Sử dụng đạo hàm khảo sát bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức

Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HUỆ

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO
SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HUỆ

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO
SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.
i

Mục lục
Mở đầu
1 Một số kiến thức cơ bản về hàm
1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi . .
1.1.1 Hàm liên tục . . . . . . .
1.1.2 Hàm khả vi . . . . . . .
1.1.3 Công thức Taylor . . .
1.2 Hàm đơn điệu và hàm bị chặn .
1.3 Hàm lồi, hàm lõm . . . . . . . .
1.4 Hàm đa thức . . . . . . . . . . .
1.4.1 Đa thức Chebyshev . . .
1.4.2 Đa thức lượng giác . . .
1.4.3 Nội suy Lagrange . . . .

3
số

. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

2 Bất đẳng thức, bất phương trình trong lớp hàm khả vi
2.1 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm quan trọng . . . . .
2.1.1 Bất đẳng thức Jensen và các dạng liên quan . . .
2.1.2 Bất đẳng thức đối với lớp hàm lồi bậc cao . . . .
2.1.3 Bất đẳng thức Landau và Landau-Kolmogorov . .
2.2 Bất đẳng thức chứa đạo hàm trong lớp đa thức đại số . .
2.3 Một số dạng toán cực trị trong lớp hàm khả vi . . . . . .
2.4 Một số dạng bất phương trình trong lớp hàm khả vi . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

3 Các dạng toán về bất phương trình và bất đẳng thức qua
thi Olympic
3.1 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình . . . . . . .
3.2 Bất đẳng thức và các bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . .
3.2.2 Ứng dụng tính chất của hàm lồi . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Ứng dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi .

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

5
5
5
6
7
9
11
13
13
14
15

.
.
.
.
.
.
.

17
17
17

23
26
29
36
42

các kỳ
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

48
48
56
56
65
70

Kết luận

76

Tài liệu tham khảo

77

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

3

Mở đầu
Bất đẳng thức, bất phương trình là một trong những phần quan trọng của
chương trình toán phổ thông và những bài toán về bất đẳng thức, bất phương trình
thường là các bài toán khó đòi hỏi tính tư duy và sáng tạo cao. Các bài toán về bất
đẳng thức, bất phương trình là các bài toán luôn có mặt ở hầu hết các đề thi học
sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, các đề thi Olympic Toán quốc tế. Để giải một bài
toán về bất đẳng thức, bất phương trình có rất nhiều cách khác nhau và không có

phương pháp nào là vạn năng để giải quyết mọi bài toán.Tuy nhiên, phương pháp
sử dụng đạo hàm và các tính chất của hàm số là một công cụ hữu hiệu để giải các
bài toán về tìm điều kiện của tham số để một phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu nào đó, để chứng minh một bất đẳng
thức hay trong một bài toán tìm cực trị của biểu thức...
Bên cạnh đó, các bất đẳng thức trong lớp hàm khả vi hiện nay còn ít được
quan tâm và giới thiệu trong các tài liệu bằng tiếng Việt như: Bất đẳng thức
Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Markov-Bernsterin và một số
bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi khả vi. Đây là những bất đẳng thức khó
và chỉ xuất hiện rải rác trong một số tài liệu. Việc giới thiệu các bất đẳng thức
này là cần thiết cho việc bồi dưỡng và nâng cao kiến thức của người dạy toán về
bất đẳng thức liên quan đến hàm số khả vi.
Vì những lý do trên đây tôi chọn đề tài "Sử dụng đạo hàm để khảo sát bất
phương trình và chứng minh bất đẳng thức" làm luận văn khoa học trong chuyên
ngành Phương pháp toán sơ cấp.
Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần
kết luận.
Nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về hàm số.
Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm số liên tục, hàm số khả
vi, hàm số đơn điệu, hàm số bị chặn, hàm lồi, hàm lõm và một số kết quả liên
quan; công thức Taylor, đa thức Chebyshev và các tính chất, đa thức lượng giác,

