Giáo trình lý thuyết tập hợp và lôgic toán

2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN TRIỆU SƠN - NGUYỄN ĐÌNH YÊN

LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LOGIC TOÁN

Sơn La, 2015


Lời nói đầu
Lý thuyết tập hợp và lôgic toán là cơ sở nền tảng của toán học nói chung
và của các môn học toán học trong chương trình đào tạo đại học nói riêng.
Lôgic toán mà chủ yếu là các quy luật cơ bản của lôgic hình thức xuất hiện
và phát triển từ rất sớm, khoảng 300 năm trước công nguyên, thời Aristote
(384-322 trước công nguyên).
Tuy nhiên trong quá trình phát triển, khi mà toán học chuyển từ phạm vi
"bất biến, hữu hạn" sang phạm vi "vận động, vô hạn và liên tục" thì các cơ
sở lý luận - lôgic hình thức ban đầu ấy tỏ ra không đủ đáp ứng được nữa.
Để khắc phục những khó khăn về cơ sở lý luận - lôgic hính thức, vào cuối
thế kỷ thứ 19 Cantor đã xây dựng lý thuyết tập hợp với tư tưởng chính là thừa
nhận tập hợp theo nghĩa "Một sự hợp lại trong một toàn thể các đối tượng bất
kỳ mà nhận thức hay tư duy của chúng ta có thể hình dung ra" và với những
tập hợp như vậy, vô hạn cũng như hữu hạn, ta có thể vận dụng các quy luật
của lôgic hình thức "cổ điển" không phân biệt và không hạn chế. Tuy rằng
trong quá trình phát triển của toán học, lý thuyết tập hợp của Cantor còn vấp
phải nhiều nghịch lý không thể lý giải, nhưng có thể nói rằng lý thuyết tập
hợp mà Cantor xây dựng về căn bản đã cung cấp một nền tảng thống nhất

cho việc xây dựng và phát triển hầu như toàn bộ các ngành toán học.
Đồng thời với việc khắc phục, loại bỏ các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp

2


3
mà Cantor xây dựng bằng cách hạn chế ngoại diên của của khái niệm tập hợp,
quy định những điều làm được và những điều không thể làm được đối với các
đối tượng và quan hệ cơ bản của lý thuyết tập hợp, người ta cũng đề nghị tiên
đề hóa lý thuyết cơ sở về lôgic nhằm xây dựng một nền tảng vững chắc cho
toán học.
Tập giáo trình này bao gồm 4 chương, được viết chi tiết theo chương trình
môn lý thuyết tập hợp và lôgic toán, của Khoa Toán-Lý-Tin Trường Đại học
Tây Bắc nhằm phục vụ trực tiếp cho công tác giảng dạy và học tập trong khoa.
Chương 1. Tập hợp quan hệ và ánh xạ: Trình bày các khái niệm cơ bản về
tập hợp, phần tử của tập hợp, quan hệ thuộc, các phép toán về tập hợp, ...
theo quan điểm của Cantor. Ngoài ra các khái niệm quan hệ tương đương,
quan hệ thứ tự, ánh xạ cùng các tính chất của của chúng cũng được trình bày
chi tiết nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề bản số của tập hợp, tạo cơ
sở cho việc xây dựng các tập số sau này.
Chương 2. Đại số mệnh đề: Trình bày các khái niệm mệnh đề, các phép toán
mệnh đề, công thức và các luật của lôgic mệnh đề,...
Chương 3. Đại số vị từ: Trình bày các vấn đề cơ bản về Đại số vị từ, như
là một mở rộng tất yếu của Đại số mệnh đề. Nội dung của chương bao gồm:
Khái niệm hàm mệnh đề (vị từ) một biến và nhiều biến, các phép toán về hàm
mệnh đề, lượng từ, công thức vị từ, vấn đề về tính giải được. Ngoài ra còn
trình bày một số ứng dụng của Đại số mệnh đề và Đại số vị từ vào vấn đề suy
luận và chứng minh.
Chương 4. Sơ lược về hệ toán mệnh đề và hệ toán vị từ: Trình bày các hệ

tiên đề của lôgic toán mà chúng ta gọi chúng tương ứng là "Hệ toán mệnh đề"
và "Hệ toán vị từ". Đồng thời cũng chỉ ra tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ và
độc lập của các hệ tiên đề đó.


