õ✉ tí✐ x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên








ột số ế tứ
trì ột số tí t ủ ồ t tử
ệ trì sự tồ t tí t ủ t ệ ủ t tứ
ế ỗ ợ ột số t q ột t tự tế ó tể
ề t t tứ ế ỗ ợ ết q ủ
ợ t tr t ệ

ồ ồ

X ột tự X
ợ ủ X


D X ợ ọ
ọ số tự [0, 1] t ề ó
ị ĩ



t ồ

ế ớ ọ

x, y D

x + (1 )y D.
ị ĩ






D X t ồ rỗ : D R {}.

ợ ọ

ồ

tr

D ế ớ x, y D [0, 1] t ó
(x + (1 )y) (x) + (1 )(y);



ồ t

tr

D ế ớ x, y D, x = y (0, 1) t ó

(x + (1 )y) < (x) + (1 )(y);


ồ

tr

D ế ớ x, y D, (0, 1) tồ t R, > 0 t

ó

1

(x + (1 )y) (x) + (1 )(y) (1 ) x y 2 .
2

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✼

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶

❚õ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷ ❞Ô t❤✃② ✭✐✐✮

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸ ▼✐Ò♥ ❤÷✉ ❤✐Ö✉

❝ñ❛ ❤➭♠

⇒ ✭✐✮ ✈➭ ✭✐✐✐✮ ⇒ ✭✐✮✳

ϕ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ❞♦♠ ϕ ✈➭ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤

♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉✿

domϕ = {x ∈ D : ϕ(x) < +∞}.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹

❍➭♠

ϕ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥Õ✉ ❞♦♠ϕ = ∅ ✈➭ ϕ(x) >

−∞, ∀x ∈ D.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺

✭✐✮ ❍➭♠ ϕ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ t➵✐ ➤✐Ó♠ x0

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲②

{xn } ⊂ domϕ ♠➭ xn → x0 t❤×

∈ domϕ

ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ).
n→∞

✭✐✐✮ ❍➭♠

ϕ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐
♠ä✐ ❞➲② {xn } ⊂ domϕ ♠➭ xn
x0 t❤×

②Õ✉

t➵✐ ➤✐Ó♠

x0 ∈ domϕ ♥Õ✉ ✈í✐

ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ).
n→∞

✭✐✐✐✮ ❍➭♠

ϕ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ✭♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ②Õ✉✮ tr➟♥ X ♥Õ✉
ϕ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ✭♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ②Õ✉✮ t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ó♠ x ∈ X.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳ ❈❤♦

ϕ : X → R ∪ {+∞}

❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ t❤×

ϕ

❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ②Õ✉✳

ϕ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ X. P❤✐Õ♠ ❤➭♠ x∗ ∈ X ∗ ➤➢î❝ ❣ä✐
❧➭ ❞➢í✐ ❣r❛❞✐❡♥t ❝ñ❛ ❤➭♠ ϕ t➵✐ x ∈ X ♥Õ✉
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✻

●✐➯ sö

ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x∗ , x − y , ∀y ∈ X.
❚❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❞➢í✐ ❣r❛❞✐❡♥t ❝ñ❛

ϕ t➵✐ x ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

❝ñ❛

x, ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ∂ϕ(x), tø❝ ❧➭

∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x∗ , x − y , ∀y ∈ X}.
❍➭♠

ϕ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❦❤➯ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

t➵✐

x ♥Õ✉ ∂ϕ(x) = ∅.



