LTĐH 2008 - Hệ thức lượng trong tam giác.

Hệ thức lợng trong tam giác
---

---
A. kiến thức sử dụng:
1. Công thức lợng giác: Đặc biệt là các công thức bđ tổng

tích, nhân
đôi, hạ bậc, quan hệ đối, bù, phụ,
2. Định lí hàm số Sin:
2
a b c
R
SinA SinB SinC
= = =

3. Định lí hàm số Cosin:
2 2 2
2 cosa b c bc A= +

4. Công thức đờng trung tuyến:
2 2 2
2
2 2
4
a
b c a
m
+
=

5. Các công thức tính diện tích tam giác:
1 1
sin ( )( )( )
2 2 4
a
abc
S ah bc A pr p p a p b p c
R
= = = = =
6. Các kĩ năng nhận dạng, biến đổi, đợc hình thành qua việc ôn tập, giải các bài cụ thể.
B. các dạng toán cơ bản:
1. Chứng minh các đẳng thức trong tam giác
2. Các bài toán sử dụng 4 công thức ở trên
3. Các bài toán nhận dạng tam giác
4. Các loại toán khác: Tính giá trị, tìm Min, Max
C. Bài tập: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C; các cạnh a, b, c tơng ứng
Loại 1: Sử dụng định lí HS Sin: Chứng minh rằng:
1.
sin( ) sin( ) sin( ) 0a B C b C A c A B + + =
2.
2 2 2 2
1
[ sin 2 sin 2 ]
4
S a B b A= +
3.
4 sin sin sin
2 2 2
A B C
r R=

4.
+ = sin ( cos cos ) 20 b C b C c B
Tính đợc S
5. Cho C = 2B = 4A. CMR:
= = + =
2 2
1 1 1 1
)cos cos cos ) )
8
a A B C b c bc c a
a b c
Loại 2: Sử dụng định lí HS Cosin: Chứng minh rằng:
6.
+ +
+ + =
2 2 2
cot cot cot
4
a b c
gA gB gC
S
7.
2 2 2
cos cos cos
2
a b c
bc A ca B ab C
+ +
+ + =
8.

2 2 2 2
cos cos cos
2 2 2
A B C
bc ca ab p+ + =
9. Cho: a
4
= b
4
+ c
4
. Chứng minh tam giác nhọn và: 2sin
2
A = tgBtgC
Loại 3: Sử dụng công thức đ ờng trung tuyến:
10. Cho:
a c
b
a b c
m m m
= =
. Chứng minh tam giác đều
11. Cho:
1
b
c
m
c
b m
=

. Chứng minh rằng: 2a
2
= b
2
+ c
2
và 2cotgA = cotgB + cotgC
12. Cho: trung tuyến BB

CC. CMR: cotgA = 2(cotgB + cotgC)
13. Cho
= .
2
a
c
m
CMR:
= − = −
2 2 2
) 2 ) 2sin sin( )a b a c b B A C
Lo¹i 4: NhËn d¹ng tam gi¸c vu«ng: Chøng minh tam gi¸c vu«ng nÕu:
14.
sin sin sin 1 cos cos cosA B C A B C
+ + = − + +
18.
sin2 sin2 4 sin sinA B A B
+ =
15.
2 2 2
cos cos cos 1A B C+ + =

19.
2
2
sin
sin
tgB B
tgC C
=
16.
cos cos sin sina B b A a A b B− = −
20.
sin
2 2
B a c
a
−
=
17.
cos2 sin2c c B b B= +
Lo¹i 5: NhËn d¹ng tam gi¸c c©n: Chøng minh tam gi¸c c©n nÕu:
21.
2cot
2
C
tgA tgB g+ =
25.
( )
2 2
2 2
2 2

cos cos 1
sin sin 2
A B
cotg A cotg B
A B
+
= +
+
22.
( )
2
A B
atgA btgB a b tg
+
+ = +
26.
2
2tgA tgB tgAtg B+ =
23.
2 2
1 cos 2
sin
4
B a c
B
a c
+ +
=
−
27.

2 2
2 2
sin( )
sin( )
a b A B
a b A B
− −
=
+ +
24.
2 2 2
2
2
A B
tg A tg B tg
+
+ =
28.
+ − =
2 2 2
4( ) 5cos A cos B cos C
Lo¹i 6: NhËn d¹ng tam gi¸c ®Òu: Chøng minh tam gi¸c ®Òu nÕu:
29.
1
cos cos cos
8
A B C =
34.
cos cos cos sin sin sin
2 2 2

A B C
A B C =
30.
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
35.
( )
2 3 3 3
3 2 sin sin sinS R A B C= + +
31.
sin2 sin2 sin2 sin sinA B C A sinB C
+ + = + +
36.
sin
2
2
sin
2 2
A a
bc
B b
ac

=





=


32.
1 1 1 1 1 1
sin sin sin
cos cos
cos
2 2
2
A B
C
A B C
+ + = + +
37.
+ + = + +
2 2 2 2 2 2
sin sin sin 3( )A B C cos A cos B cos C
33.
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
38.
−
− =4sin ( sin ) 1
2 2 2
A B C A
cos
Lo¹i 7: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc l îng gi¸c:

39. CMR:
2 4 1
cos cos cos
7 7 7 8
π π π
= −
40. CMR:
2 3 1
cos cos cos
7 7 7 2
π π π
− + =
41. CMR:
3 0 2 0
8sin 18 8sin 18 1+ =
42. TÝnh:
2 0 2 0 0 0
sin 50 sin 70 cos 50 cos70P = + −
43. TÝnh A, B, C biÕt:
( )
5
cos2 3 cos2 cos 2 0
2
A B C+ + + =
44. TÝnh A, B, C biÕt:
3
cos sin sin
2
A B C= + −