Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

PHẦN I: MỞ ĐẦU.
I. Lí do chọn đề tài:
1. Cơ sở lí luận:
Bài toán tìm GTLN, GTNN là một dạng toán nâng cao khá phổ biến trong chương
trình THCS. Để giải những bài toán dạng này đòi hỏi HS phải nghiên cứu và làm nhiều
lần mới có thể làm quen được.
2. Cơ sở thực tiễn:
Thực tế hiện nay khi gặp những bài toán về tìm GTNN, GTLN, HS thường bối rối và
không biết hướng giải. Mặc dù hiện nay có nhiều tài liệu viết về chủ đề này
nhưng tôi thấy phần kiến thức này cần phải nghiên cứu nhiều hơn.
Chính vì lẽ đó tôi chọn đề tài : “Một số dạng toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức
đại số” .
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Môn Đại Số lớp 8; lớp 9.
III. Mục đích nghiên cứu:
Giúp HS giải được bài toán “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số”.
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
Bài toán “Tìm GTNN, GTLN của biểu thức đại số” đã được nhiều tài liệu đề cập đến
nhưng chỉ là kiến thức một phần trong đề tài và chưa cụ thể. Điểm mới ở đề tài này là
đưa những kiến thức cơ bản vào trước và phát triển nó để nâng cao những bài tập khó
hơn và làm rõ những sai lầm hay mắc phải của HS.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-1-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

PHẦN II: NỘI DUNG.

I. LÍ THUYẾT:
1. Cho biểu thức f(x,y,…) .
Ta nói a là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x,y,..) kí hiệu là Max f(x,y,…) = a
nếu đồng thời có 2 điều kiện sau được thõa mãn :
- Với mọi x, y,… để f(x, y,…) xác định thì : f(x,y,…)  a ( a là hằng số).
- Tồn tại x0 , y0,…. Sao cho f(x0,y0,..) = a.
2. Cho biểu thức f(x,y,…) .
Ta nói b là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y,..)kí hiệu là Min f(x,y,…) = b
nếu đồng thời có 2 điều kiện sau được thõa mãn :
- Với mọi x, y,… để f(x, y,…) xác định thì : f(x,y,…)  b ( b là hằng số).
- Tồn tại x0 , y0,…. Sao cho f(x0,y0,..) = b.
* Chú ý : Nếu chỉ xảy ra 1 trong 2 điều kiện trên thì không kết luận được về GTNN
hay GTLN.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-2-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN :
Dạng 1: Tìm GTNN (GTLN) của tam thức bậc hai.
A . Lí thuyết: Xét tam thức bậc hai A = ax2 + bx + c (a  0). Khi đó:
A = ax2 + bx + c = a(x2 +
với k = c -

b2
b2
b

b
b 2
x)+ c = a(x2 + 2x. + 2 ) +(c ) = a(x +
) +k
4a
a
2a 4a
2a

b2
.
4a

b 2
)  0 nên :
2a
b 2
b
- Nếu a > 0  a(x +
)  0  A  k. Khi đó: Min A = k khi và chỉ khi x = 2a
2a
b 2
b
- Nếu a < 0  a(x +
)  0  A  k. Khi đó: Max A = k khi và chỉ khi x = 2a
2a

Vì (x +

B. Ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x2 + 2 2 x + 3
(Đề thi KSCL Học kì I năm học 2010 - 2011 Môn Toán 8 Huyện Cẩm Xuyên)
HD: A = 2(x2 + 2.

2
2 2
1
x + ) + 2 = 2(x +
) +2.
2
2
2

2 2
)  0 với mọi x nên A  2 với mọi x .
2
2
Do đó Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2

Vì 2(x +

* Tuy nhiên ở VD này ta có thể biến đổi như sau:
A = 2x2 + 2 2 x + 3 = ( 2 x )2 + 2. 2 x. 1 + 1 + 2 = ( 2 x + 1)2 + 2  2.
Do đó Min A = 2 khi và chỉ khi x = -

2
.
2

- Từ VD này ta có thể phát triển thêm bài tập khác về tìm GTLN như sau:

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: B = - 2x2 + 2 2 x + 3
HD: B = - 2x2 + 2 2 x + 3 = - 2(x2 - 2.
Vì - 2(x -