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

4

bài toán nội suy Lagrange.
Chương 2. Bất đẳng thức, bất phương trình trong lớp hàm khả vi.
Trong chương này trình bày bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi và các
dạng liên quan, bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức
Landau-Kolmogorov, một số bất đẳng thức đối với hàm lồi bậc cao, các bất đẳng
thức đạo hàm của hàm đa thức, bất đẳng thức Markov-Bernsterin; các bài toán về
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm khả vi; các bất phương trình trong lớp
hàm khả vi.
Chương 3. Các dạng toán về bất phương trình và bất đẳng thức qua các kỳ
thi Olympic.
Trong chương này hệ thống các bài toán trong các đề thi đại học, học sinh
giỏi cấp tỉnh, thành phố về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; các
bài toán trong đề thi cấp quốc gia, Olympic toán quốc tế theo từng chuyên đề:
Ứng dụng tính đơn điệu, ứng dụng tính chất của hàm lồi khả vi, ứng dụng bất
đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi.
Trong thời gian thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn chỉ
bảo tận tình của GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu. Qua đây, tác giả xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quan tâm, động viên và sự
tận tình chỉ bảo của thầy Nguyễn Văn Mậu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ -Tin học
đã dạy bảo tận tình; chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, phòng
Đào tạo, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác
giả học tập và thực hiện luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2016
Học viên
Nguyễn Thị Huệ

Footer Page 5 of 126.

Header Page 6 of 126.

5

Chương 1
Một số kiến thức cơ bản về hàm số
Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm số liên tục, hàm số khả
vi, hàm số đơn điệu, hàm số bị chặn, hàm lồi, hàm lõm và một số kết quả liên
quan; công thức Taylor, đa thức Chebyshev và các tính chất, đa thức lượng giác,
bài toán nội suy Lagrange. Nội dung chương này dựa theo các tài liệu [1], [2], [5], [6].

1.1
1.1.1

Hàm liên tục và hàm khả vi
Hàm liên tục

Định nghĩa 1.1 (Hàm liên tục). Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b),
x0 ∈ (a, b). Hàm f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) = f (x0 ).
x→x0

Định nghĩa 1.2. Hàm số f (x) được gọi là liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên
tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Định nghĩa 1.3. Hàm số f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục
trong khoảng (a, b) và lim+ f (x) = f (a), lim− = f (b).
x→a

x→b

Định lý 1.1. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và f (a)f (b) < 0 thì tồn tại

c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.

Định lý 1.2. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì f (x) nhận mọi giá trị
trung gian giữa f (a) và f (b). Tức là, với mọi M ∈ [min{f (a); f (b)}, max{f (a); f (b)}]
luôn tồn tại giá trị c ∈ [a, b] sao cho f (c) = M .
Định lý 1.3. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì hàm số đạt được giá trị
nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn [a, b]. Tức là, tồn tại x1 , x2 ∈ [a, b] sao cho ∀x ∈ [a, b]
ta luôn có f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ).
Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.

1.1.2

6

Hàm khả vi

Xét hàm số f (x) xác định trong (a, b) và x0 ∈ (a, b).
Định nghĩa 1.4 (Hàm khả vi). Hàm số f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu tồn tại
f (x) − f (x0 )
. Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số
x→x0
x − x0
f (x) tại x0 và ký hiệu là f (x0 ).

giới hạn hữu hạn lim

Định nghĩa 1.5. Hàm số f (x) được gọi là khả vi phải tại x0 nếu tồn tại giới hạn

f (x) − f (x0 )
. Giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số
x − x0
x→x0
f (x) tại x0 và ký hiệu là f (x0 +).

hữu hạn lim+

Định nghĩa 1.6. Hàm số f (x) được gọi là khả vi trái tại x0 nếu tồn tại giới hạn
f (x) − f (x0 )
. Giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số
x − x0
x→x0
f (x) tại x0 và ký hiệu là f (x0 −).

hữu hạn lim−

Nhận xét 1.1. Hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f (x0 +), f (x0 −) tồn
tại và bằng nhau.
Định nghĩa 1.7. Hàm số f (x) được gọi là khả vi trong khoảng (a, b) nếu nó khả
vi tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Đạo hàm của hàm số f (x) trong khoảng (a, b) ký
hiệu là f (x).
Định nghĩa 1.8. Cho hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a, b), nếu f (x) khả vị tại
mỗi điểm x ∈ (a, b) thì ta nói f (x) có đạo hàm cấp 2 tại x và ký hiệu là f (x).
Tương tự, cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp n − 1, ký hiệu là f (n−1) (x)(n ∈
N, n ≥ 2). Nếu f (n−1) (x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp
n của f (x) và ký hiệu là f (n) (x).

