cơ học môi trường liên tục

PGS. ts. TrÇn v¨n Liªn

c¬ häc
m«i tr−êng
liªn tôc

hμ néi, 2008


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Lời nói đầu
Cơ học môi trờng liên tục l ngnh khoa học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng v
ứng suất trong các môi trờng liên tục ở điều kiện cân bằng hay chuyển động do các
tác động bên ngoi nh ngoại lực, chuyển vị, nhiệt độ, v.v... Cơ học môi trờng liên
tục l cơ sở chung để nghiên cứu v phát triển các ngnh cụ thể hơn nh thủy khí
động lực, lý thuyết đn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, nhiệt động lực học, v.v...
Cuốn sách ny đợc biên soạn trên cơ sở các bi giảng về cơ học môi trờng liên tục
của tác giả cho các lớp kỹ s chất lợng cao (PFIEV) v kỹ s công trình tại Trờng
Đại học Xây dựng. Mục đích của tác giả l giúp cho cho ngời đọc không những có
cái nhìn tổng quan về các môn cơ học trong các trờng kỹ thuật m còn cung cấp
những khái niệm cơ bản, những phơng pháp cần thiết v những ứng dụng có tính
minh hoạ của cơ học môi trờng liên tục trong các tính toán kỹ thuật. Đồng thời cuốn
sách ny có thể sử dụng lm ti liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên thuộc các
ngnh kỹ thuật nh xây dựng, giao thông, thủy lợi, hng hải, cơ khí, v.v... , các học
viên cao học v các cán bộ khoa học trẻ trong lĩnh vực chuyên ngnh Cơ học vật rắn
biến dạng.
Xin cảm ơn Trờng Đại học Xây dựng, Bộ môn sức bền vật liệu đã tạo điều kiện v
ủng hộ trong việc hon thnh cuốn sách ny. Đặc biệt xin cảm ơn GS TSKH Đo

Huy Bích, GS TS Nguyễn Văn Phó, GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, PGS TS Lê Ngọc
Hồng, PGS TS Lê Ngọc Thạch v PGS TS Tô Văn Tấn cùng các đồng nghiệp ở Bộ
môn sức bền vật liệu Trờng Đại học Xây dựng đã đọc kỹ v cho nhiều ý kiến xác
đáng về nội dung cũng nh cách trình by.
Cuốn sách ny chắc không tránh khỏi những sai sót, mong rằng sẽ nhận đợc những
góp ý của các đồng nghiệp. Các ý kiến góp ý luôn đợc đón nhận một cách trân trọng
v xin gửi về: Bộ môn sức bền vật liệu - Trờng Đại học Xây dựng, 55 đờng Giải
phóng, H Nội, Tel (04)38691462.
Tác giả

1


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Mục lục
Lời nói đầu

1

Mục lục

2

Danh mục ký hiệu

5

Mở đầu
0.1. Khái niệm về cơ học môi trờng liên tục
0.2. Các giả thiết cơ bản của cơ học môi trờng liên tục

9
10

Chơng 1. Khái niệm về ten xơ
1.1. Khái niệm về đại lợng vô hớng, véc tơ v ten xơ

13

1.2. Trờng vô hớng

14

1.3. Véc tơ v trờng véc tơ

15

1.4. Ten xơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc

20

Chơng 2. Trạng thái biến dạng
2.1. Nghiên cứu chuyển động theo Lagrange v Euler

38

2.2. Ten xơ biến dạng trong hệ tọa độ Descartes vuông góc

44

2.3. Nghiên cứu trạng thái biến dạng của môi trờng liên tục

55

2.4. Các phơng trình tơng thích biến dạng

60

2.5. Ten xơ tốc độ biến dạng

63

Chơng 3. Trạng thái ứng suất
3.1. Ngoại lực

66

3.2. Trạng thái ứng suất

67

3.3. Phơng trình vi phân cân bằng hay chuyển động

70

3.4. Ten xơ ứng suất

75

3.5. Nghiên cứu trạng thái ứng suất của môi trờng liên tục

78

3.6. Phân tích ten xơ ứng suất thnh ten xơ lệch v ten xơ cầu

84

Chơng 4. Các phơng trình cơ bản của cơ học môi trờng liên tục
4.1. Định luật bảo ton khối lợng.

92

4.2. Định luật biến thiên động lợng. Định luật biến thiên mômen động lợng

94

4.3. Các quá trình nhiệt động lực của môi trờng

97

4.4. Định luật nhiệt động lực học thứ nhất

98

4.5. Định luật nhiệt động lực học thứ hai

102

4.6. Các phơng trình cơ bản của cơ học môi trờng liên tục

105

Chơng 5. Lý thuyết đn hồi tuyến tính
5.1. Định luật Hooke tổng quát

110

5.2. Định luật Hooke cho vật thể đn hồi tuyến tính, thuần nhất v đẳng hớng

116

5.3. Cách đặt bi toán của lý thuyết đn hồi tuyến tính, thuần nhất v đẳng hớng

122

5.4. Cách giải bi toán đn hồi theo chuyển vị. Phơng trình Lamé

126

2


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

5.5. Cách giải bi toán đn hồi theo ứng suất. Phơng trình Beltrami Michell

128

5.6. Định lý Kirchhoff về sự duy nhất nghiệm của bi toán đn hồi tĩnh

131

5.7. Cách đặt bi toán thuận v ngợc của lý thuyết đn hồi. Nguyên lý cục bộ
Saint Venant. Nguyên lý độc lập tác dụng

133

5.8. Kéo nén thanh thẳng hình lăng trụ

136

5.9. Xoắn thanh thẳng hình lăng trụ

138

Chơng 6. Bi toán phẳng của lý thuyết đn hồi trong hệ tọa độ Descartes
vuông góc
6.1. Trạng thái biến dạng phẳng

