Luận văn bài toán ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C

NGUY N DUY KHÁNH

BÀI TOÁN N Đ NH H PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUY N VÀ NG D NG

LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C
Chuyên ngành: Toán Gi i tích
Mã s : 60 46 01 02

Ngư i hư ng d n khoa h c
GS.TSKH. Vũ Ng c Phát

HÀ N I- 2015


M cl c
M đu

2

Các kí hi u dùng trong lu n văn

4

L i c m ơn

5

1 Cơ s toán h c
1.1 H phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

61.2

1.3
2

Lý thuy t n đ nh Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Các khái ni m v

n đ nh . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

M t s tiêu chu n cơ b n v tính n đ nh . . . . . . 11

Bài toán n đ nh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

n đ nh h phương trình vi phân phi tuy n và ng d ng 22
2.1
n đ nh h phương trình vi phân phi tuy n . . . . . . . . . 23 2.2

n

đ nh hóa h phương trình đi u khi n phi tuy n . . . . . 37
K t lu n

42

Tài li u tham kh o

43

1


L im đ u
Trong th c ti n, nhi u bài toán đ c p các v n đ kĩ thu t, đi u khi n
thư ng liên quan đ n các h đ ng l c mô t b i các phương trình toán h c
v i th i gian liên t c d ng

x(t) = f (t, x(t), u(t)), ˙

t ≥ 0,

trong đó x(t) là bi n tr ng thái mô t đ i tư ng đ u ra, u(t) là bi n đi u
khi n mô t đ i tư ng đ u vào c a h th ng. Nh ng d li u đ u vào có tác đ ng
quan tr ng có th làm nh hư ng đ n s v n hành đ u ra c a h th ng. Như v y
ta có th hi u m t h th ng đi u khi n là m t mô hình toán h c đư c mô t b i
phương trình toán h c bi u th s liên h vào ra.
M t trong nh ng m c đích chính c a bài toán đi u khi n h th ng là tìm đi u
khi n đ u vào sao cho đ u ra có nh ng tính ch t mà ta mong mu n. Trong
đó, tính n đ nh là m t trong nh ng tính ch t quan tr ng c a lý thuy t đ nh
tính các h đ ng l c và đư c s d ng nhi u trong các lĩnh v c cơ h c, v t lý
toán, kĩ thu t, kinh t ... Nói m t cách hình tư ng, m t h th ng đư c g i là n đ
nh t i tr ng thái cân b ng nào đó n u các nhi u nh c a các d li u đ u vào c
a h th ng không làm cho h th ng thay đ i nhi u so v i tr ng thái cân b ng
đó. S nghiên c u bài toán n đ nh h th ng đư c b t đ u t th k th XIX b i nhà
toán h c V. Lyapunov và đ n nay đã không th thi u trong lý thuy t phương
trình vi phân và ng d ng. Lyapunov đã xây d ng n n móng cho lý thuy t n
đ nh, đ c bi t là đưa ra hai phương pháp nghiên c u tính n đ nh c a các h
phương trình vi phân thư ng. Đó là phương pháp s mũ Lyapunov và
phương pháp hàm Lyapunov. Trong giai đo n 1953-1962, vi c áp d ng
phương pháp hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh c a các h đ ng
2


l c đã nh n đư c s quan tâm c a nhi u nhà nghiên c u b i nh ng ng
d ng h u hi u c a nó trong h th ng d n đư ng hàng không vũ tr mà không
th gi i quy t đư c b ng các phương pháp khác. T đó đ n nay lý thuy t n đ nh
Lyapunov v n đang là m t lý thuy t phát tri n r t sôi đ ng c a Toán h c và tr
thành m t b ph n nghiên c u không th thi u trong lý thuy t h th ng và ng d
ng. Đ n nh ng năm 60 c a th k XX, cùng v i s phát tri n c a lý thuy t đi u

khi n, ngư i ta cũng b t đ u nghiên c u tính n đ nh c a các h đi u khi n hay
còn g i là bài toán n đ nh hóa các h đi u khi n. Vì v y, vi c nghiên c u tính
n đ nh và tính n đ nh hóa c a các h phương trình vi phân và đi u khi n b
ng c hai phương pháp do Lyapunov đ xu t, đ c bi t là phương pháp hàm
Lyapunov đã và đang tr thành m t hư ng nghiên c u th i s thu hút s quan
tâm c a nhi u nhà nghiên c u trong nư c và qu c t .
Trên cơ s các tài li u v phương trình vi phân lu n văn trình bày m t s k t
qu v tính n đ nh, ti m c n, n đ nh mũ c a các h v i th i gian
liên t c sau đó d a vào các tính ch t n đ nh đó xây d ng m t s

