Phương pháp hàm lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có thể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ LANH
PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV
GIẢI BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Lanh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp hàm
Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ”
được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những

thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Lanh
Mục lục
Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Cơ sở toán học. . . . . . . . . . . 4
1.1. Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Phương trình vi phân có trễ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Bài toán ổn định 8
1.2.1. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Một số bổ đề bổ trợ 17
Chương 2. Tính ổn định phương trình vi phân có trễ . . 19
2.1. Ổn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ 19
2.2. Ổn định phương trình vi phân phi tuyến có trễ 26
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . 34
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . 35
Danh mục ký hiệu
R trường các số thực;
R
+
tập các số thực không âm;
R
n
không gian Euclide n chiều
trên trường số thực;
D lân cận mở của 0 trong R

n
;
M
n×m
(R) không gian các ma trận hệ số
thực cỡ n × m;
C[a, b] không gian các hàm nhận giá trị thực
liên tục trên đoạn [a, b];
C
1
[a, b] không gian các hàm nhận giá trị thực
khả vi liên tục tới cấp 1 trên đoạn [a, b];
C = C([a, b], R
n
) không gian các hàm nhận giá trị
thực trong R
n
liên tục trên đoạn [a, b];
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A;
I ma trận đơn vị;
λ(A) tập tất cả các giá trị riêng của A;
λ
min
(A) phần thực nhỏ nhất giá trị riêng của A
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân có nhiều ý nghĩa thực tiễn

và lý thuyết vì có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các bài toán xuất
phát từ thực tế, và đòi hỏi phải sử dụng các lý thuyết và công cụ toán học
hiện đại trong một số lĩnh vực như giải tích, phương trình vi tích phân,
giải tích hàm, giải tích đa trị, lý thuyết ma trận, giải tích phổ các toán tử,
thuật toán số giải các phương trình điều khiển và giải các bài toán tối ưu
.Vấn đề nghiên cứu các tính ổn định bằng phương pháp hàm Lyapunov
vẫn được quan tâm nghiên cứu và nhận được nhiều kết quả lý thú và sâu
sắc.
Vì sự hữu hiệu và quan trọng của phương pháp hàm Lyapunov giải
bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ, tôi đã chọn được đề tài:
“Phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn định hệ phương
trình vi phân có trễ” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình
bậc đào tạo Thạc sĩ Toán học của mình.
Luận văn được cấu trúc thành 02 chương. Chương 1 được dành để
đưa ra một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định hệ phương trình vi
phân. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày phương pháp hàm
Lyapunov áp dụng vào xét tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi
phân có trễ.
2
2. Mục đích vi nghiên cứu
- Giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov và ứng dụng giải bài toán ổn định
phương trình vi phân có trễ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, phương pháp hàm Lyapunov giải bài toán ổn
định phương trình vi phân có trễ.
- Phương pháp hàm Lyapunov và các điều kiện cần và đủ giải bài toán ổn
định phương trình vi phân có trễ.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích
nghiên cứu.

- Lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết ổn định.
- Phương pháp đại số tuyến tính, lý thuyết ma trận.
5. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống khoa học về bài toán ổn định phương trình
vi phân có trễ: Phương pháp và kết quả cơ sở về bài toán ổn định.
3
Chương 1
Cơ sở toán học
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở chuẩn bị
dùng cho các phần sau. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu một số không gian
hàm, các khái niệm liên quan tới hệ phương trình vi phân thường và có
trễ, tiếp theo chúng tôi trình bày bài toán ổn định của hệ phương trình vi
phân, mục cuối chúng tôi giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov là một
trong những công cụ hữu hiệu để xét tính ổn định của hệ phương trình vi
phân. Nội dung chương này được lấy từ các tài liệu [1, 2, 3, 4].
1.1. Phương trình vi phân
1.1.1. Phương trình vi phân thường
• Một số không gian hàm
a) Không gian R
n
Không gian tuyến tính thực R
n
với chuẩn
||x|| =

n

i=1
x
2

i

1/2
.
Khi đó R
n
là không gian Banach, nếu ta trang bị tích vô hướng
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
thì
||x|| =