144

6.2. Trạng thái ứng suất phẳng. Trạng thái ứng suất phẳng suy rộng

147

6.3. Các phơng trình cơ bản của bi toán phẳng

151

6.4. Hm ứng suất Airy

153

6.5. Hm ứng suất có dạng đa thức đại số

158

6.6. Hm ứng suất có dạng chuỗi lợng giác

167

6.7. Phơng pháp sai phân hữu hạn

170

Chơng 7. Bi toán phẳng của lý thuyết đn hồi trong hệ tọa độ cực
7.1. Các phơng trình cơ bản

178

7.2. Trờng hợp ứng suất không phụ thuộc vo góc cực: Bi toán đối xứng trục v
bi toán uốn thuần túy thanh cong

182

7.3. Bi toán nêm chịu lực tập trung tại đỉnh

189

7.4. Bi toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên

194

7.5. Bi toán bán không gian chịu lực tập trung trên biên

199

Chơng 8. Tấm mỏng đn hồi
8.1. Định nghĩa v giả thiết

201

8.2. Quan hệ chuyển vị v biến dạng

202

8.3. ứng lực. Quan hệ vật lý

203

8.4. Phơng trình vi phân cân bằng

206

8.5. Điều kiện biên

211

8.6. Phân loại bi toán tấm mỏng

214

8.7. Uốn tấm hình chữ nhật

216

8.8. Phơng pháp sai phân

220

8.9. Bi toán tấm trong hệ tọa độ cực

224

Chơng 9. Phơng pháp phần tử hữu hạn trong bi toán đn hồi tuyến tính
9.1. Phơng pháp phần tử hữu hạn

228

9.2. Mô tả toán học phơng pháp phần tử hữu hạn

231

9.3. Phơng pháp phần tử hữu hạn trong bi toán thanh

239

9.4. Phơng pháp phần tử hữu hạn trong bi toán phẳng của lý thuyết đn hồi

254

9.5. Phơng pháp phần tử hữu hạn trong bi toán tấm chịu uốn

261

3


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

9.6. Phơng pháp ma trận độ cứng động lực

264

Chơng 10. Lý thuyết dẻo
10.1. Quan hệ ứng suất biến dạng ngoi giới hạn đn hồi

273

10.2. Điều kiện dẻo. Mặt chảy v đờng cong chảy

276

10.3. Các lý thuyết dẻo đơn giản

280

10.4. Về các lý thuyết dẻo hiện nay

287

10.5. Cách đặt bi toán v phơng pháp giải của lý thuyết dẻo

289

10.6. Các đờng trợt của trạng thái biến dạng phẳng

292

10.7. Bi toán ống hình trụ chịu áp lực trong

298

Chơng 11. Lý thuyết từ biến
11.1. ảnh hởng của thời gian đến ứng suất v biến dạng

302

11.2. Lý thuyết từ biến

305

11.3. Các mô hình cơ học của vật thể biến dạng

308

11.4. Cách đặt bi toán v phơng pháp giải của lý thuyết từ biến

313

11.5. Một số ví dụ tính toán theo lý thuyết từ biến ổn định

316

Chơng 12. Cơ học chất lỏng v chất khí
12.1. áp suất thủy tĩnh. Ten xơ ứng suất nhớt

320

12.2. Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton

321

12.3. Chất lỏng lý tởng

324

12.4. Khái niệm về dòng chảy dừng, dòng không xoáy, dòng chảy có thế

327

Bi tập

329

Ti liệu tham khảo

351

Phụ lục A. Ma trận v các phép tính ma trận

352

Phụ lục B. Chơng trình phần tử hữu hạn tính toán số v symbolic trên MatLab

361

4


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Danh mục các ký hiệu
Hệ tọa độ, ten xơ
x1 , x2 , x3 Các tọa độ Euler của hệ Descartes vuông góc
X1 , X2 , X3 Các tọa độ Lagrange của hệ Descartes vuông góc
x, y, z Tọa độ Descartes vuông góc
r, , z Tọa độ cực (trụ)
r
ei Véc tơ đơn vị của hệ trục tọa độ
r

, , Hệ tọa độ trên mặt cắt có pháp tuyến ngoi

r

r

t Thời gian
V Miền không gian do môi trờng liên tục chiếm chỗ
S Mặt biên của thể tích V

( 1 , 2 , 3 ); l (l1 , l 2 , l 3 )

Véc tơ pháp tuyến ngoi của mặt

ij Ten xơ Kronecker
eijk Ten xơ Levi Civita
ai , aij , aijk Ten xơ hạng 1 (véc tơ), hạng 2, hạng 3
I1 , I2 , I3 Bất biến thứ nhất, thứ hai v thứ ba của ten xơ hạng hai
Toán tử nabla
, 1 Toán tử Laplace ba chiều, hai chiều
cij Ma trận các côsin chỉ phơng
grad Građiên của hm vô hớng
div, rot Đive v rôta của trờng véc tơ
J Ma trận Jacobian của phép biến đổi
det(A) Định thức của ma trận A
Hằng số, đặc trng cơ học vật liệu
E Môđun đn hồi Young
G Môđun đn hồi khi trợt
Hệ số nở ngang Poisson

Mật độ khối lợng
, Các hằng số Lamé
K Môđun biến dạng thể tích
D Độ cứng trụ
Et Môđun tái bền
tl Giới hạn tỷ lệ

ch , ch Giới hạn chảy khi kéo, khi trợt thuần túy
b (b,k , b,n) Giới hạn bền (khi kéo, khi nén)
dh Giới hạn bền di hạn
H Môđun đn hồi tức thời
Hệ số nhớt hay hệ số cản trong của vật liệu