Định nghĩa 1.9.
Định lý 1.4 (Định lý Rolle). Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và khả

vi trong khoảng (a, b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao
cho f (c) = 0.
Hệ quả 1.1. Nếu hàm số f (x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và phương trình
f (x) = 0 có n nghiệm (kể cả bội) thuộc khoảng (a, b) thì phương trình f (x) = 0 có

ít nhất n − 1 nghiệm (kể cả bội) thuộc khoảng (a, b). ( Phương trình f (k) (x) = 0 có
ít nhất n − k nghiệm (kể cả bội) thuộc khoảng (a, b), với k ∈ {1, 2, . . . , n}).
Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.

7

Nhận xét 1.2. Nếu hàm f (x) là hàm đa thức bậc n và có n nghiệm thực thì f (x)
có n − 1 nghiệm thực.
Định lý 1.5 (Định lý Lagrange). Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và
khả vi trong khoảng (a, b). Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho
f (b) − f (a)
= f (c).
b−a

Định lý 1.6 (Định lý Cauchy về giá trị trung bình). Cho các hàm số f (x), g(x)
liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trong khoảng (a, b) và g(a) = g(b). Khi đó, tồn tại ít
nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho
f (b) − f (a)
f (c)
=
.
g(b) − g(a)

g (c)

Định lý 1.7 (Định lý Darboux). Cho hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a, b) và
c, d ∈ (a, b). Khi đó f (x) nhận mọi giá trị trung gian giữa f (c) và f (d).

Định nghĩa 1.10. Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trong khoảng (a, b), điểm
x0 ∈ (a, b) được gọi là điểm cực tiểu địa phương của f (x) nếu ∃δ > 0 sao cho
(x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a, b) và f (x) ≥ f (x0 ), ∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ).

Nếu x0 là điểm cực tiểu địa phương của −f (x) thì ta gọi x0 là điểm cực đại
địa phương của f (x).
Các điểm cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được gọi chung là điểm
cự trị địa phương.
Định lý 1.8 (Định lý Fermat). Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b). Nếu
f (x) đạt cực trị địa phương tại x0 và f (x) khả vi tại x0 thì f (x0 ) = 0.

1.1.3

Công thức Taylor

Định lý 1.9. Giả sử f : U(a, δ) → R là hàm khả vi liên tục đến cấp n − 1 trong
δ -lân cận U(a, δ) của điểm a và có đạo hàm hữu hạn cấp n tại điểm a.

Khi đó, hàm f có thể biểu diễn được dưới dạng
n

f (x) =
k=0

f (k) (a)

(x − a)k + o((x − a)n )
k!

(1.1)

khi x → a, trong đó 0! = 1, f (0) (a) = f (a).
Công thức (1.1) được gọi là công thức Taylor dạng địa phương với phần dư
Peano.
Footer Page 8 of 126.


Header Page 9 of 126.

8

Định lý 1.10. Giả sử f : (a, b) → R khả vi liên tục cấp n trên khoảng (a, b) và có
đạo hàm cấp n + 1 tại mỗi điểm của khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm x0 ∈ (a, b).
Khi đó, giữa điểm x0 và điểm x ∈ (a, b) bất kỳ, tồn tại điểm ξ, sao cho
n

f (x) =
k=0

f (k) (x0 )
(x − x0 )k + Rn+1 (f ; x),
k!

(1.2)

trong đó

1
Rn+1 (f ; x) =
n!p

x − x0
x−ξ

p

(x − ξ)n+1 f (n+1) (ξ), p ∈ R, p > 0.

(1.3)

Công thức (1.2) được gọi là công thức Taylor đối với hàm f với phần dư Rn+1
dưới dạng Schlomilch - Roche.
Bằng cách chọn các giá trị p > 0 hoàn toàn xác định, ta thu được những
trường hợp riêng đối với phần dư Rn+1 (f ; x). Ta xét những trường hợp quan trọng
nhất khi p = n + 1 và p = 1.
Khi p = n + 1, từ (1.3), ta thu được phần dư của công thức Taylor dưới dạng
Lagrange
Rn+1 (f ; x) =

f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 , ξ = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1.
(n + 1)!

