Về độ đo phổ ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------

TRẦN XUÂN QUÝ

VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TOÁN TỬ
NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------

TRẦN XUÂN QUÝ

VỀ ĐỘ ĐO PHỔ NGẪU NHIÊN VÀ TOÁN TỬ
NGẪU NHIÊN TRỪU TƯỢNG TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành:
Mã số:

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
62 46 01 06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng

TS. Nguyễn Thịnh
Chủ tịch Hội đồng

T.M Tập thể hướng dẫn

GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng

HÀ NỘI - 2015


L I CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nh ng k t qu trình bày trong lu n án là m i. Các k t
qu vi t chung v i th y hư ng d n GS. TSKH. Đ ng Hùng Th ng và TS. Nguy n
Th nh, đã đư c s đ ng ý c a các th y hư ng d n khi đưa vào lu n án. Nh ng k t
qu đư c trình bày trong lu n án là trung th c và chưa t ng đư c công b trong b t
kỳ công trình nào khác.
Tác gi lu n án

Tr n Xuân Quý

i


L I C M ƠN
Lu n án đư c hoàn thành dư i s quan tâm, đ ng viên, khích l và
hư ng d n t n tình c a GS. TSKH. Đ ng Hùng Th ng và TS. Nguy n Th nh.
Nhân d p này tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c c a mình đ i v i hai Th y.
Tác gi xin đư c c m ơn Ban Giám hi u, Khoa Toán - Tin, Trư ng ĐH Khoa h

c, ĐHTN; B môn Xác su t Th ng kê, Ban ch nhi m Khoa Toán - Cơ - Tin h c,
Phòng sau Đ i h c, Ban giám hi u Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên Hà N i,
Khoa Sau đ i h c, ĐHQGHN đã t o nhi u đi u ki n thu n l i trong su t quá trình
làm nghiên c u sinh.
Tác gi xin c m ơn các thành viên c a seminar Toán t ng u nhiên, đã t o đi u
ki n cho tác gi trình bày và giúp tác gi ki m tra các k t qu nghiên c u.
Tác gi xin g i l i c m ơn t i qu NAFOSTED, đã h tr kinh phí cho tác gi
trong quá trình nghiên c u.
Cu i cùng, tác gi xin bày t lòng bi t ơn các thành viên c a đ i gia đình, đã
luôn đ ng viên, chia s và là ch d a v ng ch c v m i m t.

NCS. Tr n Xuân Quý

ii


M cl c
i

L i cam đoan

ii

L i c m ơn

v

B ng ký hi u

1

M đu

5

Chương 1. M t s ki n th c chu n b
1.1

M t s k t qu v lý thuy t ph c a toán t tuy n tính t t
đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Toán t tuy n tính liên t c . . . . . . . . . . . . . Toán t liên

5

1.1.2

h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toán t t liên h p, Hermit,

9

1.1.3

và chu n t c . . . . . Đ nh lý bi u di n ph cho toán t chu

1.1.4

n t c, toán t Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

12
1.2

Toán t ng u nhiên tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

Đ nh nghĩa, các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . M t s tính

14

1.2.2

ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . Toán t ng u nhiên tuy n

16

1.2.3

tính b ch n . . . . . . . Toán t ng u nhiên tuy n tính liên h

17

1.2.4

p . . . . . . . Toán t ng u nhiên suy r ng tuy n

23

1.2.5

tính . . . . . .

25
iii



Chương 2. Đ đo ph ng u nhiên và đ nh lý ph cho toán t
ng u nhiên tuy n tính
2.1

2.2

29

Đ nh lý ph cho toán t ng u nhiên tuy n tính chu n t c
và toán t ng u nhiên tuy n tính Hermit . . . . . . . . . .

30

Đ đo ph ng u nhiên suy r ng . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.1

Toán t ng u nhiên chi u . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.2

Đ đo ph ng u nhiên suy r ng . . . . . . . . . . .

35

Chương 3. Toán t

ng u nhiên tr u tư ng trên không gian

unitary xác su t

51

3.1

Không gian Banach xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2

Toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính . . . . . . . . .

63

3.3

Liên h p c a toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính trên
không gian Hilbert xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . .

70
77

K t lu n và ki n ngh
K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ki n ngh v nh ng
nghiên c u ti p theo . . . . . . . . . . . . . Danh m c công trình khoa h c c
a tác gi liên quan đ n lu n án

77
78
80
81

Tài li u tham kh o

87

Ch m c

iv

B ng ký hi u
Α, Φ
B(S)
Β(X)
C[a, b]
Η
h.c.c.
Λ(X, Y )
Λ(X)

σ-đ i s
T p các ánh x đo đư c b ch n trên S

σ-đ i s Borel c a X
Không gian các hàm s liên t c trên [a, b]
Không gian Hilbert xác su t
H u ch c ch n
T p các toán t tuy n tính liên t c t X vào Y T p các
toán t tuy n tính liên t c t X vào X

ΛX(Ω)

T p h p các bi n ng u nhiên X-giá tr

0

T p h p các bi n ng u nhiên th c ho c ph c

Λ0(Ω)

Λ+(Ω)

T p h p các bi n ng u nhiên th c không âm

0

ΛH(Ω)

T p h p các bi n ng u nhiên H-giá tr

0

Trư ng s th c ho c ph c

K
(Ω, Φ, P ) Không gian xác su t đ y đ
p-lim
Q
R
r(T )
Ρ(T )

σ(T )

Ξ,Ψ


G

c a s h i t theo xác su t

i

T p h p các s h u t T p h
p các s th c

i

Bán kính ph c a toán t tuy n tính T
Mi n giá tr c a toán t tuy n tính T T p ph

h

c a toán t tuy n tính T . Các không gian
Banach xác su t.

n

v


M đu
1. Lý do ch n đ tài
Môi trư ng chúng ta đang s ng là m t môi trư ng ng u nhiên, luôn b can thi
p và tác đ ng b i các nhân t ng u nhiên. Chính vì v y mà Gi i tích trong môi
trư ng ng u nhiên (g i t t là Gi i tích ng u nhiên) là m t lĩnh v c Toán h c phát
tri n nhanh và m nh c v lý thuy t và ng d ng. M t s lư ng l n các bài báo v Gi i
tích ng u nhiên đư c tóm t t trong Math.Review đã minh ch ng đi u đó. Gi i
tích ng u nhiên mang tính liên ngành, có quan h m t thi t v i nhi u chuyên
ngành toán h c khác.

Lý thuy t toán t ng u nhiên tuy n tính là m t trong nh ng hư ng nghiên c u l
n c a Gi i tích ng u nhiên. Toán t ng u nhiên tuy n tính thu hút đư c s quan tâm
c a nhi u nhà nghiên c u không ch b i nó là s m r ng t t t đ nh sang ng u nhiên
c a lý thuy t các toán t tuy n tính mà còn v t m ng d ng r ng l n c a nó trong
nhi u ngành khoa h c khác. N u như lý thuy t các toán t tuy n tính t t đ nh là m
t lâu đài đ s c a toán h c, đã tích lũy đư c m t n i dung h t s c phong phú, các k t
qu và phương pháp c a nó đư c ng d ng trong nhi u ngành khác nhau c a toán
h c lý thuy t và toán ng d ng thì lý thuy t toán t ng u nhiên
tuy n tính hãy còn non tr và đang

giai đo n phát tri n ban đ u. Hi n

t i lý thuy t các toán t ng u nhiên tuy n tính đã thu đư c m t s k t qu m i, lý thú
cùng v i nhi u bài toán còn b ng (xem [38]-[48]).
1


Hơn n a th k tr l i đây, hư ng nghiên c u này đã nh n đư c s quan
tâm c a nhi u nhà toán h c và thu đư c nhi u k t qu . Tuy nhiên, ph n l n các k t
qu nghiên c u c a lý thuy t toán t ng u nhiên l i t p trung vào phương trình toán
t ng u nhiên, ch y u là đi m b t đ ng ng u nhiên, m r ng các k t qu m t cách
riêng l , không h th ng. Kh i đ u v i các k t qu nghiên c u v đi m b t đ ng ng u
nhiên là O. Hans và A. Spacek trong nh ng năm 1950 (xem [25]-[28]). Sau các
k t qu này, nhi u k t qu m r ng đã đư c ch ng minh. Lý thuy t toán t ng u nhiên
th c s đư c ti p thêm s c m nh b i s ra đ i c a các cu n sách Random integral
equations (1972) c a A.T. Bharucha-Reid. V i các k t qu nghiên c u c a A.V
Skorohod và là tác gi cu n sách Random Linear Operators (1984), nghiên c
u toán t ng u nhiên trong không gian Hilbert, xem xét s h i t y u và m nh c a
các toán t ng u nhiên, hàm các toán t ng u nhiên, phương trình và tích phân ng
u nhiên. Đã thu hút nhi u nhà toán h c m r ng các k t qu c a lý thuy t toán t ng

