Chuyên đề Căn bậc hai căn bậc ba

Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
§1. CĂN BẬC HAI
I – KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A. Căn Bậc Hai
1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x 2 = a .
2. Ký hiệu:

a : Căn bậc hai của số a .

a > 0:

− a : Căn bậc hai âm của số a .
a = 0:

3. Chú ý: Với a ≥ 0 :

0 =0
2

( a ) = (− a )

2

=a

4. Căn bậc hai số học:

Với a ≥ 0 : số a được gọi là CBHSH của a .
Phép khi phương là phép toán tìm CBHSH của số a không âm.
5. So sánh các CBHSH: Với a ≥ 0 , b ≥ 0 : a ≤ b ⇔ a ≤ b .

B - Căn thức bậc hai. Hằng đẳng thức

A2 = A

1. Căn thức bậc hai:
Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của A .
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
A các định (có nghĩa) khi A ≥ 0 .
Chú ý:
a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
A(x) là một đa thức ⇒ A ( x ) luôn có nghĩa.
A( x)
có nghĩa ⇔
B ( x)

A ( x ) có nghĩa
1
A( x)

có nghĩa

B ( x) ≠ 0

⇔

A( x) ≥ 0

⇔

A( x) > 0

b) Với M > 0, ta có:
X 2 ≤ M 2 ⇔ X ≤ M ⇔ −M ≤ X ≤ M
X 2 ≥ M 2 ⇔ X ≥ M ⇔ X ≤ − M hoặc X ≥ M

2. Hằng đẳng thức

( A)

2

= A

khi a ≥ 0
a
a2 = a = 
−a khi a < 0
Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có:
Định lí: Với mọi số a , ta có:

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

1

Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

khi
A
A2 = A = 
− A khi

A≥0
A<0

C - Khai phương một tích (thương). Nhân (chia) các căn thức bậc hai.
1.

AB = A B

Với A ≥ 0, B ≥ 0:

A
=
B

2. Với A ≥ 0, B > 0:

A
B

E - Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

 A B
A2 B = A B = 
− A B

khi

A≥0

khi

A<0

( B ≥ 0)

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

Với A ≥ 0, ta có: A B = A2 B ( B ≥ 0)

Với A < 0, ta có: A B = − A2 B ( B ≥ 0)
3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn:
A.B
=
B2

A
=
B

A.B
với A.B ≥ 0 , B ≠ 0

B

4. Trục căn thức ở mẫu:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử tồi rút gọn cho nhân tử chung chứa căn thức
(nếu có).
Trường hợp mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số:
A
A C
=
B.C
B C

( B ≠ 0; C > 0)

Nếu mẫu là một biểu thức dạng tổng có chứa căn, nhân tử và mẫu với biểu thức
liên hợp của mẫu:

(

)

C A∓B
C
=
với A ≥ 0 , A ≠ B2
2
A−B
A±B
C

C
=
A± B

(

A∓ B
A−B

) với A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B

2

Các dạng liên hợp cơ bản
A + B có liên hợp là
A + B có liên hợp là

A − B và ngược lại.
A − B và ngược lại.

A + B có liên hợp là A − B và ngược lại.
3. Biến đổi về hằng đẳng thức:
A ± 2 B = m ± 2 m.n + n =

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

(

m± n

)

2

=

m± n

2


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

4. Một số phân tích thành nhân tử
2

1) x =

( x) ; x

2) x ± 2 x + 1 =

(

3 x ± 2 x. y + y =

)

2

x +1

(

3

( với x ≥ 0 ).

( với x ≥ 0 ).

)

x± y

2

( với x, y ≥ 0 ).

) ( x + y ) ( với x, y ≥ 0 ).
5) x x ± y y = ( x ) ± ( y ) = ( x ± y ) . ( x ∓
6) x y ± y x = xy ( x ± y ) ( với x, y ≥ 0 ).
7) x − 1 = ( x + 1)( x − 1) ( với x, y ≥ 0 ).

4) x − y =

(

( x)

x = x3 =

x− y .

3

3

)

x. y + y ( với x, y ≥ 0 ).

II. BÀI TẬP
1.1

1.2

Tìm số x không âm, biết
a)

x = 11

b) 2 x = 12

c)

x +1 = 9

d)

3x − 1 = 2

e)

x< 3

f)

g)

x+2 <5

h)

2x + 3 < 4

Thực hiện các phép tính sau
2

( )
e) ( 5 − 2 6 )

a) 2 − 3

1.3

(
)
f) (1 + 3 )

2

2

b) 32 + 42

2

)
7 − 1)

2

2

c)

d) 36 : 2.32.18 − 169

81

(2 − 3)

2

b)

(3 − 11 )

2

c)

9−2 5

d)

7+4 3

Rút gọn các biểu thức

d)

4a 2 − 4a + 1 với a ≤

g)

9a 4 + 3a 2

1
2

2

với a < 2

c)

a 2 + 4a + 4 với a ≤ −2

e) 2 a 2 − 5a với a < 0

f)

25a 2 + a với a ≥ 0

b) 3

( a − 2)

h) 5 8a 6 − 3a 2 với a < 0

Với các giá trị nào của a thì mỗ i căn thức sau có nghĩa
a)

1.7

(
h) (

d) 1 + 5

Rút gọn các biểu thức

a) 2 a 2 với a ≥ 0

1.6

2

( )
g) (1 − 3 )
c) 1 − 5

Thực hiện các phép tính sau

a)
1.5

2

b) 2 + 3

a) 16. 25 + 196 : 49
1.4

3x < 9

a
5

b)

−3a

c)

3a + 5

d)

2−a

d)

1
x +1

Tìm điều kiện của x để mỗ i căn thức sau có nghĩa
a)

2x + 9

b)

−3 x + 4

c)

x2 +1

e)

1
x +1

f)

x − 3 + x −1

g)

5x −1 +

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

x+3
2

h) 1 − x +

1
x−2

3


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

3

i)

k)

2

x −1
1.8

Tìm điều kiện của x để mỗ i căn thức sau có nghĩa
a) 3 x − 1
1
e)
7 x − 14
x+3
7− x

i)
1.9

1
2− x

b) x 2 + 3

c) 5 − 2 x

d) x 2 − 2

f) x 2 − 3 x + 7

g) 2 x − 1

h) x 2 − 9

k)

6x −1 + x + 3

Phân tích thành nhân tử
a) x 2 − 3

b) x 2 − 6

c) x 2 − 9

d) x 2 + 2 3 x + 3

e) x 2 − 2 5 x + 5

f) x 2 − 2 2 x + 2

g) 4 x 2 − 4 7 x + 7

h) 2 x 2 − 2 10 x + 5

1.10 Giải các phương trình sau
x2 = 7

a)

b)

f) x 2 − 5 = 0

x 2 = −8

d)

9 x 2 = −12

c) 12,1.1960

d)

2 2.34

4 x2 = 6

c)

g) x 2 − 2 11x + 11 = 0

h) x 2 − 2 5 x + 5 = 0

1.11 Thực hiện các phép tính sau
2

a)

0,09.64

b)

2 4. ( −7 )

e)

26.52

f)

9.16

g)

250.360

h) 125.180

1.12 Thực hiện các phép tính sau

7. 63

b)

2,5. 30. 48

c)

0, 4. 6, 4

d)

2, 7. 5. 1, 5

e) 12 . 3

f)

75. 3

g)

0,4 . 90

h)

3 − 5. 3+ 5

8,1
1, 6

a)

