phương trình đường tròn

Một vấn đề về đờng tròn 1
A. Đề dẫn
Trong hình học phổ thông, học sinh đợc làm quen khái niệm đờng tròn từ rất
sớm. Nhng trong chơng trình Hình học lớp 12 THPT, vấn đề đó đợc giải quyết theo
phơng pháp toạ độ. Chính vì vậy, bài toán về đờng tròn có thể đợc giải quyết bằng các
kiến thức sơ cấp. Quá trình giảng dạy, với kiến thức sơ cấp, tôi thờng sử dụng hoặc là
minh hoạ cách giải, hoặc là tìm thêm cho phơng pháp toạ độ một nhận thức khác. Từ
đó bài toán có thêm ý nghĩa mới. Cũng nh chúng ta có thể trên cơ sở của các kết luận
của đờng tròn, với khái niệm afin ( có thể là phép co theo hệ trục ) ta có thể giải đợc
một số bài toàn về đờng elip. Qua một bài tập trong sách giáo khoa ôn tập lớp 12 tôi
đã đi sâu theo hớng đó và áp dụng trong giảng dạy nâng cao. Kết quả này đã đợc trình
bày trong xêmine của tổ Toán Trờng THPT Kim Thành.
Bài viết của tôi theo hớng
- Đa ra bài toán đơn giản, trình bày một số cách giải
- Chứng minh một số vấn đề thuộc lý luận không có trong sách giáo khoa
hiện hành
- Một số kết quả cần thiết
- Tuyển bài tập tổng hợp.
Do ý định đơn giản các vấn đề, tôi không trình bày kết quả đối ngẫu là đờng
elip, cũng nh do hạn chế về kiến thức tôi không có thể nhìn tổng quát đợc bức tranh về
các đờng bậc hai và có thể sai sót nhiều. Rất mong đợc các đồng nghiệp góp ý.
Sau đây là nội dung bài viết.
Một bài toán có nhiều cách giải
Bài toán
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A, B là hai điểm thuộc trục hoành có hoành
độ là nghiệm của phơng trình.
x
2
- 2 (m + 1)x + m = 0(*)
1/ Viết phơng tình đờng tròn đờng kính AB
2/ Cho E (0; 1). Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp AEB.

Bài giải:
Câu1:
Cách 1. (Tìm tâm và bán kính đờng tròn)
Gọi x
1
x
2
là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (*) (chú ý phơng trình (*)
luôn có 2 nghiệm phân biệt). Theo đính lý Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2(m + 1) (1)
x
1
x
2
= 2 (2)
Đờng tròn đờng kính AB có tâm I là trung điểm của đoạn AB , A (x
1
; 0) B
(x
2
; 0)
I (
2
2
2
xx

+
; 0) hay I (m + 1; 0)
Một vấn đề về đờng tròn 2
Bán kính của đờng tròn là R =
2
AB
2R = AB = x
1
- x
2
4R
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 4x
1
x
2
,theo (1) và (2)
= 4 (m + 1)
2
- 4m
= 4 (m
2
+ m + 1)
R =

1
2
++
mm
Vậy đờng tròn đờng kính AB có phơng trình
(AB) [x - (m + 1)]
2
+ y
2
= m
2
+ m + 1
hay
x
2
+ y
2
- 2 (m + 1)x + m = 0
Cách 2: (Viết phơng trình đờng tròn theo dạng đờng kính)
Bổ đề.
Nếu A (x
1
, y
1
); B (x
2
, y
2
) thì phơng trình đờng tròn đờng kính AB là:
(x - x

1
)(x - x
2
) + (y - y
1
)(y - y
2
) = 0
Thật vậy: Giả sử M (x; y) trên mặt phẳng Oxy thuộc đờng tròn đờng kính
AB . Nghĩa là ta có:
BMAM


0.
=
BMAM
(3)

);();(
2211
yyxxBMyyxxAM

Thay vào (3) ta có
(x - x
1
) (x - x
2
) + (y - y
1
) (y - y

2
) = 0 (đpcm)
áp dung vào bài với
A(x
1
; 0); B(x
2
; 0)
=> (x - x
1
) (x - x
2
) + y
2
= 0
<=> x
2
- (x
1
+ x
2
) x + x
1
x
2
+ y
2
= 0
Theo (2) và (3)
<=> x