u nhiên. Nhi u nhà toán h c đã thành công trong vi c m r ng các k t qu . C th
hơn, g n đây nhóm nghiên c u đ ng đ u là Guo Tiexin đã thu đư c nhi u k t qu
ng u nhiên hóa các k t qu c a gi i tích hàm (xem [20]-[24]). Trong nư c, d n đ u
là GS. Đ ng Hùng Th ng cùng nhóm h c trò, t cu i nh ng năm 1980 tr l i đây b t
đ u nghiên c u v lý thuy t toán t ng u nhiên và đã thu nhi u k t qu (xem [38][48]). C th , v hư ng đi m b t đ ng ng u nhiên và phương trình ng u nhiên đư c
công b trong các công trình tiêu bi u là [2],[46],[48]; thác tri n toán t ng u nhiên
[3],[45]...
M t ch đ l n chính th ng c a lý thuy t toán t tuy n tính (t t đ nh) là lý thuy
t ph các toán t tuy n tính (g i t t là lý thuy t ph ). Theo s hi u bi t c a chúng tôi,
các k t qu nghiên c u v lý thuy t ph các toán t ng u nhiên tuy n tính đ n nay
còn tương đ i ít. Thành th
chúng tôi đã ch n đ tài nghiên c u cho lu n án là: V đ đo ph ng u
2


nhiên và toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính v i hy v ng g t hái
đư c nh ng k t qu m i trong lĩnh v c nghiên c u đ y h a h n này.
2. M c tiêu nghiên c u
Tìm đư c d ng ng u nhiên c a các đ nh lý ph t t đ nh (ch ng h n như đ nh lý
bi u di n ph c a toán t chu n t c, toán t t liên h p...).
Nói cách khác m c tiêu lu n án là m r ng các đ nh lý ph c a toán t tuy n tính t
t đ nh sang trư ng h p toán t ng u nhiên tuy n tính.
3. Đ i tư ng nghiên c u
Các toán t ng u nhiên tuy n tính trên không gian Hilbert.
4. Phương pháp nghiên c u
Lu n án s d ng các công c và k t qu c a xác su t, gi i tích, gi i tích hàm (lý
thuy t các toán t tuy n tính, không gian Hilbert), lý thuy t đ đo véc tơ, lý thuy t
xác su t trên các không gian vô h n chi u.
5. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n
Các k t qu c a lu n án b sung và làm phong phú thêm v lý thuy t

các toán t ng u nhiên tuy n tính. N u như lý thuy t ph các toán t
tuy n tính t t đ nh đã có r t nhi u áp d ng trong phương trình vi phân, phương
trình đ o hàm riêng, v t lý h c thì có cơ s đ hy v ng r ng lý thuy t ph các toán t
ng u nhiên tuy n tính s tìm đư c áp d ng trong phương trình vi phân ng u
nhiên, phương trình đ o hàm riêng ng u nhiên, v t lý th ng kê, v t lý lư ng t .
6. C u trúc lu n án
Lu n án đư c trình bày trong ba chương.
Chương 1: Trình bày th ng nh t m t s khái ni m cơ b n và m t s
k t qu c a các tác gi khác mà đư c s d ng trong ph n sau c a lu n án. Trư c tiên
chúng tôi trình bày l i m t s khái ni m và k t qu v toán t tuy n tính t t đ nh, đ đo
ph t t đ nh, tích phân c a hàm đo đư c b ch n đ i v i đ đo ph t t đ nh và m t s k
t qu liên quan, ch ng h n
3


