CASIO LUONG GIAC 10

www.facebook.com/mathsnqdieu

BÍ KÍP CASIO ĐỂ GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC
tang

sin
3

(II)
- 3

3
-

-1

3

(I)

3

π

3

2

3

1

cotang

3
2

3

2
2

3

1
2

π
2

3
-

2

-

2

1
-

1

O

2

2

0
2
2

3

cosin

2

1
2
-

3

2

-

3

2
3
-

2

-1

π
3π

(III)

(IV)

2

- 3

PHẦN I. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG (GÓC) KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
CỦA CUNG (GÓC) ĐÓ (CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CUNG (GÓC) LƯỢNG GIÁC)
DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
(I)
(II)
(III)
(IV)
Các giá trị

lượng giác

sin α
cos α
tan α
cot α
GV: Cao Thành Thái

0<α<

+
+
+
+

π
2

π
<α<π
2

+
−
−
−

π<α<

−
−

+
+

3π
2

3π
< α < 2π
2

−
+
−
−
1


www.facebook.com/mathsnqdieu
1. Đối với cung (góc) lượng giác thuộc gốc phần tư thứ nhất
Lưu ý: các đơn đơn vi đo cung (góc) nên đổi về đơn vị độ. ( π → 180° ). Máy tính hiển thị chế độ đo là độ

Thuật toán: Tìm số đo cung (góc) thuộc đúng góc phần tư đã cho trước.
π
Dạng 1. Cho sin x = a và 0 < x < (hoặc 0° < x < 90° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của
2
biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm qj nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
π

Dạng 2. Cho cos x = a và 0 < x < (hoặc 0° < x < 90° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của
2
biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm qk nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
π
Dạng 3. Cho tan x = a và 0 < x < (hoặc 0° < x < 90° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của
2
biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
π
Dạng 4. Cho cotx = a và 0 < x < (hoặc 0° < x < 90° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của
2
biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql1P nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
3
π
Ví dụ: Cho sin x = và 0 < x < . Tính các giá trị lượng giác còn lại.
2
5
Ta thực hiện bấm máy như sau:
- Bước 1: Ta bấm qja3$5$)=.
Ta được màn hình 1.
- Bước 2: Ta không thoát màn hình mà tiếp tục bấm
qJz. Ta được màn hình 2.

- Bước 3:
4
+ Tính cos x : bấm kQz)=. Ta được kết quả cos x = .
5
3
+ Tính tan x : bấm lQz)=. Ta được kết quả tan x = .
4
4
+ Tính cotx : bấm 1PlQz)=. Ta được kết quả cot x = .
3
GV: Cao Thành Thái

2


www.facebook.com/mathsnqdieu
Ví dụ: Cho cot a = 3 và 0° < a < 90° . Tính các giá trị lượng giác còn lại.
- Bước 1: Ta bấm ql1P3)=. Ta được màn hình 1.
- Bước 2: Ta không thoát màn hình mà tiếp tục bấm qJz. Ta
được màn hình 2.
- Bước 3:
+ Tính sin a : bấm jQz)=. Ta được kết quả sin a ≈ 0, 316 .
+ Tính cosa : bấm kQz)=. Ta được kết quả cos a ≈ 0, 949

1
.
3
Để hiển thị kết quả dạng căn thức đối với các kết quả của sin a và cosa ta thực hiện
như sau:
+ Tính tana : bấm lQz)=. Ta được kết quả tan a =

+ jQz)= tiếp tục bấm d= rồi bấm sM=. Ta được sin a =

10
.
10

+ kQz)= tiếp tục bấm d= rồi bấm sM=. Ta được cos a =

3 10
.
10

2. Đối với cung (góc) lượng giác thuộc gốc phần tư thứ hai
π
Dạng 1. Cho sin x = a và < x < π (hoặc 90° < x < 180° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị
2
của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm qj nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm 180pM=.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
π
Dạng 2. Cho cos x = a và < x < π (hoặc 90° < x < 180° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị
2
của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm qk nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
π

Dạng 3. Cho tan x = a và < x < π (hoặc 90° < x < 180° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị
2
của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm 180+M=.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
π
Dạng 4. Cho cotx = a và < x < π (hoặc 90° < x < 180° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị
2
của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql1P nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm 180+M=.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.