x, y
4
và R
n
trở thành một không gian Hilbert.
b) Không gian M
n×m
gồm tất cả các ma trận A = (a
ij
), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤
j ≤ m cỡ n × m, trong đó a
ij

là các số thực. Chuẩn của ma trận A
xác định bởi
||A|| =

n

i=1
m

j=1
|a
ij
|
2

1/2
.
c) Xét không gian C[a, b] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định
và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với chuẩn
||x|| = sup
[a,b]
|x(t)|.
Khi đó C[a, b] là một không gian Banach thực.
d) Xét không gian C
1
[a, b] gồm tất cả các hàm số giá trị thực xác định
và khả vi liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với chuẩn
||x|| = sup
[a,b]
|x(t)| + sup

[a,b]
|x

(t)|.
Khi đó C
1
[a, b] cũng là một không gian Banach thực.
Ta cũng cần nhớ lại khái niệm một ma trận xác định dương hoặc xác định
âm dưới đây.
Định nghĩa 1.1. Ma trận M ∈ M
n×m
(R) gọi là xác định dương nếu
Mx, x > 0, ∀x = 0.
Điều kiện này tương đương với
∃C > 0 : Mx, x ≥ Cx
2
, ∀ x ∈ R
n
.
Ma trận M ∈ M
n×m
(R) gọi là xác định âm nếu
Mx, x < 0, ∀x = 0.
5
Điều kiện này tương đương với
∃C > 0 : Mx, x ≤ −Cx
2
, ∀ x ∈ R
n
.

• Xét phương trình vi phân





˙x(t) = f(t, x(t)), t ∈ I = [t
0
− d, t
0
+ d]
x(t
0
) = x
0
, x ∈ R
n
, t
0
≥ 0,
(1.1)
trong đó
f(t, x) : I × D −→ R
n
, D = {x ∈ R
n
: ||x − x
0
|| ≤ a}.
Ta nhắc lại định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1) như sau.

Định lý 1.1. (Picard-Linderl¨off) Giả sử hàm f(t, x) liên tục theo biến t
và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức là,
∃L > 0 : ||f(t, x
1
) − f (t, x
2
)|| ≤ L||x
1
− x
2
||, ∀x
1
, x
2
∈ D, ∀t ≥ 0.
Khi đó hệ (1.1) có duy nhất nghiệm trên đoạn [t
0
− d, t
0
+ d], trong đó
d > 0 và (t
0
, x
0
) ∈ I × D.
1.1.2. Phương trình vi phân có trễ
Trong mục này ta giả sử h là một số thực không âm, và kí hiệu
C = C([−h, 0], R
n
) = {ϕ : [−h, 0] −→ R

n
liên tục}
với chuẩn của hàm ϕ ∈ C là
||ϕ||
C
= sup
t∈[−h,0]
||ϕ(t)||.
6
Định nghĩa 1.2. Cho t
0
∈ R
n
, σ ≥ 0 và x ∈ C([t
0
− h, t
0
+ σ], R
n
), đặt
hàm x
t
xác định bởi
x
t
(s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0], t ∈ [t
0
, t
0
+ σ]

với chuẩn
||x
t
|| = sup
s∈[−h,0]
||x(t + s)||.
Khi đó, hàm x
t
thuộc không gian C và gọi là đoạn quỹ đạo trên đoạn [t−h, t]
của hàm x(·).
Cho hàm f : R
+
× C → R
n
. Xét phương trình vi phân có trễ dạng tổng
quát:
˙x(t) = f(t, x
t
). (1.2)
Các dạng hệ phương trình vi phân có trễ dạng (1.2) được mô tả bởi các
hệ:
˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h),
˙x(t) = Ax(t) +
t

t−h
Dx(s)ds,
˙x(t) = Ax(t) + f (t, x(t), x(t − h)),
˙x(t) = A(t)x(t) + D(t)x(t − h(t)),
· · · .