2 2
)
2

2
2 2
1
x + ) + 4 = - 2(x ) +4
2
2
2

 0 với mọi x. Do đó B  4 với mọi x.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-3-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
Do đó MaxB = 4 khi và chỉ khi x =

2
2

*Ở dạng này cần lưu ý cho HS phải biến đổi A(x)  k hoặc A(x)  k ( k là hằng số)

Tránh sai sót: biến đổi A(x)  B(x) hoặc A(x)  B(x) rồi kết luận.
Ví dụ: Tìm GTNN của A = x2 + 1
Bài giải sai: Ta có: (x - 1)2  0 với mọi x
2
2
 x - 2x + 1  0  x + 1  2x
Rồi kết luận Min A = 2x .
C.Bài tập:
1. Tìm GTNN của các biểu thức:
a , A = 5x2 - 3x + 2;
b, B = 2x2 - 3x + 1
c, C = x(x - 3)
d, D = 7x2 + 3x + 1
y
4

e, E = 2 x  xy  2 x   2012 với x  0; y  0
HD: Đặt

x  a; y  b (với a > 0; b > 0) ta có :
2

b2
b
E = 2a - ab - 2a +
+ 2012 = ……….= a  12   a    2011  2011
4
2

2

……………………..
x  1
y  4

Min E = 2011  

f, F = x  2 xy  3 y  2 x  2013,5 với x  0; y  0
HD : Cách giải giống bài e.
9

 x  4
ĐS : Min F = 2012  
y  1

4

Tìm GTLN của biểu thức:
a, A = 5 - x2 + 3x
b, B = - 3x2 - 4x - 1
c, C = - (x - 2)2 - (2x - 1)2
d, D = 2 + 5x - x2
e, E = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x
HD: E = 3 - ( 2x + y)2 - ( x - 1)2  3
f, F = 2( x  1 + 1) - (x - 1)2
(Đề thi HSG Toán 9 Huyện Thạch Hà năm học 2001 - 2002)
2.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-4-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
HD: Đặt x  1 = y ta có: y2 = x  1 = (x - 1)2 . Khi đó : A = 2(y + 1) - y2
Bài toán đưa được về dạng 1.
2

Dạng 2:Tìm GTNN (GTLN) của đa thức bậc cao:
Phương pháp: Biến đổi đa thức đó về dạng tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của f(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1
( Đề thi KSCL GV năm học 2009 - 2010 Huyện Cẩm Xuyên)
HD: - Trường hợp 1: Nếu x = 0  f(x) = 1
- Trường hợp 2: Nếu x  0 , chia 2 vế cho x2 ta được:
f ( x)
1
1
1
1
= x2 - 2x + 3 - 2. + 2 = (x2 + 2 + 2 ) - 2( x + ) + 1
2
x
x
x
x
x
2
2
1
1

1
=  x   - 2( x + ) + 1 =  x   1
x
x
x 


2

2
2

 x2 1 x 
2
1
3
9
3

 = x 2  x  1 =  x        =
x
16
2
4 
4



9
1

Vậy Min f(x) =
khi và chỉ khi x =
16
2
2

1 
2

 f(x) = x  x   1 = x .
x 


2

2





*Lưu ý: - Tránh sai sót : Khi ta biến đổi f(x) = x 2  x  1 ta kết luận:
2
Vì x 2  x  1  0 với mọi x nên Min f(x) = 0(Bài giải sai.Vì dấu “ = ” không xảy ra)
* Có những khi ta cần đổi biến để đưa về tam thức bậc hai.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của A = x(x - 2)(x - 3)(x - 5)
HD: A = x(x - 5)(x - 2)(x - 3) = ( x2 - 5x)( x 2 - 5x + 6)
Đặt y = x2 - 5x +3 ta có: A = ( y- 3)(y + 3) = y2 - 9  - 9 .
2

Min A = - 9  y = 0  x2 - 5x +3 = 0  x1 =

5  13
5  13
; x2 =
2
2

Bài tập: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a , A = x4 - 6x3 + 8x2 - 6x + 1
b, B = x( x - 2)(x - 5)( x- 7)
c, C = (x2 + x + 1)2
Dạng 3: Tìm GTNN( GTLN) của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
A. Lí thuyết: Với A là một biểu thức tùy ý, ta có:
 A neá
uA0
A 
uA0
A neá

Một số chú ý:
A  B  B  A với mọi A, B.