4
Hệ thống kiến thức cơ bản được chọn lựa một cách tối thiểu, các mệnh đề,
định lý được chứng minh tỉ mỉ, chi tiết cùng hệ thống ví dụ minh họa trực
quan và bài tập phong phú, đặc biệt các bài tập được đặt sau mỗi bài lý thuyết
tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên tự học môn học này ở năm thứ nhất. Hy
vọng rằng với cách trình bày như vậy giáo trình sẽ góp phần nâng cao hiệu
quả học tập của sinh viên.
Chúng tôi chân thành cám ơn các đồng nghiệp trong khoa Toán - Lý - Tin
Trường Đại học Tây bắc đã đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trong quá trình biên
soạn giáo trình này. Đặc biệt chúng tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu,
Phòng đào tạo sau đại học, Khoa Toán - Lý - Tin đã tạo điều kiện thuận lợi
để chúng tôi hoàn thành tập giáo trình này.
Cuối cùng, có thể việc biên soạn của các tác giả vẫn còn thiếu sót, chúng
tôi mong muốn tiếp tục nhận được các ý kiến đóng góp phê bình của các bạn
đồng nghiệp.
Các tác giả


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1 Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ
1.1

1.2

10

Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1

Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2

Cách xác định tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3

Quan hệ giữa các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.4

Phép toán trên các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.5

Tích đề các của các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.6

Sự phân hoạch của một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.7

Tập hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1

Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2

Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi . . . . 24

1.2.3

Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.4

Lớp tương đương và tập thương . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.5

Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5

6

MỤC LỤC
1.2.6

Quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận . . . . . . . . . . 28

1.2.7

Cận trên, cận dưới, phần tử lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . 28

1.2.8

Tập sắp thứ tự tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.9

Tiên đề chọn và các mệnh đề tương đương . . . . . . . . 30

1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.2

Ánh xạ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.3

Thu hẹp và mở rộng ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.4

Ảnh và tạo ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3.5

Đơn ánh; Toàn ánh; Song ánh . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3.6

Tích ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3.7

Ánh xạ ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4 Bản số của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4.1

Khái niệm bản số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.4.2

Tập đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.4.3

Tập continum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.4

So sánh các bản số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Đại số mệnh đề

53

2.1 Mệnh đề và các phép toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.1

Khái niệm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.2

Phép toán trên các mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2 Công thức lôgic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1

Khái niệm công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


MỤC LỤC

2.3

7

2.2.2

Giá trị của công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.3

Công thức tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.4

Các đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.5

Luật của lôgic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.6

Mệnh đề liên kết, điều kiện cần, điều kiện đủ . . . . . . . 65

2.2.7

Dạng chuẩn tắc của công thức . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2.8

Phép đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Hàm đại số lôgic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Đại số vị từ
3.1

3.2

3.3

76

Khái niệm hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.1

Hàm mệnh đề một biến

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1.2

Hàm mệnh đề nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.1.3

Hàm mệnh đề hằng đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Phép toán trên các hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.1

Phép phủ định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2.2

Phép hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.3

Phép tuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.4

Phép kéo theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2.5

Phép tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Các lượng từ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.1

Khái niệm lượng từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.2

Lượng từ với các hàm mệnh đề nhiều biến . . . . . . . . 87

3.3.3

Liên hệ giữa các lượng từ phổ dụng và tồn tại . . . . . . 88


8

MỤC LỤC
3.4 Công thức lôgic vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.1

Khái niệm công thức vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4.2

Công thức bằng nhau và công thức hằng đúng . . . . . . 94

3.4.3

Một số luật thường gặp của lôgic vị từ . . . . . . . . . . 95

3.4.4

Dạng chuẩn của công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.5

Vấn đề về tính giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.5 Suy luận và chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.1

Quy tắc suy luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.5.2

Hai kiểu suy luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.5.3

Chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4 Sơ lược về hệ toán mệnh đề và hệ toán vị từ

111

4.1 Hệ toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.1

Các ký hiệu của hệ toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . 112

4.1.2

Định nghĩa công thức của hệ toán mệnh đề . . . . . . . . 113

4.1.3

Các tiên đề của hệ toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . 113

4.1.4

Quy tắc suy diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2 Suy diễn trong hệ toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 Tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ, tính độc lập . . . . . . . . . . 117
4.3.1

Tính phi mâu thuẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3.2

Tính đầy đủ của hệ toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . 118

4.3.3

Tính độc lập của hệ toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . 120

4.4 Hệ toán vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.1

Ký hiệu của hệ toán vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . 124


MỤC LỤC

4.5

9

4.4.2

Các tiên đề của hệ toán vị từ . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.3

Các quy tắc suy diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Tính phi mâu thuẫn và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.1