ng

d ng gi i bài toán n đ nh hóa h phương trình đi u khi n phi tuy n.
Lu n văn g m hai chương:
Chương 1: Cơ s toán h c
Trong chương này, tôi trình bày m t s khái ni m cơ b n v h phương
trình vi phân, các lý thuy t n đ nh c a các h tuy n tính, phi tuy n b ng
phương pháp hàm Lyapunov, đ c bi t là m t s tiêu chu n cơ b n v tính
n đ nh, đ ng th i đưa ra nh ng khái ni m đ u tiên v bài toán n đ nh
hóa.
Chương 2:
n đ nh h phương trình vi phân phi tuy n và ng d ng
Trong chương này, tôi trình bày m t s đ nh lý quan tr ng v tính n đ nh
c a h phương trình vi phân phi tuy n, t đó xây d ng m t s
ng d ng gi i bài toán n đ nh hóa h phương trình đi u khi n phi tuy n.

3


Các kí hi u dùng trong lu n văn

- R+: T p các s th c dương.
- Rn: Không gian véctơ th c n chi u v i tích vô hư ng ., . và chu n
Euclide . .
- Rn⋅m: Không gian các ma tr n th c có s chi u n ⋅ m.
- AT : Ma tr n chuy n v c a A.
−

- A 1: là ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A.
- I: Ma tr n đơn v c p n.
- λmin(A): Giá tr riêng nh nh t c a ma tr n đ i x ng A.
- λ(A): T p các giá tr riêng c a A.

4


L i c m ơn
L i đ u tiên, tôi xin g i l i c m ơn chân thành và sâu s c nh t t i GS.
TSKH. Vũ Ng c Phát. Th y đã tr c ti p hư ng d n và t n tình ch b o trong
su t th i gian qua. Tôi cũng xin g i l i c m ơn t i các th y, các cô
khoa Toán - Cơ - Tin, khoa sau đ i h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T
nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i đã trang b ki n th c và t o đi u ki n thu n l i
cho tôi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u và hoàn thành lu n văn này.
M c dù b n thân đã c g ng r t nhi u nhưng vì th i gian th c hi n không
nhi u, ki n th c và trình đ còn h n ch nên lu n văn c a tôi không tránh kh i
nh ng thi u sót. R t mong nh n đư c s ch b o, góp ý và nh ng ý ki n ph n bi
n c a quý th y cô và b n đ c.
Hà N i, ngày 27 tháng 10 năm 2015
H c viên
Nguy n Duy Khánh

5


Chương 1

Cơ s toán h c
Trong chương này, tôi trình bày nh ng ki n th c cơ s v h phương
trình vi phân, nghi m c a h phương trình vi phân, các khái ni m v tính
n đ nh c a h phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov đ
nghiên c u tính n đ nh c a các h phi tuy n, đưa ra m t s tiêu chu n cơ b n
v tính n đ nh c a h tuy n tính, đ ng th i trình bày nh ng khái ni m đ u tiên
v bài toán n đ nh hóa.
N i dung chương này đư c trình bày d a trên các tài li u ([2], [4], [5], [6]).

1.1

H phương trình vi phân

Xét phương trình vi phân

x(t) = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0, t0 + b] , ˙
x(t0) = x0, x ∈ Rn, t0 ≥ 0,
trong đó

f (t, x(t)) : I ⋅ D → Rn, D = {x ∈ Rn : ||x − x0|| ≤ a} .
Nghi m x(t) c a phương trình (1.1) là hàm x(t) kh vi liên t c th a mãn:
a) (t, x(t)) ∈ I ⋅ D,
b) x(t) th a mãn phương trình vi phân (1.1).
Gi s hàm f (t, x(t)) liên t c trên I ⋅ D, khi đó nghi m x(t) cho b i d ng
tích phân:

t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

6

(1.1)