1.13 Thực hiện các phép tính sau

a)

289
225

b)

2

14
25

c)

0, 25
9

d)

e)

2
18

f)

15
735

g)

12500
500

h)

65
23.35

1.14 Thực hiện các phép tính sau

9 4
a) 1 .5 .0, 01
16 9

b) 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, 4 c)

25 2 − 24 2

e)

f)

3

1 14 63
.2 .2
16 25 81

g)

1652 − 124 2
164

d)

149 2 − 762
457 2 − 3842

58 2 − 42 2

h)

202 − 162

1.15 Thực hiện các phép tính sau

a)

(

)
( 3 − 2)
3− 2

2

b)

2

d)

−

(

3+2

)

(

) (
2

2 −1 −

)

2 +1

2

(

)(

c) 3 − 2 2 . 3 + 2 2

)

2

e)

3−2 2 − 3+ 2 2

f)

4−2 3 − 4+2 3

1.16 Rút gọn các biểu thức

a) A = 12 + 27

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

b) B = 3 2 + 5 8 − 2 50

c) C = 2 45 + 80 − 245

4


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

d) D = 3 12 − 27 + 108
g) G =

(

2 + 72 − 18

)

e) E =

3
1
1
+
+
4
3
12

f) F = 0, 4 + 2,5

(

h) H = 2 3 − 3 12

2

)(

i) I = 3 5 + 2 3 5 − 2

)

1.17 Rút gọn các biểu thức

a) M = 3 3 − 12 + 24

b) N = 2 2 − 5 + 18 − 20 c) O = 2 27 − 6 48 + 4 75

d) P = 28 − 2 14 + 7 + 63 e) Q = 3 5 + 4 20 − 2 125
1.18 Rút gọn các biểu thức

a) A =

(

)

12 + 27 − 3 : 3

 1

4
−
+ 3  : 3
c) C = 
3
 3


(

)(

e) E = 4 3 + 2 4 3 − 2

)

b) B =

(

27 + 12 − 108 : 3

d) D =

(

4 − 16 + 25

(

6+2

f) F =

)

)(

)

3− 2

4

)

1.19 Rút gọn các biểu thức

a) M = 4 + 2 3

b) N = 2 + 6 − 2 5

c) C = 9 − 4 5 − 9 + 4 5

d) P = 8 + 4 3 − 8 − 4 3

e) Q = 9 − 4 5 − 9 + 4 5

f) F =

g) G = 16 − 6 7 − 16 + 6 7 h) H = 6 + 2 5 − 13 + 48

6+2 5
5 +1

i) I = 3 + 13 + 48

1.20 Rút gọn các biểu thức

a) A = 4 + 7 − 4 − 7
c) C =
e) E =

b) B = 3 + 5 − 3 − 5

3+ 5 3− 5
+

3− 5 3+ 5

d) D = 3 − 5 .

5 − 3 − 29 − 12 5

f) F =

(

3+ 5
2 2 + 3+ 5

1+

g) G =

3
2

3
1+ 1+
2

1−
+

)(

10 − 2 . 3 + 5

+

)

3− 5
2 2 − 3+ 5

3
2

1− 1−

3
2

1.21 Rút gọn các biểu thức
1
1
1
+
+ ... +
a) A =
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
2010 2009 + 2009 2010
1
1
1
+
+ ....... +

b) B =
1+ 2
2+ 3
2006 + 2007

c) C =
d) D =

2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 3+ 4
3 8 − 2 12 + 20
3 18 − 2 27 + 45

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

5


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1

1.22 Chứng minh rằng

1

+

2 1

1

+

3 2

+ ... +

4 3

1

<2

2005 2004

1.23 Không sử dụng máy tính điện tử cầm tay, hãy so sánh

a) 3+ 5 và 2 2 + 6
c)

27 + 26 + 1 và

b) 2 3 + 4 và 3 2 + 10
48

d) 105 − 101 và 101 − 97

e) 15 − 14 và 14 − 13

f)

g)

h)

2009 + 2011 và

2010

5 3 và
1

+

1

1

3 5
+ ...

2

1
36

và 14

1.24 Rút gọn biểu thức
7 +5−2

A=

B = 4 + 3 + 6 3 + 15 −
C = 1 + 2 5 5 − 11 −

D=

2( 7 + 1)
2

ĐS: A =

7 + 4 +1

3+

5
2

ĐS: B =

6
2

ĐS: C =

5−2

1 + 2 27 2 − 38 − 5 − 3 2

2( 5 − 1)
2

ĐS: D = 1

3 2−4



E =  5 − 2 2 2 − 2 + 2 − 1



ĐS: E = 2

2 −1

1.25 Rút gọn biểu thức

a) A =

b) B =

 a + ab + b 
a b +b a
1

:
− a a − b b : 
 với a > 0 , b > 0 , a ≠ b
ab
a− b
 a+ b 

(

x y−y
xy

x (
−

x+ y

)

)

2

− 4 xy

x− y

với x > 0 , y > 0 , x ≠ y

 2+ a

a − 2   a3 + a − a − 1 
c) C = 
−
 với a > 0; a ≠ 1
 

a
−
1
a
+
2
a
+
1
a




d) D =

2x
5 x +1
x + 10
+
+
với x > 0
x+3 x +2 x +4 x +3 x+5 x +6

 a a +b b

2 b
e) E = 
− ab  : ( a − b ) +
với a > 0 , b > 0 , a ≠ b
a
+
b
a
+
b



f) F =

a a −1 a a + 1 
1   a +1
a −1 
+
− a −
+
 với a > 0; a ≠ 1
 
a− a a+ a 
a   a −1
a + 1 

1.26 Cho biểu thức P =

x −3
x −1 − 2

a) Rút gọn P .

(

)

b) Tính giá trị của P nếu x = 4 2 − 3 .
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P .
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

6


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

a2 + a
2a + a
1.27 Cho biểu thức A =
−
+ 1.
a − a +1
a
a) Rút gọn A .

b) Biết a > 1 , hãy so sánh A với A .

c) Tìm a để A = 2 .

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .

1.28 Cho biểu thức C =

a) Rút gọn C .

1
1
x
−
+
2 x − 2 2 x + 2 1− x
b) Tính giá trị của C với x =

4
.
9

1
c) Tính giá trị của x để C = .
3

 a + a  a − a 
1.29 Cho biểu thức: A = 1 +



1 − a − 1 
a + 1 


a) Tìm các giá trị của a để A có nghĩa
b) Rút gọn A

c) Tìm a để A = −5 , A = 0 , A = 6
e) Với giá trị nào của a thì A = A .

d) Tìm a để A3 = A

1
1
x
+
+
2 x − 2 2 x + 2 1− x
b) Rút gọn Q
a) Tìm điều kiện để Q có nghĩa

1.30 Cho biểu thức Q =

c) Tính giá trị của Q khi x =

4
9

d) Tìm x để Q = −

1
2

e) Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên.
x
2 x −1
−
x −1 x − x
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
c) Tìm x để P > 0

b) Rút gọn P
d) Tìm x để P = P

e) Giải phương trình P = −2 x

f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị của P nguyên

1.31 Cho biểu thức P =

1.32 Cho biểu thức Q =

a) Rút gọn Q .

2 x −9
x + 3 2 x +1
−
−
.
x−5 x +6

x − 2 3− x
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1 .