như: Đ nh lý h i t b ch n đ i v i đ đo ph t t đ nh và k t qu bi u
di n ph c a toán t t t đ nh s đư c xây d ng phiên b n ng u nhiên
Chương 2. Ti p theo chúng tôi trình bày l i khái ni m v toán t ng u nhiên tuy n
tính và m t s k t qu đã đ t đư c và toán t ng u nhiên suy r ng tuy n tính.
Chương 2: Trình bày m t ph n k t qu chính c a lu n án v bi u di n ph c a
toán t ng u nhiên tuy n tính: trư c tiên chúng tôi đưa ra đ nh nghĩa đ đo ph ng
u nhiên, toán t ng u nhiên chi u và đ đo ph ng u nhiên suy r ng. Xây d ng tích
phân c a hàm đo đư c b ch n đ i v i đ đo ph ng u nhiên suy r ng. Ch ng minh
đư c đ nh lý h i t b ch n đ i v i đ đo ph ng u nhiên suy r ng và m i đ đo ph ng u
nhiên suy r ng có b n sao là đ đo ph ng u nhiên.
Chương 3: Chúng tôi đưa ra khái ni m không gian ng u nhiên t ng quát, ch
ng h n như: không gian tuy n tính xác su t, không gian đ nh chu n xác su t,
không gian Banach xác su t và không gian Hibert xác su t. Ti p theo chúng tôi
trình bày khái ni m toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính, m r ng m t s k t qu
đ t đư c trên không gian ng u nhiên t ng quát. Chúng tôi ch ng minh đư c

phiên b n ng u nhiên c a đ nh lý bi u di n Riesz. Ng u nhiên hóa k t qu c a
Friedrichs - Stone -Wintner trong trư ng h p t t đ nh cho toán t đ i x ng n a b
ch n. Ch ra đư c r ng
n u Φ : D(Φ) → Η là toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n tính t liên
h p và α là s ph c v i ph n o khác không thì Φ = αI − Φ : D(Φ) → Η
−1

α

là song ánh và (Φ ) : Η → Η là toán t ng u nhiên tr u tư ng tuy n
α

tính chu n t c.
Hà N i, ngày 05 tháng 15 năm 2015
Tác gi lu n án
NCS. Tr n Xuân Quý
4


Chương 1

M t s ki n th c chu n
b
1.1

Mts

k t qu

v

lý thuy t ph

ca

toán t tuy n tính t t đ nh
Trong m c này s trình bày toán t tuy n tính liên t c, toán t tuy n tính
liên h p, đ i x ng, chu n t c, t liên h p, đ nh lý bi u di n ph cho toán t chu n t c.
M t s k t qu liên quan đ n các bài toán m r ng cho toán t ng u nhiên cũng s đư
c trình bày.

1.1.1

Toán t tuy n tính liên t c

Gi s H1 và H2 là hai không gian vector trên trư ng K. Toán t tuy n
tính T t H1 vào H2 là m t ánh x tuy n tính t D(T ) vào H2 (v i D(T )
là m t không gian con c a H1, và ta có th vi t là T : ∆(T ) ⊂ H1 → H2).
D(T ) đư c g i là mi n xác đ nh c a T, t p h p Ρ(T ) = {T x : x ∈ D(T )}
đư c g i là mi n giá tr c a T (hay là nh c a T ). Vì ch xét toán t tuy n
tính, nên xuyên su t ph n này ta s th ng nh t g i là toán t thay vì g i
5


toán t tuy n tính.
N u H1 = H2 = H thì T đư c g i là toán t trên H. Toán t t H vào
K đư c g i là phi m hàm tuy n tính. Mi n giá tr c a toán t T là không
gian con c a H2. M t toán t là đơn ánh n u và ch n u T x = 0 suy ra
x = 0. Trong trư ng h p này toán t ngư c T

−1

c a T đư c xác đ nh như

sau
−

−

D(T 1) = Ρ(T ), T 1y = x v i y = T x ∈ Ρ(T ).
Ta có T

−1

là toán t t H2 vào H1. V i toán t T t H1 vào H2 và a ∈ K,

toán t aT đư c xác đ nh như sau
D(aT ) = aD(T ), (aT )x = a(T x) v i x ∈ D(aT ).
Xét hai toán t S, T t H1 vào H2, toán t t ng S + T đư c xác đ nh như
sau
D(S + T ) = D(S) ∩ D(T ), (S + T )x = Sx + T x v i x ∈ D(S + T ).
N u S là toán t t H1 vào H2 và T là toán t t H2 vào H3 thì toán t
tích T S đư c đ nh nghĩa như sau
D(T S) = {x ∈ D(S) : Sx ∈ D(T )}, (T S)x = T (Sx) v i x ∈ D(T S).
Gi s S và T là hai toán t t H1 vào H2. Toán t T đư c g i là m t m
r ng (hay thác tri n) c a S n u ta có
D(S) ⊂ D(T ) và Sx = T x v i x ∈ D(S).
Ta ký hi u S ⊂ T .
Gi s H1 và H2 là hai không gian đ nh chu n v i chu n tương ng là