Ta có các khái niệm về nghiệm của phương trình (1.2) như sau.
Định nghĩa 1.3. Cho t
0
∈ R, ϕ ∈ C, ta nói x(t
0
, ϕ, f ) là một nghiệm của
phương trình vi phân có trễ (1.2) với hàm điều kiện ban đầu ϕ tại t
0
(hoặc
đơn giản, là một nghiệm đi qua điểm (t
0
, ϕ)) nếu
1) ∃σ > 0 sao cho x(t
0
, ϕ, f ) thỏa mãn (1.2) trên [t
0
− h, t
0
+ σ);
7
2) x
t
0
(t
0
, ϕ, f ) = ϕ.
Dưới đây là điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
(1.2).
Định lý 1.2. Xét phương trình vi phân (1.2). Giá sử:
i) Vơi mọi h > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho ϕ ≤ h :

f(t, ϕ) ≤ δ, ∀(t, ϕ) ∈ R
+
× C;
ii) f(t, ϕ) liên tục theo t ∈ R
+
và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo
ϕ : ∀h > 0, ∃β > 0 :
f(t, ϕ
1
) − f (t, ϕ
2
) ≤ βϕ
1
− ϕ
2
, ∀ϕ
i
∈ C, ϕ
i
 ≤ h, i = 1, 2;
iii) f(t, ϕ) ≤ γ(ϕ), (t, ϕ) ∈ R
+
× C trong đó hàm γ(r) ≥ 0 liên
tục, không giảm thỏa mãn điều kiện
lim
R→0
R

0
dr

γ(r)
= +∞.
Khi đó hệ (1.2) có nghiệm duy nhất x(t, ϕ) trên R
+
.
1.2. Bài toán ổn định
1.2.1. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân
Xét bài toán Cauchy sau





˙x(t) = f(t, x(t)), t ≥ 0
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0,
(1.3)
8
trong đó x(t) ∈ R
n
là trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm f : R
+
×R
n
−→

R
n
cho trước.
Ta giả sử với các điều kiện của hàm f hệ (1.3) luôn có nghiệm duy nhất
trên toàn R
+
. Ta có các khái niệm về sự ổn định của hệ (1.3) như sau.
Định nghĩa 1.4. Nghiệm x(t) của hệ (1.3) được gọi là ổn định nếu
∀, ∀t
0
≥ 0, ∃δ = δ(, t
0
) > 0 sao cho với bất kì nghiệm y(t), y(t
0
) = y
0
thỏa mãn ||y
0
− x
0
|| < δ thì điều sau được thỏa mãn
||y(t) − x(t)|| < , ∀t ≥ t
0
.
Từ định nghĩa ta thấy rằng, nghiệm x(t) là ổn định nếu mọi nghiệm
khác của hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của nghiệm x(t)
thì vẫn đủ gần x(t) kể từ một khoảng thời gian t
0
nào đó trở đi.
Định nghĩa 1.5. Nghiệm x(t) của hệ (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận

nếu
1) nghiệm x(t) là ổn định;
2) ∃δ > 0 sao cho ||y
0
− x
0
|| < δ thì
lim
t→+∞
||y(t) − x(t)|| = 0.
Như vậy, nghiệm của hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với
nghiệm y(t) bất kì mà có giá trị ban đầu y
0
gần với giá trị ban đầu x
0
thì
khi thời gian t → +∞ nghiệm y(t) sẽ dần tới nghiệm x(t).
Ta thấy rằng, qua phép biến đổi tuyến tính





x − y → z
t − t
0
→ τ,
9
khi đó hệ (1.3) trở thành
˙z(τ ) = F (τ, z), (1.4)

với F (τ, 0) = 0, khi đó, với nghiệm x(t) tùy ý của hệ (1.3) sẽ trở thành
nghiệm 0 của hệ (1.4), và như vậy, tính ổn định của một nghiệm x(t) nào
đó của hệ (1.3) sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của
hệ (1.4). Để đơn giản, ta nói nghiệm 0 của hệ (1.4) ổn định nghĩa là hệ
(1.4) là ổn định. Do đó, từ bây giờ, ta sẽ giả thiết hệ (1.3) luôn có nghiệm 0,
tức là f(t, 0) = 0, t ∈ R
+
. Tới đây, ta có khái niệm ổn định đối với nghiệm
0 như sau.
Định nghĩa 1.6. Hệ (1.3) được gọi là ổn định nếu ∀, ∀t
0
≥ 0, ∃δ =
δ(, t
0
) > 0 sao cho với bất kì nghiệm x(t), x(t
0
) = x
0
thỏa mãn ||x
0
|| < δ
thì điều sau được thỏa mãn
||x(t)|| < , ∀t ≥ t
0
.
Hệ (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu
1) hệ là ổn định;
2) ∃δ > 0 sao cho ||x
0
|| < δ thì