*, * Các hệ số nhớt của chất lỏng

5


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

* Hệ số nhớt khối của chất lỏng
Môi trờng liên tục
m
r
R
r
H
K

U
u
Q
A
b

r
c (c1 , c 2 , c 3 )

T
k
S
s

Khối lợng
Véc tơ động lợng của môi trờng
Véc tơ mô men động lợng của môi trờng
Động năng của môi trờng
Nội năng của môi trờng hay thế đn hồi ton phần cho
vật thể đn hồi
Nội năng riêng (mật độ nội năng) của môi trờng hay thế
đn hồi trên một đơn vị khối lợng cho vật thể đn hồi
Nhiệt năng của môi trờng
Công cơ năng của môi trờng
Hằng số bức xạ nhiệt
Véc tơ vận tốc truyền nhiệt
Nhiệt độ tuyệt đối (Kelvin)
Hệ số truyền nhiệt Fourier
Entrôpi của môi trờng
Mật độ entrôpi

p áp suất nhiệt động
& Tốc độ biến dạng thể tích
W Thế năng biến dạng trên một đơn vị thể tích
W* Công bù
W Thế năng biến dạng thể tích
WD Thế năng biến dạng hình dáng
WP Công biến dạng dẻo
Chuyển vị, biến dạng

r
r
u (u 1 , u 2 , u 3 ); u (u x , u y , u z )
r
u (u r , u , u z )

r
v (v1 , v 2 , v 3 )

r
w(w1 , w2 , w3 )

Chuyển vị của điểm vật chất trong hệ tọa độ Descartes v
hệ tọa độ cực (trụ)
Vận tốc chuyển động
Gia tốc chuyển động

Gij Ten xơ biến dạng hữu hạn Green
Aij Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi
ij Ten xơ biến dạng bé

ij Ten xơ quay tuyến tính
r
r

Véc tơ quay tuyến tính
Biến dạng thể tích tỷ đối
Biến dạng góc

tb Độ dãn trung bình của ten xơ biến dạng bé
1 , 2 , 3 Các biến dạng chính của ten xơ biến dạng bé
r
Biến dạng di tơng đối theo phơng

6


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

ijD

Ten xơ lệch biến dạng

ijS

Ten xơ cầu biến dạng

Cờng độ biến dạng trợt

u Cờng độ biến dạng
ij Ten xơ chỉ hớng biến dạng
eij Ten xơ tốc độ biến dạng
ij Ten xơ xoáy biến dạng
&ij Ten xơ tốc độ biến dạng bé

&u

Cờng độ tốc độ biến dạng

E Biến dạng đn hồi
P Biến dạng dẻo, biến dạng d
C Biến dạng từ biến
w Độ võng của tấm
Ngoại lực, ứng suất

r
r
F (F1 , F2 , F3 ); F (Fx , Fy , Fz )
r
F (Fr , F , Fz )
r
K (K 1 , K 2 , K 3 )
r
r
P (P 1 , P 2 , P 3 ); P (Px , Py , Pz )
r
p ( p 1 , p 2 , p 3 )

Lực thể tích trong hệ tọa độ Descartes v hệ tọa độ cực

(trụ)
Lực khối
r
Lực mặt trên biên có pháp tuyến
r
Véc tơ ứng suất ton phần trên mặt cắt có pháp tuyến

ij Ten xơ ứng suất
r
Véc tơ ứng suất pháp trên mặt cắt có pháp tuyến
r

r



Véc tơ ứng suất tiếp trên mặt phẳng

tb Giá trị ứng suất pháp trung bình của ten xơ ứng suất
1 , 2 , 3 Các ứng suất chính của ten xơ ứng suất

ijD

Ten xơ lệch ứng suất



Ten xơ cầu ứng suất

S

ij

1 , 2 , 3 Các ứng suất tiếp chính
T Cờng độ ứng suất tiếp
u Cờng độ ứng suất

ij

Ten xơ chỉ hớng ứng suất

& ij

Ten xơ tốc độ ứng suất

ij Ten xơ ứng suất nhớt
S Hm tổng ứng suất
Hm xoắn Saint Venant
Hm ứng suất Prandtl

Hm ứng suất Airy

7


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Nx , Ny , Sx , Sy , S, Qx , Qy ,
Các thnh phần ứng lực trên mặt trung bình của tấm

Mx , My , Mxy , Myx , H
p Tải trọng ngang phân bố của tấm
F Hm ứng lực
Phơng pháp phần tử hữu hạn
M, C, K
U
P
ue
Ue
Ne=(N1 , N2 , ...)
Be

e , e
De
Me , Ce , Ke
PV , PS

P ; P
0

0

Ma trận khối lợng, cản, độ cứng của cả hệ
Véc tơ chuyển vị nút của cả hệ trong hệ tọa độ tổng thể
Véc tơ tải trọng quy về nút của cả hệ
Trờng chuyển vị của phần tử trong hệ tọa độ địa phơng
Véc tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ của phần tử
Hm dạng của phần tử hữu hạn
Ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị nút của phần tử
Véc tơ các thnh phần biến dạng, ứng suất của phần tử

Ma trận các hằng số đn hồi của phần tử hữu hạn
Ma trận khối lợng, cản, độ cứng của từng phần tử
Véc tơ tải trọng thể tích, lực mặt quy về nút
Véc tơ tải trọng quy về nút do ứng suất, biến dạng ban đầu

PC Véc tơ tải trọng tập trung tại nút trong hệ tọa độ tổng thể
Ma trận chuyển đổi các chuyển vị nút từ hệ tọa độ địa
Te
phơng sang hệ tọa độ tổng thể
A Diện tích tiết diện thanh
I Mô men quán tính của tiết diện thanh
Ae Diện tích phần tử tam giác phẳng
h Độ dầy của phần tử tam giác phẳng, phần tử tấm
i Số ảo i = 1