Tính phi mâu thuẫn của hệ toán vị từ . . . . . . . . . . 126

4.5.2

Tính đầy đủ của hệ toán vị từ . . . . . . . . . . . . . . . 127

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


Chương 1
Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ
Lý thuyết tập hợp được khởi xướng xây dựng bởi Cantor vào khoảng cuối
thế kỷ 19 nhằm thống nhất một thứ ngôn ngữ chung diễn đạt cho hầu hết các
tư tưởng toán học, nhằm tạo nên một cơ sở vững chắc cho sự phát triển của
hầu hết các ngành, từ số học, đại số đến hình học, tôpô, giải tích, ...
Tư tưởng chính của lý thuyết tập hợp mà Cantor xây dựng là thừa nhận
khái niệm tập hợp theo nghĩa "Một sự hợp lại trong một toàn thể các đối
tượng bất kỳ mà nhận thức hay tư duy của chúng ta có thể hình dung ra" và
với những tập hợp như vậy, vô hạn cũng như hữu hạn, ta có thể vận dụng các
quy luật của lôgic hình thức cổ điển không phân biệt và không hạn chế.
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về tập hợp,
phần tử của tập hợp, quan hệ thuộc, các phép toán về tập hợp, ... theo quan

điểm của Cantor. Ngoài ra các khái niệm quan hệ tương đương, quan hệ thứ
tự, ánh xạ cùng các tính chất của chúng cũng được trình bày chi tiết nhằm
phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề bản số của tập hợp, tạo cơ sở cho việc xây
dựng các tập số sau này.

1.1
1.1.1

Tập hợp
Khái niệm tập hợp

Khái niệm tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, được hiểu một cách
trực giác, không định nghĩa. Chúng ta quan niệm tập hợp là một sự tụ tập
các vật hay các đối tượng có một hay nhiều tính chất chung nào đó. Các đối
tượng đó gọi là các phần tử của tập hợp.
Tập hợp đôi khi được gọi tắt là tập, và ký hiệu bằng các chữ cái La tinh
10


11

1.1 Tập hợp

A, B, C, ..., X, Y, Z hoặc các chữ cái Hy lạp cổ như Γ, Ω, ... Các phần tử của
tập hợp ký hiệu bởi các chữ cái in thường a, b, c, ..., x, y, z
Một phần tử a của tập A được ký hiệu là a ∈ A đọc là a thuộc A. Ngược
lại thì ta viết a ∈
/ A và đọc là a không thuộc A.

Ví dụ 1.1. Tập các số tự nhiên N; Tập các số nguyên Z; Tập các số hữu tỷ

Q; Tập các số thực R; Tập các số phức C

1.1.2

Cách xác định tập hợp

Một tập hợp được gọi là xác định khi ta chỉ ra được cách nhận biết các
phần tử của nó. Có hai phương pháp chính xác định tập hợp sau đây:
1. Phương pháp liệt kê
Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê đầy đủ tất cả các phần
tử của nó hoặc liệt kê một số phần tử đại diện của nó và để trong hai
dấu móc {...} đủ để ta xác định một phần tử tùy ý có thuộc tập hợp đó
hay không.
Ví dụ 1.2. A = {1, 2, 3} là tập hợp gồm ba phần tử là các số 1, 2, 3
B = {1, 4, 9, 16, ...} là tập tất cả các số chính phương.

2. Phương pháp chỉ ra dấu hiệu đặc trưng các phần tử
Một tập hợp có thể xác định bằng cách chỉ ra dấu hiệu đặc trưng của
các phần tử của nó, mà dựa vào dấu hiệu đó ta nhận biết được một phần
tử tùy ý là thuộc hay không thuộc tập hợp đó.
Nếu A là tập hợp gồm các phần tử x có tính chất P (x) thì ta viết
A = {x | P (x)}
Các phần tử x có tính chất P (x) thiết lập nên tập A thường được chọn
từ một tập X đã biết nào đó, khi đó ta viết
A = {x ∈ X | P (x)}
Ví dụ 1.3.
A = {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0}

là tập các nghiệm thực của phương trình x2 − 3x + 2 = 0
B = {n ∈ Z | 10 < n < 23}

C = {n ∈ N | n chia hết 15}


12

Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ

3. Tập rỗng
Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅. Chẳng
hạn tập các nghiệm thực của phương trình x2 + 1 = 0 là ∅.

1.1.3

Quan hệ giữa các tập hợp

Định nghĩa 1.1. Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của A đều thuộc
B thì ta gọi A là tập con của tập B ký hiệu A ⊆ B hoặc B ⊇ A. Ngoài cách
gọi A là tập con của tập B ta còn gọi A là bộ phận của tập B; A chứa trong
B; A bao hàm trong B; B chứa A. Nếu A không là tập con của tập B thì ta
viết A ⊆ B hoặc B ⊇ A.

