Đề đa HSG toán 9 huyện tiền hải 2016 2017

PHềNG GIO DC - O TO
TIN HI

KHO ST HC SINH GII NM HC 2016 -2017
mÔN: TON 9
(Thi gian lm bi 120 phỳt)

Bi 1 (4,0 im)
ổ 1
1
+
1. Cho biu thc A = ỗ
ỗ
ỗ
ốx - x
xa) Rỳt gn A.
3
b) Tỡm x A = .
2
2. Chng minh rng: Nu

ử
1
ữ
:
ữ
ữ x - 2 x +1 .
1ứ

x 2 + 3 x 4 y 2 + y 2 + 3 x 2 y 4 = a thỡ

3

x 2 + 3 y2 = 3 a 2

Bi 2 (4,0 im)

ùỡù x +( m - 1) y = 2
1. Cho h phng trỡnh ớ
ùù ( m +1) x - y = m +1
ợ
Tỡm m h phng trỡnh cú nghim duy nht (x, y) tha món x + 5y = 0.
2. Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a, b, c tha món:
ab 2
l s hu t v a2 + b2 + c2 l s nguyờn t
bc 2
Bi 3 (4,0 im)
1. Cho parabol (P): y = x2 v ng thng (d): y = mx + m + 1 (m l tham s)
a) Tỡm m ng thng (d) v parabol (P) ct nhau ti 2 im phõn bit.
b) Trờn parabol (P) ly 3 im phõn bit: A(a, a2), B(b, b2), C(c, c2).
Bit rng a2 b = b2 c = c2 a.
Tớnh giỏ tr ca biu thc: M = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1).
2. Gii phng trỡnh: x 2 - x - 1 = 8x +1
Bi 4 (6,0 im)
Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cnh CD ly im M khỏc C v D. ng trũn ng
kớnh AM ct cnh AB ti im N khỏc A. ng trũn ng kớnh CD ct ng trũn ng
kớnh AM ti E khỏc D.
a) Chng minh rng ba im C, E, N thng hng.
b) Gi giao im ca on thng MN vi DE l H, on thng NM ct ng trũn
ng kớnh CD ti K. Chng minh rng MK2 = MH.MN.
c) Gi F l giao im ca DE vi cnh BC. Chng minh rng MF AC.

Bi 5 (2,0 im)
ùỡù a ạ 0
Cho cỏc s thc a, b, c tha món iu kin: ùớ 2b c
.
ùù
+4
ùợ a
a
2
Chng minh rng phng trỡnh ax + bx + c = 0 cú nghim.
H v tờn thớ sinh: .................................................. S bỏo danh: ....................Phũng.............

/>

HNG DN CHM TON 9
BI

í

a

KX: x > 0, x ạ 1

(

x

(

ự

ỳ
ỳ.
1ỳ
ỳ
ỷ

)

1+ x

)

x- 1

(

.

)

x- 1

2

)

IM
0.5

2

x- 1

0.5

1
x- 1
x

A=

0.5+0.5

x- 1 3
=
2
x

0.25

ị 2x - 3 x - 2 = 0

0.25

A=
b

(

ộ

1
1
ờ
A=ờ
+
ờ x x- 1
xờ
ở
A=

1
(4)

NI DUNG

3
ị
2

(

)(

)

2 x +1 x - 2 = 0
x = 4 (tmkx)

0.25
0.25

3 x = b > 0 x 2 = b3
2
t
3
3 y = c > 0 y = c
c

a

Ta cú:

0.25

b3 + b 2c + c3 + bc 2 = a

Bỡnh phng hai v c: b3 + b 2 c + c3 + bc 2 + 2 b 2c 2 (b + c) 2 = a 2
Bin i ta c: (b + c)3 = a 2

0.25

2
3
2
2
3
3 a 2 = b + c hay a = x + 3 y (pcm)
ỡù y = ( m +1) x - ( m +1)
ỡù x +( m - 1) y = 2
ù

ớ
ớù
ùù ( m +1) x - y = m +1 ùù x +( m - 1) ộ( m +1) x - ( m +1) ự= m +1
ợ
ở
ỷ
ùợ
ùỡ y = ( m +1) x - ( m +1)
ùớ 2
ùù m x = m 2 +1
(*)
ợ

0.25

h phng trỡnh cú nghim duy nht thỡ phng trỡnh (*) cú nghim
duy nht ị m ạ 0

ổm 2 +1 m +1ử
; 2 ữ
ữ
2
ỗ
ữ
m ứ
ố m

2
(4)

a

0.5
0.5
0.5

x + 5y = 0 thỡ m2 + 1 + 5(m + 1) = 0 ị m = 2, m = 3

0.5

a- b 2 x
= (x, y Z, xy 0) ị ay bx = (by cx) 2 (*)
b- c 2 y
Vỡ a, b, c, x, y Z ị ay bx Z ị (by cx) 2 Z
ỡùù ay - bx = 0 ỡùù ay = bx
ị ớ
M 2 I nờn t (*) ị ớ
ùợù by - cx = 0 ùợù cx = by
ị acxy = b2xy ị ac = b2 (vỡ xy 0)
2