K
U

Ma trận độ cứng động lực

P

Véc tơ biên độ phức của tải trọng quy về nút


i

e

Tần số dao động

qe*

Biên độ của tải trọng dọc trục hay tải trọng ngang

E

Môđun đn hồi phức

Véc tơ biên độ phức của chuyển vị nút

Tần số dao động riêng của hệ
Tham số động lực
Biên độ của chuyển vị dọc trục hay chuyển vị ngang

1 , 2 Hệ số cản nhớt của vật liệu v môi trờng
K1 , K2 , K3 , K4 Các hm Krylov
q e1 , q e 2 , q e3 , q e 4 v qe Các thnh phần v véc tơ tải trọng
Re1 , Re2 , Re3 , Re4 v Re

Các thnh phần v véc tơ ứng lực tại tiết diện thanh

8


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Mở đầu

0.1. khái niệm về cơ học Môi trờng liên tục
0.1.1. Đối tợng, mục đích v phạm vi của cơ học môi trờng liên tục
Đối tợng của cơ học môi trờng liên tục l những vật thể hữu hạn có cấu tạo vật
chất liên tục v khoảng cách giữa các điểm của chúng thay đổi trong thời gian
chuyển động. Các vật thể ny đợc gọi l các môi trờng liên tục hay các
continuum. Khái niệm môi trờng đợc dùng để chỉ vật thể với ý nghĩa l kích
thớc của vật thể lớn hơn rất nhiều so với kích thớc của các hạt vật chất, các phân
tử, các mạng tinh thể cấu tạo nên vật chất. Tính chất liên tục đợc hiểu l tại mỗi
điểm hình học trong không gian của vật thể, ta luôn có thể lấy ra đợc một phần tử
vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó (hay l vật chất lấp đầy không gian vật thể).
Mục đích của cơ học môi trờng liên tục l thiết lập các tính chất chung v các quy
luật chuyển động của môi trờng liên tục nh quy luật về lực do chất lỏng tác dụng
lên các vật chuyển động trong nó; sự liên quan giữa tải trọng ngoi v biến dạng của
vật thể rắn, v.v...
Nếu cơ học lý thuyết nghiên cứu cân bằng hay chuyển động của chất điểm, hệ chất
điểm rời rạc v vật rắn tuyệt đối thì cơ học môi trờng liên tục l một phần rộng lớn
của cơ học, nghiên cứu chuyển động của các môi trờng có biến dạng nh các chất
khí, chất lỏng, vật rắn biến dạng v các môi trờng đặc biệt nh trờng điện từ,
trờng bức xạ, trờng hấp dẫn, v.v... Các phơng trình cân bằng hay chuyển động
của cơ học môi trờng liên tục l sự mở rộng các phơng trình của cơ học lý thuyết.
Cơ học môi trờng liên tục l cơ sở chung để phát triển lý thuyết đn hồi, lý thuyết
dẻo, lý thuyết từ biến, thủy động lực học, khí động lực học, nhiệt động lực học v
nhiều ngnh khác của vật lý v cơ học. Tính chất chung v sự liên hệ mật thiết giữa
các ngnh cơ học v vật lý kể trên, m thoạt tiên tởng nh khác nhau, bắt buộc ta
phải nghiên cứu chúng nh một thể thống nhất.
0.1.2. Nội dung v phơng pháp của cơ học môi trờng liên tục
Các nghiên cứu về cơ học môi trờng liên tục phát triển theo hai hớng:
-

Nghiên cứu tính chất cơ học của môi trờng, tức l phát hiện v nghiên cứu các

quy luật vật lý của môi trờng khi chịu tác dụng của lực ngoi.

-

Thiết lập các bi toán cơ học thnh các bi toán toán học v phát triển phơng
pháp giải các bi toán cụ thể.

9


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Bản thân việc giải quyết các bi toán cụ thể của cơ học môi trờng liên tục bằng
toán học cũng đợc xem l cơ học môi trờng liên tục. Điều đó giải thích rằng thậm
chí trong những trờng hợp đơn giản nhất, các bi toán của cơ học môi trờng liên
tục đợc đặt ra về mặt toán học cũng rất khó v không thể giải đợc một cách có
hiệu quả bằng các phơng tiện toán học hiện đại. Do đó buộc phải thay đổi cách đặt
bi toán v tìm cách giải gần đúng dựa trên cơ sở các giả thuyết v các kiến thức cơ
học khác nhau.
0.2. Các giả thiết cơ bản của cơ học môi trờng liên tục
0.2.1. Quan điểm hiện tợng vĩ mô
Cấu trúc của các phân tử v các lực tơng tác giữa chúng rất phức tạp, không phải
lúc no cũng biết đợc. Ta không thể theo dõi chuyển động của từng hạt cơ bản, vì
chúng rất nhiều v cha biết trớc lực tơng tác giữa chúng với nhau. Điều quan
trọng l cần chú ý rằng, thông thờng không cần thiết phải biết chuyển động của
từng hạt cơ bản.
Trên thực tế, ta chỉ cần một số đặc trng trung bình quy ớc dựa trên các quy luật
v các giả thuyết chung thu đợc bằng thực nghiệm trên các vật thể có kích thớc vĩ