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.
 x −2
x + 2  x2 − 2x +1
1.33 Cho biểu thức: M = 
−

2
 x −1 x + 2 x + 1 
a) Rút gọn M .
4
b) Tính giá trị của biểu thức M khi x =
.
25
c) Tìm giá trị của x để M = −1 .
d) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
 a
1   1
2 
1.34 Cho biểu thức A = 
−
+
:


 a −1 a − a   a +1 a −1 

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị A biết a = 4 + 2 3

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

c) Tìm a để A < 0
7


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

 x x −1 x x + 1   3 − x 
1.35 Cho biểu thức: A = 
−
 : 1 −

x + x  
x + 1 
 x− x
a) Rút gọn A .

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 6 − 2 5
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng −3 .
e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn −1 .

§2. CĂN BẬC BA
I – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a .
2. Tính chất:

a) a < b ⇔ 3 a < 3 b

b)

3

ab = 3 a . 3 b

c) Với b ≠ 0, ta có

3

a 3a
=
b 3b

3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Muốn khử mẫu của biểu thức lấy căn ta nhân tử và mẫu cho mẫu có căn
A

Ví dụ:

3

A. 3 B 2

=

B

3

A3 B2
hoặc
=
B
B .3 B2

3

A
=
B

3

A. 3 B 2

3

B .3 B2

3

=

AB 2

B

4. Trục căn thức ở mẫu
Các dạng liên hợp cơ bản
3

A + 3 B có liên hợp là

3

A2 − 3 AB + 3 B 2 và ngược lại.

3

A − 3 B có liên hợp là

3

A2 + 3 AB + 3 B 2 và ngược lại.

3

A + B có liên hợp là

3

A2 − 3 A .B + B 2 và ngược lại.

3

A − B có liên hợp là

3

A2 + 3 A .B + B 2 và ngược lại.

A + 3 B có liên hợp là A2 − A 3 B + 3 B 2 và ngược lại.
A − 3 B có liên hợp là A2 + A 3 B + 3 B 2 và ngược lại.

II. BÀI TẬP
1.36 Thực hiện các phép tính sau

a)

0,09.64

b)

24.(−7) 2

c) 12,1.360

d)

2 2.34

e)

26.52

1.37 Tính:
a)

3

512 ;

3

−729 ;

3

0, 064 ;

3

0, 216 ;

3

512 .

b)

3

−343 ;

3

0, 027 ;

3

0, 064 ;

3

−0,512 ;

3

125 .

1.38 So sánh:
a) 5 và

3

123

b)

3

123 và 6 3 5

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

c)

3

123 và

3

23

d) 33 và 3 3 1333

8


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1.39 Rút gọn biểu thức:

a) A =

 a −2
a +2 
4 
b) B = 
−
 ⋅  a −

 , với a > 0 , a ≠ 4 .
a −2 
a
 a +2
ĐS: A = −2 ; B = −8

15 − 12
1
−
5 −2
2− 3

TS lớp 10 TPHCM 06 - 07
1.40 Rút gọn biểu thức:



b) A =  2 4 + 6 − 2 5  ⋅



(

10 − 2

2
 a −1
a +1  
2 
b) B = 

+
 ⋅ 1 −
 , với a > 0 , a ≠ 1 .
a − 1   a + 1 
 a +1
2(a − 1)
ĐS: A = 8 ; B =
a +1

)

TS lớp 10 chuyên TPHCM 06 - 07
1.41 Rút gọn biểu thức:

a) A = 7 − 4 3 − 7 + 4 3
 x +1
x −1  x x + 2x − 4 x − 8
b) B = 
−
, với x > 0 , x ≠ 4
 ⋅
x
4
−
x
4
x
4
x
+

+



TS lớp 10 TPHCM 08 - 09

ĐS: A = −2 3 ; B = 6

 1
x 
x
1.42 Cho biểu thức: P = 
+
, với x > 0 .
 :
+
+
x
x
1
x
x



a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tìm giá trị của P khi x = 4 .

ĐS: a) P = x + 1 +

TS lớp 10 Hà Nội 08 - 09
1.43 a) Trục căn thức ở mẫu:

b) Rút gọn: A =

c) Tìm x để P =

13
.
3

1
1
; b) P = 7/2; c) x = ; x = 9
9
x

5
5
và
5
2+ 3

ab − 2 b 2
a
−
, trong đó a ≥ 0 , b > 0
b
b

TS lớp 10 Đà Nẵng 08 - 09

ĐS: a)

1.44 a) Thực hiện phép tính: A = 3. 27 − 144 : 36
 a+3 a
  a −1

− 2  ⋅ 
+ 1 , với a ≥ 0, a ≠ 1
b) Rút gọn: B = 
 a +3
  a −1 
TS lớp 10 Bắc Giang 11 - 12

5; 10 − 5 3 b) A = −2

ĐS: A = 7 ; B = a − 4

1
3

1.45 Thực hiện phép tính: P = 12 + 5 3 −

TS lớp 10 Bến Tre 11 - 12
1.46 Rút gọn biểu thức: a) A =

ĐS: P =

(

)

32 + 3 18 : 2

TS lớp 10 Bình Thuận 11 - 12
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

b) B =

20
3
3

15 − 12 6 + 2 6
−
5 −2
3+ 2
ĐS: A = 13 ; B = − 3
9


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.47 Rút gọn biểu thức:

a) A =

3 3−4
3+4
+
2 3 +1
5−2 3

b) B =

x x − 2 x + 28
x −4
x +8
−
+
, với x ≥ 0, x ≠ 16
x −3 x − 4
x +1 4 − x

TS lớp 10 TPHCM 11 - 12
1.48 a) Thực hiện phép tính:

ĐS: A = 6 ; B = x − 1

(

b) Trục căn thức ở mẫu:

)

12 − 75 + 48 : 3

1+ 5
15 − 5 + 3 − 1

TS lớp 10 An Giang 11 - 12

ĐS: A = 1 ; B =

1.49 Tính: M = 15 x 2 − 8 x 15 + 16 , tại x = 15
TS lớp 10 Bình Dương 11 - 12
1.50 Cho biểu thức: A =

3 +1
2

ĐS: M = 11

x +1− 2 x x + x
+
, với x ≥ 0.
x −1
x +1

a) Tìm x để A có nghĩa.

b) Rút gọn biểu thức A .

TS lớp 10 Cần Thơ 11 - 12
1.51 a) Rút gọn biểu thức: A =

c) Với giá trị của x thì A < 1 .

ĐS: a) x ≥ 0, x ≠ 1 ; b) A = 2 x − 1 ; c) 0 ≤ x < 1

2
1
+
1+ 2 3 + 2 2

1  1
1
2 

b) Cho: B = 1 +
+
−

 , với x > 0, x ≠ 1
x  x + 1
x −1 x − 1 

i) Rút gọn biểu thức B .

ii) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 3 .
ĐS: a) A = 1 b) i) B =

TS lớp 10 Đăk Lăk 11 - 12

2
4
ii) x =

9
x

1.52 a) Tính giá trị các biểu thức:

i) A = 25 − 16 + 9

ii) B = 3( 12 − 5) + 5( 3 + 5)

1  x−4
 1
b) Rút gọn biểu thức: C = 
, với x > 0, x ≠ 4
+
⋅
x +2
x
 x −2
TS lớp 10 Đồng Tháp 11 - 12
1.53 Cho biểu thức: A =

ĐS: a) C = 2

x
10 x
5
, với x ≥ 0 và x ≠ 25.
−
−
x − 5 x − 25

x +5

a) Rút gọn biểu thức A .

b) Tìm giá trị của A khi x = 9 .