Đ nh lý 1.1.1 (T n t i nghi m đ a phương). Xét h phương trình vi phân
(1.1) trong đó gi s hàm f (t, x) : I ⋅ D → Rn là liên t c theo t và th a
mãn đi u ki n Lipschitz theo x, t c là

∃K > 0 : ||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ K||x1 − x2||, ∀t ≥ 0.
Khi đó v i m i (t0, x0) ∈ I ⋅ D ta luôn tìm đư c s d > 0 sao cho h (1.1)
luôn có nghi m duy nh t trong kho ng [t0 − d, t0 + d].
Đ nh lý 1.1.2 (T n t i nghi m toàn c c). Gi s f (t, x) : R+ ⋅ Rn → Rn
là hàm liên t c theo t và th a mãn các đi u ki n sau:

∃M0, M1 sao cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1 ||x| |,

∀t ∈ R+, x ∈ Rn,

∃M2 sao cho f (t, x1) − f (t, x2) ≤ M2 x1 − x2 ,

∀t ∈ R+, x ∈ Rn.

Khi đó h (1.1) luôn t n t i nghi m duy nh t trên [0; +∞)
Đ i v i h tuy n tính

x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, ˙
x(t0) = x0, t0 ≥ 0,

(1.2)

trong đó A là ma tr n h ng s , g(t) : [0; ∞) → Rn là hàm kh tích thì h
(1.2) luôn có nghi m duy nh t cho b i công th c Cauchy sau:

x(t) = e

A

(t−t0

t

)

x 0+
t0

eA(t−t0)g(s)d(s).

Đ i v i không d ng

x(t) = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0, ˙
x(t0) = x0, t0 ≥ 0,

(1.3)

trong đó A(t) là hàm đo đư c ho c liên t c theo t và ||A(t)|| ≤ m(t),
v i m(t) là hàm kh tích và g(t) cũng là hàm kh tích thì h ( 1.3) cũng có nghi
m duy nh t. Tuy nhiên, nghi m c a h này không bi u di n theo công th c
Cauchy như h tuy n tính mà thông qua ma tr n nghi m cơ
b n Φ(t, s) c a h thu n nh t

x(t) = A(t)x(t), ˙
7

(1.4)


nghi m c a h (1.3) đư c cho b i
t

x(t) = Φ(t, t0)x0 +

Φ(t, s)g(s)d(s),

(1.5)

t0

trong đó Φ(t, s) là ma tr n nghi m cơ b n c a h (1.4) th a mãn h phương
trình ma tr n

d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,

dt
Φ(t, t) = I.
1.2

(1.6)

Lý thuy t n đ nh Lyapunov

Trong ph n này, lu n văn trình bày m t s khái ni m, đ nh lý cơ b n
v tính n đ nh c a h phương trình vi phân tuy n tính và phi tuy n, và nghiên
c u v tính n đ nh c a chúng b ng phương pháp hàm Lyapunov đ ng th i
đưa ra m t s tiêu chu n đánh giá tính n đ nh c a h tuy n tính.
1.2.1

Các khái ni m v

n đ nh

Xét m t h th ng mô t b i phương trình vi phân
x = f (t, x(t)), t ≥ 0, ˙
x(t0) = x0, x ∈ Rn, t0 ≥ 0,
trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ tr ng thái c a h f (t, x(t)) : R+ ⋅ Rn → Rn.
Gi s hàm f (t, x(t)) là hàm th a mãn các đi u ki n sao cho nghi m c a
bài toán Cauchy (1.7) v i đi u ki n ban đ u x(t0) = x0, t0 ≥ 0 luôn có
nghi m. Khi đó d ng tích phân c a nghi m đư c cho b i công th c
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.

t0

Đ nh nghĩa 1.2.1. Nghi m không c a h (1.7) đư c g i là n đ nh n u
v i m i s ε > 0, t0 ≥ 0, t n t i δ = δ(t0, ε) > 0 sao cho x(t0) = x0 th a
mãn ||x0|| < δ thì ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0.

Đ nh nghĩa 1.2.2. Nghi m không c a h (1.7) đư c g i là n đ nh ti m
c n n u nó là n đ nh và t n t i m t s δ > 0 sao cho ||x0|| < δ thì

lim ||x(t)|| = 0.

t→∞

8

(1.7)


Đ nh nghĩa 1.2.3. Nghi m không c a h (1.7) đư c g i là n đ nh mũ
n u t n t i các h ng s α > 0, K > 0 sao cho m i nghi m c a h (1.7)
v i x(t0) = x0 th a mãn

||x(t)|| ≤ K.e

−
)
α(t−t0 ||x

0

||, ∀t ≥ t0.

