Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}

Header Page 1 of 126.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
DẠNG CHẬP TRONG LỚP HÀM {0}

Chuyên ngành:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số:

60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2012

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ
Phản biện 2: PGS. TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ
Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 02 tháng 12 năm 2012.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

Footer Page 2 of 126.


1

Header Page 3 of 126.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0} nói riêng và phương
trình tích phân kỳ dị nói chung đã được xây dựng và phát triển rất mạnh mẽ
trong vòng nửa thế kỷ, từ năm 1920 đến năm 1970. Các kết quả này gắn liền
với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như Noether, Muskhelishvili, Gakhov,
Vekua,. . . Cùng song hành và tiếp ngay sau đó là sự ra đời của hàng loạt các lý
thuyết toán tử kỳ dị trừu tượng trong không gian tuyến tính tổng quát gắn với
lý thuyết các phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và liên hợp phức cũng
như nhiều dạng bài toán bờ khác.
Tại Việt Nam, từ những năm 1980, đã có rất nhiều người quan tâm đến lĩnh
vực các bài toán bờ Riemann, các phương trình tích phân kỳ dị Cauchy, phương
trình tích phân dạng chập và đã thu được một số kết quả nhất định. Từ đó, lý

thuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị đã trở thành một mảng lớn khá
hấp dẫn trong toán học hiện đại ở Việt Nam (Xem [1]-[5]).
Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu tham khảo về lĩnh vực này vẫn còn rất ít, trình
bày ở mức độ sơ lược. Đặc biệt, các dạng của phương trình tích phân dạng chập
vẫn chưa được hệ thống một cách chi tiết. Ngoài ra, việc nghiên cứu còn cho ta
thấy được vẻ đẹp, sự phong phú của nhiều loại phương trình tích phân nói chung
và phương trình tích phân dạng chập nói riêng (Xem [1]-[2]).
Xuất phát từ những vấn đề nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài "Phương trình
tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}" với hy vọng sẽ tìm hiểu sâu về lý thuyết,
hệ thống các phương trình tích phân dạng chập và minh họa rõ nét qua các ví
dụ, nhằm làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống và tổng quan lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị làm cơ sở để
nghiên cứu phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}.
Nắm được một số lớp phương trình tích phân đặc trưng dạng chập với một
nhân và hai nhân, một số phương trình dạng cặp tương ứng và khảo sát một số
lớp phương trình tích phân mở rộng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}
Footer Page 3 of 126.


2

Header Page 4 of 126.

và các phương trình tích phân mở rộng liên quan.
Phạm vi nghiên cứu: tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, các
tài liệu từ các website, tạp chí toán học và các diễn đàn toán học...
4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu và các
tài liệu tiếng Anh, các trang web... Từ đó, tác giả phân tích, đánh giá, tổng hợp
và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tạo được một đề tài có tính hệ thống, tổng quan đầy đủ về phương trình tích
phân dạng chập trong lớp hàm {0}.
Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nghiên cứu và tìm hiểu toán học hiện đại
nói chung và phương trình tích phân dạng chập nói riêng.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.
Chương 1. Trình bày một số định nghĩa, định lý và các tính chất trong lớp
hàm {0}. Tiếp theo là hai kết quả quan trọng: công thức Xokhotski-Plemelij và
bài toán biên Riemann, được dùng nhiều trong giải phương trình tích phân dạng
chập.
Chương 2. Trình bày cách giải phương trình tích phân dạng chập đặc trưng
với một nhân, hai nhân và minh họa bằng ví dụ.
Chương 3. Trình bày một số loại phương trình tích phân khác như phương
trình tích phân cặp, phương trình tích phân Winer-Hoff, phương trình tích phân
dạng Volterra và nêu một số ví dụ.

Footer Page 4 of 126.


3

Header Page 5 of 126.

CHƯƠNG

1

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN KỲ DỊ VÀ BIẾN ĐỔI
FOURIER
1.1
1.1.1

Lớp hàm Holder và lớp hàm {0}
Lớp hàm Holder

Giả sử Γ là chu tuyến trơn và ϕ(t) là hàm xác định trên đó. Hàm số ϕ(t) được
gọi là thỏa mãn điều kiện Holder trên chu tuyến Γ nếu đối với mọi cặp điểm tùy
ý thuộc Γ, ta có
|ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )| ≤ A|t2 − t1 |λ
(1.1)
trong đó A và λ là các số dương. A được gọi là hằng số Holder và λ là chỉ số
Holder.