(1.4)

Khi p = 1, từ (1.3), ta thu được phần dư của công thức Taylor dưới dạng
Cauchy

Rn+1 (f ; x) =

f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
(x − x0 )n+1 (1 − θ)n , 0 < θ < 1,
n!

(1.5)

trong đó ξ = x0 + θ(x − x0 ).
Nhận xét 1.3. Công thức Maclaurin với các phần dư (1.4) và (1.5) có dạng tương
ứng
Rn+1 (f ; x) =
Rn+1 (f ; x) =

f (n+1) (θx) n+1
x , 0 < θ < 1 (dạng Lagrange),
(n + 1)!

f (n+1) (θx)
(1 − θ)n xn+1 , 0 < θ < 1 (dạng Cauchy).
(n + 1)!

Sau đây ta xét khai triển Maclaurin đối với một số hàm sơ cấp đơn giản.
Ví dụ 1.1. Hàm f (x) = ex , x ∈ R có f (n) (x) = ex ∀x ∈ R. Do đó
ex = 1 + x +

Footer Page 9 of 126.

x2
xn

+ ··· +
+ Rn (x),
2!
n!


Header Page 10 of 126.

9
1
eθx xn+1 , 0 < θ < 1.
(n + 1)!

Rn (x) =

Ta có
|Rn (x)| ≤

|x|n+1 x
e → 0 (n → ∞), x ∈ R.
(n + 1)!

Ví dụ 1.2. Hàm f (x) = sin x có
f (n) (x) = sin x + n

π
, n ∈ {0, 1, . . . },
2

π

f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 0, f (3) (0) = −1, . . . , f (2n) (0) = sin 2n
2
π
n
sin (2n + 1)
= (−1) .
2

= 0, f (2n+1) (0) =

Do đó
(−1)n−1 x2n−1
x3 x5
+
− ··· +
+ R2n+1 (x),
sin x = x −
3!
5!
(2n − 1)!

R2n+1 (x) =

sin θx + (2n + 1) π2 x2n+1
(2n + 1)!

, 0 < θ < 1.

(1.6)

Từ (1.6) suy rằng
|R2n+1 (x)| ≤

|x|2n+1
→ 0 (n → ∞), ∀x ∈ R.
(2n + 1)!

Ví dụ 1.3. Hàm f (x) = cos x có
f (n) (x) = cos x +

nπ
,
2

f (n) (θx) = cos θx +

f (n) (0) = cos

nπ
,
2

nπ
,
2

n ∈ {1, 2, . . . }.

Công thức Maclaurin theo các lũy thừa của x với phần dư dưới dạng Lagrange có
dạng

cos x = 1 −
R2n (x) =

1.2

x2 x4
x2(n−1)
+
− · · · + (−1)n−1
+ R2n (x),
2!
4!
[2(n − 1)]!

x2n
π
cos θx + 2n
(2n)!
2

→0

(n → ∞), ∀x ∈ R.

Hàm đơn điệu và hàm bị chặn
Ký hiệu I(a, b) ⊂ R là ngầm định một trong bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b) hoặc

[a, b] với a < b.

Footer Page 10 of 126.

Header Page 11 of 126.

10

Định nghĩa 1.11. Cho hàm số f (x) xác định trên tập I(a, b), nếu ∀x1 , x2 ∈ I(a, b)
(x1 < x2 ) ta đều suy ra f (x1 ) ≤ f (x2 ) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu tăng

trên I(a, b).
Đặc biệt, nếu ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) ta đều có f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ x1 < x2 thì ta nói
rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) hay còn gọi là hàm đồng
biến.
Định nghĩa 1.12. Cho hàm số f (x) xác định trên I(a, b), nếu ∀x1 , x2 ∈ I(a, b)
(x1 < x2 ) ta đều suy ra f (x1 ) ≥ f (x2 ) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu giảm

trên I(a, b).
Đặc biệt, nếu ∀x1 , x2 ∈ I(a, b) ta đều có f (x1 ) > f (x2 ) ⇔ x1 < x2 thì ta nói
rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) hay còn gọi là hàm nghịch
biến.
π π
.
2 2