Nếu A ⊆ B và A = B thì A được gọi là tập con thực sự của B ký hiệu
A ⊂ B và ta cũng gọi A ⊂ B là bao hàm thức thực sự.
Hai tập A và B gọi là bằng nhau nếu A ⊆ B và B ⊆ A, ký hiệu A = B.

Quy ước: Tập ∅ là tập con của mọi tập hợp.
Ví dụ 1.4. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

A = {n ∈ N | n là ước của 10} và B = {1, 2, 5, 10} thì A = B.
Nhận xét:

1. Từ định nghĩa suy ra tập ∅ là duy nhất.
2. Cách viết tập hợp theo phương pháp liệt kê không phụ thuộc vào thứ
tự sắp xếp các phần tử cũng như số lần các phần tử xuất hiện trong hai
dấu móc. Chẳng hạn như:
{a, b, c} = {a, a, b, c} = {b, a, b, c, c}.
3. Viết tập hợp thông qua dấu hiệu đặc trưng của các phần tử, nghĩa là các
phần tử của tập hợp được cho dưới dạng ẩn, mà đôi khi việc xác định
cụ thể chúng là vô cùng khó khăn. Chẳng hạn, xét tập hợp:
A = {n ∈ N | xn + y n = z n có nghiệm nguyên x, y, z = 0}.
Định lý lớn Fecma đã khẳng định rằng tập A chỉ gồm hai phần tử là 1
với 2 và phải trải qua hàng trăm năm với biết bao công sức của các nhà
toán học mới chứng minh được định lý này.


13

1.1 Tập hợp

1.1.4

Phép toán trên các tập hợp

Trong mục này chúng ta sử dụng một số ký hiệu lôgic, với cách hiểu như
đã biết ở phổ thông: ∀; ∃; ⇒; ⇔; ∨; ∧ đọc tương ứng là: Với mọi; tồn tại; kéo
theo; tương đương; hoặc; và. Nội dung của các ký hiệu đó sẽ được trình bày
chi tiết và đầy đủ ở các chương sau.
1. Phép hợp
Định nghĩa 1.2. Hợp của hai tập hợp X và Y là một tập hợp được ký
hiệu và xác định bởi

X ∪ Y = {x | x ∈ X ∨ x ∈ Y }.
Ký hiệu X ∪ Y đọc là X hợp Y .
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:
(a) x ∈ X ∪ Y ⇔ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y ) ⇔
(b) x ∈
/ X ∪ Y ⇔ (x ∈
/ X) ∧ (x ∈
/ Y)⇔

x∈X
x∈Y

x∈
/X
x∈
/Y

2. Phép giao
Định nghĩa 1.3. Giao của hai tập hợp X và Y là một tập hợp được ký
hiệu và xác định bởi
X ∩ Y = {x | x ∈ X ∧ x ∈ Y }.
Ký hiệu X ∩ Y đọc là X giao Y .
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:
(a) x ∈ X ∩ Y ⇔ (x ∈ X) ∧ (x ∈ Y ) ⇔
(b) x ∈
/ X ∩ Y ⇔ (x ∈
/ X) ∨ (x ∈
/ Y)⇔

x∈X

x∈Y

x∈
/X
x∈
/Y


14

Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ

3. Phép trừ
Định nghĩa 1.4. Hiệu của hai tập hợp X và Y là một tập hợp ký hiệu
và xác định bởi:
X \ Y = {x | x ∈ X ∧ x ∈
/ Y }.
Ký hiệu X \ Y đọc là X trừ Y . Nếu Y ⊆ X thì X \ Y gọi là phần bù của
Y trong X và ký hiệu là CX Y.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:
(a) x ∈ X \ Y ⇔ (x ∈ X) ∧ (x ∈
/ Y)⇔
(b) x ∈
/ X \ Y ⇔ (x ∈
/ X) ∨ (x ∈ Y ) ⇔

x∈X
x∈
/Y

x∈
/X
x∈Y

4. Hiệu đối xứng
Định nghĩa 1.5. Hiệu đối xứng của hai tập hợp X và Y là một tập hợp
ký hiệu và xác đinh bởi
X △ Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X) .
Ký hiệu X △ Y đọc là X trừ đối xứng Y .
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:
(a) x ∈ X △ Y ⇔
(b) x ∈
/ X △Y ⇔

x∈X \Y

x∈Y \X
x∈
/ X \Y

x∈
/ Y \X

Chú ý: Người ta thường minh họa mỗi tập hợp như một phần mặt
phẳng giới hạn bởi một đường cong khép kín, phần mặt phẳng đó được
tô màu hoặc đánh dấu để nhận biết được và gọi là biểu đồ ven. Chẳng
hạn:


15

1.1 Tập hợp

A∩B

A

A\B

A△B
A∪B
Định lý 1.1. Với các tập hợp tùy ý A, B và C ta luôn có:
1. Tính chất giao hoán: A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A.