Đ ng n g n thay vì nói h (1.7) là n đ nh ta nói nghi m 0 c a h là
n đ nh.
Ví d 1.2.1. Xét tính n đ nh c a phương trình vi phân

x(t) = ax(t), ˙

t ≥ 0,

v i x(t0) = x0.
Ta có nghi m x(t) c a phương trình trên cho b i

x(t) = eatx0,

t ≥ 0.

N u a < 0 h đã cho n đ nh ti m c n và n đ nh mũ.
N u a = 0 thì h là n đ nh.
1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov

Trong ph n này, đ i v i các h trong không gian th c chúng ta s nghiên
c u tính n đ nh c a chúng b ng phương phương pháp hàm Lyapunov
(phương pháp th 2 Lyapunov) là m t phương pháp đư c áp d ng nhi u
trong vi c nghiên c u đ nh tính các h phương trình vi phân nh t là các h
phi tuy n.
Xét h phương trình vi phân phi tuy n d ng

x(t) = f (x(t)), ˙

f (0) = 0,

t ∈ R+ .

Xét hàm s V (x) : Rn → R đư c g i là xác đ nh dương n u
a) V (x) ≥ 0 v i m i x ∈ Rn.
b) V (x) = 0 khi và ch khi x = 0.
Đ nh nghĩa 1.2.4. Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R, D là lân c n m tùy ý c a
0, g i là hàm Lyapunov c a h (1.8) n u
9

(1.8)


a) V (x) là hàm kh vi liên t c trên D.
b) V (x) là hàm xác đ nh dương.
c) Df V (x) : = ∂V f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D.
∂x
Hàm V (x) g i là hàm Lyapunov ch t n u nó là hàm Lyapunov và thêm
vào đó b t đ ng th c trong đi u ki n (c) là th c s âm v i m i x n m
ngoài lân c n 0 nào đó, chính xác hơn:
d) ∃c > 0 : Df V (x) < 0, x ∈ D ∴ {0}.
B ng cách l a ch n hàm Lyapunov, ta có đ nh lý sau.
Đ nh lý 1.2.1. N u h (1.8) có hàm Lyapunov thì n đ nh. Hơn n a, n u
hàm Lyapunov đó là ch t thì h là n đ nh ti m c n.
Ví d 1.2.2. Xét tính n đ nh c a h phương trình vi phân

x1 = −x2x1,

2
˙
2
x2 = x x2.
1
˙
L y hàm V (x) = x2 + x2. Ta có V (x) kh vi liên t c trên R, xác đ nh
1

2

dương v i m i x thu c R.
Vì V˙ (x) = 2x1x1 + 2x2x2 = −2x2x2 + 2x2x2 = 0.
12
12
˙
˙
V y nghi m 0 là n đ nh.
Ví d 1.2.3. Xét tính n đ nh c a h phương trình vi phân sau

Xét

x1 = −2x2 + x2x3 − x3
˙
x2 = x1 − x1x3 − x3 ˙
2
x = x1x2 − x3.
 ˙3
3

1

V (x) = x2 + 2x2 + x2,
1

2

3

V (x) th a mãn V (x) ≥ 0, V (x) kh vi liên t c.
Ta có

V˙ (x) = 2x1x1x2 + 4x2x2 + 2x3x3
˙
˙
˙
4
= −4x1x2 + 2x1x2x3 − 2x 1

+ 4x1x2 − 4x1x2x3 − 4x4 + 2x1x2x3 − 2x4,


= −2(x1 4 + 2x4 + x4) < 0.
2

3

10

2

3


V y nghi m 0 c a h
n đ nh ti m c n.
Đ i v i h tuy n tính không d ng (1.7) thì hàm Lyapunov đư c đ nh nghĩa
tương t cho hàm hai bi n V (t, x). Trư c h t ta xét l p hàm Κ là
t p các hàm tăng ch t a(.) : R+ → R+ v i a(0) = 0.
Hàm V (t, x) : R+ ⋅ D → R g i là hàm Lyapunov n u:
a) V (t, x) là hàm xác đ nh dương theo nghĩa

∀(t, x) ∈ R+ ⋅ D.