mô (hữu hạn). Đây l quan điểm hiện tợng vĩ mô - chỉ chú ý đến các quá trình, các
hiệu ứng v các tính chất quan trọng đối với vật thể hữu hạn m ta quan sát hoặc sử
dụng trong những hiện tợng khác nhau của thiên nhiên v kỹ thuật.
Một phơng pháp khác nghiên cứu các môi trờng vật chất đã đợc phát triển trong
vật lý l phơng pháp thống kê dựa trên quan điểm xác xuất sử dụng các đặc trng
trung bình từ tập hợp lớn các hạt. Các phơng pháp thống kê luôn dùng những giả
thuyết bổ sung về tính chất của hạt, tơng tác của chúng v giản ớc các tính chất
v tơng tác ny. Cần lu ý rằng trong nhiều trờng hợp không tồn tại cơ sở để xây
dựng các phơng pháp nh vậy. Tuy nhiên chúng không phải l phơng tiện hiệu
quả để giải các bi toán, vì các phơng trình tơng ứng thu đợc vô cùng phức tạp.
0.2.2. Giả thuyết về tính chất liên tục của môi trờng
Tất cả vật chất cấu tạo từ các hạt riêng lẻ nhng chúng có rất nhiều trong mọi thể
tích bất kỳ m ta quan tâm, nên có thể xem gần đúng nh môi trờng chiếm chỗ
không gian một cách liên tục.
Giả thiết về tính liên tục của môi trờng vật chất đợc đặt ra xuất phát từ quan
điểm vĩ mô. Nh vậy, môi trờng liên tục hay continuum dùng để chỉ những vật
thể có cấu tạo vật chất liên tục v khoảng cách giữa các điểm của chúng thay đổi
trong thời gian chuyển động.

10


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Việc lý tởng hóa nh vậy l cần thiết, bởi vì khi nghiên cứu chuyển động của môi
trờng liên tục, ta sử dụng công cụ tính toán l các phép tính vi phân v tích phân
của các hm liên tục.
0.2.3. Giả thuyết không gian Euclide

Không gian l tập hợp các điểm đợc cho trớc bằng những con số gọi l tọa độ của
điểm. Không gian Euclide l không gian m trong đó ta có thể xây dựng một hệ tọa
độ Descartes duy nhất cho mọi điểm của không gian. Vị trí các điểm của không gian
hon ton xác định nhờ hệ tọa độ Descartes vuông góc duy nhất cho ton bộ không
gian x, y, z. Khoảng cách giữa hai điểm M1(x1,y1,z1) v điểm M2(x2,y2,z2) bất kỳ xác
định theo công thức
r=

(x1 x2 )2 + ( y1 y 2 )2 + (z1 z 2 )2

(0.2.1)

Cơ học môi trờng liên tục giả thiết không gian l Euclide ba chiều. Cơ học xây dựng
trong các không gian Euclide gọi l cơ học Newton. Kinh nghiệm chứng tỏ rằng
không gian vật lý thực trong phạm vi không lớn lắm với độ chính xác cao có thể xem
l không gian Euclide.
Không phải bất kỳ không gian no đều có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất
cho ton không gian. Để đơn giản ta xét không gian hai chiều. Rõ rng l trên mặt
phẳng bao giờ ta cũng có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất có hai tọa độ cho
ton mặt phẳng. Trên mặt cầu bán kính cong của nó khác không, ta không thể vẽ
một hệ có hai tọa độ, để khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên đó l độ di cung
đờng tròn lớn đợc xác định bằng công thức (0.2.1). Trên mặt cầu chỉ có thể vẽ hệ
tọa độ Descartes trong miền lân cận bé của mỗi điểm. Trong trờng hợp không gian
ba chiều cũng không phải lúc no cũng có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất
cho ton không gian.
Để tránh nhầm lẫn giữa điểm của môi trờng liên tục v điểm của không gian do
môi trờng liên tục chiếm chỗ, ta dùng khái niệm điểm để chỉ vị trí trong không
gian cố định, còn khái niệm phần tử hay hạt để chỉ vật chất chứa trong thể tích
vô cùng bé của môi trờng liên tục (chất điểm).
0.2.4. Giả thuyết thời gian tuyệt đối trong các hệ quy chiếu quán tính

Khái niệm thời gian liên quan đến thực nghiệm v rất cần thiết trong cơ học. Mỗi
hiện tợng cơ học bất kỳ luôn luôn đợc mô tả theo quan điểm ngời quan sát no
đó. Nói chung, thời gian có thể phụ thuộc vo hệ quy chiếu của ngời quan sát.
Hệ quy chiếu, trong đó chuyển động tự do của các môi trờng (l chuyển động của
các vật hay môi trờng không chịu tác động của lực ngoi) xảy ra với vận tốc không
đổi, đợc gọi l hệ quy chiếu quán tính. Nếu hai hệ chuyển động thẳng đều với nhau,

11


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

trong đó một hệ l quy chiếu quán tính, thì hệ kia cũng l hệ quy chiếu quán tính.
Do đó mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính
cũng l hệ quy chiếu quán tính.
Cơ học môi trờng liên tục giả thiết thời gian tuyệt đối, lý tởng, trôi qua nh nhau
đối với mọi ngời quan sát trong các hệ quy chiếu quán tính: trong tu hỏa, trong
máy bay, trong giảng đờng, v.v... do đó ta sẽ dùng thời gian tuyệt đối lý tởng hóa
để mô tả thực tế v nó chỉ đúng khi không kể đến các hiệu ứng của lý thuyết tơng
đối hẹp.
Trên đây, ta đã đa ra ba giả thuyết cơ bản dùng để xây dựng lý thuyết chuyển
động của các vật thể biến dạng. Các kết luận rút ra từ lý thuyết ny thờng phù hợp
với thực nghiệm, nhng không phải lúc no cũng vậy. Trong những trờng hợp cần
thiết, mô hình không gian v thời gian có thể chính xác hóa v mở rộng. Nhng tất
cả những sự mở rộng sau ny đều xây dựng trên cơ sở cơ học Newton dựa vo các giả
thuyết cơ bản đã trình by ở trên. Bản chất của các giả thuyết đó trở nên dễ hiểu
hơn trong quá trình phát triển lý thuyết sau ny.
Tóm lại, cơ học môi trờng liên tục l ngnh khoa học nghiên cứu, thiết lập các tính

chất, các quy luật chuyển động của môi trờng với giả thiết rằng môi trờng l liên
tục (continuum) trong không gian Euclide v dùng thời gian tuyệt đối, lý tởng, nh
nhau với mọi ngời quan sát trong các hệ quy chiếu quán tính.