GV: Cao Thành Thái

3


www.facebook.com/mathsnqdieu

3
và 90° < x < 180° . Tính các giá trị lượng giác còn lại.
5
- Bước 1: Ta bấm qja3$5$)=. Ta được kết
quả như hình 1. Vì kết quả 36, 86989765 không thuộc góc phần tư (II)
nên ta áp dụng kiến thức ở trên, ta thực hiện tiếp
- Bước 2: Không thoát màn hình ta tiếp tục bấm

180pM=. Ta được màn hình 2. Ta thấy kết quả này thỏa.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz. Ta được màn hình 3.
- Bước 4:
4
+ Tính cos x : bấm kQz)=. Ta được kết quả cos x = − .
5
3
+ Tính tan x : bấm lQz)=. Ta được kết quả tan x = − .
4
Ví dụ: Cho sin x =

4
+ Tính cotx : bấm 1PlQz)=. Ta được kết quả cot x = − .
3
3. Đối với cung (góc) lượng giác thuộc gốc phần tư thứ ba
3π
Dạng 1. Cho sin x = a và π < x <
(hoặc 180° < x < 270° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị
2
của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm qj nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm z180pM=.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
3π
Dạng 2. Cho cos x = a và π < x <
(hoặc 180° < x < 270° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị
2
của biểu thức.
Cách thức tính:

- Bước 1: Bấm qk nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm zM=.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
3π
Dạng 3. Cho tan x = a và π < x <
(hoặc 180° < x < 270° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá
2
trị của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm 180+M=.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
3π
Dạng 4. Cho cotx = a và π < x <
(hoặc 180° < x < 270° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị
2
của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql1P nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm 180+M=.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.

GV: Cao Thành Thái

4


www.facebook.com/mathsnqdieu

π

3
tan α
và −π < α < − . Tính giá trị của biểu thức P =
.
2
2
1 + sin α
π
Trước tiên, ta xét −π < α < − biểu diễn trên đường tròn lượng giác. Ta thấy α nằm trên góc phần tư thứ ba.
2
Do đó ta bấm máy như sau:
- Bước 1: Ta bấm qkazs3$$2$)=. Ta được màn hình 1.
- Bước 2: Tiếp tục bấm zM=. Ta được màn hình 2.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz. Ta được màn hình 3.
- Bước 4: Để tính giá trị của biểu thức P ta nhập như sau:
alQz)$1+jQz)=. Ta được kết
Ví dụ: Cho cos α = −

2 3
.
3
4. Đối với cung (góc) lượng giác thuộc gốc phần tư thứ tư
3π
Dạng 1. Cho sin x = a và
< x < 2π (hoặc 180° < x < 270° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá
2
trị của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm qj nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.

3π
Dạng 2. Cho cos x = a và
< x < 2π (hoặc 180° < x < 270° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá
2
trị của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm qk nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm zM=.
- Bước 3: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
3π
Dạng 3. Cho tan x = a và
< x < 2π (hoặc 180° < x < 270° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá
2
trị của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
3π
Dạng 4. Cho cotx = a và
< x < 2π (hoặc 180° < x < 270° ). Tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá
2
trị của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql1P nhập giá trị của a rồi bấm ).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A.
2 + cos α
π
Ví dụ: Cho tan α = − 2 và − < α < 0 . Tính giá trị của biểu thức P =
.
2