∃a(.) ∈ Κ : V (t, x) ≥ a(||x||),

b) Df V (t, x) = ∂V + ∂V f (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ ⋅ D.
∂t
∂x
N u hàm Lyapunov th a mãn thêm đi u ki n

∀ (t, x) ∈ R+ ⋅ D.

c) ∃ a(.) ∈ Κ : V (t, x) ≤ a(||x||),

d) ∃ γ(.) ∈ Κ : Df V (t, x) ≤ −γ(||x||), ∀ t ∈ R+, x ∈ D ∴ {0}.
thì ta g i là hàm Lyapunov ch t.
Đ nh lý 1.2.2. N u h phi tuy n không d ng (1.7) có hàm Lyapunov thì
h là n đ nh. N u hàm là ch t thì h
n đ nh ti m c n.

1.2.3

M t s tiêu chu n cơ b n v tính n đ nh

Xét h tuy n tính

x(t) = Ax(t), ˙

t ≥ 0,

trong đó A là ma tr n c p n ⋅ n. Nghi m c a h (1.9) v i tr ng thái ban
đ u x(t0) = x0 cho b i công th c Cauchy:

x(t) = eA(t−t0)x0,

t ≥ t0 .

Đ nh lý 1.2.3 (Công th c Sylvester). Cho A là ma tr n n ⋅ n chi u v i
các giá tr riêng λ1; λ2; . . . ; λn khác nhau. Cho f (λ) là hàm đa th c b c n
có d ng

n

f ( λ) =
k=0

11

Ckλk.

(1.9)


Khi đó

Zkf (λk)

f (A) =
trong đó Zk đư c xác đ nh b i

Zk = (Aλ−−1λ ))......((A −−λk−1I)(A − λλk+1I))......((λA − λnI) λI

λk λk−1)(λk − k+1

1

(k

k

(1.10)

− λn )

Đ nh lý dư i đây cho m t tiêu chu n đ u tiên v tính n đ nh c a h

(1.9), thư ng g i là tiêu chu n n đ nh đ i s Lyapunov.
Đ nh lý 1.2.4. H (1.9) là n đ nh ti m c n khi và ch khi ph n th c c a
t t c các giá tr riêng c a A là âm, t c là

Reλ < 0, v i m i λ ∈ λ(A).
Ch ng minh. T lý thuy t ma tr n và theo công th c sylvester áp d ng
λ
cho f (λ) = e , ta có
q

eAt =

k=1

α 1 λ
k− )e tk,

(Zk1 + Zk2t + ... + Zkαk t

trong đó λk là giá tr riêng c a A, αk là ch s mũ b i c a các λk trong
phương trình đa th c đ c trưng c a A, Zki là các ma tr n h ng s xác
đ nh b i h (1.10). Do đó, ta có đánh giá sau
q

||eAt|| ≤

αk

k=1 i=1

q

λ

ti−1eRe kt||Zki|| =

αk

k=1 i=1

λ

ti−1eRe kt||Zhi||.

Vì Reλk < 0 nên ||x(t)|| → 0 khi t → +∞. Ngư c l i n u h là n đ nh
mũ, khi đó m i nghi m x(t), x(t0) = x0 c a h (1.9) th a mãn đi u ki n

||x(t)|| ≤ µ||x0||e

−
)
δ(t−t0 ,

(1.11)

v i µ > 0, δ > 0 nào đó. Bây gi , ta gi s ph n ch ng r ng có m t

λ0 ∈ λ (A) sao cho Reλ0. Khi đó v i véc tơ riêng x0 ng v i λ0 này ta có
Ax0 = λ0x0,
và khi đó nghi m c a h
có

λ

ng v i x0(t) = x0 là x0(0) = x0e 0t, khi đó ta
λ

||x0(t)|| = ||x0||eRe 0t.
12


V y nghi m x0(t) này ti n t i +∞ khi t → ∞, mâu thu n v i đi u ki n
(1.11). Đ nh lý đư c ch ng minh.
Ví d 1.2.4. Xét tính n đ nh c a h

x˙1 = −x1 + 3x2
x˙2 = 1x1 − 2x2
4
Ta có phương trình đ c trưng
3
−1 − λ
−2 − λ = 0
1
4
suy ra λ1 = −5 ; λ2 = −1 V y h đã cho n đ nh ti m c n.
. 2
2
Ví d 1.2.5. Xét tính n đ nh c a h

x˙ = x1 − x2 + x3
 1
x˙˙ = x1 + x2 2−−3x3 3
 2
3x

x3 = x1 − 5x
L p phương trình đ c trưng

λ−1
3
1
f (λ) = −1 λ − 1
3
−1
5
λ+3
f (λ) = λ3 + λ2 − 18λ + 12 = 0.

