Một số bất đẳng thức hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Hoàng Ngọc Quang

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc

Thái Nguyên - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Ngày .... tháng .... năm 2011

Có thể tìm hiểu tại
Thư viện Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3

Chương 1. Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác
1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác .
1.2.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . . .
1.2.2. Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . .
1.3. Bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Bất đẳng thức về độ dài các cạnh . . . . . . . . .

1.3.2. Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt . . . . .
1.4. Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học . .
1.5. Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt . . . . . . . .
1.5.1. Các bất đẳng thức trong tam giác đều . . . . . .
1.5.2. Các bất đẳng thức trong tam giác vuông và tam
giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Các bất đẳng thức khác trong tam giác . . . . . . . . . .
1.7. Các bất đẳng thức trong tứ giác . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Các bất đẳng thức cơ bản trong tứ giác . . . . . .
1.7.2. Các bất đẳng thức khác trong tứ giác . . . . . . .

6
6
8
8
10
11
11
14
17
23
23

Chương 2. Bất đẳng thức Ptolemy
2.1. Định lí Ptolemy . . . . . . . . .
2.2. Bất đẳng thức Ptolemy . . . . .
2.3. Định lí Bretschneider . . . . . .
2.4. Định lí Casey . . . . . . . . . .
2.5. Mở rộng bất đẳng thức Ptolemy

48
48
53
63
63
68

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

và các mở rộng
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
trong không gian

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.



27
29
40
41
45


2

Chương 3. Bất đẳng thức Erdos-Mordell và các mở rộng
3.1. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác . . . . . . .
3.2. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác mở rộng . .
3.3. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ giác . . .
3.4. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong đa giác . . .
3.5. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ diện . . .
Chương 4. Các bất đẳng thức có trọng
4.1. Bất đẳng thức dạng Hayashi và các hệ quả . . . . . .
4.1.1. Bất đẳng thức Hayashi . . . . . . . . . . . . .

4.1.2. Các hệ quả của bất đẳng thức hyashi . . . . .
4.1.3. Bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng và các hệ quả .
4.2.1. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng . . . . .
4.2.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Weizenbock suy
4.3. Bất đẳng thức Klamkin và các hệ quả . . . . . . . .
4.3.1. Bất đẳng thức Klamkin . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin . . . .
4.4. Bất đẳng thức Jian Liu và các hệ quả . . . . . . . .
4.4.1. Bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Jian Liu . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

70
70
79
85
87
90

92
. . 92
. . 92
. . 94
. . 94
. . 96
. . 96

rộng101
. . 105
. . 105
. . 106
. . 108
. . 108
. . 110
. . 116
. . 117




3

Mở đầu

Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những
bài toán khó, làm cho học sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở kể cả
học sinh giỏi lúng túng khi gặp các bài toán loại này. Thực sự nó là một
phần rất quan trọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thức
trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toán
học. So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa
được quan tâm nhiều. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết
vấn đề này là vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương pháp
thông thường hay được áp dụng trong hình học và càng không phải là
phương pháp đại số thuần túy. Để giải một bài toán về bất đẳng thức
hình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số
một cách thích hợp và nhạy bén.
Luận văn này giới thiệu một số bất đẳng thức hình học từ cơ bản

đến nâng cao và mở rộng. Các bài toán về bất đẳng thức hình học được
trình bày trong luận văn này có thể tạm phân thành các nhóm sau:
I. Nhóm các bài toán mà trong lời giải đòi hỏi nhất thiết phải có
hình vẽ. Phương pháp giải các bài toán nhóm này chủ yếu là "phương
pháp hình học", như vẽ thêm đường phụ, sử dụng tính chất giữa đường
vuông góc và đường xiên, giữa đường thẳng và đường gấp khúc, quan
hệ giữa các cạnh, giữa cạnh và góc trong một tam giác, hay tứ giác v.v..
Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng thuộc nhóm này là nội
dung thường gặp trong các kì thi chọn học sinh giỏi toán hay thi vào các
trường chuyên.
II. Nhóm thứ hai gồm các bài toán mà khi giải chúng cần phải sử
dụng các hệ thức lượng đã biết, như các hệ thức lượng giác, hệ thức
đường trung tuyến, đường phân giác, công thức các bán kính, công thức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

diện tích của tam giác v.v.. Các bài toán này đã được quan tâm nhiều
và chúng được trình bày khá phong phú trong các tài liệu [4,7], vì thế
luận văn này sẽ không đề cập nhiều đến các bất đẳng thức trong tam
giác có trong các tài liệu trên mặc dù chúng rất hay mà chỉ nêu ra một
số bất đẳng thức cơ bản nhất để tiện sử dụng sau này.
III. Nhóm thứ ba gồm các bài toán liên quan đến các bất đẳng thức
hình học nổi tiếng, đặc biệt là bất đẳng thức Ptolemy và bất đẳng thức
Erdos-Mordell và các bất đẳng thức có trọng như bất đẳng thức Hayshi,
bất đẳng thức Weizenbock, bất đẳng thức Klamkin v.v.. Các bất đẳng