TS lớp 10 Hà Nội 11 - 12
 6 − 3 5− 5 
2
1.54 Rút gọn: Q = 
+
.
 :
5 −1  5 − 3
 2 −1
TS lớp 10 Đà Nẵng 11 - 12

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: a) A =

c) Tìm x để A <

1
.
3

x −5
1
; b) A = − ; c) 0 ≤ x < 100

4
x +5

ĐS: Q = 1

10


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.55 Cho P =

x−7
3+ x
, với x > 0 và x ≠ 9 .
−
x −3 x
x
1
2
với x =
.
x −3
10 − 3 11
2
ĐS: a) P =
b) Q = 11 − 3
x x −3

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tính giá trị của biểu thức Q = P :

TS lớp 10 Hà Nam 11 - 12

(

)

1.56 Rút gọn các biểu thức:

3


a) A = 3  2 27 − 75 +
12 
2



b) B =

8 − 2 12
3 −1

TS lớp 10 Hải Phòng 11 - 12

ĐS: a) 12 b)

2

1.57 Rút gọn các biểu thức:

3


a) A = 3  2 27 − 75 +
12 
2



b) B =

8 − 2 12
3 −1

TS lớp 10 Hải Phòng 11 - 12

ĐS: a) A = 12 b) B = 2

1
+ 3
2+ 3
TS lớp 10 Khánh Hòa 11 - 12

1.58 Rút gọn biểu thức: A =

ĐS: A = 2

x2 + 2
1
1
1.59 Cho P =
−
−
3
1− x
2 1+ x
2 1− x

(

) (

)

( x ≥ 0, x ≠ 1) .

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị nguyên của x để biểu thức Q =

1
có giá trị nguyên.
( x − 1) P

TS lớp 10 Kon Tum 11 - 12

ĐS: a) P =

1.60 a) Tính giá trị của các biểu thức A = 25 + 9; B =

b) Cho P =

x + y + 2 xy
x+ y

:

1
x− y

(

)

1
b) x = 0; x = 2; x = 4
1 + x + x2

2

5 −1 − 5 .

( x > 0; y > 0; x ≠ y )

ii) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 2012 và y = 2011.
i) Rút gọn P.

TS lớp 10 Lạng Sơn 11 - 12
ĐS: a) A = 8; B = −1 b) i ) P = x − y ii ) P = 1
1 
 1
1.61 Cho A = 
+
:
x −1 
 x− x

x +1

(

)

2

.

x −1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A .
1
b) Tìm giá trị của x để A = .
3
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A − 9 x .

TS lớp 10 Nghệ An 11 – 12
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: a) A =

x −1
b)x = 9/4 c) GTLN P = 1 khi x = 1/97
x
11


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.62 Rút gọn các biểu thức sau:.

a) A = 2 + 8

a
b 
b) B = 
+
 ⋅ a b − b a
ab
−
b
ab
−
a



(

)

(a > 0, b > 0, a ≠ b) .

TS lớp 10 Ninh Bình 11 - 12

ĐS: a) A = 3 2 b) B = a – b

1.63 Rút gọn các biểu thức:

(

a) A = 12 − 75 + 48

)(

b) B = 10 − 3 11 3 11 + 10

TS lớp 10 Kiên Giang 11 - 12
1.64 Cho biểu thức: P =

)
ĐS: a) A = 3 b) B = 1

x x −8
+ 3 1− x
x+2 x +4

(

)

( x ≥ 0) .

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q =

2P
nhận giá trị nguyên.
1− P

TS lớp 10 Ninh Thuận 11 - 12

ĐS: a) A = 1 − 2 x b) x = 1

1.65 Rút gọn các biểu thức:

b) B =

a) A = 3 + 2 2 − 3 − 2 2

1
1
−
3 −1
3 +1

TS lớp 10 Phú Yên 11 - 12

ĐS: a) A = 2 b) B = 1

1.66 Rút gọn các biểu thức:

a) A = 2 5 + 3 45 − 500

b) B =

1
15 − 12
−
3+ 2
5−2

TS lớp 10 Quảng Nam 11 - 12

ĐS: a) A = 5 b) B = − 2

1.67 a) Thực hiện phép tính: A = 2 9 + 3 16 .

b) Rút gọn biểu thức: M =

x
2x − x
+
x −1
x−x

( x > 0, x ≠ 1)

TS lớp 10 Quảng Ngãi 11 - 12

ĐS: a) A = 18 b) M = x − 1

1.68 Rút gọn các biểu thức:

a) A =

(1 + 2 )

2

−1

b) B =

1
1
−
+5 3
2+ 3 2− 3

TS lớp 10 Quảng Ninh 11 - 12

ĐS: a) A = 2 b) B = 3 3

1.69 Rút gọn các biểu thức sau (không sử dụng máy tính cầm tay).

a) M = 27 + 5 12 − 2 3
1 
a
 1
b) N = 
+
 : a − 4 (a > 0, a ≠ 4)
a −2
 a +2

TS lớp 10 Quảng Trị 11 - 12

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: a) A = 11 3 b) N = 2

12


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.70 Cho biểu thức: A =

3
1
x −3
−
−

x +1
x −1 x − 1

a) Rút gọn biểu thức A .

( x ≥ 0, x ≠ 1) .
b) Tính giá trị của A khi x = 3 − 2 2 .
ĐS: a) A =

TS lớp 10 Thái Bình 11 - 12

1.71 a) Đơn giản biểu thức: A =

1
2
b) A =
2
x +1

2+ 3+ 6+ 8+4
.
2+ 3+ 4

1
1


b) Cho biểu thức: P = a − 
−
 , với a ≥ 1

a + a −1 
 a − a −1
i) Rút gọn P

ii) Chứng tỏ P ≥ 0 .

TS lớp 10 Khánh Hòa 12 - 13
1.72 a) Thực hiện phép tính: A =

ĐS: a) A = 1 + 2 b) P = a − 2 a − 1

1
− 2.
2 −1

2
 1
 a −3 a + 2 
b) Rút gọn: B = 
−
+ 1 (a > 0, a ≠ 4)

a −2
 a − 2 a − 2 a  

TS lớp 10 An Giang 12 - 13
1.73 a) Tìm x để giá trị các biểu thức sau có nghĩa: i)

b) Rút gọn biểu thức: A =

3x − 2

ii)

ĐS: a) A = 1 b) B = 1

4
2 x −1

(2 + 3) 2 − 3
2+ 3
ĐS: a) x ≥ 2/3, x > ½ b) A = 1

TS lớp 10 Bắc Ninh 12 - 13
1.74 a) Thực hiện phép tính: A = 4 + 2 3 + 7 − 4 3 .

5 a − 3 3 a + 1 a2 + 2 a + 8
+
−
(a ≥ 0, a ≠ 4)
a−4
a −2
a +2
TS lớp 10 Bình Định 12 - 13

b) Rút gọn: B =

ĐS: A = 3, B = 4 – a

1 


1.75 Rút gọn biểu thức: A = 1 −
 x + x với x ≥ 0 .
x +1

TS lớp 10 ĐăkLăk 12 - 13

(

2
3
50 x −
8x .
5
4
a) Rút gọn biểu thức A .

)

ĐS: A = x

1.76 Cho biểu thức: A =

b) Tính giá trị của x khi A = 1 .