1.1.2

Lớp hàm {0}

Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Ta nói F (x) thuộc lớp hàm {{0}} nếu nó là ảnh của
biến đổi Fourier và đồng thời thuộc lớp hàm Holder và L2 (−∞, +∞). Như vậy,
lớp {{0}} là tập hợp các hàm số Holder trong L2 (−∞, +∞) dạng
+∞

1
√
2π

f (t)eixt dt, −∞ < x < +∞.
−∞

Kí hiệu {0} là lớp các hàm số f (t) mà ảnh của nó qua biến đổi Fourier thuộc
{{0}}.

1.2
1.2.1

Tích phân kỳ dị. Công thức Xokhotski-Plemelij
Giá trị chính của tích phân kỳ dị thực
b

dx
x−c

Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Giá trị chính (theo Cauchy) của tích phân kỳ dị
a

với a < c < b, là biểu thức
Footer Page 5 of 126.


4

Header Page 6 of 126.

 c−ε

b

dx
+
x−c

lim 

ε→0

a

1.2.2



dx 
.
x−c
c+ε

Giá trị chính của tích phân đường kỳ dị
ϕ(τ )
dτ khi
τ −t

Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Giới hạn của tích phân

→ 0 được gọi

Γ

là giá trị chính của tích phân kỳ dị.
Trong luận văn này, tích phân kỳ dị luôn được hiểu là giá trị chính của nó.

1.2.3

Chỉ số của hàm số

Giả sử Γ là một chu tuyến đóng và trơn và G(t) là một hàm số liên tục, không
triệt tiêu trên Γ.
Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Chỉ số của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được
hiểu là tỉ số độ tăng trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển động hết một
lượt dọc theo chu tuyến (theo hướng dương) và 2π .
Kí hiệu [w]Γ là độ tăng trưởng của w dọc theo Γ thì chỉ số của G(t) được viết
dưới dạng
1
[arg G(t)]Γ .
(1.14)
κ = Ind G(t) =
2π
Chỉ số có thể tính theo tích phân:
κ = Ind G(t) =

1
2π

d arg G(t) =
Γ

1
2πi

d ln G(t).

(1.17)

Γ

Vì hàm G(t) liên tục, nên sự tăng trưởng của argumen dọc theo chu tuyến đóng
sẽ là bội của 2π . Vậy nên ta có nhận xét:
Nhận xét 1.1. Chỉ số của hàm số liên tục trên chu tuyến đóng và không triệt
tiêu trên đó luôn là một số nguyên.
Nhận xét 1.2. Chỉ số của tích hai hàm số bằng tổng của các chỉ số. Chỉ số của
một thương bằng hiệu các chỉ số tương ứng.

1.2.4

Công thức Xokhotski-Plemelij

Định lý 1.1 ([1]-[2]). Giả sử Γ là chu tuyến trơn (đóng hoặc mở) và ϕ(τ ) là hàm
số tọa vị trên chu tuyến và thỏa mãn điều kiện Holder. Khi đó, tích phân dạng
Cauchy
Footer Page 6 of 126.


5

Header Page 7 of 126.

Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )
dτ
τ −z
Γ

có giá trị Φ+ (t), Φ− (t) tại mọi điểm của chu tuyến Γ không trùng với các đầu
mút, trên chu tuyến chọn hướng từ bên trái hoặc từ bên phải dọc theo hướng đi
của đường dẫn, và giá trị biên này được biểu diễn theo hàm mật độ của tích phân
ϕ(t) và tích phân kỳ dị Φ(t) dưới dạng công thức Xokhotski như sau:

1
1
ϕ(τ )

+

Φ
(t)
=
ϕ(t)
+
dτ


2

2πi τ − t

Γ
(1.19)
1
1
ϕ(τ
)

−

Φ (t) = − ϕ(t) +
dτ.



2
2πi τ − t
Γ

1.3
1.3.1

Bài toán biên Riemann
Thiết lập bài toán

Giả thiết rằng Γ là chu tuyến đóng, đơn và trơn chia mặt phẳng phức thành
miền trong D+ và miền ngoài D− (giả thiết ∞ ∈ D− ). Cho hai hàm số trên chu
tuyến, G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện Holder, trong đó G(t) không triệt tiêu
trên biên.