2. Tính chất kết hợp:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. Tính chất phân phối:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. Luật De Morgan:
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
5. Luật hấp thu: Nếu A ⊆ B thì A ∪ B = B; A ∩ B = A
Chứng minh. Các đẳng thức (1), (2), (5) được suy trực tiếp từ định
nghĩa. Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự nhau, chúng ta
chứng minh chẳng hạn:

Ta có:

A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔
⇔



x∈A
x∈A
/B
⇔ x∈

x∈
/ B∪C

x∈
/C
x∈A\B
x∈A\C

⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C)


16

Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ

Vậy A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
Nhận xét: Theo luật hấp thu thì từ ∅ ⊆ A và A ⊆ A suy ra

A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = A
A ∪ A = A; A ∩ A = A
5. Mở rộng các phép toán trên các tập hợp
Từ tính chất (2) của Định lý 1 ta có thể định nghĩa hợp, giao của n tập
hợp bằng quy nạp như sau:
• A1 ∪ A2 ∪ A3 = (A1 ∪ A2 ) ∪ A3
n

i=1

Ai = (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An−1 ) ∪ An

• A1 ∩ A2 ∩ A3 = (A1 ∩ A2 ) ∩ A3
n

i=1

Ai = (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 ) ∩ An

Từ đó các tính chất (3) và (4) của Định lý 1 được mở rộng thành:
n

3′ . B ∩

n

(B ∩ Ai ); B ∪

i=1

i=1

n

n

′

4.B\

n

Ai =

Ai =
i=1

(B \ Ai ); B \

i=1

n

(B ∪ Ai )

Ai =
i=1

i=1

n

n

Ai =
i=1

i=1

(B \ Ai )

6. Tập các bộ phận của một tập hợp
Cho tập hợp X. Nếu coi mỗi một bộ phận của X là một phần tử thì ta
có tập hợp các bộ phận của X
℘(X) = {A | A ⊆ X}
mà mỗi phần tử của ℘(X) là một bộ phận của X.
Ví dụ 1.5.

• X = {a, b} thì ℘(X) = {∅, {a}, {b}, X}

• X = ∅ thì ℘(∅) = {∅}; ℘(℘(∅)) = {∅, {∅}}.

Nhận xét: Nếu tập X có n phần tử thì ℘(X) có 2n phần tử.


17

1.1 Tập hợp

1.1.5

Tích đề các của các tập hợp

Cho các tập hợp A1 , ..., An , với ai ; bi ∈ Ai , i = 1, ..., n. Khi đó (a1 , ..., an ) =
(b1 , ..., bn ) khi và chỉ khi a1 = b1 , a2 = b2 , ..., an = bn .
Định nghĩa 1.6. Cho các tập hợp A1 , ..., An . Một tập hợp C được xác định
như sau:
(i)
(ii)

C = ∅ nếu một trong các tập A1 , A2 , ..., An là ∅.
C = A1 nếu n = 1

(iii) C = {(a1 , a2 , ..., an ) | a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , ..., an ∈ An } nếu n > 1 và các
Ai = ∅.
Được gọi là tích Descartes (tích Đề-các) của n tập A1 , A2 , ..., An . Ký hiệu
n

C = A1 × A2 × ... × An =

Ai .
i=1

Trường hợp đặc biệt khi A1 = A2 = ... = An = A thì viết C = An .
Ví dụ 1.6. Xét các tập hợp:
1. A = {a, b, c} và B = {x, y} thì

A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)} .

B × A = {(x, a), (y, a), (x, b), (y, b), (x, c), (y, c)} .

2. Cho A = [a, b]; B = [c, d] là các đoạn thẳng, khi đó tích A × B là tập các
phần tử được biểu thị bởi các điểm của hình chữ nhật trong mặt phẳng
tọa độ Oxy (Hình 1.a)
3. Cho A là tập điểm của hình tròn thuộc mặt phẳng Oxy, B là tập điểm
của đoạn [0, h] trên trục Oz trong hệ trục tọa độ Oxyz thì A × B là tập
hợp các phần tử biểu thị các điểm của khối trụ có chiều cao h đáy là
hình tròn A (Hình 1.b)
z

y
h
a

b

O

x

x
O

c

d
Hinh 1.a

y
Hinh 1.b

18

Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ

Nhận xét: Khi hai tập A, B khác nhau và khác ∅ thì A × B = B × A điều này
nói lên rằng tích Descartes của hai tập hợp nói chung không có tính chất giao
hoán.