1 + sin2 α
π
Trước tiên, ta xét − < α < 0 biểu diễn trên đường tròn lượng giác. Ta thấy α nằm trên góc phần tư thứ tư.
2
Do đó ta bấm máy như sau:

quả P =

GV: Cao Thành Thái

5


www.facebook.com/mathsnqdieu
- Bước 1: Ta bấm qlz2)=. Ta được màn hình 1.
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz. Ta được mành hình 2.
- Bước 3: Để tính giá trị của biểu thức P ta nhập như sau:

a2+kQz)$1+jQz)d=. Ta được kết quả
P ≈ 1, 360 .
PHẦN II. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT CUNG
(GÓC) LƯỢNG GIÁC THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
1. Cho tan x = a hoặc cotx = a , tính giá trị của biểu thức.
Cách thức tính:
- Bước 1: Bấm ql giá trị của a )= hoặc bấm ql1Pgiá trị của a )=.
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A. Sau đó tính giá trị của biểu thức.
3 sin α − 2 cos α
Ví dụ: Cho tan α = 3 . Tính giá trị của biểu thức M =
.
5 sin3 α + 4 cos3 α

- Bước 1: Ta bấm ql3)=. Ta được màn hình 1.
- Bước 2: Không thoát màn hình ta tiếp tục bấm qJz. Ta được màn hình 2.
Để tính giá trị của biểu thức ta nhấn như sau:

a3jQz)p2kQz)$5jQz)^3$+4kQz
)^3=
70
.
139
2. Cho cung (góc) lượng giác thỏa f (α) = m , tính giá trị của biểu thức
Cách thức tính:
- Bước 1: Trước tiên ta tìm giá trị của cung α bằng lệnh SOLVE. Ta thực hiện như sau: nhập biểu thức f (α) = m ,
Ta được kết quả M =

sau đó bấm qr. Nhập giá trị bất kỳ khi màn hình xuất hiện “X?”, sau đó bấm =. Kiểm tra điều kiện của
cung (góc) lượng giác (nếu có).
- Bước 2: Tiếp tục bấm qJz để lưu giá trị vừa tính vào biến A. Sau đó tính giá trị của biểu thức.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức A = sin 3α + sin2 2α , biết 2 cos 2α + 7 sin α = 0 .
- Bước 1: Ta nhập biểu thức để tìm α như sau:

2k2Q))+7jQ))Qr0
Ta được màn hình 1.
Tiếp tục bấm qr. Ta được màn hình 2.
Nhập giá trị bất kỳ cho X 1=. Ta được màn hình 3.
- Bước 2: Tiếp tục ta bấm qJz ta được màn hình 4.
Để tính giá trị của biểu thức ta nhập như sau:

j3Qz)+j2Qz)d=
29
.

64
3. Cho cung (góc) lượng giác thỏa a sin α + b cos α = c , tính giá trị của biểu thức
Cách thức tính:
Ta được kết quả A = −

- Bước 1: Trước tiên biểu diễn a sin α + b cos α = c về dạng

sin θ =

b
a 2 + b2

a 2 + b 2 sin (α + θ ) = c với cos θ =

a
a 2 + b2

,

. Khi đó biểu thức a 2 + b 2 sin (α + θ ) = c tương đương

GV: Cao Thành Thái

6


www.facebook.com/mathsnqdieu

c

⇔ sin (α + θ ) =

a2 + b2


c

−1 

= sin 
− θ
2
2
 a + b 


c


= 180° − sin−1 
−θ
 a 2 + b 2 


α


⇔

α








c
a


−1 
 α = sin−1 

−
cos

 2

 2

2
2
 a + b 
 a + b 

⇔






c
a


−1 

 α = 180° − sin−1 
−
cos




 a 2 + b 2 
 a 2 + b 2 

- Bước 2: Nhập dòng thứ nhất của công thức trong khung trên và lưu vào biến biến A. Nhập dòng thứ hai của công
thức trong khung trên và lưu vào biến biến B.
Sau đó nhập biểu thức để tính giá trị.

Ví dụ: Cho góc nhọn α thỏa mãn 6 cos α + 8 sin α = 5 3 . Tính gần đúng giá trị của biểu thức:
S = 4 cos4 4α + 3 cos3 α + 2 cos2 α + cos α + 1 .
- Bước 1: Biến đổi 6 cos α + 8 sin α = 5 3 .
⇔ 8 sin α + 6 cos α = 5 3 .

⇔

8

2

2

sin α +

8 +6
⇔

6
2

2

cos α =

8 +6

5 3
2

2

.