A  B  A  B dấu “ = ” xảy ra  A.B  0.
A B  A  B

dấu “ = ” xảy ra  A.B  0

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-5-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
A  B  A  B dấu “ = ” xảy ra  A  B  0 hoặc A  B  0 .
A  B  A  B dấu “ = ” xảy ra  A.B  0

A  B  A  B dấu “ = ” xảy ra  A.B  0

A  A với mọi A, dấu “ = ” xảy ra  A  0
A  A 2 với mọi A.
2

A  0 với mọi A.dấu “ = ” xảy ra  A = 0

- A  A  A với mọi A. dấu “ = ” xảy ra  A = 0.
B. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức A = 2 3x  1 - 4
HD: Ta có: 3x  1  0 với mọi x  2 3x  1 - 4  - 4 với mọi x
Vậy MinA = - 4  3x - 1 = 0 hay x =

1
.
3

Từ bài tập 1 ta có thể ra cho HS bài tập 2:
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức : a, B = 4 - 2 3x  1
HD: Ta có: 3x  1  0 với mọi x  - 2 3x  1  0 với mọi x  4 - 2 3x  1  4
Vậy Max B = 4  3x - 1 = 0 hay x =
Ví dụ 3: Tìm GTLN của C =

x2
x

1
.
3

với x  0; x  Z

HD: Vì x  Z nên :
- Với x  - 2  x + 2  0  C  0
- Với x = -1  C = -1
- Với x  1  C =
C lớn nhất khi

x2
x2
2
=
= 1+
x
x
x

2
lớn nhất
x

 x nhỏ nhất. Mà x

 1 nên x nhỏ nhất khi x = 1. khi đó C

=3
Vậy Max C = 3 khi x = 1.
Ví dụ 4:
Tìm GTNN của A = 2x  2001 + 2004 2x
(Đề thi HSG Toán 7 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2003- 2004)
HD: C/1: Áp dụng kiến thức: A  B  A  B . dấu “ = ” xảy ra  A.B  0.
Ta có: A = 2x  2001 + 2004 2x  2x  2001 2004  2x = 3 = 3.
dấu “ = ” xảy ra  (2x - 2001)(2004 - 2x)  0 
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

2001
 x  1002
2

-6-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
Vậy MinA = 3 khi

2001
 x  1002
2

C/2: (Dùng phương pháp xét khoảng)
2001
x

1002

2

2x - 2001
2004 - 2x

+

0

+
+

0

+
-

2001
ta có: A = 2001 - 2x + 2004 - 2x = 4005 - 4x
2
2001
Vì x <
 4x < 4002  4005 - 4x > 4005 - 4002 = 3 hay A > 3
2
2001
- Với
 x  1002 ta có: A = 2x - 2001 + 2004 - 2x = 3

2

- Với x <

- Với x > 1002 ta có: A = 2x - 2001 + 2x - 2004 = 4x - 4005
Vì x > 1002  4x > 4008  4x - 4005 > 4008 -4005 = 3 hay A > 3
Do đó Min A = 3 

2001
 x  1002
2

* Nếu bài toán có từ 3 hạng tử trở lên có chứa giá trị tuyệt đối thì ta dùng cách giải
này.
* Chú ý: Có nhiều bài toán ta cần sử dụng kiến thức: A  B  B  A
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức : f(x) = x  2 x  1 + x  2 x  1
(Đề thi HSG Toán 9 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011)
HD: Đk: x  1 ta có :
f(x) = ( x  1)  2 x  1  1 + ( x  1)  2 x  1  1 = x  1  1 + x  1  1
=

x 1 1 + 1 x 1 .