1.1.6

Sự phân hoạch của một tập hợp

Ta nói rằng tập hợp X được phân chia (phân hoạch) thành các bộ phận
A, B, C, ... nếu A, B, C, ... đều khác rỗng và rời nhau từng đôi một sao cho mọi
phần tử của X đều thuộc một trong các bộ phận đó. Chính xác hơn ta có định
nghĩa sau:
Định nghĩa 1.7. Cho X là một tập hợp, ℘(X) là tập các bộ phận của X. Bộ
phận khác rỗng P ⊆ ℘(X) được gọi là một phân hoạch của tập X nếu và chỉ
nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) ∀A ∈ P; A = ∅

(ii) ∀A, B ∈ P; A = B ⇒ A ∩ B = ∅.

(iii) ∀x ∈ X, ∃A ∈ P : x ∈ A.

1.1.7

Tập hữu hạn

1. Bản số của tập hữu hạn
Ta gọi một tập là hữu hạn nếu nó là tập rỗng hoặc là liệt kê được tất
cả các phần tử của nó. Nói cách khác một tập A gọi là tập hữu hạn nếu
như:
(i) A = ∅ hoặc

(ii) A = {a1 , a2 , ..., an }

Trong trường hợp thứ nhất ta nói A có bản số 0, trong trường hợp thứ
hai ta nói A có bản số n. Bản số của A ký hiệu là cardA hoặc |A|.
Nhận xét:

• Bản số của tập hữu hạn chính là số phần tử của tập đó, vì vậy hai
tập hợp hữu hạn có cùng bản số khi và chỉ khi chúng có cùng số
phần tử.
• Tập số tự nhiên N là tập các bản số của các tập hữu hạn.
2. Một số tính chất của bản số hữu hạn
Định lý 1.2. (Nguyên lý cộng) Nếu A và B là các tập hữu hạn rời nhau,
nghĩa là A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B| = |A| + |B|.


19

1.1 Tập hợp
Chứng minh. Giả sử |A| = m và |B| = n và
A = {a1 , a2 , ..., am } ; B = {b1 , b2 , ..., bn } .
Do A ∩ B = ∅ nên ta có:
A ∪ B = {a1 , a2 , ..., am , b1 , b2 , ..., bn } .
Vậy

|A ∪ B| = m + n = |A| + |B|.
Hệ quả 1.1. Cho A và B là các tập hữu hạn tùy ý, ta luôn có:
|A \ B| = |A| − |A ∩ B|
Chứng minh. Từ các đẳng thức sau:
A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) và (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅.

Suy ra |A| = |A \ B| + |A ∩ B|. Vậy |A \ B| = |A| − |A ∩ B|.

Bằng quy nạp ta dễ dàng nhận được kết quả tổng quát hơn sau đây:
Định lý 1.3. Nếu A1 , ..., An là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, tức
là Ai ∩ Aj = ∅ nếu i = j, thì
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | = |A1 | + |A2 | + ... + |An |.

Định lý 1.4. (Nguyên lý nhân) Cho A và B là các tập hữu hạn. Khi đó
ta có |A × B| = |A||B|.
Chứng minh. Giả sử A = {a1 , a2 , ..., an }; B = {b1 , b2 , ..., bm }. Với mọi
ai ; i = 1, ..., n ta có
{ai } × B = {(ai , b1 ), (ai , b2 ), ..., (ai , bm )}.
Suy ra |{ai } × B| = m. Mặt khác A × B =

n

({ai } × B) và các tập

i=1

{a1 } × B, {a2 } × B, ..., {an } × B đôi một rời nhau. Theo nguyên lý cộng
ta có |A × B| = |{a1 } × B| + ... + |{an } × B| = n.m = |A||B|.
Bằng quy nạp ta cũng nhận được kết quả tổng quát hơn sau đây:

20

Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ

Định lý 1.5. Cho A1 , ..., An là các tập hữu hạn tùy ý. Khi đó:
|A1 × A2 × ... × An | = |A1 ||A2 |...|An |.
Định lý 1.6. (Nguyên lý bù trừ) Cho A và B là các tập hữu hạn. Khi
đó ta có:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Chứng minh. Ta có:
A =(A ∩ B) ∪ (A \ (A ∩ B))

B =(A ∩ B) ∪ (B \ (A ∩ B))

A ∪ B =(A ∩ B) ∪ (A \ (A ∩ B)) ∪ (B \ (A ∩ B)).
Các vế phải ở ba đẳng thức trên là hợp của các tập đôi một rời nhau. Vì
vậy theo nguyên lý cộng ta có:
|A| =|A ∩ B| ∪ |A \ (A ∩ B)|

|B| =|A ∩ B| ∪ |B \ (A ∩ B)|

|A ∪ B| =|A ∩ B| ∪ |A \ (A ∩ B)| ∪ |B \ (A ∩ B)|.
Theo Hệ quả 1.1 ta có: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Cũng bằng quy nạp ta nhận được kết quả tổng quát hơn sau đây:
Định lý 1.7. Giả sử A1 , A2 , ..., An là các tập hữu hạn tùy ý. Khi đó:
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | =
|Ai1 | −
|Ai1 ∩ Ai2 | + . . . +
1≤i1 ≤n

(−1)k+1
1≤i1
1≤i1
|Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik | + . . . + (−1).n+1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |.