• 1, • 2. Toán t T t H1 vào H2 đư c g i là liên t c t i x ∈

D(T ) n u,

v i m i dãy (xn) ⊂ D(T ) th a mãn limn xn = x thì ta có limn T xn = T x. Toán t T đư c
g i là liên t c n u nó liên t c v i m i x ∈ D(T ). Toán
6


t T đư c g i là b ch n n u t n t i C

0đ

Tx

2

Cx

1

vimi

x ∈ D(T ).
Đ nh lý 1.1.1. ([50], Đ nh lý 4.2). Gi s T là m t toán t t H1 vào H2.
Khi đó ta có các kh ng đ nh sau là tương đương:
(a) T liên t c,
(b) T liên t c t i 0,
(c) T b ch n.
T là toán t b ch n t H1 vào H2, chu n T đư c xác đ nh như sau

T = inf{C

Tx

0:

Cx

2

Ký hi u Λ(H1, H2) là t p các toán t

1

v i m i x ∈ D(T )}.

b ch n t

xác đ nh H1, ta có Λ(H1, H2), .

H1 vào H2 v i mi n

là không gian đ nh chu n, n u H2 là

không gian Banach thì Λ(H1, H2), .

cũng là không gian Banach. N u

S ∈ Λ(H1, H2) và T ∈ Λ(H2, H3) thì T S ∈ Λ(H1, H3) v i chu n
D(T S) = {x ∈ H1 : Sx ∈ D(T ) = H2} = H1

và
T Sx

3

S.T

. x

23

1

v i m i x ∈ H1.

Ta s ký hi u Λ(H) thay cho Λ(H, H). V i S, U, T ∈ Λ(H) thì ta có
S(T + U ) = ST + SU, (S + T )U = SU + T U.
Toán t I v i mi n xác đ nh D(I) = H và Ix = x v i m i x ∈ H. D th y
r ng I = 1 và IT = T I = T v i m i T ∈ Λ(H). Ta g i I là toán t đ ng
nh t trên H.
Toán t T : ∆(T ) ⊂ H1 → H2 đư c g i là xác đ nh trù m t n u D(T )
là t p trù m t trong H1.
7

•

23

vì

Đ nh lý 1.1.2. ([50], Đ nh lý 4.5). Gi s T là toán t tuy n tính b ch n
t không gian đ nh chu n H1 vào không gian Banach H2. Khi đó t n t i
duy nh t m t toán t m r ng b ch n S c a T sao cho D(S) = D(T ), và
ta có S = T .
Ti p theo ta xét phi m hàm tuy n tính liên t c xác đ nh trên không
gian Hilbert H. Đ nh lý bi u di n Riesz là m t đ nh lý có ý nghĩa cơ b n trong
toàn b lý thuy t không gian Hilbert.
Đ nh lý 1.1.3. (F. Riesz). ([50], Đ nh lý 4.8). V i m i a ∈ H t n t i
phi m hàm tuy n tính liên t c Ta v i D(Ta) = H và
Ta(x) = a, x

(1.1)

Ta = a .

(1.2)

vi

Ngư c l i, b t kỳ phi m hàm tuy n tính liên t c Ta nào đó trên không gian
Hilbert H đ u có th bi u di n m t cách duy nh t dư i d ng (1.1) trong đó
a ∈ H th a mãn (1.2).
Ti p theo, chúng tôi nh c l i các khái ni m v giá tr riêng, vector riêng,
t p ph và t p gi i c a toán t (toán t tuy n tính t t đ nh). S z đư c g i là giá tr
riêng c a toán t T n u t n t i x ∈ ∆(T )∴{0} sao cho T x = zx, nghĩa là toán t z −T
= zI −T không ph i là đơn ánh (Ker(z −T ) = {0}). Ph n t x đư c g i vector riêng c a
toán t T ng v i giá tr riêng z. Không gian con Ker(z −T ) đư c g i là không gian giá
tr riêng c a z. N u z không ph i là giá tr riêng c a toán t T thì ta đ t R(z, T ) = (z −
−