TS lớp 10 Bình Dương 12 - 13
1.77 a) Tính giá trị của các biểu thức sau: i)

ĐS: a) A =

A=3 5−2 5

1
x b) x = 2
2

ii) B = 3 − 4 + 2 3

 x + x  x − x 
b) Rút gọn: M = 1 +

 (0 ≤ x ≠ 1)
1 +
 1 + x  1 − x 

TS lớp 10 Bình Phước 12 - 13
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: a) A = 5 , B = –1, M = 1 – x
13


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.78 Rút gọn các biểu thức sau (không sử dụng máy tính cầm tay).

a) P = 50 − 6 8 + 32 .
b) Q =

2
1
8 x 2 (1 − 4 x + 4 x 2 ) với x > 0 và x ≠ .
2 x −1
2

ĐS: a) P = −3 2 b) Q = ±4 x 2

TS lớp 10 Bình Thuận 12 - 13

1   a +1
 1
1.79 Cho biểu thức: K = 2 
−
 với a > 0 và a ≠ 1 .
: 2
a   a − a 
 a −1
a) Rút gọn biểu thức K .

b) Tìm a để K = 2012 .

TS lớp 10 Cần Thơ 12 - 13

ĐS: a) K = 2 a b) a = 503

1.80 Rút gọn các biểu thức: a) M =

12 + 3

3

b) N =

3−2 2
2 −1

TS lớp 10 Đồng Nai 12 - 13

ĐS: M = 3 + 2, N = 2 − 1

1.81 Rút gọn các biểu thức: a) A = 2 5 + 5 45 − 500

b) B =

8 − 2 12
3 −1

TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13
1.82 a) Cho biểu thức A =

− 8

ĐS: A = 5, B = − 2

x +4
. Tính giá trị của A khi x = 36 .
x +2



x
4  x + 16
b) Rút gọn: B = 
+
, với x ≥ 0 và x ≠ 16 .
:
x − 4  x + 2
 x +4
c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức
B ( A – 1) là số nguyên.

TS lớp 10 Hà Nội 12 - 13

ĐS: a) A =

x +2
5
b) B =
c) ∈ {14;15;17;18}
4
x − 16

1.83 a) Tìm các số là căn bậc hai của 36.

b) Cho A = 3 − 2 5 , B = 3 + 2 5 . Tính A + B .

x +1
4
1
−

:
, với x ≥ 0 và x ≠ 9 .
x −3 x −9 x + 3
TS lớp 10 Đồng Tháp 12 - 13
c) Rút gọn: C =

ĐS: c) C = 1

1.84 Tính giá trị của biểu thức H = ( 10 − 2) 3 + 5 .

TS lớp 10 Ninh Thuận 12 - 13

ĐS: H = 4

1.85 Rút gọn các biểu thức:

(

)

a) N = 12 2 − 3 18 + 2 8 : 2

b) M =

5− 5
4
−
5 −1
5 +1

TS lớp 10 Hải Phòng 12 - 13
1.86 Tìm điều kiện có nghĩa của biểu thức: a)

TS lớp 10 Hòa Bình 12 – 13
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: N = 7; M = 1
1
x −1

b) x − 2
ĐS: a) x ≠ 1 b) x ≥ 2
14


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.87 a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A =

5
.
6 −1

 4a
a  a −1
b) Cho biểu thức: P = 
−
, với a > 0 và a ≠ 1

 ⋅
2
a
a
−
1
a
−
a


i) Rút gọn biểu thức P .
ii) Với những giá trị nào của a thì P = 3 .
4a − 1
1
TS lớp 10 Hà Tĩnh 12 - 13
ĐS: a) A = 6 + 1 b) i) P =
ii) a =
2
a
3


a
a  
a
a
1.88 Cho biểu thức: A = 
+
−

 : 
 với a, b > 0; a ≠ b .
 a + b b − a   a + b a + b + 2 ab 
a) Rút gọn biểu thức A −

a + b + 2 ab
.
b−a

b) Tính giá trị của A khi a = 7 − 4 3 và b = 7 + 4 3 .

TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13

ĐS: a) A = 0 b) A = 2 3 / 3

(

)

1.89 a) Tìm x , biết 3 x + 2 = 2 x + 2 .

b) Rút gọn biểu thức: A =

(1 − 3 )

2

− 3

ĐS: a) x = 2 b) A = −1

TS lớp 10 Hưng Yên 12 - 13
2+ 3+ 6+ 8+4
.
2+ 3+ 4

1.90 a) Đơn giản biểu thức: A =

1
1


b) Cho biểu thức: P = a − 
−
 , với a ≥ 1 .
a + a −1 
 a − a −1
i) Rút gọn P .

ii) Chứng tỏ P ≥ 0 .

TS lớp 10 Khánh Hòa 12 - 13

(

ĐS: a) A = 1 + 2 b) P = a − 2 a − 1

)(

)

1.91 a) Đơn giản biểu thức: A = 3 + 2 + 11 3 + 2 − 11 .

b) Chứng minh rằng:

ab + a − b a − 1 b a + 1
=
, với a ≥ 0 , a ≠ 1 , b bất kỳ.
a −1
1+ a

TS lớp 10 Kiên Giang 12 - 13
1.92 a) Tính: A = 18 + 2 2 − 32 .

TS lớp 10 Lâm Đồng 12 - 13

ĐS: a) A = 6 2

b) Rút gọn:

37 − 20 3 + 37 + 20 3
ĐS: a) A = 2 b) B = 10

1.93 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 28 + 63 − 2 7 .

TS lớp 10 Long An 12 - 13

 a + a  a − a 

B = 1 +

 1 − a − 1  , với a ≥ 0 và a ≠ 1 .
a
+
1



ĐS: a) A = 3 7 b) B = 1 − a

1.94 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 2

1
+ 18
2

b) B =

TS lớp 10 Quảng Ninh 12 - 13
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

1
1
2
+
−
, với x > 0 và x ≠ 1 .

x −1
x +1 x −1
ĐS: a) A = 3 2 b) B = 2 / ( x + 1)
15


TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

1.95 a) Tính giá trị của các biểu thức sau: i) A = ( 3 − 1) 2 + 1

ii) B =

12 + 27
3

1
x −1
 1

b) Cho biểu thức: P = 2 
−
:
x −1 + 1  x + x − 1 − 1
 x −1
i) Tìm x để P có nghĩa và rút gọn P .
ii) Tìm x để P là một số nguyên.

ĐS: a) A = 3; B = 5 b) P = 2 / ( x − 1) , P ∈ Z khi x ∈ {2; 5}

TS lớp 10 Lạng Sơn 12 - 13
 1
1.96 Cho A = 
+
 x− x
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng

x   2
1 
+
 : 
 , với x > 0 và x ≠ 1 .
x −1   x −1
x +1 
A.
A – 2 > 0 với mọ i x thỏa mãn x > 0 và x ≠ 1 .

x +1
ĐS: a) A =
b) A − 2 =
x

TS lớp 10 Nam Định 12 - 13

(

)

2

x −1
x

1  x −2
 1
1.97 Cho A = 
+
⋅
x −2
x
 x +2
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A .
1
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A > .
2
7
c) Tìm tất cả các giá trị của x để B = A đạt giá trị nguyên.
3

ĐS: a) A =

TS lớp 10 Nghệ An 12 - 13

2
b) 0 < x < 4 c) x∈ {1/9; 64/9}
x +2

1   1

2 
 1
1.98 Cho Q = 
+
+
:
 , với x > 0 và x ≠ 1 .
 x − 1 x − x   x + 1 x −1 
a) Rút gọn Q .

b) Tính giá trị của Q với x = 7 − 4 3 .