Các tính chất của tập hữu hạn như nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên
lý bù trừ là công cụ hữu hiệu trong việc giải quyết các bài toán đếm của lý
thuyết tổ hợp. Sau đây là một vài ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.7. Trong số 50 học sinh của lớp có 25 học sinh có năng khiếu toán,
17 có năng khiếu văn, 12 không có năng khiếu cả văn lẫn toán. Hỏi số học sinh
của lớp có năng khiếu cả văn lẫn toán là bao nhiêu.
Giải: Gọi A là tập hợp các học sinh có năng khiếu văn. B là tập hợp các
học sinh có năng khiếu toán. C là tập hợp các học sinh có năng khiếu cả văn
và toán. Ta có |A ∪ B| = 50 − 12 = 38 và C = A ∩ B. Suy ra
|C| = |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 25 + 17 − 38 = 4.
Vậy số học sinh có cả năng khiếu văn và toán là 4.


21

1.1 Tập hợp

Ví dụ 1.8. Trong tập S = {1, 2, ..., 280} có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất
một trong các số 3, 5, 7.
Giải: Ta ký hiệu các tập như sau:
.
.

.
A1 = {k ∈ S | k .. 3}; A2 = {k ∈ S | k .. 5}; A3 = {k ∈ S | k .. 7}.
Khi đó A1 ∪ A2 ∪ A3 là tập các số thuộc S chia hết cho ít nhất một trong các
số 3, 5, 7. Ta cần tìm |A1 ∪ A2 ∪ A3 |
Theo nguyên lý bù trừ ta có:
|A1 ∪A2 ∪A3 | = |A1 |+|A2|+|A3|−|A1 ∩A2 |−|A2 ∩A3 |−|A3 ∩A1 |+|A1 ∩A2 ∩A3 |
Ký hiệu phần nguyên của α ∈ R bởi [α] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc
bằng α, thì
|A1 | =
|A1 ∩ A2 | =

280
280
280
= 93; |A2| =
= 56; |A3| =
= 40
3
5
7

280
280
280
= 18; |A2 ∩ A3 | =
= 8; |A3 ∩ A1 | =
= 13.
3.5
5.7
7.3

|A1 ∩ A2 ∩ A3 | =

280
= 1. Từ đó suy ra |A1 ∪ A2 ∪ A3 | = 151.
3.5.7

Bài tập
1.1. Liệt kê các phần tử của các tập sau:
1. A = {x ∈ R | (x − 1)(2x2 + 3x + 1) = 0} .
2. B = {x ∈ Z | xx = x} .
1.2. Viết các tập sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
1. A = {5, 10, 15, 20, 25}.
2. B = {1, 4, 10, 19, 31, ...}
1.3. Giả sử A là tập nghiệm của phương trìnhf (x) = 0 và B là tập nghiệm
của g(x) = 0. Hãy biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau qua A và B
1. f (x).g(x) = 0; |f (x)| + |g(x)| = 0.
2. [f (x)]2 + [g(x)]2 = 0; f (x)/g(x) = 0.
1.4. Chứng minh rằng với các tập A, B, C tùy ý ta luôn có:


22

Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ

1. A \ (B \ C) = A ∩ B.
2. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
3. A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
4. A ∩ (B \ A) = ∅.
1.5. Kiểm tra tính đúng sai của các đẳng thức sau:

1. A \ ∅ = A.
2. (A \ B) \ C = A \ (B \ C).
3. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
1.6. Tìm tập X thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
X ∩A = B
X ∪ A = C Với B ⊆ A ⊆ C.

1.

2. X △ A = B.
3. X ∩ A = B với A, B, X ⊆ E.
4. X ∪ A = B với A, B, X ⊆ E.
1.7. Chứng minh các đẳng thức sau:
1. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).
2. (A × B) ∪ (C × D) ⊆ (A ∪ C) × (B ∪ D).
3. (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).
4. A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C).
1.8. Chứng minh rằng:
1.

n

n

i=1

2.