T ) 1. T p h p

ρ(T ) = {z ∈ K : z − T đơn ánh, và R(z, T ) ∈ Λ(H)} đư c g i là t p gi i
c a toán t T , v i K là trư ng s th c ho c ph c. N u toán t T không
đóng thì z −T và R(z, T ) cũng không đóng, do đó ρ(T ) = ∅. N u toán t T
8


đóng thì theo đ nh lý đ th đóng ta có ρ(T ) = {z ∈ K : z −T là song ánh}.
Ánh x
R(., T ) : ρ(T ) → Λ(H) , z → R(z, T )
đư c g i là gi i c a toán t T . V i m i z ∈ ρ(T ) toán t R(z, T ) đư c g i
là gi i c a toán t T t i đi m z. T p h p σ(T ) = K∴ρ(T ) đư c g i là t p
ph c a toán t T .

1.1.2

Toán t liên h p

Đ nh nghĩa 1.1.4. Gi s H1, H2 là các không gian Hilbert và toán t
∗

T : ∆(T ) ⊂ H1 → H2 v i mi n xác đ nh ∆(T ) trù m t. Toán t T :
∗

∗

∆(T ) ⊂ H2 → H1 v i mi n xác đ nh ∆(T ) như sau
∗

∆(T ) = {y ∈ H2 : phi m hàm x → T x, y liên t c trên ∆(T )}
th a mãn
∗

∗

T x, y = x, T y v i m i x ∈ ∆(T ), y ∈ ∆(T ),
đư c g i là toán t liên h p c a T . Tương t , ta ký hi u T
liên h p c a T

∗∗

là toán t

∗

Đ nh lý 1.1.5. ([50], Đ nh lý 4.14). Gi s T là toán t xác đ nh trù m t
t H1 vào H2. Khi đó
∗

(a) T b ch n khi và ch khi T ∈ Λ(H2, H1).
∗

(b) N u T b ch n thì T = T .
(c) N u T b ch n thì T

∗∗

là thác tri n liên t c c a toán t T lên toàn b

∗∗

không gian H1. V i T ∈ Λ(H1, H2) ta có T = T.

9


∗

∗

N u S và T xác đ nh trù m t t H1 vào H2 và S ⊂ T thì T ⊂ S . Ta
có k t qu sau.
Đ nh lý 1.1.6. ([50], Đ nh lý 4.19, 4.20). Gi s T1, T2 tương ng là toán
t xác đ nh trù m t t H1 vào H2 và t H2 vào H3. Khi đó
∗

∗

∗

(a) N u T2T1 xác đ nh trù m t, thì ta có T1 T2 ⊂ (T2T1) .
∗

∗

∗

(b) N u T2 ∈ Λ(H2, H3), thì ta có (T2T1) = T1 T2 .
Gi s S, T là các toán t t H1 vào H2, khi đó

∗

∗

(a) N u T xác đ nh trù m t, thì ta có (aT ) = aT , ∀a = 0.
∗

∗

∗

(b) N u T1 + T2 xác đ nh trù m t, thì ta có T1 + T2 ⊂ (T1 + T2) .
∗

(c) N u S ∈ Λ(H1, H2) và T xác đ nh trù m t, thì ta có (T1 + T2) =
∗

∗

T1 + T2 .

1.1.3

Toán t t liên h p, Hermit, và chu n t c

Đ nh nghĩa 1.1.7. 1. Toán t T trên không gian Hilbert H đư c g i là
đ i x ng n u
T x, y = x, T y v i m i x, y ∈ D(T ).
2. Toán t T xác đ nh trù m t trên không gian Hilbert H đư c g i là
∗

∗

toán t chu n t c n u nó b ch n và T T = T T.
T trên không gian Hilbert H đư c g i là t

3. Toán t

liên h p n u

∗

T=T .
4. Toán t T trên không gian Hilbert H đư c g i là Hermit n u nó b
ch n, D(T ) = H và đ i x ng.
10


Toán t t liên h p là toán t chu n t c. N u T là toán t chu n t c
thì z + T cũng là toán t chu n t c, v i m i z ∈ K. N u T đ i x ng và
D(T ) = H thì T t liên h p.
Đ nh lý 1.1.8. ([50], Đ nh lý 5.23, 5.24).
(a) Toán t đ i x ng T trên không gian Hilbert ph c H là t liên h p n u
và ch n u σ(T ) ⊂ R.
(b) N u toán t T t liên h p thì các kh ng đ nh sau là tương đương
(i) z ∈ ρ(T ).
(ii) t n t i c > 0 sao cho (z − T )x

c x v i m i z ∈ D(T ), nghĩa
−

là (z − T ) là đơn ánh và R(z, T ) < c 1.
(iii) Ρ(z − T ) = H.
K t qu dư i đây đ m b o s t n t i c a toán t t liên h p m r ng
c a l p toán t đ i x ng. M t toán t đ i x ng S trên không gian Hilbert