TS lớp 10 Ninh Bình 12 - 13
1.99 a) Tính giá trị biểu thức A =

b) Cho biểu thức: B =

ĐS: a) Q =

(

)

x + 1 / x b) Q = 3 + 3

1
− 9+4 5 .
5+2

2 ( x + 4)

x −3 x − 4
i) Rút gọn biểu thức B .

+

x
8
−
, với x ≥ 0 và x ≠ 16 .
x +1
x −4
ii) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.

TS lớp 10 Thái Bình 12 - 13

ĐS: a) A = −4 b) i) B =

3 x
ii) x ∈{0;1/4;4}
x +1

1.100 a) Thực hiện phép tính: A = 4 − 9 + 16 − 25

b) Tìm x dương, biết: x + 1 = 3
TS lớp 10 An Giang 13 - 14

 8
32
18  1

1.101 Rút gọn: A =  6
−5
+ 14
⋅
25
49  2
 9
TS lớp 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 13 - 14
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: a) A = −2 b) x = 2

ĐS: A = 123/7
16


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.102 a) Thực hiện phép tính: A = 3. 27 − 144 : 36

x
2x − x
, với x > 0, x ≠ 1 .
+
x −1
x−x
TS lớp 10 Bắc Giang 13 - 14
b) Rút gọn biểu thức: B =

1.103 a) Với giá trị nào của x thì biểu thức:

b) Rút gọn biểu thức: A =

ĐS a) A = – 63 b) B = x − 1

x − 5 xác định ?

2+ 2 2− 2
⋅
2 + 1 2 −1

TS lớp 10 Bắc Ninh 13- 14

ĐS: A = 2

1 1
−
18
2 2
TS lớp 10 Bến Tre 13 - 14

ĐS: P = 0

1.104 Tính: P = 8 −


x
x  x +1

1.105 a) Rút gọn: A = 
+
, với x > 0, x ≠ 1 .
:
x − x  x − 1
 x −1
b) Tính giá trị của biểu thức: B =

2 8 − 12
5 + 27
−
18 − 48
30 + 162
ĐS: a) A = x − 1 b) B = − 6 / 2

TS lớp 10 Bình Định 13 - 14
1.106 a) Tính giá trị của biểu thức: V =

25
1
1
+
, L=
121
2+ 3 2− 3

x+6 x +9 x−4
−
. Tìm x để T có nghĩa và rút gọn T .
x +3

x −2
TS lớp 10 Bình Phước 13 - 14
ĐS: a) V = 5/11; L = 4 b) T = 1

b) Cho T =

1.107 a) Tìm x không âm biết:

x =2

 2 + 2  2 − 2 
b) Rút gọn biểu thức P = 
+ 1
− 1 .

 2 + 1  2 − 1 
TS lớp 10 Đà Nẵng 13 - 14

ĐS: a) x = 4 b) P = 1

1.108 a) Rút gọn biểu thức: A = 12 + 27 − 48
x y+y x
1
b) Chứng minh:
:
= x − y với x > 0 , y > 0 và x ≠ y .
xy
x− y
ĐS: a) A = 3

TS lớp 10 Đăk Lăk 13 - 14

(
1.109 Cho biểu thức sau: M =

2

) (

x +1 −

)

2

x −1

x x+ x

+

8
, với x > 0 , x ≠ 1 .
x −1
2

a) Rút gọn biểu thức M .
b) Tìm tất cả các giá trị của x để M > 0 .
TS lớp 10 Đăk Nông 13 - 14

ĐS: a) M = 4 / ( x − 1) b) x > 1

a +1
a −1
−
, với a ≥ 0 , a ≠ 1 .
a −1
a +1
a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị biểu thức A tại a = 2 .

1.110 Cho biểu thức A =

TS lớp 10 Đồng Nai 13 - 14
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: a) A =

4 a
b) A = 4 2
a −1
17


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.111 a) Cho hai biểu thức: A = x − 3 và B = 9 − 4

ii) Với giá trị nào của x thì A = B .


x
x  
1 
b) Chứng minh: 
−
 ⋅  x −
 = 2 , với x > 0 , x ≠ 1 .
x +1  
x
 x −1
TS lớp 10 Đồng Tháp 13 - 14
i) Tính B .

1.112 Rút gọn các biểu thức sau
a− a
a −1
a) A =
−
, với a ≥ 0 , a ≠ 1 .
a −1
a +1

b) B =

TS lớp 10 Hà Nam 13 - 14
1.113 Với x > 0 , cho hai biểu thức A =

2+ x
và B =

x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64 .

TS lớp 10 Hà Nội 13 - 14

ĐS: a) i) B = 1 ii) x = 4

4+ 2 − 3− 6 + 8
2+ 2 − 3
1
ĐS: a) A =
b) B = 1 + 2
a +1

x −1 2 x +1
+
x
x+ x

b) Rút gọn B .
ĐS: 36 km/ha) A =

A 3
> .
B 2
x +2
c) 0 < x < 4
x +1

c) Tìm x để
5
b) B =
4

1.114 Rút gọn các biểu thức sau:
1  x +3
 1
, với x > 0 , x ≠ 9 .
+
Q=
⋅
x −3
x
 x +3
2
ĐS: a) P = 7 3 b) Q =
x −1

a) P = 12 − 27 + 2 48

TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14

1.115 Rút gọn biểu thức: A =

x −2 x +3
x −1
1
, với x ≥ 0 .
+

−
x x +1
x − x +1
x +1
ĐS: A =

TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14

1
x +1

1.116 Rút gọn các biểu thức sau:

a)

(

M = 3 50 − 5 18 + 3 8

)

2

b) N = 6 + 2 5 − 6 − 2 5

TS lớp 10 Hải Phòng 13 - 14
1
1
+
.

2+ 3 2− 3
TS lớp 10 Lâm Đồng 13 - 14

1.117 a) Thực hiện phép tính:

ĐS: a) M = 12 b) N = 2

b) Rút gọn biểu thức:

6 +4+ 7+2 6

ĐS: a) 4 b)

3+ 2

1.118 a) Tính giá trị của các biểu thức: A = 9 + 4 ; B = ( 2 + 1) 2 − 2
 1

1
x
b) Rút gọn: C = 
, với x > 0 , x ≠ 1 .
−
⋅

2
x
+
1
(

x
)
+
x
x
−
1


ĐS: a) A = 5; B = 1 b) C = 1 / ( x + 1)
TS lớp 10 Lạng Sơn 13 - 14

1.119 a) Tính A = 2 16 − 49

 a + a  a − a ) 
b) Rút gọn: B = 1 +

 1 − a − 1  , với a ≥ 0 , a ≠ 1 .
a + 1 


TS lớp 10 Phú Thọ 13 - 14
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: a) A = 1 b) B = 1 − a
18


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.120 a) Thực hiện phép tính: i)

3. 12

ii) 3 20 + 45 − 2 80

1   a +1
a +2
 1
b) Cho: P = 
−
−
 , với a > 0 , a ≠ 1 và a ≠ 4 .
 : 
a   a −2
a − 1 
 a −1
i) Rút gọn P .

ii) So sánh giá trị của P với số

TS lớp 10 Lào Cai 13 - 14

1
.
3

ĐS: a) i) 6 ii)

5 b) i) P =

a −2
1
ii) P <
3
3 a

1.121 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 2 9 + 25 − 5 4

x y+y x
b) B = 
 ⋅

xy



(

)

x − y , với x > 0 , y > 0 .
ĐS: a)A = 1 b) B = x – y

TS lớp 10 Long An 13 - 14


x +2
x −2
x
−
1.122 Cho biểu thức: A = 
, với x > 0 , x ≠ 1 .
 :
 x + 2 x +1 x −1  x +1
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
TS lớp 10 Nam Định 13 - 14
ĐS: a) A = 2 / ( x − 1) b) x = 2; x = 3
1 
1
 2
1.123 Cho biểu thức P = 
+
:

x +2 x +2
 x−4
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P .