12


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Chơng 1
khái niệm về ten xơ
1.1. Khái niệm về đại lợng vô hớng, véc tơ v ten xơ
Trong toán học v vật lý nói chung, đặc biệt trong cơ học nói riêng, ta thờng gặp
các loại đại lợng khác nhau:
-

Đại lợng vô hớng l đại lợng m nó đợc đặc trng bằng một con số theo một
đơn vị đo đã chọn nh nhiệt độ, khối lợng, tỷ khối, năng lợng, độ ẩm, v.v...

-

Đại lợng véc tơ l đại lợng m nó đợc đặc trng không những bằng con số chỉ
số đo của nó theo một đơn vị đo xác định, m còn bằng hớng của nó trong không
gian nh chuyển dịch của chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực, v.v... Cần phân biệt ba
loại véc tơ: véc tơ tự do có điểm đặt chọn tùy ý; véc tơ trợt có điểm đặt thay đổi
dọc theo chính véc tơ đó, ví dụ lực đặt vo một vật thể rắn l véc tơ trợt; véc tơ
buộc có điểm đặt cố định, ví dụ nh khi xét chuyển động của điểm vật chất phải
lấy điểm tác dụng lực l vị trí của điểm vật chất đó. Việc nghiên cứu các véc tơ

buộc v các véc tơ trợt dẫn đến việc nghiên cứu các véc tơ tự do, vì vậy dới đây
ta chỉ xét các véc tơ tự do.

-

Đại lợng ten xơ đặc trng cho trạng thái của vật thể nh trạng thái biến dạng,
trạng thái ứng suất của môi trờng liên tục, sự phân bố các mômen quán tính đối
với các trục khác nhau đi qua điểm no đó của vật thể rắn, năng xung lợng của
trờng điện từ, độ cong của mỗi điểm trong không gian phi Euclide, v.v...

Ten xơ l đại lợng tổng quát bao hm cả các đại lợng vô hớng v véc tơ. Dựa vo
khái niệm ten xơ, ta có thể bao quát mọi đặc trng của tất cả các đại lợng, xem
chúng l các ten xơ hạng không (vô hớng), hạng một (véc tơ) v hạng bất kỳ.
Ten xơ có đặc điểm chung l không phụ thuộc vo cách chọn hệ tọa độ dùng để mô tả
chúng, nghĩa l trong một hệ tọa độ có thể cho ten xơ bằng một hệ thống đại lợng
no đấy, gọi l các thnh phần của ten xơ. Nếu các thnh phần của ten xơ đã cho
trong một hệ tọa độ, thì nó đợc xác định trong bất kỳ một hệ tọa độ no khác, vì
trong định nghĩa ten xơ đã bao hm quy luật biến đổi các thnh phần của nó.
Các qui luật vật lý v cơ học thờng đợc biểu diễn dới dạng các hệ thức ten xơ.
Viết các phơng trình dới dạng ten xơ, cho phép thiết lập các quy luật bất biến,
không phụ thuộc vo cách chọn hệ tọa độ. Do tính chất tuyến tính v đồng nhất của
các phép biến đổi ten xơ, nên các phơng trình ten xơ đã đúng trong hệ tọa độ ny,
cũng đúng trong hệ tọa độ khác. Tính bất biến của các hệ thức ten xơ đối với phép

13


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

biến đổi hệ tọa độ l một trong những nguyên nhân cơ bản để sử dụng có hiệu quả
phép tính ten xơ trong cơ học v vật lý.
1.2. Trờng vô hớng
Trờng vô hớng l một hm vô hớng của các tọa độ điểm trong miền xác định của
hm số ( x1 , x 2 , x3 , t ) với x1 , x2 , x3 l các tọa độ không gian, còn t l thời gian.
Građiên của trờng vô hớng l véc tơ có hớng m hm tăng nhanh nhất v có độ
lớn bằng đạo hm theo hớng đó

grad = =

r r r
e1 +
e2 +
e3
x1
x 2
x3

(1.2.1)

r r r
với e1 , e2 , e3 l các véc tơ chỉ phơng đơn vị của hệ tọa độ cơ sở Ox1x2x3 , ký hiệu đọc
l nabla. Về mặt hình học, véc tơ građiên vuông góc với mặt mức (hay mặt đẳng trị)
đợc xác định từ phơng trình ( x1 , x 2 , x3 , t ) = const . Khi đó véc tơ pháp tuyến đơn vị
r
tại điểm cho trớc của mặt ny l
r

=

r r
r
e1 +
e2 +
e3
x3
x1
x 2

grad
=
2
grad


+
x1 x 2

2



+
x3

2

(1.2.2)

Ký hiệu với
= =

2 2 2
+
+
x12 x 22 x32

(1.2.3)

đợc gọi l toán tử Laplace, đọc l laplacien. Phơng trình vi phân đạo hm riêng
=

2 2 2
+
+
=0
x12 x 22 x32

(1.2.4)

đợc gọi l phơng trình Laplace v nghiệm của phơng trình Laplace đợc gọi l
hm điều hòa. Theo định lý trung bình của hm điều hòa, giá trị của hm điều hòa
tại một điểm no đó bằng trung bình số học của các giá trị hm số trên một mặt cầu
(v do đó cả theo thể tích) bất kỳ với tâm tại điểm đã cho. Phơng trình
2
2
2 2 2 2
2 = 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 = 0
x1 x 2 x3 x1 x 2 x3

(1.2.5)

đợc gọi l phơng trình song điều hòa hay điều hòa kép v nghiệm phơng trình
ny đợc gọi l các hm song điều hòa hay điều hòa kép.