Với mỗi hàm Φ(z) xác định và giải tích trên D+ và D− , ta ký hiệu

Φ+ (z) = Φ(z)

D+

, Φ− (z) = Φ(z)

D−

.

Với mỗi t ∈ Γ ta ký hiệu

Φ+ (t) =

lim

z∈D+ ,z→t

Φ+ (z), Φ− (t) =

lim

z∈D− ,z→t

Φ− (z).

Bài toán đặt ra là tìm hai hàm số Φ+ (z) giải tích trên D+ và Φ− (z) giải tích trên
D− (kể cả z = ∞ ∈ D− ) và thỏa mãn trên Γ quan hệ tuyến tính

Φ+ (t) = G(t)Φ− (t)

(1.20)

Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t).

(1.21)

hoặc
Hàm G(t) được gọi là hệ số của bài toán biên Riemann và hàm g(t) được gọi là
thành phần tự do của bài toán.
(1.20) được gọi là bài toán biên Riemann thuần nhất.
(1.21) được gọi là bài toán biên Riemann không thuần nhất.
Chỉ số κ của hệ số bài toán Riemann sẽ được gọi là chỉ số của bài toán.
Footer Page 7 of 126.


6

Header Page 8 of 126.

1.3.2

Bài toán bước nhảy

Bài toán

Bài toán bước nhảy là bài toán biên Riemann dạng đơn sơ nhất.
Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng Γ cho hàm số ϕ(t) thỏa mãn điều kiện Holder.

Ta cần xác định hai hàm số giải tích Φ+ (z), Φ− (z) triệt tiêu tại vô cùng và thỏa
mãn điều kiện
Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t).
(1.22)
Công thức nghiệm

Hàm số tùy ý ϕ(t) cho trên chu tuyến đóng và thỏa mãn điều kiện Holder, có
thể biểu diễn duy nhất dưới dạng hiệu của hàm số Φ+ (t), Φ− (t), là giá trị biên
của hàm giải tích Φ+ (z), Φ− (z) dưới giả thiết Φ− (∞) = 0.
Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 0, thì nghiệm của bài toán được cho bởi
công thức
1
ϕ(τ )
Φ(z) =
dτ + const .
(1.24)
2πi τ − t
Γ

1.3.3

Bài toán biên Riemann thuần nhất

Giả thiết rằng bài toán biên thuần nhất (1.20) có nghiệm và giả sử hàm số
Φ+ (z) và Φ− (z) là nghiệm của nó.
Công thức nghiệm cụ thể cho các trường hợp như sau:
1. Trường hợp κ = 0.
Nếu Φ− (∞) = 0 thì nghiệm chứa một hằng số tùy ý, tức là tồn tại nghiệm
độc lập tuyến tính. Nếu Φ− (∞) = 0 thì A = 0 và bài toán chỉ có nghiệm
tầm thường đồng nhất bằng 0.

2. Trường hợp κ > 0. Giả thiết rằng gốc tọa độ nằm trong miền D+ . Hàm số
tκ có chỉ số κ. Ta viết điều kiện biên dưới dạng

Φ+ (t) = tκ [t−κ G(t)]Φ− (t).
Vậy nên, ta nhận được nghiệm tổng quát của bài toán là

Φ+ (z) = eΓ

+

(z)

Pκ (z), Φ− (z) = eΓ

−

(z) −κ

z

Pκ (z).

3. Trường hợp κ < 0. Bài toán thuần nhất không có nghiệm.
Footer Page 8 of 126.

(1.32)


7

Header Page 9 of 126.

1.3.4

Bài toán biên Riemann không thuần nhất

Xét bài toán biên Riemann không thuần nhất (1.21). Ta viết G(t) bởi thương
của giá trị biên của hàm chính tắc của bài toán thuần nhất,
X + (t)
+
−
G(t) = −
, với X + (z) = eΓ (z) , X − (z) = z −κ eΓ (z)
X (t)
và

Γ(z) =

ln[τ −κ G(τ )]
1
dτ , Ψ(z) =
τ −t
2πi

1
2πi
Γ

g(τ ) dτ
X + (τ ) τ − z

Γ

Khi đó, điều kiện biên có thể viết dưới dạng
Φ− (t)
Φ+ (t)
+
− Ψ (t) = − − Ψ− (t).
X + (t)
X (t)
Tương tự như bài toán thuần nhất, ta thu được kết quả sau:
1. Khi κ

0, thì ta thu được nghiệm
Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ (z)],

(1.33)

trong đó, X(z), Ψ(z) đã nói ở trên và Pκ là đa thức bậc κ với hệ số tùy ý.
2. Khi κ < 0, thì ta thu được nghiệm

Φ(z) = X(z)Ψ(z).