TS lớp 10 Nghệ An 13 - 14

1.124 Cho biểu thức: P( x) =

b) Tìm x để P =

2
.
3

ĐS: a) x ≥ 0, x ≠ 4 ; P =

x
b) x = 36
x −2

x − 2 x +1  x + x 
⋅
+ 1 , với x ≥ 0 , x ≠ 1
x − 1  x + 1 

a) Rút gọn biểu thức P ( x ) .

b) Xác định x để: 2 x 2 + P ( x ) ≤ 0 .

TS lớp 10 Ninh Thuận 13 - 14

ĐS: a) P( x) = x − 1 b) 0 ≤ x ≤ 1 / 2

1  1 
 1
1.125 Cho biểu thức A = 
−
 1 −  , với x > 0 , x ≠ 1 .
x +1  x 
 x −1

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

TS lớp 10 Quảng Bình 13 - 14

ĐS: a) A = 2/ x b) x = 4

1.126 a) Tính A = 3 16 + 5 36

b) Chứng minh rằng với x > 0 và x ≠ 1 thì

TS lớp 10 Quảng Ngãi 13 - 14
3
4
21
+
−
7 + 2 3− 7
7
TS lớp 10 Tiền Giang 13 - 14

x
1
−
=
x −1 x − x

x +1
.
x

ĐS: a) A = 42

1.127 Rút gọn biểu thức: A =

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: A = 4
19


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.128 a) Tính A =

50 − 25
36

b) Rút gọn biểu thức: B =

x
x − 2x
+
, với x > 0 và x ≠ 1
x −1 x − x

TS lớp 10 Quảng Ninh 13 - 14

ĐS: a) A = 15/2 B) b = x − 1

1.129 Tính giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
2
−2 2
a) A =
b) B = 3 8 − 50 − ( 2 − 1)2
2 −1
TS lớp 10 Thừa Thiên – Huế 13 - 14
1.130 a) Tıń h giá tri cu
̣ ̉ a biể u thức A =

ĐS: a) A = 2 b) B = 1

1
1
+
6 −2
6+2

b) Rú t goṇ biể u thức B = x − 1 − 2 x − 2 + 1 + x − 2 với 2 ≤ x < 3

TS lớp 10 Cà Mau 14 - 15
1.131 Rút gọn: A =

ĐS: a) A = 6 / 2 b) B = 2

x +1
10 x
2 x −3
−

+
x +3 x −4
x + 4 1− x

(x ≥ 0; x ≠ 1)

TS lớp 10 Hải Dương 14 - 15

ĐS: A = (7 − 3 x ) / ( x + 4)

1.132 a) Tính giá trị của biểu thức A =

x +1
khi x = 9 .
x −1

1  x +1
 x−2
b) Cho biểu thức P = 
với x > 0 và x ≠ 1
+
.
x + 2  x −1
 x+2 x

x +1
x

i) Chứng minh rằng P =

ii) Tìm các giá trị của x để 2 P = 2 x + 5
TS lớp 10 Hà Nội 14 - 15

ĐS: a) A = 2 b) i) HS tự cm ii) x = 1/4

 1
x 
1
1.133 Cho biểu thức A = 
−
 :
 x −1 x −1  x + 1
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A .
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 0 .
TS lớp 10 Nghệ An 14 - 15
1.134 Cho biểu thức: A =

a) Rút gọn A .

ĐS: a) x ≥ 0 và x ≠ 1 b) 0 ≤ x < 1

1
1
a
+
+
với a ≥ 0 ; a ≠ 4
a +2
a −2 a−4
b) Tính giá trị của biểu thức A −

TS lớp 10 Quảng Bình 14 - 15

2
khi a = 7 + 4 3
3
ĐS: a) A = x / ( x − 2) b) A = 1

1.135 a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau: A = ( 22 + 7 2 ) 30 − 7 11
 x
x −1
x +6  x +2 
b) Rút gọn biểu thức B = 
−
−
− 1 , với x ≥ 0 ; x ≠ 4 .
:
x +2 x−4   x −2 
 x −2
TS lớp 10 Thái Nguyên 14 - 15
ĐS: a) A = 38 b) B = ( x − 2) / ( x + 2)
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

20


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.136 Tính A = 3x 2 − 2 x − x 2 − 1 với x = 2 .

TS lớp 10 Bình Dương 15 - 16

ĐS: A = 3 − 1

1.137 Thu gọn các biểu thức sau:

x
x −1
x − 10
+
+
( x ≥ 0, x ≠ 4)
x−4
x −2
x +2

a) A =

(

)(

)

b) B = 13 − 4 3 7 + 4 3 − 8 20 + 2 43 + 24 3

TS lớp 10 TPHCM 15 - 16
1.138 Rút gọn biểu thức: P =

ĐS: A = 2 ; B = 35

2
3
− 27 +
3 −1
3

TS lớp 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 15 - 16

(

ĐS: A = 1 − 3

)

1.139 a) Tính giá trị biểu thức A = 2 5 16 − 4 25 + 64

 1
1
4 x  x +1
b) Rút gọn: B = 
−
+
với x ≥ 0; x ≠ 4
:
x + 2 x − 4  x − 4
 x −2
TS lớp 10 Bắc Giang 15 - 16

ĐS: A = 8; B = 4


a + a 
a −5 a 
1.140 Rút gọn biểu thức: A =  3 +
  3 −
 với a ≥ 0, a ≠ 25
a
a
+
1
−
5



TS lớp 10 Bắc Ninh 15 - 16
1− a a
 1− a 
+ a  . 
1.141 Rút gọn biểu thức P = 

 1− a
  1− a 
TS lớp 10 Bình Định 15 - 16

2

1.142 Rú t goṇ biể u thức: a) A = 27 − 2 12 − 75

ĐS: P = 1

b) B =

1
1
+
3+ 7 3− 7

TS lớp 10 Bình Thuận 15 - 16
1.143 Rút gọn: A =

1

ĐS: A = −6 3 ; B = 3

1

+

2+ 4+2 3
TS lớp 10 Cà Mau 15 - 16

ĐS: A = 9 − a

2− 4−2 3
ĐS: A = 1

x y
+ với x = 2 − 3 và y = 2 + 3
y x
TS lớp 10 Cần Thơ 15 - 16

1.144 Tính giá trị biểu thức P =

1.145 a) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn của biểu thức

ĐS: P = 4

28a 4

 21 − 7
10 − 5 
1
b) Tính giá trị của biểu thức : A = 
+
 :
3 −1
2 −1  7 − 5


TS lớp 10 Đà Nẵng 15 - 16

ĐS: a) 2a 2 7 b) A = 2

2
1
+ ⋅ 18

2+2 3
TS lớp 10 Đồng Nai 15 - 16

ĐS: 2

1.146 Tính

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

21


TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

1.147 a) Cho biểu thức: P = 81 − 2 9 và H = 2 x + 1 với x ≥ −

1
2

ii) Tìm x để H = 3 .
2x
1
b) Cho biểu thức: Q = 2
−
với x ≠ ±2 . Rút gọn Q .
x −4 x−2
i) Tính P .