Đến đây ta giải tương tự như VD 1.
Ví dụ 6 : Tìm GTLN của biểu thức A = x  1  x  5
HD: A = x  1  x  5  ( x  1)  ( x  5) = 4
dấu “ = ” xảy ra  (x - 1)(x - 5)  0  x  5 hoặc x  1
C. Bài tập :
1.Tìm GTNN của các biểu thức sau :
a , A = 2 3x  2  1

b, B = 5 1  4x  1
c, C = x2 + 3 y  2 - 1
d, D = x + x
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-7-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
e , E = 2x  1 + 2 x  3 ;
f, F = x  1002 + x  1000
h, H = x  2 + 2 x  3 + x  5
i, I =

6
x 3

với x  Z

k, K = x 2  x  1 + x 2  x  2
l, L = x  2  x  3  x  5
m, M = x  2  x  3  x  5 + x  7
Từ những bài tập về tìm GTNN như trên, ta có thể thay đổi dấu 1 số hạng tử để được
bài toán về tìm GTLN.
2 .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a , A = 1 - 2 3x  2
1
x2 3

b, B =

HD: x  2  0 với mọi x  x  2  3  3 
Vậy Max B =

1
1

x2 3
3

1
 x=2
3

c, C = x - x
d , D = 2x  1 - 2 x  3
HD:
Áp dụng kiến thức: A  B  A  B dấu “ = ” xảy ra  A  B  0 hoặc A  B  0 .
e, E = x  2  x  3
Dạng 4: Dạng phân thức:
1.Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: Tìm GTLN của A =

1
x  2x  3

(1)

2

HD: C/1: Từ (1)  Ax2 + 2Ax + 3A - 1 = 0(*)
Để tồn tại giá trị lớn nhất của A thì pt (*) (ẩn x) phải có nghiệm . Tức là:
2

/ = A - A(3A - 1)  0 ..........  0  A 

Vậy Max A =

1
.
2

1
khi x = -1
2

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-8-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
1
. Vì (x + 1)2  0 với mọi x nên (x + 1)2 + 2  2 và 1 > 0 
2
( x  1)  2
1
1

2

( x  1)  2
2
1
Dấu “=” xảy ra khi x +1 = 0  x = - 1.Do đó Max A = khi x = - 1.
2

C/2: A =

* Lưu ý:
- Ta không lập luận : Phân thức trên có tử không đổi nên biểu thức đạt giá trị lớn nhất
khi mẫu bé nhất mà chưa đưa ra nhận xét là tử và mẫu là những số dương.
- Khi áp dụng tính chất: a  b thì

1 1
 cần nhớ tới điều kiện là a, b cùng dấu.
a b

* Bài tập:
1
x  4x  7
1
b, B  2
x  6x  15

1.Tìm GTLN của : a, A 

2

2.Phân thức có tử là nhị thức bậc nhất, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: P =

2x  1
x2  6

(Đề thi GVG Huyện Cẩm Xuyên năm học 2006 - 2007)
HD: C/1:
Ta có: P =

2x  1
2
 Px - 2x + 6P - 1 = 0
2
x 6

(*)

Để P tồn tại GTLN,GTNN thì phương trình (*)(ẩn x) phải có nghiệm. Tức là : /  0


- 6P2 + P + 1  0  6P2 - P - 1  0  ….. 

1
1
P
3
2

1
2x  1
1

ta có : 2
= x=2
2
2
x 6
1
2x  1
1
Với P =
ta có : 2
=
x= -3
3
3
x 6
1
1
Vậy Max P = khi x = 2 ; Min P =
khi x = - 3
2
3

Với P =

C/2 :



 




x 2  6  x 2  4x  4
x2  6
x 2  4x  4
2(2 x  1)
2x  1
1
 x  2 .
P= 2
=
=
=
= 
2
2
2
2
2( x  6)
2 2( x 2  6)
x 6
2 x 6
2( x  6) 2( x  6)

Vì

 x  2 2
2( x  6)
2

 0 với mọi x nên P 

Vậy Max P =



2

1
.
2

1
khi x = 2
2

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-9-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
Ta lại có : P =

3(2 x  1)
(6 x  3)
 ( x 2  6)  ( x 2  6 x  9)
2x  1
=

=
=
3( x 2  6)
3( x 2  6)
x2  6
3( x 2  6)

 ( x 2  6) x 2  6 x  9
( x  3) 2
( x  3) 2
1
1
+
=
+
.
Vì
.
 0 với mọi x nên P 
2
2
2
2
3
3
3( x  6)
3( x  6)
3( x  6)
3( x  6)
1