(1.34)

Định lý 1.2 ([1]-[2]). Trong trường hợp κ
0 thì bài toán bờ Riemann không
thuần nhất giải được ứng với mọi thành phần tự do và nghiệm tổng quát của nó
được cho bởi công thức
X(z)
g(τ ) dτ

Φ(z) =
+ X(z)Pκ (z).
(1.35)
2πi
X + (τ ) τ − z
Γ

Nếu κ = −1 thì bài toán không thuần nhất là giải được và có nghiệm duy
nhất.
Nếu κ < −1 thì bài toán không thuần nhất nói chung là không giải được. Để
nó có nghiệm, điều kiện cần và đủ là thành phần tự do của bài toán thỏa mãn
thêm −κ − 1 điều kiện
g(τ ) k−1
τ dτ = 0, (k = 1, 2, . . . , −κ − 1).
(1.36)
X + (τ )
Γ

Nếu các điều kiện này thỏa mãn thì nghiệm duy nhất của bài toán được cho bởi
công thức (1.35), trong đó ta coi P (z) ≡ 0. Trong trường hợp, khi ta đòi hỏi thêm
điều kiện là nghiệm phải triệt tiêu tại vô cùng, thì đa thức bậc κ được thay bởi
đa thức κ − 1.
Footer Page 9 of 126.


8

Header Page 10 of 126.

1.3.5

1.4
1.4.1

Ví dụ

Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược

F (x) là biến đổi Fourier của f (x), ta có
+∞

1
F (x) = √
2π

f (ξ)eixξ dξ ,

−∞
+∞

1
f (t) = √
2π

F (x)e−ixt dx.
−∞

1.4.2

Mối quan hệ giữa biến đổi Fourier và tích phân Cauchy

1.4.3

Biến đổi Fourier một phía

Footer Page 10 of 126.


9

Header Page 11 of 126.

CHƯƠNG

2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
DẠNG CHẬP ĐẶC TRƯNG
2.1
2.1.1

Phương trình dạng chập với một nhân
Dạng phương trình

Xét phương trình dạng chập, dạng đơn giản nhất
∞

1
f (t) + √

2π

k(t − s)f (s)ds = g(t), −∞ < t < ∞

(2.1)

−∞

trong đó, k(t), và g(t) là các hàm cho trước thuộc lớp {0}. Nghiệm của phương
trình được tìm trong cùng lớp hàm đó.

2.1.2

Cách giải

Ta sử dụng biến đổi Fourier để giải phương trình tích phân dạng chập nói trên.
Ta thu được nghiệm của phương trình tích phân dạng chập (2.1)
∞

1
f (t) = √
2π

[1 + K(x)]−1 G(x)e−ixt dx, −∞ < t < ∞

(2.5)

−∞

Ta thấy, nghiệm (2.5) thuộc lớp {0}. Để viết nghiệm dưới dạng đối xứng, ta viết

∞

1
f (t) = g(t) + √
2π

r(t − s)g(s)ds, −∞ < t < ∞

(2.7)

−∞

Hàm số r(t − s) thường được gọi là kết thức của phương trình tích phân dạng
chập.

2.1.3

Ví dụ

Ta xét ví dụ đơn giản sau để mô tả phương pháp đã trình bày ở trên.
Xét phương trình tích phân dạng chập
∞

f (t) + λ
−∞

Footer Page 11 of 126.

e−|t−s| f (s)ds = g(t), −∞ < t < ∞,

(2.8)


10

Header Page 12 of 126.

trong đó λ là tham số thực.
Trong trường hợp này, nhân của phương trình tích phân dạng chập có dạng
√
k(t) = λ 2πe−|t| , −∞ < t < ∞.
(2.9)
Tích phân Fourier có dạng

2λ
.
x2 + 1
1
Điều kiện giải chuẩn có dạng λ ∈
/ − ∞; − . Từ đây, ta xác định
2
2λ
R(x) = − 2
.
x + 1 + 2λ
K(x) =

(2.10)

Sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta thu được

∞

1
r(t) = √
2π

−∞

Tính theo thặng dư, ta có

∞

2λ
R(x)e−ixt dx = − √
2π

e−ixt dx
.
x2 + 1 + 2λ

−∞

√

2π −|t|√1+2λ
e
r(t) = −λ √
.
1 + 2λ
Vậy nên nghiệm của phương trình tích phân dạng chập (2.8) có dạng

∞

λ
f (t) = g(t) − √
1 + 2λ

√
−|t−s| 1+2λ

e

g(s)ds.