lim
t→+∞
||x(t)|| = 0.
Ta có khái niệm về sự ổn định mũ dưới đây.
Định nghĩa 1.7. Hệ (1.3) gọi là ổn định mũ nếu tồn tại M > 0 và δ > 0
sao cho với bất kì nghiệm x(t), x(t
0
) = x
0
của hệ thỏa mãn
||x(t)|| ≤ Me
−α(t−t
0
)
, ∀t ≥ t
0
.
10
Định nghĩa này cho thấy rằng, nghiệm 0 của hệ là ổn định tiệm cận và
mọi nghiệm bất kì của hệ tiến tới nghiệm 0 nhanh với tốc độ theo hàm
mũ.
Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau.
Ví dụ 1.1. Xét bài toán sau trong R,





˙x(t) = ax, t ≥ 0
x(t

0
) = x
0
, t
0
≥ 0.
Ta thấy rằng, nghiệm của hệ này cho bởi
x(t) = x
0
e
at
, t ≥ 0.
Bằng các tính toán đơn giản, ta có thể kết luận. Hệ là ổn định (cũng tiệm
cận và ổn định mũ) nếu a < 0. Nếu a = 0 thì hệ là ổn định. Hơn nữa, ta
có thể chọn được số δ không phụ thuộc vào t
0
, do đó, hệ cũng ổn định đều
(và cũng ổn định tiệm cận đều).
Ví dụ 1.2. Xét hệ sau





˙x(t) = a(t)x(t), t ≥ 0
x(t
0
) = x
0
, t

0
≥ 0,
trong đó a là hàm số liên tục từ R
+
vào R.
Dễ thấy nghiệm của hệ trên xác định bởi
x(t) = x
0
e
t

t
0
a(s)ds
.
Như vậy, nếu tích phân
t

t
0
a(s)ds là bị chặn bởi số µ(t
0
) < +∞ nào đó,
nghĩa là,
t

t
0
a(s)ds ≤ µ(t
0

) < +∞
11
thì hệ là ổn định. Và nếu số µ(t
0
) chọn được không phụ thuộc vào t
0
thì
hệ là ổn định đều. Hơn nữa, nếu
lim
t→+∞
t

t
0
a(s)ds = −∞
thì hệ là ổn định tiệm cận.
Các kết quả cơ sở về tính ổn định cũng như các tiêu chuẩn ổn định của
hệ phương trình vi phân tuyến tính đã được trình bày kĩ trong phần 2 của
[1, 3]. Ta nhớ lại một kết quả về tiêu chuẩn ổn định của hệ tuyến tính sau,
(xem [1] tr. 299 -301 hoặc [2] tr. 110)
Định lý 1.3. Cho hệ tuyến tính





˙x(t) = Ax(t), t ≥ 0,
x(t
0
) = x

0
, t
0
≥ 0,
(1.5)
trong đó A ∈ M
n×n
(R). Khi đó, hệ (1.5) là ổn định tiệm cận khi và chỉ
khi mọi giá trị riêng của ma trận A có các phần thực là âm, tức là
Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A).
Xét hệ phương trình vi phân





˙x(t) = f(t, x(t)), t ≥ 0,
x(0) = x
0
,
(1.6)
trong đó f : R
+
×R
n
−→ R
n
là hàm phi tuyến cho trước, x(t) ∈ R
n
là trạng