3

0.5

Vi m khỏc 0 hpt cú nghim duy nht (x, y) = ỗ
ỗ

t

b

0.25

2

2

2

2

2

2

a + b + c = (a + c) 2ac + b = (a + c) b = (a+c b)(a+c+b)
Vỡ a2 + b2 + c2 l s nguyờn t v a+c bị a+b c = 1 ị a + b + c = a2 + b2 + c2
(1)
M a, b, c nguyờn dng nờn a a2, b b2, c c2
(2)
T (1) v (2) ị a = b = c = 1, th li: Tha món, kt lun
Vi m = 1 ta cú (d): y = x + 2

/>
0.25

0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.5


b
(4đ)

Lí luận đưa ra đúng phương trình hoành độ giao điểm: x2 – x – 2 = 0
Giải đúng tìm được x1 = –1, x2 = 2
Tìm được tọa độ giao điểm: (–1; 1) và (2; 4)
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x2 = mx + m + 1 ﾵ Û x2 – mx – m – 1 = 0 (*)
(P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ﾵ Û phương trình (*) có 2 nghiệm
phân biệt.
Tìm được m ﾵ ¹ –2.
a2 – b = b2 – c ﾵ Þ a2 – b2 = b – c

b- c
a- c
Þ a + b +1 =
a- b
a- b
b- a
c- b
; c + a +1 =
Tương tự: ﾵ b + c +1 =
b- c

c- a
ﾵÞ a +b =

c

0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25

Tính đúng M = –1

ĐK x ³ -

0.5
0.5

1
8

ìï x 2 - x - 1 = y ìï 4x 2 - 4x - 4 = 4y
Û ïí
Đặt 8x +1 = y, y ³ 0 ta có: ïí
ïï 8x +1 = y 2
ïï 8x +1 = y 2
î
î

Þ 4x2 + 4x – 3 = y2 + 4y Û (2x+1)2 = (y+2)2
Û y = 2x – 1 hoặc y = -2x – 3
• Với y = 2x – 1 Þ 8x +1 = 2x - 1 , giải ra được x = 3
• Với y = -2x – 3 Þ
4
(6đ)

8x +1 =- 2x - 3
N

A

B

F
E

K

H

D

a

b

c

M

C

Chứng minh DN là đ/kính của đường tròn đi qua các điểm A, D, M, E, N
·
Chứng minh ﾵ DEN
= 90 0

0.75
0.5

·
Chứng minh ﾵ DEC
= 90 0

0.5

Chứng minh C, E, N thẳng hàng
·
·
·
Có: ﾵ DMN
(hq góc nội tiếp ) ﾵ Þ ﾵ DMN
= DEN
= 90 0 ﾵ Þ MN ﾵ
⊥ DC
ﾵ D DKC vuông tại K có KM là đường cao ﾵ Þ MK2 = MD.MC (1)
ﾵ D MHD ~ ﾵ D MCN (gg) ﾵ Þ MD.MC = MH.MN
(2)
Từ (1) và (2) ﾵ Þ MH.MN = MK2

Chứng minh ﾵ D DCF = ﾵ D CBN (gcg) ﾵ Þ CF = BN
(3)

0.75

/>
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5


Chứng minh tứ giác BCMN là hình chữ nhật ﾵ Þ BN = CM
(4)
Từ (3) và (4) ﾵ Þ CF = CM ﾵ Þ ﾵ D CMF vuông cân tại C mà CA là
phân giác của góc ﾵ BCD (t/c hình vuông) ﾵ Þ CA ﾵ ⊥ MF
+) Nếu ac ﾵ ≤ 0 ﾵ Þ phương trình có nghiệm.
+) Nếu ac > 0 ﾵ Þ a và c cùng dấu, từ

2b c
³ + 4 > 0 Þ b và a cùng
a
a

dấu
5
(2đ)

0.5

0.5
0.5
0.5

Þ a, b, c cùng dấu. Vì thế ta chỉ cần xét a, b và c cùng dương là đủ
Với a, b, c cùng dương ta có :
2b c
c + 4a
c 2 + 8ac +16a 2
2
ﾵ
³ +4 Û b ³
Û b ³
a
a
2
4
2
c 2 - 8ac +16a 2 ( c - 4a )
ﾵ Û b 2 - 4ac ³
=
³ 0 ﾵ Þ đpcm
4
4

/>
0.5

0.5