Vậy Min P =
khi x = - 3.
3

=

* Bài tập:
1. Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức:
a, A =

4x  3
x2 1

(Đề thi HSG Toán 8 Huyện Kì Anh năm học 2003 - 2004)
HD: Cách làm như C/2 ở VD trên
5  3x
;
4x 2  1
13  12 x
c, C = 2
x 4

b, B =

3.Phân thức có tử và mẫu là những tam thức bậc hai.
Ví dụ: Tìm GTNN của A =

3x 2  8 x  9
x 2  2x  1

HD:
C/ 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu:
A=

3x 2  8 x  9
4
3( x 2  2 x  1)  2( x  1)  4
2
=
= 3
+
2
2
( x  1) 2
x  2x  1
x 1
( x  1)
2

1
2 
= 
 + 2.
2
 x 1
11
Vậy Min A =
4

2

1 11  2
11
11
1
 2 
=
.
  +


 + +
4
4
4
4
 x 1
 x 1 2 
2
1
khi và chỉ khi
=
x=-5
x 1
2

C/2: Ta có thể đổi biến.
HD : Ta thấy A =

3 x 2  8 x  9 3x 2  8 x  9

=
x 2  2x  1
x  12

do đó Đặt y =

1
1
Khi đó : x = - 1
y
x 1

 1
1   2
4y2  2y  3
1
1
11
2


3
(

1
)

8

1


9
.
y
= ………….=
= 4 y 2  2. y   
A = 



2
4
16  4
y

y  
 y
2
1
11
1
11
= 4  y   
. Dấu “=” xảy ra khi y =
 x = - 4 - 1 = - 5.

4
4
4
4


11
Vậy Min A =
khi x = - 5.
4

C/3: Dùng công thức nghiệm để giải.
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-10-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
* Ngoài ra với những bài tập dạng này ta có thể viết biểu thức A thành tổng của một số
với một phân thức không âm.
Chú ý: Tất cả những dạng trên đều có chung một phương pháp là dùng điều kiện có
nghiệm của phương trình bậc hai để giải ( như VD 1 ) với cách giải này ta có thể tìm
được GTLN và GTNN của biểu thức.
* Bài tập:
1.Tìm GTNN của biểu thức:
x2  y2
;
x 2  2 xy  y 2
x
b, B = 2
x  10 x  25
x2  2 x  2
c, C  2
x  2x  3
x 2  2 x  17

d, D 
2  x  1

a, A =

e, E 

x  6 x  34
x 3

2. Tìm GTNN và GTLN của:
a, A 

x2
x2  5x  7
x

b, B =

HD: B =

x  x 1
x

với x  0
2

1
3


 x  
2
4


- Với x = 0 ta có B = 0
- Với x > 0. Ta có : B =

1

1
1

1
x
x

1
2

 1 1
3

  
4
 x 2

Vì tử và mẫu đều dương và tử là hằng số nên B 
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy Max B =

1
x



1 4

3 3
4

1
x=4
2

4
x4
3

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-11-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
và Min B = 0  x = 0
Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của đa thức hai biến và quan hệ ràng buộc giữa các
biến:
* Phương pháp giải:
C/1( Thường sử dụng): Biến đổi đa thức f(x,y) thành tổng các số không âm hoặc tổng

các số không dương và một hằng số.
Tức là: f(x,y) = g ( x, y )2  k hoặc f(x,y) = - g ( x, y )2  m
C/2: Sử dụng tính chất có nghiệm của tam thức bậc hai để đánh giá ẩn.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy. Biết x + y = 1
HD: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = …. = x2 + y2. Đến đây ta có các cách giải :
C/1 : Sử dụng điều kiện đã cho để làm xuất hiện một biểu thức có chứa A.
Vì x + y = 1 nên x2 +2xy + y2 = 1.
Ta lại có : (x - y)2 = x2 - 2xy + y2  0 . Do đó 2(x2 + y2)  1  x2 + y2  1

2

Vậy Min A = 1  x = y = 1
2

2

C/2 : Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x
Thay y = 1 - x vào A ta được tam thức bậc hai đối với x .Từ đó giải tiếp như dạng 1
C/3 : Sử dụng điều kiện có nghiệm để đổi biến.
Đặt x = 1 + a ; y = 1 - a . Khi đó : x2 + y2 = 1 + 2a2  1
2