14


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Ví dụ 1.2.1: Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0),
C(0,0,c) cho trớc nằm trên các trục tọa độ nh trên hình 1.2.1.
Giải: Phơng trình của mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C l

x2

( x1 , x 2 , x3 ) =

B


x1 x 2 x3
+
+ 1 = 0
a b
c

Véc tơ građiên có dạng

e2
O

grad =

x1

e1
A

e3

1r 1r 1r
e1 + e2 + e3
a
b
c

Do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng l

C

r

=

x3
Hình 1.2.1.

1r 1r 1r
e1 + e2 + e3
a
b
c

grad
=
2
2
2
grad
1 1 1
+ +
a b c

Nếu mặt phẳng ABC nghiêng đều ba trục tọa độ ( a = b = c ) , véc tơ pháp tuyến l

r

=

r 1 1 1
1 r 1 r
1 r
,
,
.
e1 +

e2 +
e3 , thông thờng ta hay chọn
3
3
3
3 3 3
1.3. Véc tơ v trờng véc tơ

1.3.1. Các phép tính véc tơ
Trong không gian ba chiều, ta lập một hệ tọa độ Descartes vuông góc Ox1x2x3 l một
r
tam diện thuận theo quy tắc bn tay phải. Một véc tơ a bất kỳ trong không gian
đợc xác định bởi ba hình chiếu a1 , a2 , a3 của nó trên các trục tọa độ (hình 1.3.1) v
r
a1 , a2 , a3 đợc gọi l các tọa độ vuông góc hay l các thnh phần của véc tơ a . Độ di
r
của véc tơ a xác định theo công thức
x2
r
a2
a = a2 + a2 + a2
(1.3.1)
1

a

O

a1
x1

a3
x3
Hình 1.3.1.

2

3

Đờng chéo OB của hình bình hnh dựng trên các véc
r
r
r r
tơ OA = a v AB = b l tổng của hai véc tơ OB = a + b ,
r r
còn đờng chéo CA l hiệu của các véc tơ ny CA = a b
(hình 1.3.2).
r
r
Tích vô hớng (hay tích trong) của hai véc tơ a v b l
một đại lợng vô hớng có giá trị bằng tích độ di của
các véc tơ đó với côsin của góc giữa chúng

15


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

a

C

a+b
b

O

rr rr r r
r r
a.b = b .a = a b . cos(a , b )

B

b

a-b
a

(1.3.2)

r
r
Nếu véc tơ a vuông góc với véc tơ b thì tích vô hớng
của hai véc tơ ny bằng không. Tích vô hớng của các
véc tơ đơn vị tọa độ l

1 i = j
r r

ei .e j = ij =
0 i j

A

Hình 1.3.2.

(1.3.3)

r
r
r
Nếu b = 1 thì hình chiếu của véc tơ a lên véc tơ b bằng tích vô hớng của hai véc tơ
r
r
ny. Tọa độ ai l tích vô hớng của véc tơ a v véc tơ đơn vị ei
rr
ai = a.ei

(1.3.4)

r
r
r
Tích véc tơ (hay tích ngoi, tích có hớng) của hai véc tơ a v b l một véc tơ c có
r r
độ lớn bằng diện tích hình bình hnh dựng trên các véc tơ a , b v có hớng vuông

góc với mặt phẳng của các véc tơ ny sao cho tam diện hình thnh bởi các véc tơ
r r r

a , b , c l tam diện thuận (hình 1.3.3)
c=aìb
r r r r r r
r r
c = a ì b ; c = a b sin(a , b )
(1.3.5)
b

a

Biểu diễn dới dạng định thức
r r
e1 e2
r

r
a ì b = det a1 a 2
b b
2
1

r
e3

a3
b3

(1.3.6)

d=bìa

Tích véc tơ không có tính giao hoán tức l
r r
v
r r r
Hình 1.3.3.
c = a ì b = b ì a = d
r r r
Tích hỗn hợp (hay tích véc tơ kép) của ba véc tơ a , b , c l một đại lợng vô hớng có
giá trị bằng thể tích hình hộp giới hạn bởi các véc tơ ny. Tích hỗn hợp ny l số
r r r
dơng nếu các véc tơ a , b , c lập thnh một tam diện thuận
a1

r rr r r r
ab c = a.(b ì c ) = det b1
c
1

[ ]

a2
b2
c2

a3

b3
c3

(1.3.7)

1.3.2. Biến đổi của các thnh phần véc tơ khi quay trục tọa độ
r
Giả thiết hệ trục tọa độ Descartes ban đầu xi với các véc tơ đơn vị ei xoay quanh gốc
r
tọa độ O trở thnh hệ trục tọa độ Descartes mới xi với các véc tơ đơn vị mới ei nh

16


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

trên hình 1.3.4. Ký hiệu C = (cij ) l ma trận các côsin của góc hợp giữa trục mới xi
r
r
với trục cũ xj v cũng l góc giữa véc tơ ei v véc tơ e j . Theo (1.3.2), ta có

r r
rr
cij = cos( xi , x j ) = cos(ei , e j ) = eie j
x2

(1.3.8)

x2

x2

x1

a
x2

e2

e3 O
e3

x3

e2

e2

e2

x1

e1

e1

e1

x1

O

e3 = e3

e1

x3 = x3

x1

x3

Hình 1.3.4.
Hình 1.3.5.
r
r
Các véc tơ đơn vị mới ei có thể biểu diễn qua các véc tơ đơn vị cũ e j

r
r
r
e1
e1 c11 c12 c13 e1
r
r
r
e2 = c21 c22 c23 e2 = Ce2
er
er c c c er
3
3 31 32 33 3