γx

H đư c g i là b ch n dư i n u t n t i γ ∈ R sao cho x, Sx

2

vi

m i x ∈ D(S).
Đ nh lý 1.1.9. ([50], Đ nh lý 5.32). Gi s S là toán t đ i x ng trên không
gian Hilbert H và th a mãn đi u ki n t n t i γ ∈ R sao cho x, Sx

γx

v i m i x ∈ D(S). Khi đó v i m i θ < γ t n t i toán t m r ng t liên
h p T c a S th a mãn x, T x
θ

θ

θ x 2, ∀x ∈ D(Tθ).

Đ nh lý sau là m t k t qu m r ng cho toán t Hermit b ch n.
Đ nh lý 1.1.10. ([50], Đ nh lý 5.33). Gi s S là toán t Hermit b ch n

trên không gian Hilbert H khi đó t n t i toán t

m r ng t

liên h p

T ∈ Λ(H) c a S th a mãn T = S . N u Ρ(S) trù m t thì m i toán t thác tri n t liên h p c
a S là đơn ánh.
11

2


1.1.4

Đ nh lý bi u di n ph

cho toán t

chu n t c,

toán t Hermit
Trong ph n này chúng tôi s trình bày v đ đo ph và đ nh lý ph cho
toán t chu n t c và toán t Hermit. K t qu ng u nhiên hóa cho v n đ này trong
trư ng h p ng u nhiên s đư c trình bày trong chương 2.
Xét H là không gian Hilbert, M là không gian con đóng c a H. Khi đó v i
x ∈ H có bi u di n duy nh t d ng x = u + v v i u ∈ M và v ∈ M ⊥.
Xét ánh x P v i D(P ) = H và P x = u thì P là m t toán t tuy n tính
trên H, và đư c g i là toán t chi u tr c giao trên M . N u M = {0} thì
P = 0, còn n u M = {0} thì P

= 1. Vì P x = x ∀x ∈ M nên ta có

P 2 = P P = P. Ta l i có Ρ(P ) = M, Ker(P ) = M ⊥. Đ đơn gi n, ta g i toán t chi
u tr c giao là toán t chi u. Ta có đ nh nghĩa v đ đo ph như sau.
Đ nh nghĩa 1.1.11. (xem [11], Chương 5, đ đo ph và tích phân, ho c
xem [15, 18] ). Cho t p h p S, và Α là σ−đ i s các t p con c a S, và H là không gian
Hilbert, đ đo ph trên (S, Α, H) là ánh x E : Α → Λ(H)
th a mãn các đi u ki n sau;
(a) v i m i M ∈ Α, ánh x E(M ) là toán t chi u;
(b) E(∅) = 0 và E(S) = I;
(c) E(M ∩ N ) = E(M )E(N ) v i M, N ∈ Α;
(d) n u {Mn}

∞

=1 là dãy các t p đôi m t r i nhau trong Α thì n
∞

E∪

=1

Mn = n

∞
n=1

E(Mn).

N u E là đ đo ph trên (S, Α, H) và x, y ∈ H thì
Ex,y(M ) = E(M )x, y
12


là m t đ đo σ− c ng tính trên Α v i bi n phân toàn ph n không vư t
y . V i ánh x f : S → K đo đư c b ch n thì ta đã có đ nh nghĩa

quá x

tích phân c a hàm đo đư c b ch n đ i v i đ đo ph E đư c ký hi u là
Sf

E(ds) (xem [11], trang 130). Đ nh lý h i t b ch n trong lý thuy t đ

đo là m t k t qu kinh đi n, nó là chìa khóa c a các k t qu m r ng v
sau. Đ i v i đ đo ph cũng có k t qu tương t như v y. K t qu dư i đây là đ nh lý
h i t b ch n đ i v i đ đo ph .
Đ nh lý 1.1.12. (xem [11], Đ nh lý 2 trang 132). Gi s E là đ đo ph
trên (S, Α, H). Gi s r ng (fn) là dãy các hàm trong B(S) th a mãn, t n
fn

t iM>0đ

M v i m i n. N u limn

f = f, khi đó v i m i

→∞ n

x ∈ H ta có
lim S
n

fn(s)E(ds)x =

S

f (s)E(ds)x.