2
1
Vậy Min A =  a = 0  x = y = 1
2
2

2

2

Bài tập :
1. Cho các số thực x, y thõa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 8(x + y) + 7 = 0(1)
Tìm Max, Min của S = x + y
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2008 - 2009 Tỉnh Hà Tĩnh)
HD: C/1: Từ S = x + y  y = S - x. Thay vào (1) ta được:
x2 + 2(S - x)2 + 2x (S - x) + 8S + 7 = 0
2
2
(2)
 x - 2Sx + 2S + 8S + 7 = 0 ( Phương trình bậc hai ẩn x)
2
/ = - S - 8S - 7
Để tồn tại Max, Min của S thì pt(2) phải có nghiệm tức là /  0  - S2 - 8S - 7  0
2
 S + 8S + 7  0 ........  - 7  S  - 1.
 x  y  7
 x  7
 
y  0
y  0

Vậy Min S = - 7  

( Với x + y = - 7 thay vào (1) tính được y = 0)
 x  y  1
 x  1

y  0

y  0

Max S = - 1  

C/2: (1)  (x + y)2 + 2(x + y).4 + 16 + y2 = 9
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-12-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
2

2

2

2

 (x + y + 4) + y = 9. Do y  0 nên (x + y + 4)  9  - 3  x + y + 4  3
 - 7  x + y  - 1. Đến đây ta giải tiếp như C/1.

2. Cho biểu thức M = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2011.
Với giá trị nào của x và y thì M đạt GTNN.
(Đề thi HSG Toán 8 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2010 - 2011)
 2
y y2
3 9
y 3 3
3

3

HD : M =  x  2 x.   2 x.   2. .    y 2  2. y   + 2008
2 4
2 4
2 2  4
4
4

2

y 3
3
=  x      y  12  2008 .


2

2

4

2

3
y 3
Vì  x     0 ;  y  12  0 với mọi x, y. Do đó M  2008.



2

4
x  1
Dấu “ = ” xảy ra khi 
.
y  1

2

x  1
y  1

Vậy Min M = 2008 khi 

3. Cho x2 + 2y2 + 2xy + 4x - y +

7
= 0 (1). Tìm Min S = x+ y.
4

4. Tìm GTNN của biểu thức P = 2x2 + y2 - 2xy - 4x + 6y - 5
5. Tìm x để y lớn nhất thõa mãn : x2 + 2y2 + 2xy - 8x - 6y + 13 = 0(1)
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010 - 2011)
HD : Biến đổi ta được : (1)  (x + y - 4)2 + (y + 1)2 = 4
2

 (y + 1)  4 ( do (x + y - 4)

2

 0 )  - 2  y + 1  2.

Đến đây ta giải tiếp như BT 1.
Dạng 6 : Dùng Bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN.
A.Lí thuyết :
1. Một số BĐT quen thuộc :
a , a2 + b2  2ab với mọi a, b . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b .
a b
  2 . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b
b a
a b
- Với ab < 0 ta có :   2 . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = - b
b a
c, (a + b)2  4ab . Từ đó suy ra các BĐT sau:
ab
4
- Nếu a > 0, b > 0 ta có:
.

ab
ab
1 1
4
.
 
a b ab
1 1
(a + b)     4 .
a b

b, - Với ab > 0 ta có :

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-13-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
1
11 1
   .
ab 4a b

2.Một số tính chất quen thuộc của bất đẳng thức:
a, Với a, b, c, d > 0 và a > b, c > d thì a.c > b.d
b, Với a > b và c > 0 thì a.c > b.d
c, Với a > b và c < 0 thì a.c < b.c
d, Với a > b và a, b, n > 0 thì an > bn
Ví dụ: Tìm GTNN của M =

2
3
với a > 0; b > 0; a + b = 1
 2
ab a  b 2

(Đề thi GVG Huyện Cẩm Xuyên năm học 2011 - 2012)
HD: M =

4
3
1
1 
 1
 2

 3
 2

2
2ab a  b
2ab  2ab a  b 2 

Ta có: (a + b)2  4ab (áp dụng BĐT c)  2ab 

a  b 2
2



1
( do a + b = 1)
2

1
1
1
.
  2 . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b =

2
2ab 1
2
1
1
4
4
 2


 4 ( do a + b = 1)
2
2
2
2ab a  b
2ab  a  b
a  b 2
1
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = .
2
1
1 
1
 1
 3
 2
 2  3.4 = 14. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = .
M =
2 
2ab  2ab a  b 