thức này còn ít được giới thiệu bằng Tiếng Việt và thường gặp trong các
đề thi Olympic Quốc tế.
Bản luận văn "Một số bất đẳng thức hình học" gồm có mở đầu,
bốn chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác.
Chương này trình bày một số bất đẳng thức thuộc nhóm I và nhóm II.
Chương 2. Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng.
Chương này trình bày đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Ptolemy và
các bài toán áp dụng. Các bài toán này chủ yếu được trích ra từ các đề
thi vô địch các nước, đề thi vô địch khu vực và đề thi IMO, một số là do
tác giả sáng tác. Ngoài ra, còn trình bày một số mở rộng bất đẳng thức
Ptolemy trong tứ giác và trong tứ diện.
Chương 3. Bất đẳng thức Erdos - Mordell và các mở rộng.
Chương này trình bày bất đẳng thức Edos-Mordell và các bài toán liên
quan. Ngoài ra, còn trình bày một số mở rộng bất đẳng thức này trong
tam giác, trong tứ giác và trong đa giác [11-13].
Chương 4. Các bất đẳng thức có trọng.
Chương này trình bày một số bất đẳng thức liên quan đến tổng khoảng
cách từ một hay nhiều điểm của mặt phẳng đến các đỉnh hoặc các cạnh
của tam giác với các tham số dương tùy ý được gọi là trọng số hay gọi
tắt là trọng. Đó là các bất đẳng thức Hyashi, Weizenbock, Klamkin, Jian

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Liu, v.v.. Các bất đẳng thức này còn ít được giới thiệu bằng Tiếng Việt,

một số là kết quả nghiên cứu của các chuyên gia Quốc tế trong lĩnh vực
bất đẳng thức hình học [9,13-14].
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của
Thầy, tới các thầy cô trong Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo và Khoa
Toán-Tin Trường Đại học Khoa học. Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới
Sở GD - ĐT tỉnh Yên Bái, Ban Giám đốc, các đồng nghiệp Trung tâm
GDTX - HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên đã tạo điều kiện cho tác
giả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2011.
Tác giả

Hoàng Ngọc Quang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

Chương 1
Các bất đẳng thức trong tam giác
và tứ giác
Chương này trình bày các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác
từ cơ bản đến nâng cao. Nội dung chủ yếu được hình thành từ các tài
liệu [1-7], [10], [12] và [15].
Kí hiệu ∆ABC là tam giác ABC với các đỉnh là A, B, C. Để thuận
tiện, độ lớn của các góc ứng với các đỉnh A, B, C cũng được kí hiệu tương

ứng là A, B, C.
Độ dài các cạnh của tam giác: BC = a, CA = b, AB = c.
a+b+c
Nửa chu vi của tam giác: p =
.
2
Đường cao với các cạnh: ha , hb , hc .
Đường trung tuyến với các cạnh: ma , mb , mc .
Đường phân giác với các cạnh: la , lb , lc .
Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp: R và r.
Bán kính đường tròn bàng tiếp các cạnh: ra , rb , rc .
Diện tích tam giác ABC: S, SABC hay [ABC].
Để giải được các bài toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cần
trang bị những kiến thức cơ sở đó là các bất đẳng thức đại số cơ bản và
các đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản trong tam giác.
1.1.

Các bất đẳng thức đại số cơ bản

Định lý 1.1. (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1 , a2 , · · · , an là các số
thực không âm. Khi đó
√
a1 + a2 + · · · + an
≥ n a1 a2 ...an .
n

(1.1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




7

Hệ quả 1.1. Với mọi bộ số dương a1 , a2 , · · · , an ta có
√
n
n
a1 a2 ...an ≥ 1
1
1 .
+
+
·
·
·
+
a1
a2
an

(1.2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
Hệ quả 1.2. Với mọi bộ số dương a1 , a2 , · · · , an ta có
1
1

1
n2
+
+ ··· +
≥
.
a1 a2
an
a1 + a2 + · · · + an

(1.3)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an .
Hệ quả 1.3. Với mọi bộ số không âm a1 , a2 , · · · , an và m = 1, 2, · · · ta
có
m
m
am
1 + a2 + · · · + an
≥
n

a1 + a2 + · · · + an
n

m

.

(1.4)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thực
a1 , a2 , · · · , an và b1 , b2 , · · · , bn . Khi đó
(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ a21 + a22 + · · · + a2n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a1
b1

=

a2
b2

b21 + b22 + · · · + b2n .

= ··· =

(1.5)

an
bn .

Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Jensen) Cho f (x) là hàm số liên tục và có
đạo hàm cấp hai trên I (a, b) và n điểm x1 , x2 , · · · , xn tùy ý trên đoạn
I (a, b). Khi đó
i, Nếu f (x) > 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ nf

x1 + x2 + · · · + xn
n

.

x1 + x2 + · · · + xn
n

.

ii, Nếu f (x) < 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≤ nf

Ở đây I (a, b) nhằm ngầm định là một trong bốn tập hợp (a, b) , [a, b) ,
(a, b] , [a, b].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho hai dãy số thực đơn điệu
cùng chiều a1 , a2 , · · · , an và b1 , b2 , · · · , bn . Khi đó ta có
a1 b1 + a2 b2 · · · + an bn ≥

1
(a1 + a2 + · · · + an ) (b1 + b2 + · · · + bn ) .

n

(1.6)

Nếu hai dãy số thực a1 , a2 , · · · , an và b1 , b2 , · · · , bn đơn điệu ngược chiều
thì bất đẳng thức trên đổi chiều.
Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương.
Bất đẳng thức sau luôn đúng
a
b
c
3
+
+
≥ .
b+c c+a a+b 2

(1.7)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
1.2.
1.2.1.

Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác
Các đẳng thức cơ bản trong tam giác

Định lý 1.6. (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC ta có
a
b
c

=
=
= 2R.
sin A sin B
sin C
Định lý 1.7. (Định lý hàm số cosin) Trong tam giác ABC ta có
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
Định lý 1.8. (Các công thức về diện tích) Diện tích tam giác ABC
được tính theo một trong các công thức sau
1
1
1
S = aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
= pr
abc
=
4R
= (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc
=

p (p − a) (p − b) (p − c).

(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)

Công thức (1.13) được gọi là công thức Hê-rông.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....