(1.3.9)

Ngợc lại, ký hiệu C = (cij ) l ma trận các cô sin của góc hợp giữa trục cũ xi với trục
mới xj , ta có

r r
rr
cij = cos( xi , x j ) = cos(ei , ej ) = ei ej

(1.3.10)

So sánh (1.3.8) v (1.3.10), ta thấy ngay rằng c'ij = c ji tức l ma trận C = (cij ) v ma

trận C = (cij ) l chuyển vị của nhau.

r
r
Từ (1.3.10), ta biểu diễn các véc tơ cơ sở cũ ei qua các véc tơ cơ sở mới e j
r

e1 c11
r
e2 = c 21
er c
3 31


c12
c 22

c32

r
r
e1
c13
e1
r
r
e2 = C e2
c23
r
er
e3
c33
3

(1.3.11)

So sánh (1.3.9) v (1.3.11), ta thấy rằng ma trận C = (cij ) v ma trận C = (cij ) l
nghịch đảo của nhau.

17


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

Nh vậy, ma trận các côsin chỉ phơng (cij ) lập thnh một ma trận trực giao

C = C 1 = C T

(1.3.12)

Khi hệ trục tọa độ Descartes ban đầu Ox1x2x3 quay trong mặt phẳng Ox1x2 một góc
ngợc chiều kim đồng hồ quanh trục x3 trở thnh hệ trục tọa độ mới Ox1 x2 x3 nh
trên hình 1.3.5, ma trận các côsin chỉ phơng có dạng

cos

C = (cij ) = cos 90 0 +
cos 90 0


(

)

(

cos 90 0

)

cos
cos 90 0

cos 90 0 cos

cos 90 0 = sin
cos 0 0 0

sin
cos
0

0

0
1

(1.3.13)

r
Bây giờ ta xét sự thay đổi của các thnh phần véc tơ a khi quay hệ trục tọa độ. Khi
r
r
đó bản thân véc tơ a không thay đổi, nhng các thnh phần tọa độ ai của véc tơ a
trong hệ trục cũ xj sẽ thay đổi thnh ai trong hệ trục mới xi . Ta có khai triển
3
r 3 r
r
a = ai ei = aiei
i =1

(1.3.14)

i =1

rr
rr
với ai = a.ei v ai = a.ei . Sử dụng (1.3.8) kết hợp với (1.3.9), ta đợc
3
3
rr r 3 r
rr
ai = a.ei = a. cij e j = cij a.e j = cij a j
i =1

i =1

(1.3.15)

i =1

Tơng tự, sử dụng (1.3.10) kết hợp với (1.3.11) ta có
3
3
rr r 3 r
rr
ai = a.ei = a. cij e j = c ji a.e j = c ji a j
i =1

i =1

(1.3.16)

i =1

1.3.3. Trờng véc tơ
Trờng véc tơ l một hm véc tơ của các tọa độ điểm trong miền không gian xác
r
định của hm số a ( x1 , x2 , x3 , t ) với x1 , x2 , x3 l các tọa độ không gian, t l thời gian.
Đại lợng vô hớng
a
r
r a a
div(a ) = .a = 1 + 2 + 3
x1 x 2 x3

(1.3.17)

r
đợc gọi l đive (hay phân kỳ) của trờng véc tơ a . Đại lợng véc tơ

r
e1

r
r

rot(a ) = ì a = det
x1
a
1

r
e2

x2
a2

r
e3

a3 a2 r a1 a3 r a2 a1 r
e1 +
e2 +
e3 (1.3.18)
=



x3 x2 x3
x1 x2
x3 x1
a3

r
đợc gọi l rôta (hay xoáy) của trờng véc tơ a .

18


Cơ học môi trờng liên tục

Trần Văn Liên

r

r
Các đại lợng div(a ) ; rot (a ) đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu các môi trờng

liên tục. Giá trị đive liên quan đến lợng vật chất đi qua mặt của một thể tích vô
cùng bé bao quanh điểm đang xét. Véc tơ rôta liên quan đến chuyển động quay của
các chất điểm quanh điểm đang xét.
r
r r r
r
Ví dụ 1.3.1: Khai triển véc tơ a (1,2,1) thnh hai véc tơ a = v + v trong đó véc tơ v
theo phơng pháp tuyến với mặt phẳng ABC nghiêng đều với ba trục tọa độ (ví dụ
r
1.2.1), véc tơ v nằm trong mặt phẳng ABC.
Giải: Véc tơ pháp tuyến ngoi của mặt phẳng ABC nghiêng đều ba trục tọa độ l
r
r
r
1 3 ,1 3 ,1 3 . Hình chiếu của véc tơ a lên phơng pháp tuyến l

(

)

rr 1
v = .a =
3
r

1
1 4

2 =
3
3
1

1
3

r
v thu đợc véc tơ v
1
4
v = v =
1
3
1
r

3 4

3 = 4
3 4

r r

3

3
3

r
Từ đó ta xác định đợc véc tơ v nằm trong mặt phẳng ABC
1 4
r r

= a v = 2 4
1 4

r

3 1 3


3 = 2 3
3 1 3

r
Độ di véc tơ v theo (1.3.1) l
2

2

2

6
1 2 1
= + + =
3
3 3 3
r

r
Để kiểm tra kết quả tính, dựa vo điều kiện véc tơ v vuông góc với véc tơ v nên
r

tích vô hớng của hai véc tơ ny bằng không
r r 1
v . =
3

1
3

1 3
1

2 3 = 0
3

1 3

r2
r
Cũng có thể kiểm tra dựa vo hệ thức Pitago a =

19

2

r 2
+ , ta có