→∞

K t qu sau th hi n m i liên h gi a đ đo ph v i toán t chu n t c
và toán t Hermit.
Đ nh lý 1.1.13. (xem [15, 18, 50, 51]).
1. N u E là đ đo ph trên (S, Α, H) và f : S → C là m t hàm đo
đư c b ch n, thì T =
∗

Sf

E(dz) là m t toán t chu n t c, nghĩa là

∗

TT = T T.
2. Gi s T là m t toán t chu n t c và t p ph σ(T ) ⊂ C. Khi đó σ(T )
là t p compact và t n t i đ đo ph E xác đ nh trên các t p Borel c a

σ(T ) th a mãn

T=

σ (T )

zE(dz).

3. Gi s T là m t toán t Hermit và t p ph σ(T ) ⊂ R. Khi đó σ(T )
là t p compact và t n t i đ đo ph E xác đ nh trên các t p Borel c a

σ(T ) th a mãn
T=

σ(T )

13

λE(dλ).

(1.3)


1.2

Toán t ng u nhiên tuy n tính

Trong m c này chúng tôi trình bày khái ni m v toán t ng u nhiên tuy n
tính. Tương t như trong trư ng h p t t đ nh, chúng tôi đưa ra khái ni m
toán t ng u nhiên tuy n tính b ch n theo nghĩa h u ch c ch n, toán t
ng u nhiên tuy n tính liên t c. Đ nh lý 1.2.15 ch ra m t đi u ki n c n và đ đ toán
t ng u nhiên b ch n đư c ch ng minh b i GS. Đ ng Hùng Th ng và TS. Nguy n

Th nh (xem bài báo [43]).

1.2.1

Đ nh nghĩa, các ví d

Gi s X và Y là các không gian Banach kh ly và (Ω, Φ, P ) là không gian
xác su t đ y đ . ΛX(Ω) là t p h p các bi n ng u nhiên trên Ω nh n giá 0
tr trong X (X−giá tr ).
Đ nh nghĩa 1.2.1. (xem [38, 43]).
1. M t ánh x A t X vào ΛY (Ω) đư c g i là m t ánh x ng u nhiên 0
t X vào Y hay còn g i là ánh x ng u nhiên Y −giá tr v i mi n xác
đ nh là X.
2. Ánh x ng u nhiên A t X vào Y đư c g i là ánh x ng u nhiên tuy n
tính n u v i m i x1, x2 ∈ X và λ1, λ2 ∈ R ta có
A(λ1x1 + λ2x2) = λ1A(x1) + λ2A(x2) h.c.c.

(1.4)

Chú ý r ng, t p b qua đư c nói chung ph thu c vào λ1, λ2 và x1, x2.
3. Ánh x ng u nhiên A t X vào Y đư c g i là liên t c ng u nhiên t i
x0 ∈ X n u
p − xlim0 Ax = Ax0.
→x

14

(1.5)

t c là
x

lim0 P

( →x

Ax − Ax0 > t) = 0 ∀t > 0.
4. Ánh x ng u nhiên t X vào Y đư c g i là
toán t ng u nhiên tuy n
tính t X vào Y (hay còn g i là toán t ng u
nhiên tuy n tính Y − giá tr v i mi n xác đ nh
là X) n u nó tuy n tính và liên t c ng u
nhiên.
5. H (ui, i ∈ I) các bi n ng u nhiên Y −giá tr đư c g i
là b ch n ng u
nhiên (hay
b ch n theo
xác su t) n u
lim sup P ( ui > t)
= 0,
(1.6)

t
→
∞
i
∈
I

và đư c g i là b ch n (hay b ch n h u ch c
ch n) n u t n t i m t
bi n ng u nhiên th c
k(ω) sao cho v i m i i ∈ I
ui(ω)
h.c.c.,

k(ω)
(1.7)

v i t p ω th a mãn b t đ ng th c (1.7) ph
thu c vào i ∈ I.
Dư i đây là ví d v toán t ng u nhiên tuy n
tính. Các ví d này đã
đư c trình bày trong
các tài li u [3, 7],[38]-