−∞

1
− , ta thu được phương
2
trình ứng với bài toán biên Riemann suy biến. Ta có 1+2λ 0. Đặt −1−2λ = a2 .
Phương trình (2.8) đưa về dạng
Đối với trường hợp giải chuẩn bị phá vỡ −∞ < λ

x2 + 2λ + 1
F (x) = G(x)
x2 + 1
hay

x2 − a2
F (x) = G(x).
x2 + 1

Do đó

(x2 + 1)G(x)
a2 + 1
F (x) =
= G(x) + 2
G(x).
x2 − a2
x − a2
Vế phải có kỳ dị tại x = ±a. Ta đòi hỏi hệ số G(x) khả vi tại lân cận các điểm
này và đạo hàm G (x) thỏa mãn điều kiện Holder. Khi G(±a) = 0, hay
Footer Page 12 of 126.


11

Header Page 13 of 126.
∞

∞

g(t) cos atdt = 0,
−∞

g(t) sin atdt = 0

−∞

ta thu được nghiệm trong lớp {0} dạng
∞

f (t) = g(t) − λ

G(x) −ixt
e dt.
x2 − a2

2
π
−∞

Sau một vài tính toán, ta thu được

a2 + 1
f (t) = g(t) −
2a

∞

sin asg(s + t)ds, −∞ < t < ∞.
0

2.2
2.2.1

Phương trình dạng chập với hai nhân
Dạng phương trình

Xét phương trình tích phân dạng chập với hai nhân sau
∞

1
f (t) + √
2π

0

0

1
k1 (t − s)f (s)ds + √
2π

k2 (t − s)f (s)ds = g(t), t ∈ R, (2.11)
−∞

trong đó k1 (t) và k2 (t) là hàm cho trước trên cả trục thực.

2.2.2

Cách giải

Định lý 2.1 ([1]-[2]). Nếu chỉ số
κ = Ind

1 + K2 (x)
1 + K1 (x)

(2.17)

dương, thì phương trình tích phân dạng chập thuần nhất (2.11) (với g = 0) có
đúng κ nghiệm độc lập tuyến tính, còn phương trình không thuần nhất giải được
vô điều kiện và nghiệm của nó phụ thuộc vào κ hằng số phức tùy ý.
Khi chỉ số κ
0, thì phương trình tích phân dạng chập thuần nhất (2.11)
(với g = 0) chỉ có nghiệm đồng nhất bằng 0. Phương trình không thuần nhất giải
được vô điều kiện khi κ = 0 và nghiệm là duy nhất.
Khi chỉ số κ < 0, thì điều kiện
∞

−∞

Footer Page 13 of 126.

G(t)dt
= 0, k = 1, 2, . . . , −κ ,
X + (t)[1 + K1 (t)](t + i)k

(2.18)


12

Header Page 14 of 126.

là điều kiện cần và đủ để (2.11) giải được.
Trong mọi trường hợp, nghiệm được cho bởi công thức
∞

1

f (t) = √
2π

[F + (x) − F − (x)]e−ixt dx, −∞ < t < ∞,

(2.19)

−∞

trong đó, F + (x), F − (x) là nghiệm của bài toán Riemann (2.15) tương ứng.

2.2.3

Ví dụ

Ví dụ 1

Xét phương trình tích phân dạng chập hai nhân dạng sau
∞

1
f (t) + √
2π

0

0

1
k1 (t − s)f (s)ds + √

2π

k2 (t − s)f (s)ds = g(t), t ∈ R,
−∞

trong đó

k1 (t) =

√
−2 2πe−t , t > 0
; k2 (t) =
0,
t<0
g(t) =

√
−2 2πe−t , t > 0
0,
t<0

0,√
t>0
t
− 2πe , t < 0

Khi đó, k1 (t − s) = 0 ứng với t < s và k2 (t − s) = 0 ứng với t < s. Vậy, phương
trình tích phân dạng chập tương ứng có dạng
t

0

e−(t−s) f (s)ds − 2

f (t) − 2

e−(t−s) f (s)ds = 0, t > 0,

−∞

0
t

f (t) − 2

√
e−(t−s) f (s)ds = − 2πet ,

t < 0.