8 +6

4
3
3

sin α + cos α =
.
5
5
2

4
3
3
với cos θ = ; sin θ = .
2
5
5
- Bước 2: Tìm các giá trị của α thỏa yêu cầu góc nhọn. Ta lần lượt nhập như sau:
⇔ sin (α + θ ) =

qjas3$$2$)pqka4$5$)=
ta được giá trị thỏa mãn như màn hình 1.
Tiếp tục ta bấm qJz, ta được màn hình 2.
Tiếp tục tìm giá trị thứ hai của α . Ta bấm như sau:

180pqjas3$$2$)pqka4$5$)=. Ta được giá
trị thỏa mãn như màn hình 3.
Tiếp tục ta bấm qJx, ta được màn hình 4.
Ta lần lượt tính giá trị của biểu thức với hai giá trị của α vừa tìm.
+ Ứng với giá trị của biến A

4k4Qz)^4$+3kQz)^3$+2kQz)d+k
Qz)+1=
Ta được kết quả S ≈ 5, 94415 .

+ Ứng với giá trị của biến B

4k4Qx)^4$+3kQx)^3$+2kQx)d+k
Qx)+1=
GV: Cao Thành Thái

7


www.facebook.com/mathsnqdieu
Ta được kết quả S ≈ 3, 63134 .
PHẦN III. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ẨN SỐ
Cơ sở lý thuyết: Một biểu thức lượng giác f (x ) được gọi là không phụ thuộc vào x (hay đọc lập với x ) nếu f (x ) = c
với mọi x (trong đó c là hằng số).
Cách thức tính:
- Bước 1: Nhập biểu thức f (x ) vào máy tính (nên dùng biến nhớ X).
- Bước 2: Sử dụng r tìm giá trị của f (x ) .
π

π

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x : A = sin  + x  − cos  − x  .
 4
 4



- Bước 1: Đổi

π

(rad) = 45° . Nhập biểu thức như sau:
4

j45+Q))pk45pQ))
Ta được màn hình 1.
- Bước 2: Bấm r. Ta được màn hình 2.
Nhập giá trị của X vào (lần lượt lấy hai giá trị bất kỳ). Chẳng hạn:
X = 15 . Ta được kết quả A = 0 .
Tiếp tục bấm r X = 75 . Ta được kết quả A = 0 .
Vậy A = 0 với mọi x .
PHẦN IV. RÚT GỌN ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Để rút gọn biểu thức lượng giác f (x ) thành biểu thức lượng giác g(x ) (hay chứng minh đẳng thức lượng giác
f (x ) = g(x ) ) ta thực hiện xét hiệu f (x ) − g(x ) và thế ít nhất hai giá trị của x vào biểu thức f (x ) − g(x ) xem
f (x ) − g(x ) có bằng 0 hay không. Nếu với tất cả các giá trị x ta có f (x ) − g(x ) = 0 thì ta nói f (x ) được rút gọn
thành g(x ) (hay đẳng thức f (x ) = g(x ) được chứng minh).
Ví dụ: Rút gọn của biểu thức P = sin 4 x + sin2 x cos2 x là
B. sin2 x .
C. cos 2x .
A. cos2 x .
Ta lần lượt thử các đáp án:
- Đối với đáp án A.
Xét hiệu sin 4 x + sin2 x cos2 x − cos2 x . Ta thực hiện bấm máy biểu thức vừa có:

D. sin 2x .

jQ))^4$+jQ))dOkQ))dpkQ))d ta

được màn hình 1.
Bấm r xuất hiện màn hình 2.
Ta thử với X = 15 . Ta được kết quả

−0, 866 ≠ 0 . Vậy đáp án A không thỏa.
- Đối với đáp án B.
Xét hiệu sin 4 x + sin2 x cos2 x − sin2 x . Ta thực hiện bấm máy biểu thức vừa có:

jQ))^4$+jQ))dOkQ))dpjQ))d ta

được màn hình 1.
Bấm r xuất hiện màn hình 2
Ta thử với X = 15 . Ta được kết quả 0 .
Tiếp tục với X = 75 . Ta được kết quả 0 .
Vậy đáp án B thỏa.

GV: Cao Thành Thái

8