= 0,

Vì f (0) = 12 > 0; f (1) = −5 < 0, mà hàm f (λ) liên t c trên [0; 1] nên có
ít nh t m t nghi m thu c kho ng (0; 1). Như v y phương trình đ c trưng có ít
nh t m t nghi m v i ph n th c l n hơn 0 nên h đã cho không n đ nh.
Tính n đ nh c a h (1.9) có quan h tương đương v i s t n t i nghi m c a m
t phương trình ma tr n, thư ng g i là phương trình Lyapunov d ng

AT X + XA = −Y,

(1.12)

trong đó X, Y là các ma tr n d ng (n ⋅ n) chi u và g i là c p nghi m c a

(1.12).
Xét h (1.9), t gi ta nói ma tr n A là n đ nh n u ph n th c t t c các giá tr
riêng c a A là âm. Theo đ nh lý 1.2.4, đi u này tương đương v i h (1.9) là n

đ nh ti m c n.
13


Đ nh nghĩa 1.2.5. Ma tr n A đư c g i là xác đ nh dương (A ≥ 0; A > 0)
n u:
i) Ax, x ≥ 0,
ii) Ax, x > 0,

∀x ∈ Rn,
x = 0.

trong đó x, y là tích vô hư ng c a hai véctơ x = (x1, x2, ..., xn) và y =
(y1, y2, ..., yn) xác đ nh b i
n

x, y =
i=1

x iy i .

Ta có tiêu chu n sau
Đ nh lý 1.2.5 (Sylvester condition). Ma tr n A c (n ⋅ n) là xác đ nh
dương n u

det(Di) > 0, i = 1; 2; . . . ; n
trong đó

a11 a12 a13
a21 a22 a23 ; . . . ; Dn = A.

a31 a32 a33

D1 = a11; D2 = a11 a12 ; D3 =
a21 a22

Đ nh lý 1.2.6. Ma tr n A là n đ nh khi và ch khi phương trình (1.12)
có c p nghi m X, Y là ma tr n đ i x ng, xác đ nh dương.
Ch ng minh. Gi s phương trình (1.12) có nghi m là ma tr n X > 0 v i

Y > 0. V i x(t) là m t nghi m tùy ý c a (1.9) v i x(t0) = x0, t0 ∈ R+,
ta xét hàm s
V (x(t)) = Xx(t), x(t) , ∀t ≥ t0.
Ta có

d V (x(t)) = Xx(t), x(t) + Xx(t), x(t)
dt
˙

˙

= (XA + AT X)x, x
= − Y x(t), x(t) .
Do đó

t

V (x(t)) − V (x(t0)) = −

Y x(s), x(s) ds.
t0

14


Vì X là xác đ nh dương nên V (x(t)) ≥ 0, v i m i t ≥ t0 và do đó
t

Y x(s), x(s) ds ≤ V (x0) = Xx0, x0 .

t0

M t khác, vì Y là xác đ nh dương nên t n t i α > 0 sao cho

Y x(t), x(t) ≥ α||x(t)||2, ∀x(t) ∈ Rn,
do đó

t

Cho t → +∞ ta đư c

t0

||x(s)||2ds ≤ Xxα, x0 , 0
∞

||x(s)||ds < +∞.

(1.13)

t0

Ta s ch ng minh r ng Reλ < 0 v i m i λ ∈ λ(A). Th t v y gi s có
m t s λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. L y x0 ∈ Rn ng v i giá tr riêng λ0 này
λ

thì nghi m c a h (1.9) s cho b i x1(t) = e 0tx0 và do đó
∞

t0

∞

2

||x1 (t)|| dt =

t0

e2Reλ0tdt = +∞,

vì Reλ > 0, vô lý v i đi u ki n (1.13).
Ngư c l i, gi s A là ma tr n n đ nh, t c là Reλ < 0 v i m i λ ∈ λ(A). V i ma
tr n Y đ i x ng xác đ nh dương, xét phương trình ma tr n sau
đây

Z(t) = AT Z(t) + Z(t)A, t ≥ t0, ˙
Z(t0) = Y.
Nh n th y h (1.14) có m t nghi m riêng là

Z(t) = eA tY eAt.