thái của hệ tại thời điểm t, và giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f(t, 0) = 0
với mọi t ≥ 0.
Đặt K là tập tất cả các hàm số a(·) liên tục, tăng nghiêm ngặt từ R
+
vào R
+
và thỏa mãn a(0) = 0.
12
Định nghĩa 1.8. Cho hàm số V (t, x) : R
+
× R
n
−→ R. Hàm số
˙
V
f
(t, x(t)) =
∂V
∂t
+
∂V
∂x
f(t, x(t)) (1.7)
gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x(t)) dọc theo nghiệm x(t)
của (1.6).
Sau đây ta đưa ra định nghĩa hàm Lyapunov và các kết quả về xét tính
ổn định dựa vào hàm Lyapunov cho hệ (1.6).
Định nghĩa 1.9. Hàm V (t, x) khả vi liên tục theo (t, x) và V (t, 0) =
0, ∀ t ≥ 0 gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.6) nếu các điều kiện sau được
thỏa mãn:

i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a(·) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
;
ii) Đạo hàm
˙
V
f
(t, x) ≤ 0 với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.6);
Nếu hàm V (t, x) thỏa mãn thêm hai điều kiện:
iii) ∃b(·) ∈ K : V (t, x(t)) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R
+
× R
n
;
iv) ∃c(·) ∈ K :
˙
V
f
(t, x(t)) ≤ −c(||x||), với mọi nghiệm x(t) của hệ
(1.6), thì ta gọi V (t, x) là hàm Lyapunov chặt.
Ví dụ 1.3. Xét hệ phương trình





˙x(t) = −(x − 2y)(1 − x

2
− 3y
2
)
˙y(t) = −(y + x)(1 − x
2
− 3y
2
).
Khi đó hàm V (t, x, y) = x
2
+ 2y
2
+ 2t là hàm Lyapunov của hệ đã cho.
Thật vậy, rõ ràng V (t, x, y) xác định dương, và tồn tại hàm a(t) = 2t là
hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên R. Hơn nữa, đạo hàm theo t ta có
˙
V (t) = V

t
+ V

x
. ˙x(t) + V

y
. ˙y(t).
13
Từ đó,
˙

V (t) = 2 + 2x(2y − x)(1 − x
2
− 3y
2
) − 4y(y + x)(1 − x
2
− 3y
2
)
= 2 − 2(x
2
+ 2y
2
)(1 − x
2
− 3y
2
) ≤ 0 với x, y đủ nhỏ.
Định lý 1.4. Cho hệ phương trình vi phân như trong (1.6), khi đó:
1) Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov thì hệ đó là ổn định;
2) Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov chặt thì hệ đó là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. 1) Giả sử trái lại hệ (1.6) không ổn định, khi đó tồn tại các
số 
1
> 0, t
0
> 0 và với mọi δ > 0 tồn tại nghiệm x
1
(t) mà x
1

(t
0
) = x
0
và
một số T > t
0
sao cho
||x
0
|| < δ ⇒ ||x
1
(T )|| ≥ 
1
.
Lấy δ > 0 đủ nhỏ sao cho V
δ
(0) ⊆ D. Theo giả thiết hàm V là hàm
Lyapunov của hệ nên V (t
0
, ·) liên tục và V (t
0
, 0) = 0, do đó ta có thể chọn
x
0
∈ V
δ
(0) sao cho
V (t
0

, x
0
) < a(
1
).
Do V là hàm Lyapunov nên
˙
V
f
V (t, x) ≤ 0
nên ta có
V (t, x
1
(t)) ≤ V (t
0
, x
0
), ∀t ≥ t
0
.
Do đó
a(
1
) ≤ a(||x
1
(t)||) ≤ V (T, x
1
(T )) ≤ V (t
0
, x

0
) < a(
1
)
đây là điều vô lí. Vậy hệ (1.6) là ổn định.
14
2) Giả sử hệ (1.6) có hàm Lyapunov chặt, khi đó ta có
˙
V
f
V (t, x) ≤ −γ(||x||), t ≥ 0, x ∈ D \ {0}.
Do đó hàm V (t, x(t)) là hàm giảm theo t nên tồn tại giới hạn
lim
t→+∞
V (t, x(t)) = c.
Ta cần chứng tỏ c = 0. Thật vậy, nếu trái lại c > 0 thì tồn tại số a ∈ (0, c)
và T > 0 sao cho
V (t, x(t)) > a với mọi t > T.
Theo giả thiết V (t, x) ≤ b(||x||) nên
||x(t)|| ≥ b
−1
(a), ∀t ≥ T.
Do đó
t

