Đề đa HSG toán 8 phù ninh 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)

Câu 1: (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n ∈ N và n >1
không phải là số chính phương.
b) Cho B = 21 + 22 + 23 + … + 230. Chứng minh rằng: B chia hết cho 21.
Câu 2: (4,0 điểm)
 x2 − 2x
 1 2 
2x2
A
=
−
1 − − 2 ÷.
a) Rút gọn biểu thức sau:
 2
2
3 ÷
2
x
+
8
8
−
4
x
+

2
x
−
x

 x x 

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 3 + 2x 2 + 3x + 2 = y 3 .
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Chứng minh: a 2 + 5b2 − (3a + b) ≥ 3ab − 5
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O.
Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM = 90O (I và M
không trùng các đỉnh của hình vuông).
a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia
OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và góc BKM = góc BCO.
c) Chứng minh

1
1
1
=
+
.
2
2
CD
AM

AN 2

Câu 5: (2,0 điểm)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5.
Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ 1 + ab
-----------------------Hết ------------------------Họ và tên thí sinh: …………………………………………………. Số báo danh ..............

/>
1


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán
Câu 1: (4,0 điểm)
a.
2.0đ

b.
2.0đ

n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 =
= n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n - 1)(n + 1) +2(n + 1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với n ∈ N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2

 n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương
 n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 không phải là một số chính phương
B = 21 + 22 + 23 + … + 230
Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230
= (21 + 22) + (23 + 24) + … + (229 + 230)
= 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2)
= 3.( 2 + 23 +…+ 229) suy ra B M 3
(1)
1
2
3
30
Ta có: B = 2 + 2 + 2 + … + 2
= (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (228 +229 + 230)
= 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22)
= 7 (2 + 24 + … + 228) suy ra B M 7
(2)
Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra :
B M 3.7 hay B M 21

0.5
0.5

0.5
0.5

0.75

0.75
0.5

Câu 2: (4,0 điểm)
x ≠ 0
x ≠ 2

a) ĐK: 

0.25

 x2 − 2 x
 1 2 
2 x2
A
=
−
1− − 2 ÷
Ta có
 2
2
3 ÷
 2x + 8 8 − 4x + 2x − x   x x 

0.25

 x2 − 2 x
 x 2 − x − 2 
2x2
=
−
÷

÷
2
2
x2
 2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x) 

 x2 − 2x
  ( x + 1)( x − 2)   x( x − 2) 2 + 4 x 2   ( x + 1)( x − 2) 
2x2
=
− 2
÷
÷
÷= 
÷
2
2
x2
x2
  2( x − 2)( x + 4)  

 2( x + 4) ( x + 4)(2 − x )  

x 3 − 4 x 2 + 4 x + 4 x 2 x + 1 x( x 2 + 4)( x + 1) x + 1
. 2 =
=
2( x 2 + 4)
x
2 x 2 ( x 2 + 4)
2x

x ≠ 0
x +1
Vậy A =
với 
.
2x
x ≠ 2
=

/>
0.25
0.5
0.5
0.25

2


2

3 7

b) Ta có y3 − x 3 = 2x 2 + 3x + 2 = 2  x + ÷ + > 0
4 8


⇒x
(1)

0.5

2

9  15

(x + 2) − y = 4x + 9x + 6 =  2x + ÷ + > 0
4  16

3

3

2

⇒ y < x+2

(2)

0.5

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1

0.25

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0)
KL

0.5

0.25

Câu 3: (4,0 điểm)
a

a2 + 5b2 – (3a + b) ≥ 3ab – 5

0,5

⇔ 2a + 10b – 6a -2b – 6ab +10 ≥ 0

0,5

2

2

⇔ a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1 ≥ 0
⇔ (a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 ≥ 0 .

0,5

Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1
b

0,5

Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016
= x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 + y2 - 6y + 9 + 2006
2

0.5

2

= (x + y + 1) + (y - 3) + 2006
Nhận thấy với mọi x,y ta có ( x + y + 1)2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0 .
Suy ra A ≥ 2006

0.5

0.5

Dấu “=” xảy ra khi x = −4, y = 3
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2006 đạt được khi x = −4, y = 3

0.5

Câu 4: (6,0 điểm)
A

I

O

E

D

B

M

K

N

C

a) Xét ∆BIO và ∆CMO có:
∠ IBO = ∠ MCO = 45O
BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông)
∠ BOI = ∠ COM( cùng phụ với ∠ BOM)
⇒ ∆BIO = ∆CMO (g.c.g)
⇒ S BIO = SCMO mà S BMOI = S BOI + S BMO
1
4

1
4

2
Hay S BMOI = SCMO + S BMO = S BOC = S ABCD = a

/>
1,0
1,0

3

b) Ta có CM = BI ( vì ∆BIO = ∆CMO )
⇒ BM = AI
Vì CN // AB nên

BM AM
IA AM
=
⇒
=
CM MN
IB MN

⇒ IM // BN ( Định lí Talet đảo)

Hay IMNB là hình thang
Vì OI = OM ( vì ∆BIO = ∆CMO )
⇒ ∆IOM cân tại O ⇒ ∠ IMO = ∠ MIO = 45O
Vì IM // BN ⇒ IM // BK
⇒ ∠ BKM = ∠ IMO = 45O( sole trong) => ∠ BKM = ∠ BCO
c) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh

∆ADE = ∆ABM ( g .c.g ) ⇒ AE = AM
Ta có ∆ANE vuông tại A có AD ⊥ NE nên
AD.NE AN . AE
S AEN =
=
2
2
⇒ AD.NE = AN . AE ⇒ ( AD.NE ) 2 = ( AN . AE )2

Áp dụng định lí Pitago vào ∆ANE ta có AN2 + AE2 = NE2
AD 2 .( AN 2 + AE 2 ) = AN 2 . AE 2
⇒

AN 2 + AE 2
1
1
1
1
=
⇒
+
=
2
2
2
2
2
AN . AE
AD
AE
AN
AD 2
1
1
1
=
+
Mà AE = AM và CD = AD ⇒
2

2
CD
AM
AN 2

1,0

0,5

1,0

1,0
0,5

Câu 5: (2,0 điểm)
Với 2 số a, b dương:
Xét: a 2 + b 2 ≤ 1 + ab ⇔ a2 + b2 – ab ≤ 1

0,25

⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) ( vì a + b > 0)
⇔ a 3 + b3 ≤ a + b
⇔ (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )

0,5
0,5

⇔ a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6
⇔ 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
⇔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0

(

⇔ ab a 2 − b 2

)

2

0,25

≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

Vậy: a 2 + b 2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5

/>
0,5

4