Ví dụ 1.4. Hàm y = sin x đồng biến trên đoạn − ,
Thật vậy
∀x1 , x2 ∈

−

π π
, , x1 < x2 ,
2 2

ta có
x1 + x2
x2 − x1
sin
·
2
2
π
π
π
x + x2
π
x2 − x1
π
Vì − ≤ x1 , x2 ≤ , nên − < 1
< và 0 <
≤ .
2
2
2
2
2
2
2
Do đó, cả hai thừa số ở vế phải của (1.7) đều dương trên đoạn
sin x2 − sin x1 = 2 cos

(1.7)

−

π π
,
2 2

và

sin x2 > sin x1 .

Định lý 1.11. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trong khoảng (a, b).
(i) Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) đồng biến trong khoảng đó.
(ii) Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) nghịch biến trong khoảng đó.
Định lý 1.12 (Mở rộng định lý 1.11). Cho hàm số f (x) có đạo hàm trong khoảng
(a, b). Nếu f (x) ≥ 0 (hoặc f (x) ≤ 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn

điểm trong khoảng (a, b) thì f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng đó.
Định nghĩa 1.13 (Hàm bị chặn). Hàm số f (x) với tập xác định Df , được gọi là
bị chặn trên trên tập Df nếu f (Df ) là tập hợp bị chặn trên, tức là
∃M : f (x) ≤ M, ∀x ∈ Df .

Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

11

Tương tự, f (x) được gọi là bị chặn dưới trên tập Df nếu tập hợp f (Df ) bị
chặn dưới, tức là
∃m : f (x) ≥ m, ∀x ∈ Df .

Khi f (x) đồng thời vừa bị chặn trên và bị chặn dưới trên tập Df thì ta nói nó
bị chặn (bị chặn hai phía).
Từ định nghĩa ta thấy hàm số f (x) bị chặn trên Df nếu
∃M > 0 : |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ Df .

Ví dụ 1.5. Hàm số f (x) =

x2

x
, x ∈ R bị chặn (trên toàn trục thực R).
+1

Thật vậy, ta có
x
|x|
1
=
≤
, ∀x ∈ R.
x2 + 1
x2 + 1
2

Nhận xét rằng, hàm số f (x) không bị chặn nếu với số M (M > 0) tuỳ ý, tồn

tại x ∈ Df sao cho |f (x)| > M . Nói một cách ngắn gọn là hàm số f (x) không bị
chặn nếu
∀M > 0, ∃x ∈ Df : |f (x)| > M.
1
, x ∈ R \ {0} không bị chặn.
x2
1
1
Thật vậy, giả sử M là số dương tùy ý. Ta có 2 > M ⇔ |x| < √ , x = 0.
x
M
1
1
Vậy, nếu ta lấy x = √ thì sẽ thu được bất đẳng thức 2 = 4M > M .
x
2 M

Ví dụ 1.6. Hàm số f (x) =

Từ nhận xét vừa nêu suy ra rằng hàm đã cho không bị chặn.

1.3

Hàm lồi, hàm lõm

Định nghĩa 1.14. Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi (lồi dưới) trên I(a, b) nếu
∀x, y ∈ I(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có f (αx + βy) ≤
αf (x) + βf (y).

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y thì ta nói hàm số f (x) là hàm

lồi thực sự trên I(a, b).
Định nghĩa 1.15. Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên I(a, b) nếu
∀x, y ∈ I(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có f (αx + βy) ≥
αf (x) + βf (y).

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y thì ta nói hàm số f (x) là hàm
lõm thực sự trên I(a, b).
Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.

12

Định lý 1.13. Nếu f (x) khả vi cấp 2 trên I(a, b) thì f (x) lồi (lõm) trên I(a, b) khi
và chỉ khi f (x) ≥ 0 (f (x) ≤ 0) trên I(a, b).
Nhận xét 1.4. Để ý rằng, nếu f (x) là hàm lồi liên tục trên [a, b] và với một cặp
số dương (α, β) với α + β = 1 xảy ra đẳng thức
αf (a) + βf (b) = f (αa + βb)

thì f (x) là hàm số (đa thức) bậc nhất.
Vì vậy, khi hàm số f (x) lồi và khả vi trên I(a, b) thì đồ thị của nó luôn luôn
thuộc nửa mặt phẳng trên tạo nên bởi tiếp tuyến tại mỗi điểm tuỳ ý cho trước của
đồ thị đó.
Nói cách khác, nếu f (x) lồi trên I(a, b) thì với mọi cặp x0 , x ∈ I(a, b), ta đều
có
f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ).