ĐS: a) P = 3; x = 4 b) Q =

TS lớp 10 Đồng Tháp 15 - 16

1
x+2

1.148 a) Rút gọn biểu thức: A = 8 − 7 32 + 5 50

b) Cho biểu thức: B =

x− x
2
+
− 1 với x ≠ 0, x ≠ 4 . Rút gọn B và tìm x đề B = 1 .
x−4 2− x

TS lớp 10 Hà Nam 15 - 16

ĐS: a) A = − 2 b) B =

3 x
; x =1
x−4

x+3
x −1 5 x − 2
và Q =
+
với x > 0; x ≠ 4

x−4
x −2
x +2
a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.
b) Rút gọn biểu thức Q.
P
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm giá trị của x để biểu thức
Q

1.149 Cho hai biểu thức P =

TS lớp 10 Hà Nội 15 - 16

1.150 Rút gọn các biểu thức:

ĐS: a) P = 12 b) ;

a) P =


x +2 1
b) Q =  1 +
với x > 0, x ≠ 4.
 .
x
−
2
x




1
1
+
.
2− 3 2+ 3

ĐS: a) P = 4 b) ; Q =

TS lớp 10 Hà Tĩnh 15 - 16
1.151 Rút gọn biểu thức A =

(

a +2

P
= 2 3 khi x = 3
Q min

)(

) (

a −3 −

)

2

x −2

2

a + 1 + 9a với a ≥ 0

TS lớp 10 Hải Dương 15 - 16

ĐS: A = −7

1.152 Rút gọn các biểu thức sau:

(

a) A = 125 − 4 45 + 3 20 − 80

b) B = 3 2 + 6

)

TS lớp 10 Hải Phòng 15 - 16

6−3 3

ĐS: A = −5 5 b) B = 6

1.153 a) Tính giá trị của các biểu thức:

A=

(

) (

2 +4 −

(2 + 3 ) −

)

2 − 2 ; B = 25 + 16 ; C =

3

1 
 1
b) Rút gọn biểu thức: P = 
−
 . x x + x với x > 0
x +1
 x
TS lớp 10 Lạng Sơn 15 - 16
ĐS: a) A = 6; B = 9; C = 2 ; b) P = x

(

)

1.154 a) Tính A = 50 + 18 − 98

b) Rút gọn biểu thức B =

x − 12
6
+
với x > 0, x ≠ 36
6 x − 36 x − 6 x

TS lớp 10 Kiên Giang 15 - 16
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: A = 2 ; B =

x −6
6 x
22


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.155 Rút gọn P =

(

3+2

)

2

+

(

3−2

)

2

TS lớp 10 Hưng Yên 15 - 16

ĐS: P = 4

1.156 Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổ i)

a) 2 32 − 3 27 − 4 8 + 3 75
 a − a  a + 2 a 
b)  1 +

1 − a + 2  với a ≥ 0, a ≠ 1
a
−
1




TS lớp 10 Long An 15 - 16

ĐS: a) A = 6 3 ; b) B = 10a

 3 x
 x +1
1
1.157 a) Rút gọn biểu thức: A = 
−
− 3  ⋅
với x ≥ 0; x ≠ 1
x
−
1
x
+
1
x
+
2



b) Chứng minh đẳng thức:

7−4 3 + 4+2 3 =3
ĐS: a) A =

TS lớp 10 Nam Định 15 - 16

2
; b) HS tự CM
x −1

1
4
−
x −2 x−4
a) Tìm điều kiệu xác định và rút gọn biểu thức P .
1
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
4

1.158 Cho biểu thức P =

ĐS: a) x ≥ 0; x ≠ 4; P =

TS lớp 10 Nghệ An 15 - 16

1
2
; b) P =
5
x +2

1.159 a) Rút gọn biểu thức: A = 3 2 + 4 18

 a + a  a − a 
b) Rút gọn biểu thức: P = 
+ 1

 a − 1 − 1 với a ≥ 0; a ≠ 1
a
+
1




TS lớp 10 Ninh Bình 15 - 16
1.160 Cho biểu thức: P =

ĐS: a) A = 15 2 ; b) P = a − 1

2+ x 2− x
+
với x ≥ 0; x ≠ 1
x +1
x −1

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tính giá trị của P khi x = 17 + 12 2 .

TS lớp 10 Ninh Thuận 15 - 16

ĐS: a) P =

2 x
; b) P = 1
x −1

1.161 a) Thực hiện phép tính: 4 16 − 3 9

 a+ a

a− a
b) Rút gọn biểu thức: M = 
+ 1  1 +
 với a ≥ 0 và a ≠ 1.
 a +1 
1
−
a




TS lớp 10 Quảng Ngãi 15 - 16
ĐS: a) A = 7 ; b) M = 1 − a
1.162 Cho biểu thức: P =

x + x 2 x −1 x − 6 x + 4
−
+
với x ≥ 0, x ≠ 4.
x−4
x −2
x +2

a) Rút gọn biểu thức P .

TS lớp 10 Thái Bình 15 - 16
Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

b) Tìm giá trị của P khi x = 9 + 4 5. .
x +1
ĐS: a) P =
; b) P = 2 5 + 4
x −2
23


Chuyên đề 1. Căn bậc hai và căn bậc ba

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1.163 Thực hiêṇ cá c phé p tıń h:

a) A = 2 3 − 12 − 9

b) B = 3

TS lớp 10 Tây Ninh 15 - 16

(

12 + 27

)

ĐS: a) A = −3 ; b) B = 15

1.164 a) Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức: A =

(

5−2

)(

)

5+2 −

7−4 3

.

3−2

1 
3 
1
 1
b) Cho biểu thức: B = 
+
 1 −
 . Rút gọn B và tìm x để B = 3
x − 3 
x
 x +3

ĐS: a) A = 2 ; b) B =

TS lớp 10 Thái Nguyên 15 - 16

1.165 Cho biểu thức P =

4
3
6 a +2
+
−
(với a ≥ 0 và a ≠ 1)
a −1
a −1
a +1

a) Rút gọn P .

b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 6 + 2 5

1.166 Rút gọn biểu thức sau: A =

(3 − 2 )

1
; b) p = 5 − 2
a +1

ĐS: a) P =

TS lớp 10 Thanh Hóa 15 - 16
2

+ 2
ĐS: A = 3

TS lớp 10 Tiền Giang 15 - 16
1.167 a) Tìm x để biểu thức: A = 2 x − 4 có nghĩa. b)

TS lớp 10 Trà Vinh 15 - 16
1.168 a) Tính A = 2 5 + 3 45 − 500

TS lớp 10 Vĩnh Long 15 - 16
1.169 Tính P =

2
x +3

Tính: B =

(2 − 3)

2

+ 3.
ĐS: a) x ≥ 2 b) B = 2

b)

Rút gọn biểu thức: B =

(

)

5 −1

6+2 5

ĐS: a) A = 5 b) B = 4

4−2 3

1− 3
TS lớp 10 Vĩnh Phúc 15 - 16

Gv. Nguyễn Duy Chiến – Trần Quốc Nghĩa

ĐS: P = −1

24