Đt

t

X=

Z(s)ds.

t0

Vì A là ma tr n n đ nh nên d ki m tra đư c r ng tích phân
∞

X=

Z(s)ds < ∞,

t0

15

(1.14)


là xác đ nh và do Y đ i x ng nên X cũng là đ i x ng. M t khác, l y tích
phân hai v phương trình (1.14) t t đ n t0 ta có

Z(t) − Y = AT X(t) + X(t)A, ∀t ≥ t0.
Cho t → +∞ đ ý r ng Z(t) → 0 khi t → ∞ và vì A là n đ nh, nên
ta đư c

−Y = AT X + XA,
hay là các ma tr n X và Y th a mãn phương trình (1.12). Ta c n ch ng
minh X là ma tr n xác đ nh dương. Th t v y,
∞

Xx, x =

Y eAT tx, eAtx dt.

t0

Do Y > 0 và eAt là không suy bi n nên

Xx, x > 0 n u x = 0.
V y đ nh lý đư c ch ng minh.
Ví d 1.2.6. Cho ma tr n

01
A = −6 −5

và X =

p1 p 2 p2
p3

là nghi m c a phương trình Lyapunov d ng AT X + XA = −I2. Xét tính
n đ nh c a ma tr n A.
Ta có

0 −6
1 −5

01
−1 0
−6 −5 = 0 −1 ,

p1 p 2 + p1 p2
p2 p 3
p2 p3

−6p2
−6p3
p1 − 5p2 p2 − 5p3
−12p2
p1 − 5p2 − 6p3

+ −6p2 p1 − 5p2
−6p3 p2 − 5p3
p1 − 5p2 − 6p3
2p2 − 10p3

= −1 −1 , 0
0
= −1 −1 , 0
0

suy ra

p2 = 12; p3 = 60; p1 = 67.

1 7
1
60
6



Vì

67

1

X=

60 12


1 7

12 60
là ma tr n đ i x ng xác đ nh dương nên theo đ nh lý 1.2.6 ma tr n A là
ma tr n n đ nh.
Ví d 1.2.7. Cho ma tr n

A = −1 −1
2 −4

và X =

p1 p2 ,
p2 p3

là nghi m c a phương trình Lyapunov d ng AT X + XA = −I2. Xét tính
n đ nh c a ma tr n A.
Ta có

−1 2
−1 4

p1 p2 + p1 p2
p2 p3
p2 p3

−1 −1 = −1 0 ,
24

−p1 + 2p2 −p2 + 2p3 + −p1 + 2p2 −p1 + 4p2
−p1 + 4p2 −p2 + 4p3
−p2 + 2p3 −p2 + 4p3

−2p1 + 4p2
− p1 + 3 p 2 + 2 p3
suy ra



− p1 + 3 p 2 + 2 p3
−p2 + 8p3

0 −1

= −1 −1 , 0
0

= −1 −1 , 0
0

−2p1 + 4p2 = −1 
−p1 2++3p2 3+= p31= 0 4
8p
−2p
−

suy ra p1 = −3; p2 = 1; p3 = 0. hay
2
2
 3 1
−
X =  12 2 .
 

20
Vì X là ma tr n đ i x ng xác đ nh âm nên A không là ma tr n n đ nh.


17


1.3

Bài toán n đ nh hóa

Cùng v i s phát tri n c a lý thuy t đi u khi n h đ ng l c, bài toán
n đ nh hóa cũng đư c quan tâm nghiên c u và tìm đư c nhi u ng d ng
trong th c ti n. D a trên các k t qu v lý thuy t n đ nh Lyapunov ngư i ta tìm l
i gi i, cũng như các ng d ng cho bài toán n đ nh hóa c a h phi tuy n v i th i
gian liên t c. Ph n này s trình bày các v n đ cơ s c a bài toán n đ nh hóa
và m t s k t qu ch n l c v tính n đ nh hóa.
Xét h đi u khi n phi tuy n

x(t) = f (t, x(t), u(t)), ˙

t ≥ 0,

(1.15)