2



Vậy Min M = 14 khi a = b =

1
.
2

2. BĐT Côsi : Cho các số không âm a1; a2; ....;an ta có:
a1 + a2 + ....+ an  n. n a1 .a2 ....an . Dấu “ = ” xẩy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ....= an .
Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến mệnh đề sau;
+ Nếu 2 số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó
bằng nhau.
+ Nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó
bằng nhau.
*Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức A  3x  5  7  3x
HD: ĐKXĐ:

5
7
x
3
3

A2  3x  5  7  3x  2 3x  57  3x

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 3x - 5 và 7 - 3x ta có:
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-14-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
2 3x  57  3x  3x  5  7  3x  2

Nên A2  2  2  4 , dấu “=” xảy ra  3x  5  7  3x  x  2
Vậy MaxA = 2 khi x = 2
3x 4  16
*Ví dụ 2: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức A 
x3

HD: A 

16
16
16
3x 4  16
 3 x  3  x  x  x  3  44 x.x.x. 3  4.2  8
3
x
x
x
x

Dấu “=” xảy ra khi x 

16
x3

 x=2

Vậy minA = 8 khi x=2
* Ngoài ra ta có thể áp dụng 2 mệnh đề trên để làm một số bài tập.
Ví dụ 2 : Tìm GTNN của biểu thức D =
HD : D =

1 1
 với x > 0 ; y > 0 và x + y = 3
x y

1 1
x y
3
 =
= .
x y
xy
xy

Vì x + y = 3 (kđ) nên D đạt giá trị nhỏ nhất khi xy lớn nhất. Theo mệnh đề trên ta có
xy lớn nhất khi x = y Mà x + y = 3  x = y =

3
3 4
. Vậy Min D = 
9 3
2
4

* Chú ý : - Ta có thể sử dụng nhiều BĐT trong 1 bài toán.
Ví dụ 3 :Cho x, y là các số dương thõa mãn : x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức :
M=

1
1

(Đề thi HSG Toán 9 Huyện Cẩm Xuyên năm học 2012 - 2013)
2
xy
x y
2

 1
1 
2
 2
 

2
2 xy  4 xy
x y
1
1
4
4
1 1
4
 2

Áp dụng BĐT  
ta có : 2 2 
=
2
2 xy x  y  2 xy ( x  y ) 2
x y
a b ab

HD : Ta có : M =

1
1
 =
2
2
xy
x y

Áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dương x, y ta có :
2
2

4 xy ( x  y ) 2
4
2
6
Do đó : M 
+
=
 6 ( vì x + y  1)

2
2
( x  y)
( x  y)
( x  y) 2
1
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ x = y =
2

x + y  2 xy  (x + y)2  4xy 

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-15-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
Chú ý : - Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem
chúng có đồng thời xẩy ra dấu bằng hay không.
Ví dụ 4 :Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTNN của
1
 1 
A =  x+    y  
y
 x 
2

2

Giải sai:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm x,

1
1
1
Ta có: x+  2 x.  2 (1)
x
x
x

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm y,

1
1
1
Ta có: y+  2 y.  2
y
y
y

(2)

Từ (1) và (2) =>A  8 => Min A = 8
Sai lầm: Đẳng thức (1) xảy ra khi
Đẳng thức (2) xảy ra khi

1
 x  x2  1
x

1
 y  y 2  1 . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1)
y

Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x, y ta có :
x+y
1
1
 xy  xy   xy 
2
2
4
2

1
1
Ta có : A = 4 + x +y    +   .
x y
2

2

2

Ta lại có: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  1 -

1 1
= (1)
2 2

1
4

(do xy  )

1
25
1
1
1
2
 2 2 2 2 
 8 (2). Từ (1) và (2) =>A  8 + +4 =
2
2
2
x
y
x .y
xy

=>Min A =

25
1
khi x = y =
2
2

3. BĐT BunhiaCop ki :

Cho 2 bộ số n bất kì ( a1; a2;....;an) và (b1 ; b2 ;…. ;bn) ta có :
2
(a1 + a22 +.....+an2)(b12 + b22 +.....+ bn2)  (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2
Dấu “ = ” xảy ra khi

a
a1 a 2

 ........  n .
b1 b2
bn

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-16-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
( Lưu ý : Nếu bi = 0 thì ai = 0)
*Ví dụ 1: Cho x  2 y  10 . Tìm GTNN của x + y
HD: áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1;2) và ( x; y )
Ta có:

1.

x 2 y

  1
2

2



 2 2 x  y 

 10 2  5 x  y 
  x  y   20
y
x

 x = 4, y = 16
1
2

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy Min( x + y) = 20 khi x = 4, y = 16
Ví dụ 2 : Tìm GTLN của A = x  2 + 10  x (với 2  x  10 )
HD : Áp dụng BĐT Bunhia Copxki cho 2 bộ số (1 ; 1) và ( x  2 ; 10  x ) ta có :
(1 + 1)(x - 2+ 10 - x)  ( x  2 + 10  x )2 hay A2  16  A  4
Dấu “ = ” xảy ra khi x = 6
Vậy Max A = 4  x  6
4. BĐT Sa- Vac : Cho các số a1, a2,...,an bất kì và b1, b2,......., bn > 0. Ta có :

a  a2  ...... an  .
a
a1
a
 2  .......... n  1

b1
b2
bn
b1  b2  ....... bn
a
a
a
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1  2  ..........  n
b1 b2
bn
2

2

2

2

Ví dụ : Cho a, b, c là những số dương thõa mãn : a + b + c  1.
1
1
1
 2
 2
a  2bc b  2ca c  2ab
9
1
1
1
HD : C/1 : Áp dụng BĐT Sa- vac ta có : 2

 2
 2

(a  b  c) 2
a  2bc b  2ca c  2ab
9
Do a, b, c > 0 và a + b + c  1 nên 0 < (a + b + c)2  1 
 9.
(a  b  c) 2

Tìm GTNN của A =

2

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy Min A = 9  a = b = c =

1
3

C/2: Đặt x = a2 + 2bc; y = b2 + 2ca ; z = c2 + 2ab.
Ta có : x + y + z = (a + b + c)2  1
1

1

1

Áp dụng VD 2 của BĐT CôSi ta có : (x + y + z)      9.
x y z





Vì 0 < x + y + z  1
Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-17-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số
1 1 1
   9 hay A  9. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z  a = b = c.
x y z
1
Vậy Min A = 9  a = b = c =
3



Bài tập :
1.Cho x > 0 ; y > 0 thõa mãn : xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức :
A = (x + y + 1)(x2 + y2 ) +

4
x y

2.Cho a > 2 ; b > 2. Tìm GTNN của biểu thức: A =

a2

b2

b2 a2

3.Cho x2 + y2 = 136. Tìm GTLN của B = 3x + 5y.
HD : Áp dụng BĐT Bunhia- Copxki.
4.Cho a > 0 ; b > 0 ; c > 0. Tìm GTNN của C =
5.Tìm GTNN của M =

a
b
c


bc ca ab

x y 2  y x3
với x  3; y  2
xy

6.Tìm GTLN của biểu thức : N = (2 - x)(2x + y)(2 - y) với x , y  0;2 .
HD : Nhân 2 vế của biểu thức trên với 2 và áp dụng mệnh đề trên.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-18-


Một số bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

PHẦN III : KẾT LUẬN .
I. Bài học kinh nghiệm :Trong quá trình áp dụng đề tài tôi thấy :
- Đối với người dạy : Cần bắt đầu từ những kiến thức cơ bản ở SGK để từ đó khai thác,
phát triển sâu hơn . Khi dạy HS cần làm kĩ từng dạng cụ thể và đặc biệt là chú ý những
sai lầm của HS .
- Đối với người học : Cần phân tích được những giả thiết trong bài toán để xác định
được cách làm. Tăng cường làm bài tập, chú ý nghe giảng. Biết khai thác giả thiết và
phát hiện vấn đề.
II. Kiến nghị :
- Đối với cá nhân : Cần nghiên cứu nghiều hơn nữa về những bài toán các dạng trên
đồng thời tìm ra những phương pháp giải khác cho những dạng tiếp theo.
- Đối với tổ và nhà trường : Cần triển khai trong tổ để đồng nghiệp nghiên cứu và
phát triển thêm để triển khai ở cấp cao hơn ( Cấp cụm).
Trên đây là những dạng toán Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số. Với những lí do
mà tôi đã nêu ở phần đặt vấn đề, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn còn có
nhiều điều thiếu sót, tôi mong được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và bạn đọc
để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Trần Văn Báu- THCS TT Thiên Cầm

-19-