2
+ y
2
- 2 (m + 1) x + m = 0
Cách 3: (Khôi phục từ vết của đờng tròn trên Ox Chùm eliptic )
Đờng tròn (AB) có phơng trình:
x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 a
2
+ b
2
> c với tâm I(a;b).
Vì tâm thuộc Ox nên b = 0
=> x
2
+ y
2
- 2ax + c = 0 (4) đk a
2
> c
Cho giao với Ox (y = 0)
=> x
2
- 2ax + c = 0 ta đợc 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2

. Mà x
1
, x
2
cũng là nghiệm
của phơng trình x
2
- 2(m + 1)x + m = 0 nên
x
2
- 2ax + c x
2
- 2(m+1)x + m (đồng nhất)
=> a = m + 1, c = m thoả mãn a
2
> c
=> từ (4), đờng tròn (AB) có phơng trình:
Một vấn đề về đờng tròn 3
x
2
+ y
2
- 2(m + 1+x + m = 0
Câu 2.
Cách 1. (Dạng phơng trình đờng tròn qua 3 điểmkhông thẳng hàng).
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của pt (*), x

1
x
2
. Vì đờng tròn qua 3 điểm A(x
1
; 0) B(x
-
2
; 0); E(0; 1) nên đờng tròn (ABE) có phơng trình:
x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0; a
2
+ b
2
> c
vì qua 3 điểm E; A; B nên ta cóhệ
1 - 2b + c = 0 (5)
x
1
2
- 2ax
1
+ c = 0 (6)
x
2
2
- 2ax

2
+ c = 0 (7)
Lấy (6) trừ (7)
--> x
1
2
- x
2
2
- 2a(x
1
- x
2
) = 0
<--> (x
1
- x
2
) (x
1
+ x
2
- 2a) = 0
do x
1
x
2

<-> x
1

+ x
2
- 2a = 0
<-> x
1
+ x
2
= 2a mà x
1
+ x
2
= 2(m + 1)
-> a = m + 1
Lấy (6) cộng (7)
--> (x
1
2
+ x
2
2
) - 2a(x
1
+ x
2
) + 2c = 0
Do x
1
+ x
2
= 2a

<--> (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
- (x
1
+ x
2
)
2
+ 2c = 0
<--> c = x
1
x
2
mà x
1
x
2
= m
--> c = m
Thay vào (5)
2b = c + 1, c = m
--> 2b = m + 1

Vậy đờng tròn (EAB) có phơng trình
x
2
+ y
2
- 2 (m + 1)x - (m + 1)y + m = 0
Cách 2: (Kiểu chùm elíptíc)
Bổ đề: Cho đờng tròn (C
1
) x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 , a
2
+ b
2
> c
và đờng thẳng () kx + ly + m = 0, k
2
+ l
2


0
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B, thì đờng tròn (C) qua A, B có phơng
trình
(x
2
+ y

2
- 2by + c) + n (kx + ly + m) = 0, (8) n - tuỳ ý
Thật vậy. Ta sẽ chứng minh (6) là phơng trình đờng tròn, đờng tròn đó đi qua
2 điểm A, B và mọi đờng tròn đi qua hai điểm A, B đều có dạng (6).
Một vấn đề về đờng tròn 4
Từ điều kiện bài toán. Vì đờng tròn (C
1
) cắt () tại hai điểm phân biệt nên
khoảng cách từ tâm I (a; b) của (C
1
) tới () nhỏ hơn bán kính R đờng tròn (C
1
);
vì
cbaR
++=
22
nên
cba
lk
mblak
+<
+
++
22
2
<-> (ak + bl + m)
2
< (k
2