trong đó, x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, f (t, x(t), u(t)) : R+ ⋅ Rn ⋅ Rm → Rn, f (t, 0, 0) =
0, ∀t ≥ 0.
Đ nh nghĩa 1.3.1. H (1.15) g i là n đ nh hóa đư c n u t n t i hàm
đi u khi n ngư c u(t) = h(t, x(t)), h(.) : Rn → Rm, h(0) = 0 sao cho
nghi m không c a h đóng

x(t) = f (t, x(t), u(t)), ˙
x(t0) = x0,

t ≥ 0,

(1.16)

x(t) = Ax(t) + Bu(t), ˙

t ≥ 0,

(1.17)

là n đ nh ti m c n.
Đ i v i h tuy n tính

đư c g i là n đ nh hóa đư c n u t n t i đi u khi n ngư c

u(t) = Kx(t), K ∈ Rn⋅m,
sao cho h x(t) = (A + BK)x(t) là n đ nh ti m c n. ˙
Như v y, bài toán n đ nh hóa h tuy n tính (1.17) đư c đưa thành bài
toán tìm ma tr n K ∈ Rn⋅m sao cho ma tr n (A + BK) là n đ nh, t c
là ph n th c c a t t c các giá tr riêng c a (A + BK) là âm.
Ta có tiêu chu n đ h (1.17) là n đ nh hóa đư c như sau.

18


Đ nh lý 1.3.1. H (1.17) là n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n đ i
x ng P > 0, Q > 0 th a mãn phương trình Riccati phi tuy n

AT P + P A − P BBT P + Q = 0,
và mà tr n n đ nh hóa là K = −1BT P , t c là đi u khi n n đ nh hóa là
2
u(t) = Kx(t).
Ch ng minh. Xét hàm Lyapunov cho h đóng V (x(t)) = P x(t), x(t) .
Ta có

V˙ (x(t)) = 2 P (x(t)), x(t) ˙
= 2 P (Ax(t) + Bu(t)), x(t) = 2 P
Ax(t) + P Bu(t), x(t)
= 2 P Ax(t), x(t) + 2 P Bu(t), x(t) v i u(t) = −1 BT P x(t)
2
T
T
= (A P + P A)x(t), x(t) − P BB P x(t), x(t)
= (AT P + P A − P BBT P )x(t), x(t)
= − (Qx(t), x(t))
≤ −λmin(Q) x(t) 2.
Vì Q > 0 nên λmin(Q) > 0 và ta có V˙ (x(t)) < 0.
V y theo đ nh lý 1.2.4 h đã cho n đ nh ti m c n.
Ví d 1.3.1. Xét tính n đ nh c a h

x1(t) = x1(t) + 2x2(t) + 2u(t), ˙
x2(t) = x1(t) + 3x2(t) + u(t),
˙
4
Theo đ nh lý 1.3.1 h (1.18) là n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n
đ i x ng P > 0, Q > 0 th a mãn

AT P + P A − P BBT P + Q = 0.
Ta có

A=

12
3 ;B = 2 .

14
1
9

1

(1.18)


Ta tìm đư c nghi m

P = 1 0 ; Q= 2 0 .
02

01

Th t v y, ta có

11

AT P =

23

12
4

10 =
02

23,

2

12
12
PA = 1 0
02

23

=
4

23,

2

2 (1 2) 1 0

P BBT P = 1 0
02

1

02

= 44,
44
suy ra AT P + P A − P BBT P + Q = 0.

V y h đã cho là n đ nh ti m c n v i ma tr n n đ nh hóa là

K = −1 (−1 −1)
2
Ví d 1.3.2. Xét tính n đ nh c a h





x (t) = 2x (t) + 2x (t) + x (t) + 2u (t) + u (t)
˙

1

2

x2(t) = x1(t) + 2

3

3

1



˙1

2

1x (t) + u (t)

x = 3x (t) + x (t) + 2x (1t) + u (t) + 2u (t).
1
2
3
1
˙3

2

Theo đ nh lý 1.3.1 h (1.3.2) là n đ nh hóa đư c n u t n t i ma tr n
đ i x ng P > 0, Q > 0 th a mãn

AT P + P A − P BBT P + Q = 0.
Ta có



2 2 1

A = 1 0 1 ; B =



21


312

2
0

2

10 .
12