−∞

Tính các biến đổi Fourier, ta được
∞

e−t eixt dt = −

K1 (x) = −2

2i

2i
, K2 (x) = −
x+i
x+i

0

i
x−i
G(x) =
, D(x) =
=1
x−i
x−i
Điều kiện biên, khi đó có dạng
F + (x) = F − (x) +

Footer Page 14 of 126.

i(x + i)
(x − i)2


13

Header Page 15 of 126.

Ta có F + (z) = 0, F − (z) +

i(z + i)

= 0, vậy nên
(z − i)2

∞

1
f+ (t) = 0, f− (t) = √
2π

i(x + i) −ixt
e dx.
(x − i)2
−∞

Ta thu được nghiệm của bài toán

f (t) =
Ví dụ 2
Ví dụ 3
Ví dụ 4

Footer Page 15 of 126.

0,√
t>0
.
t
− 2πe (1 + 2t), t < 0

14

Header Page 16 of 126.

CHƯƠNG

3

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CẶP
VÀ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
VOLTERRA
3.1
3.1.1

Phương trình tích phân cặp
Dạng phương trình

Trong thực tế, có rất nhiều bài toán mà ẩn hàm xác định trên hai tập phân biệt
ứng với hai điều kiện khác nhau. Những phương trình cho theo cách đó thường
được gọi là phương trình cặp. Ta xét phương trình cặp tích phân dạng chập
∞

1
ϕ(t) + √
2π
1
ϕ(t) + √
2π

k1 (t − s)ϕ(s)ds = g(t), 0 < t < ∞,

−∞
∞

(3.1)

k2 (t − s)ϕ(s)ds = g(t), − ∞ < t < 0
−∞

trong đó, các hàm có mặt trong phương trình đều thuộc lớp {0}.
Nhận xét rằng, ta có thể viết phương trình cặp (3.1) dưới dạng phương trình một
nhân
∞

k(t, s)ϕ(s)ds = g(t), −∞ < t < +∞,

ϕ(t) +

(3.2)

−∞

trong đó

1


 √ k1 (t − s), t > 0,
2π
k(t, s) =
1



 √ k2 (t − s), t < 0.
2π
Hoàn toàn tương tự như trường hợp phương trình cặp tích phân dạng chập với
hai nhân khi đặt

1


 √ k1 (t − s), s > 0,
2π
k(t, s) =
1


 √ k2 (t − s), s < 0.
2π
Footer Page 16 of 126.


15

Header Page 17 of 126.

Để sử dụng biến đổi Fourier, ta viết phương trình cặp dưới dạng
∞

1
ϕ(t) + √

2π
1
ϕ(t) + √
2π

k1 (t − s)ϕ(s)ds = g(t) + f− (t),
−∞
∞

(3.3)

k2 (t − s)ϕ(s)ds = g(t) + f+ (t),
−∞

−∞ < t < ∞
trong đó f± (t) là các hàm một phía chưa biết.

3.1.2

Cách giải

Lấy biến đổi Fourier phương trình (3.3), ta thu được

[1 + K1 (x)]Φ(x) = G(x) + F − (x), [1 + K2 (x)]Φ(x) = G(x) + F + (x).
Ta có ba ẩn hàm là các hàm số Φ(x), F ± (x). Giả sử điều kiện giải chuẩn được
thỏa mãn, tức là

1 + K1 (x) = 0, 1 + K2 (x) = 0.
Khi đó, ta có thể khử Φ(x) từ

G(x) + F − (x) G(x) + F + (x)
=
.
Φ(x) =
1 + K1 (x)
1 + K2 (x)

(3.4)

Từ đây, ta thu được bài toán biên Riemann

F + (x) =

1 + K2 (x) −
K2 (x) − K1 (x)
F (x) +
G(x), −∞ < x < ∞.
1 + K1 (x)
1 + K1 (x)

(3.5)

Tiếp theo, sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta thu được nghiệm của phương trình
cặp (3.1)
∞

1
ϕ(x) = √
2π
1

=√
2π

−∞
∞

−∞

G(x) + F − (x) −ixt
e dx
1 + K1 (x)
(3.6)
+

G(x) + F (x) −ixt
e dx.
1 + K2 (x)

Vì rằng chỉ số của bài toán biên Riemann (3.5) và (2.15) là như nhau, nên điều
kiện giải được và công thức tính nghiệm hoàn toàn tương tự như trường hợp
Footer Page 17 of 126.