+ l
2
)(a
2
+ b
2
- c) (9).
(6) <-> x
2
+ y
2
- 2 (
0)
2
(2)
2
=++
mncy
nl
bx
nk
a
(10)
Để (8) là phơng trình đờng tròn ta phải có:

mnc
nl
b
nk
a

+>+
22
)
2
()
2
(

ncbanmblakn
lk
nmnc
nl
bb
nk
akna
=++++








+

>+++
0)(
4
0

4
ln
2
222
22
22
2
22
2

theo định lý về dấu của tam thức bậc hai do
0
4
22
>
+
lk
nên ta phải có

0))(()(
22222
<++++=
cbalkmblak

hay (ak + bl + m)
2
< (k
2
+ l
2

)(a
2
+ b
2
- c).
Theo (7) điều đó luôn đúng.
Gọi A (x
1
, y
1
) B (x
2
, y
2
) là giao điểm của

và (C
1
) ta chứng minh toạ độ của
A, B thoả mãn phơng trình (8)
Thay ( x
1
; y
1
) vào (8) ta có
(x
1
2
+ y
1

2
2ax
1
- 2by
1
+ c) + n (kx
1
+ ly
1
+ m) = 0 (*)
do A

(C
1
); A


nên
x
1
2
+ y
1
2
- 2 2ax
1
- 2by
1
+ c = 0
kx

1
+ ly
1
+ m = 0 từ đó thoả mãn (*)
Vậy toạ độ điểm A thảo mãn phơng trình (8)
Tơng tự với điểm B
Vậy đờng tròn có phơng trình dạng (8) đi qua hai điểm A, B.
Ngợc lại, giả sử có một đờng tròn (C
/
) nào đó đi qua hai điểm A, B. ta sẽ tìm
đợc một tham số n để phơng trình (8) là phơng trình đờng tròn (C
/
).
Thật vậy.
Lấy một điểm M (x
3
, y
3
) khác với A và B nằm trên (C
/
). Rõ ràng M không
thể thuộc đờng tròn (C ) và đờng thẳng (

) nên một trong hai biểu thức
x
3
3
+ y
3
2

- 2ax
3
+ c - 2by
3
và kx
3
+ ly
3
+ m phải có một biểu thức có giá
trị khác 0.
Giả sử
kx
3
+ ly
3
+ m

0. đặt n =
mlykx
cbyaxyx
++
++
33
33
2
3
2
3
22
Một vấn đề về đờng tròn 5

(còn nếu x
3
3
+ y
3
2
- 2ax
3
+ c - 2by
3

0 thì ta sẽ đặt nghịch đảo lại)
lúc đó đờng tròn có phơng trình
(x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c) +
mlykx
cbyaxyx
++
++
33
33
2
3
2
3
22
(kx + ly + m) = 0 (11)

thoả mãn toạ độ điểm M (x
3
, y
3
) .
Vậy phơng trình (11) là phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm A, B, M và là đ-
ờng tròn (C
/
).
áp dụng vào bài:
Đờng tròn (EAB) đi qua 2 điểm A, B là giao của đờng tròn.
(AB) x
2
+ y
2
- 2 (m + 1) x + m = 0
và (Ox) y = 0
Nên (EAB) có phơng trình
x
2
+ y
2
- 2 (m + 1) x + m + ny = 0 với n nào đó
Vì qua E (0; 1) ta có
1 + m + n = 0

n = - (m + 1)
Vậy (EAB) có pt
x
2

+ y
2
- 2(m + 1)x - (m + 1)y + m = 0
Cách 3: (Sử dụng khái niệm trục đẳng phơng của hai đờng tròn)
Rõ ràng đờng tròn đờng kính (AB) và đờng tròn (EAB) nhận đờng thẳng AB
là trục đẳng phơng.
mà (AB) x
2
+ y
2
- 2(m + 1)x + m = 0
Giả sử
(EAB) x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 , a
2
+ b
2
> c
Thì trục đẳng phơng trình của chúng có phơng trình
x
2
+ y
2
- 2 (m+1)x + m = x
2
+ y
2

- 2ax - 2by + c

2(a m - 1)x + 2by + m - c = 0 (12)
mà trục đẳng phơng là AB y = 0 (13)
đồng nhất (10 ) và (11) sai khác hệ số k
a - m - 1 = 0 a = m + 1
<--> 2b = k <--> 2b = k với k nào đó
m - c = 0 c = m
Vậy đờng tròn (EAB) có phơng trình dạng
x
2
+ y
2
- 2 (m + 1)x - ky + m = 0
Nhng (EAB) chứa E(0;1) nên
1 - k + m = 0 <-> k = m + 1
(EAB) x
2
+ y
2
- 2(m + 1)x - (m+1)y + m = 0.