T
˙
V
f
V (s, x(s))ds ≤ −

t

T
γ(||x(s)||)ds.
Mặt khác, do
γ(||x||) ≥ γ(b
−1
(a))
nên với mọi t ≥ T ta có
V (t, x(t)) − V (T, x(T )) ≤ −γ(b
−1
(a))(t − T )
suy ra
−V (T, x(T )) ≤ −γ(b
−1
(a)), ∀t ≥ T,
hay
V (T, x(T )) ≥ γ(b
−1
(a)), ∀t ≥ T.
Cho t → +∞ suy ra điều mâu thuẫn. Vậy hệ (1.6) là ổn định tiệm cận.
Định lí được chứng minh.
15
Ta có kết quả về sự ổn định mũ như sau.
Định lý 1.5. Giả sử tồn tại hàm V (t, x(t)) thỏa mãn:
i) ∃λ
1
> 0, λ
2
> 0 : λ

1
||x(t)||
2
≤ V (t, x(t)) ≤ λ
2
||x(t)||
2
, ∀(t, x(t)) ∈
R
+
× R
n
;
ii) ∃α ≥ 0 :
˙
V
f
(t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)), với mọi nghiệm x(t) của hệ
(1.6).
Khi đó hệ là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov α và N =

λ
2
λ
1
.
1.2.2. Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ
Xét hệ phương trình vi phân có trễ






˙x(t) = f(t, x
t
), t ≥ 0;
x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0].
(1.8)
Tương tự như đối với hệ phương trình vi phân thường (1.3) ta cũng có các
khái niệm tương tự về tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ
(1.8).
Định nghĩa 1.10. Hệ (1.8) gọi là:
1. ổn định nếu ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀ϕ ∈ C : ϕ < δ thì với mọi nghiệm
x(t, ϕ) thỏa mãn x(t, ϕ) < , ∀t ∈ R
+
.
2. ổn định tiệm cận nếu hệ (1.8) là ổn định và x(t, ϕ) → 0 khi t →
+∞.
3. ổn định mũ nếu mọi nghiệm x(t, ϕ) thỏa mãn điều kiện:
∃M > 0, α > 0 : x(t, ϕ) ≤ Me
−αt
ϕ, ∀t ≥ 0.
16
Hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.8) được định nghĩa
tương tự như sau:
Định nghĩa 1.11. Hàm V (t, ϕ) : R
+
× C → R
n
gọi là hàm Lyapunov của

hệ (1.8) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) V (t, ϕ) là hàm khả vi liên tục theo (t, ϕ), V (t, 0) = 0;
ii) Tồn tại các hằng số α
1
, α
2
> 0 sao cho với mọi nghiệm x(t) thỏa
mãn
α
1
x(t)
2
≤ V (t, x
t
) ≤ α
2
x
t

2
;
iii) Tồn tại hằng số α
3
> 0 sao cho
˙
V
f
(t, x
t
) ≤ −α

3
(||x
t
||), với mọi
nghiệm x(t) của hệ (1.8), trong đó
˙
V
f
(t, x
t
) = lim
h→0
+
V (t + h, x
t
+ h) − V (t, x
t
)
h
.
Ta có định lý sau về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ
(1.8).
Định lý 1.6. Giả sử tồn tại hàm Lyapunov V (t, x
t
) cho hệ (1.8). Khi đó
hệ là ổn định mũ với chỉ số ổn định Lyapunov α = −
1
2
α
3

, N =
α
2
α
1
.
1.3. Một số bổ đề bổ trợ
Bổ đề 1.1. (Bổ để Schur) Cho P, Q là các ma trận đối xứng xác định
dương, M ∈ M
n×m
(R). Khi đó,


P M
M
T
−Q


< 0 ⇔ P + MQ
−1
M
T
< 0.
17
Bổ đề 1.2. (Bất đẳng thức ma trận Cauchy) Cho N là ma trận đối xứng
xác định dương. Khi đó ta có
±2x
T
y ≤ x