16

Header Page 18 of 126.

phương trình dạng chập với hai nhân. Điều kiện giải được ứng với chỉ số âm, có
dạng
∞

−∞

3.1.3

3.2

K2 (x) − K1 (x)
dx
G(x)
, k = 1, 2, . . . , −κ .
X + [1 + K1 (x)]
(x + i)k

(3.7)

Ví dụ

Phương trình tích phân Winer - Hoff

3.2.1

Dạng phương trình

Ta xét phương trình dạng chập sau:
∞

1
f (t) + √
2π

k(t − s)f (s)ds = g(t), 0 < t < ∞.

(3.8)

0

Phương trình này chỉ xác định trên nửa trục dương nên thường gọi là phương
trình một phía, hay phương trình Winer-Hoff.

3.2.2

Cách giải

Ta xem phương trình (3.8) như là phương trình tích phân dạng chập hai nhân
với

k1 (t) = k(t), k2 (t) = 0, g(t) = g+ (t) =

g(t), t > 0
0,
t<0

(3.9)

Khi đó, với t > 0, lời giải của phương trình này đồng thời cũng là lời giải của
phương trình (3.8). Ngược lại, bổ sung phương trình (3.9) trên nửa trục âm bằng
các hàm f− (t) và f+ (t) = f (t) khi t > 0, ta thu được phương trình
∞

1
f+ (t) + √
2π

k(t − s)f+ (s)ds = f− (t) + g+ (t), −∞ < t < ∞.

(3.10)

−∞

Lấy biến đổi Fourier hai vế của (3.10) và giả thiết rằng ta đang xét trường hợp
giải chuẩn, thì

F + (x) =

1
1
F − (x) +
G+ (x), −∞ < x < ∞.
1 + K(x)
1 + K(x)

(3.11)

Chuyển về phương trình (3.8), ta thu được nghiệm
∞

1
f (t) = f+ (t) = √
2π

Footer Page 18 of 126.

F + (x)e−ixt dx, t > 0.
−∞

(3.12)


17

Header Page 19 of 126.

Công thức cuối này cho thấy, nghiệm không phụ thuộc vào F − (x), tức là, không
phụ thuộc vào cách lựa chọn phần thác triển bổ sung thêm. Công thức tính chỉ
số của bài toán có dạng
κ = −Ind [1 + K(x)].
(3.13)

3.2.3

3.3
3.3.1

Ví dụ

Phương trình tích phân dạng Volterra
Dạng phương trình

Ta xét phương trình với cận lấy tích phân biến thiên như sau:
t

1
f (t) + √
2π

k(t − s)f (s)ds = g(t), 0 < t < R,

(3.22)

0

trong đó, R có thể bằng vô cùng. Phương trình (3.22) gọi là phương trình tích
phân dạng Volterra.

3.3.2

Cách giải

Ta xem phương trình (3.22) như trường hợp riêng của phương trình WinerHoff. Ta viết nó dưới dạng
∞

1
f (t) + √
2π

k+ (t − s)f (s)ds = g(t), 0 < t < ∞,.
0

Ta thu được bài toán bờ Riemann tương ứng dạng

G+ (x)
F − (x)
F (x) =
+
,
1 + K + (x) 1 + K + (x)
+

1
là hàm thác triển giải tích được vào nửa mặt phẳng trên,
1 + K + (x)
trừ ra không quá hữu hạn cực điểm là các không điểm của 1 + K + (z).
Ta xét trường hợp giải chuẩn, tức là 1 + K + (z) không triệt tiêu trên trục thực.
Vì thế, chỉ số của bài toán luôn không dương. Ta viết điều kiện biên dưới dạng
trong đó

(1 + K + (x))F + (x) = F − (x) + G+ (x).
Ta thu được F − (x) = 0 và vì vậy

F + (x) =
Footer Page 19 of 126.

G+ (x)
.
1 + K + (x)

(3.23)


18

Header Page 20 of 126.