Ai △

i=1

n

Bi ⊆

n

i=1

(Ai ∪ Bi ).

n

(Ai △ Bi ) ⊆

i=1

i=1

n

Ai △

Bi .
i=1


23

1.1 Tập hợp

1.9. Cho X là một tập hợp, P là một phân hoạch của X, Q là một bộ phận
khác rỗng của P và R = P \ Q. Ký hiệu
T = {x ∈ X | ∃A ∈ Q : x ∈ A}
S = {x ∈ X | ∃B ∈ R : x ∈ B} .

1. Chứng minh rằng Q (tương ứng R) là một phân hoạch của T (tương
ứng của S).
2. S = X \ T .

1.10. Cho X là một tập hợp, A0 , A1 , ..., An là các bộ phận của X thỏa mãn
Đặt

∅ = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ An = X
B1 = A1 \ A0 ; B2 = A2 \ A1 ; ...; Bn = An \ An−1 .

Chứng minh P = {B1 , B2 , ..., Bn } là một phân hoạch của X.

1.11. Trong một lớp học có 20 em xin được bồi dưỡng thêm chỉ một môn toán,
4 em xin bồi dưỡng chỉ một môn họa. 15 em xin bồi dưỡng thêm môn nhạc,
trong đó có 8 em chỉ xin bồi dưỡng thêm môn nhạc, 2 em xin bồi dưỡng thêm
cả 3 môn toán, nhạc, họa, 3 em xin bồi dưỡng thêm toán và nhạc, 5 em xin
bồi dưỡng thêm toán và họa. Hỏi rằng:
1. Có bao nhiêu em xin được bồi dưỡng thêm môn văn và nhạc.
2. Lớp có bao nhiêu em, biết rằng mỗi em của lớp đều xin bồi dưỡng ít
nhất một môn.
1.12. Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 25 học sinh giỏi văn, 30 học sinh
giỏi toán, 10 ghọc sinh giỏi cả văn và toán. Hỏi trong lớp có bao nhiêu học
sinh:

1. Giỏi ít nhất một môn văn hoặc toán.
2. Không giỏi môn nào trong hai môn văn và toán.
3. Chỉ giỏi văn hoặc toán.
1.13. Trong 2010 số nguyên dương đầu tiên có bao nhiêu số không chia hết
cho 2, 3, 5 ?
1.14. Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 100 sao cho mỗi số đó hoặc
là một số lẻ, hoặc là bình phương, hoặc là lập phương của một số nguyên.
1.15. Tìm số các tập con của tập E = {1, 2, ..., 10} sao cho phương trình
x + y = 11 không có nghiệm trên mỗi tập đó.


24

Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ

1.2
1.2.1

Quan hệ
Quan hệ hai ngôi

Ta biết rằng khi cho trước một tập hợp X thì mỗi tập con của X thường
được xác định bởi một tính chất đặc trưng nào đó của các phần tử, và ngược
lại mỗi tính chất đặc trưng của các phần tử xác định cho ta một tập con của
X. Quan hệ hai ngôi chính là một tính chất đặc trưng xác định một tập con
của tập tích Descartes X × Y và ngược lại. Từ đó người ta thường dùng tập
con của X × Y để biểu thị mối quan hệ nào đó giữa các phần tử của X và Y .
Chính xác ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 1.8. Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng. Ta gọi mỗi tập con
S của tích Descartes X × Y là một quan hệ trên X × Y .

1. Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết là xSy
2. Nếu (x, y) ∈
/ S thì ta nói x không quan hệ S với y và viết là xSy
3. Nếu X = Y thì S được gọi là quan hệ hai ngôi trên X.
Chú ý: Trong Định nghĩa trên vai trò của X và Y không bình đẳng, bởi vì nói
chung là X × Y = Y × X. Khi X = Y ta có quan hệ hai ngôi là trường hợp
riêng rất quan trọng mà chúng ta sẽ khảo sát trong toàn bộ tiết này.

1.2.2

Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi

Định nghĩa 1.9. Cho S là một quan hệ hai ngôi trên tập X. Khi đó S được
gọi là có:
1. Tính chất phản xạ nếu xSx với mọi x ∈ X.
2. Tính chất đối xứng nếu xSy thì ySx với mọi x, y ∈ X.
3. Tính chất phản đối xứng nếu xSy và ySx thì x = y với mọi x, y ∈ X.
4. Tính chất bắc cầu nếu xSy và ySz thì xSz với mọi x, y, z ∈ X.
5. Tính chất toàn phần nếu với mọi x, y ∈ X luôn có xSy hoặc ySx.
Ví dụ 1.9.
1. Trong tập ℘(X) các bộ phận của tập X, quan hệ bao hàm ⊆
là quan hệ hai ngôi có tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu và nếu
X có nhiều hơn một phần tử thì quan hệ này không có tính đối xứng.