ϕ t➵✐


✽

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼

❈❤♦

ϕ : X → R. ❍➭♠ ϕ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❦❤➯ ✈✐ t❤❡♦ ❤➢í♥❣

t➵✐

x ∈ X ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❣✐í✐ ❤➵♥✿
ϕ(x + λy) − ϕ(x)
.
λ→0
λ

ϕ (x, y) = lim

ϕ (x, y) = x∗ , y t❤× ϕ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ✭❦❤➯ ✈✐ ②Õ✉✮ t➵✐
x ∈ X, ✈➭ ϕ (x, y) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈✐ ♣❤➞♥ ●➞t❡❛✉① ❝ñ❛ ϕ t➵✐ x, ϕ (x) ➤➢î❝ ❣ä✐
❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉① ❝ñ❛ ϕ t➵✐ x.
◆Õ✉

ϕ : X → R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t
✭❦❤➯ ✈✐ ♠➵♥❤✮ t➵✐ x ∈ X, ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A : X → X ∗ s❛♦

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽

❍➭♠ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣

❝❤♦

ϕ(x + y) − ϕ(x) = A(x), y + w(x, y)
✈➭

w(x, y)
= 0,
y
y →0
tr♦♥❣ ➤ã x + y ∈ X. ❑❤✐ ➤ã A(x), y ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈✐ ♣❤➞♥

A(x) = ϕ (x) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ ❤➭♠ ϕ t➵✐ x.
lim

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷

❍➭♠

❋rÐ❝❤❡t

✈➭

ϕ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐ x ∈ X t❤× ♥ã ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① t➵✐

➤✐Ó♠ ➤ã✳
❚Ý♥❤ ❧å✐ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ➤➢î❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ♠Ö♥❤ ➤Ò s❛✉✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶

✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦

X

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵ ✈➭

F : X → R ∪ {±∞} ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉①
A✱ ❦❤✐ ➤ã ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✭✐✮
✭✐✐✮

F

✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❛❡✉① ❧➭

❧➭ ❤➭♠ ❧å✐❀

F (x) ≥ F (x0 ) + A(x0 ), x − x0 , ∀x, x0 ∈ X.

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷

✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈❤♦

X

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵✳ ●✐➯ sö

F : X → R ∪ {±∞} ❧➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣✱ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ✈➭
0
❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① ✈í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉① ❧➭ A✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ x ∈ X t❤× ❝➳❝ ♣❤➳t
❜✐Ó✉ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✾

✭✐✮

x0

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ

min F (x);
x∈X

✭✐✐✮

A(x0 ), x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X;

✭✐✐✐✮

A(x), x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X.

X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
x + y < 2 ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X s❛♦ ❝❤♦ x = y = 1, x = y.

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✾

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✵

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝ ♣❤➯♥ ①➵

❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊♣❤✐♠♦✈ ✲ ❙t❡❝❤❦✐♥

X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❦❤➠♥❣

✭❤❛② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✮ ♥Õ✉

♥ã ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐ ❞➲②

{xn } ❜✃t ❦× ♠➭ xn

x ✈➭

xn → x t❤× xn → x.
❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳

✶✳✷✳

❚♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✶

❈❤♦

A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ trÞ✳ ❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝

❣ä✐ ❧➭
✭✐✮

➤➡♥ ➤✐Ö✉

✭✐✐✮
✭✐✐✐✮

♥Õ✉

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t

A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
♥Õ✉

➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤

x = y t❤× A(x) − A(y), x − y > 0, ∀x, y ∈ X;

♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè

τ > 0 t❤á❛ ♠➲♥

A(x) − A(y), x − y ≥ τ x − y 2 , ∀x, y ∈ X.
tö A
①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ R2 ✈í✐ x = (x1 , x2 ) ∈ R2 s❛♦ ❝❤♦
❈❤♦ t♦➳♥

0 1
x
  1  = (x2 − x1 ). ❑❤✐ ➤ã A ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳
A(x) = 
−1 0
x2
❚❤❐t ✈❐②✱ ✈í✐ ♠ä✐ x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , y = (y1 , y2 ) ∈ R2 t❛ ❝ã A(x) =
(x2 , −x1 ), A(y) = (y2 , −y1 ) s✉② r❛ A(x) − A(y) = (x2 − y2 , −x1 + y1 ). ❉♦

❱Ý ❞ô ✶✳✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....