1. Trước hết, ta xét trường hợp, khi 1 + K + (z) không có không điểm trong nửa
mặt phẳng trên (tức là κ = 0). Khi đó, ta thấy ngay F + (x) ∈ {{0, +∞}}
và do đó, phương trình luôn có nghiệm duy nhất
t

1
f (t) = g(t) + √
2π

r(t − s)g(s)ds, t > 0,

(3.24)

0

trong đó
∞

1
r(t) = − √
2π

K + (x) −ixt
e dx.
1 + K + (x)

−∞

2. Khi 1+K + (z) có không điểm a1 , . . . , am bội s1 , . . . , sm , trong nửa mặt phẳng
trên (tức là κ < 0), thì nếu G+ (z) có không điểm a1 , . . . , am bội không nhỏ
G+ (z)
thua s1 , . . . , sm , thì
sẽ không có cực điểm và vì thế phương trình
1 + K + (z)
(3.23) có nghiệm duy nhất dạng (3.24).
Điều kiện đòi hỏi G+ (z) bằng không tại aj tương đương với điều kiện
∞

g(t)e−iαj tt k dt = 0, k = 0, . . . , sj − 1, j = 1, . . . , m.

(3.25)

−∞

Nếu xảy ra trường hợp G+ (z) có không điểm a1 , . . . , am bội nhỏ thua s1 , . . . , sm ,
G+ (z)
sẽ có cực điểm và vì thế nghiệm của bài toán biên không thuộc
thì
1 + K + (z)
{{0, +∞}} nên nghiệm phương trình (3.23) không thuộc {0}.
Tương tự, ta xét phương trình
∞

1
f (t) + √
2π

k(t − s)f (s)ds = g(t), 0 < t < ∞.

(3.26)

t

Bài toán bờ Riemann tương ứng có dạng

F + (x) =

1
1
−
F
(x)
+
G+ (x).
−
−
1 + K (x)
1 + K (x)

1. Khi 1 + K + (z) không có không điểm trong nửa mặt phẳng dưới, thì

1
F − (x) ∈ {{−∞, 0}}.
1 + K − (x)
Footer Page 20 of 126.

(3.27)

19

Header Page 21 of 126.

Ký hiệu

K − (x)
∈ {{−∞, 0}}.
R (x) = −
1 + K − (x)
−

Lấy biến đổi Fourier ngược, ta thu được
∞

1
f (t) = g(t) + √
2π

r− (t − s)g(s)ds, t > 0.
t

2. Khi 1 + K + (z) có không điểm trong nửa mặt phẳng dưới, thì số không điểm
này hiển nhiên hữu hạn và ta thu được bài toán bờ Riemann với chỉ số dương:
κ = Ind

1
= −Ind [1 + K − (x)] = ν1 + · · · + νn > 0,

−
1 + K (x)

trong đó, νk là bội của không điểm zk tương ứng.
Giả sử,

C1k
C2k
Cνk k
+
+
·
·
·
+
z − zk (z − zk )2
(z − zk )νk
là phần chính của khai triển Laurent tại zk , thì

F − (x)
−
1 + K − (x)

ν1
j=1

Cj1
− ··· −
(z − z1 )j

νn
j=1

Cjn
∈ {{−∞, 0}}.
(z − zn )j

Do đó
n

G+ (x)
F (x) =
+
1 + K − (x) k=1

νk

+

j=1

Cjk
+ ···
(z − zk )j

và ta thu được
∞

1
f (t) = g(t) + √

2π

n

t

trong đó Pk (t) là đa thức bậc νk − 1.

3.3.3

Ví dụ

Footer Page 21 of 126.

Pk (t)e−izk t , t > 0,

r− (t − s)g(s)ds +
k=1


20

Header Page 22 of 126.

KẾT LUẬN
Luận văn Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0} đã giải quyết
được những vấn đề sau:
Trình bày đầy đủ và chi tiết cách giải bài toán biên Riemann trên miền đơn
liên và minh họa bằng các ví dụ cụ thể.
Nêu lý thuyết các phương trình tích phân dạng chập đặc trưng, các phương

trình tích phân dạng chập mở rộng và cách giải chi tiết từng loại. Đây là những
lớp phương trình tích phân dạng chập mà nghiệm cần tìm có dáng điệu tiệm cận
dạng mũ, cần đến lý thuyết các bài toán biên Riemann của hàm giải tích để giải.
Luận văn đã xây dựng một số ví dụ về phương trình tích phân dạng chập cho
phép tìm nghiệm của chúng dưới dạng tường minh.

Footer Page 22 of 126.