T
Nx + y
T
N
−1
y, ∀(x, y) ∈ R
n
× R
n
.
18
Chương 2
Tính ổn định phương trình vi phân
có trễ
Chương này trình bày các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận cho các hệ phương
trình vi phân tuyến tính có trễ hằng và trễ biến thiên, hệ phương trình vi
phân phi tuyến có trễ hằng và biến thiên bằng phương pháp hàm Lyapunov.
Các điều kiện được trình bày dưới dạng nghiệm của các bất đẳng thức ma
trận tuyến tính mà có thể giải được bằng các công cụ Matlab LMI toolbox
[5]. Nội dung chương này lấy từ các tài liệu [2, 4].
2.1. Ổn định phương trình vi phân tuyến tính có trễ
Trong mục này, giả sử A, D ∈ M
n×n
(R), h dương xét hệ phương trình sau:





˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − h),

x(t) = ϕ(t), t ∈ [−h, 0).
(2.1)
Ta có một kết quả về sự ổn định tiệm cận của hệ (2.1) qua định lý sau.
Định lý 2.1. Giả sử các ma trận hệ số của hệ phương trình (2.1) thỏa
mãn điều kiện: tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > 0
sao cho
M =


A
T
P + P A + Q P D
D
T
P −Q


< 0. (2.2)
Khi đó hệ (2.1) là ổn định tiệm cận.
19
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov cho hệ (2.1) có dạng:
V (t, x
t
) = P x(t), x(t) +
t

t−h
Qx(s), x(s)ds.
Ta kiểm tra các điều kiện trên hàm Lyapunov chặt của Định nghĩa 1.9 về
sự ổn định của hệ (2.1). Vì P > 0, Q > 0 nên

V (t, x
t
) ≥ P x(t), x(t) ≥ λ
min
(P )x(t)
2
, t ≥ 0
và
V (t, x
t
) ≤ λ
max
(P )x(t)
2
+
t

t−h
λ
max
(Q)x(s)
2
ds
≤ λ
max
(P )x(t)
2
+ λ
max
(Q)hx

t

2
.
Hơn nữa, do x(t)
2
≤ x
t

2
nên ta có
V (t, x
t
) ≤ [λ
max
(P ) + hλ
max
(Q)].x
t

2
.
Hay
λ
1
x(t)
2
≤ V (t, x
t
) ≤ λ

2
x
t

2
, (2.3)
như vậy điều kiện i) và iii) được thỏa mãn.
Để kiểm tra điều kiện ii) và iv) ta lấy đạo hàm của hàm V theo t như
sau:
˙
V
f
(t, x
t
) = 2P ˙x(t), x(t) + Qx(t), x(t) − Qx(t − h), x(t − h)
= 2P Ax(t), x(t) + 2P Dx(t − h), x(t) + Qx(t), x(t)
− Qx(t − h), x(t − h)
= (A
T
P + P A + Q)x(t), x(t) + 2P Dx(t − h), x(t)
− Qx(t − h), x(t − h).
20
Đặt biến z(t) =


x(t)
x(t − h)


ta có

˙
V
f
(t, x(t)) = z
T
(t)


A
T
P + P A + Q P D
D
T
P −Q


z(t)
= Mz(t), z(t).
Theo giả thiết (2.2) ta có
˙
V
f
(t, x
t
) ≤ Mz(t), z(t) ≤ −λz(t)
2
, ∀t ≥ 0,
trong đó λ = λ
min
(M). Hơn nữa, do z(t)

2
≥ x(t)
2
nên ta có
˙
V
f
(t, x
t
) ≤ −λx(t)
2
, ∀t ≥ 0.
Vậy các điều kiện của Định nghĩa 1.9 được thỏa mãn, do đó theo Định lý
1.4 hệ (2.1) là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình vi phân có trễ dạng:





˙x
1
(t) = −3x
1
(t) + x
1
(t − 2), t ≥ 0,
˙x
2
(t) = −5x

2
(t) + 2x
2
(t − 2),
(2.4)
ở đây h = 2.
Ta thấy các ma trận
A =


−3 0
0 −5


và D =


1 0
0 2


.
Ta chứng tỏ điều kiện (2.2) trong Định lý 2.1 được thỏa mãn. Thật vậy,
điều kiện (2.2) tương đương với ∃P, Q sao cho
A
T
P + P A + Q + P DQ
−1
D
T

P < 0. (2.5)
21