(1.8)

Thật vậy, (1.8) tương đương với
f (x0 ) ≤

f (x) − f (x0 )
, khi x > x0 ; x0 , x ∈ I(a, b)
x − x0

(1.9)

f (x0 ) ≥

f (x) − f (x0 )
, khi x < x0 ; x0 , x ∈ I(a, b).
x − x0

(1.10)

và

Các bất đẳng thức (1.9) và (1.10) là hiển nhiên (theo Định lí Lagrange).
Dễ nhận thấy rằng (1.8) xảy ra đẳng thức khi x0 = x.
Khi hàm số f (x) lõm và khả vi trên I(a, b) thì đồ thị của nó thuộc nửa mặt
phẳng dưới tạo bởi tiếp tuyến tại mỗi điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, tức là với mỗi cặp
x0 , x ∈ I(a, b), ta đều có
f (x) ≤ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ).

(1.11)

Dễ nhận thấy rằng (1.11) xảy ra đẳng thức khi x0 = x.
Định nghĩa 1.16 (Dạng nội suy). Hàm số f (x) được gọi là n-lồi trên I(a, b) nếu

với mọi bộ n + 1 số phân biệt trong I(a, b), ta đều có
n

f [x0 , x1 , . . . , xn ] :=
j=0

Footer Page 13 of 126.

f (xj )
≥ 0,
ω (xj )


Header Page 14 of 126.

13

trong đó

n

(x − xk ).

ω(x) :=

k=0

Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm lõm bậc cao.
Định nghĩa 1.17 (Dạng nội suy). Hàm số f (x) được gọi là n-lõm trên I(a, b) nếu
với mọi bộ n + 1 số phân biệt trong I(a, b), ta đều có

n

f [x0 , x1 , . . . , xn ] :=
j=0

trong đó

f (xj )
≤ 0,
ω (xj )

n

(x − xk ).

ω(x) :=

k=0

Tính chất 1.1. Hàm số f (x) có đạo hàm bậc n trên I(a, b) là n-lồi trên I(a, b) khi
và chỉ khi
f (n) (x) ≥ 0, ∀x ∈ I(a, b).

1.4
1.4.1

Hàm đa thức
Đa thức Chebyshev

Định nghĩa 1.18. Các đa thức Tn (x) (n ∈ N) được xác định như sau

T0 (x) = 1; T1 (x) = x,
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) , ∀n > 1

(1.12)

được gọi là các đa thức Chebyshev (loại 1).
Định nghĩa 1.19. Các đa thức Un (x) (n ∈ N) xác định như sau
U0 (x) = 0; U1 (x) = 1,
Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x) , ∀n > 1

(1.13)

được gọi là các đa thức Chebyshev (loại 2).
A. Tính chất của các đa thức Tn (x)
Tính chất 1.2. Tn (x) = cos(n arccos x) với mọi x ∈ [−1, 1].
Tính chất 1.3. Tn (x) ∈ Z[x] bậc n có hệ số bậc cao nhất bằng 2n−1 và là hàm
chẵn khi n chẵn; là hàm lẻ khi n lẻ.
Footer Page 14 of 126.


Header Page 15 of 126.

14

Tính chất 1.4. Tn (x) có đúng n nghiệm phân biệt trên [-1, 1 ], đó là
xk = cos

(2k − 1)π
, k ∈ {1, 2, . . . , n}.
2n

Tính chất 1.5. |Tn (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1, 1] và |Tn (x)| = 1 khi x = cos

kπ
, k ∈ Z.
n

B.Tính chất của đa thức Un (x)
sin(n arccos x)
√
, với mọi x ∈ (−1, 1).
1 − x2
sin nt
1
, cos t = x, đa thức bậc n − 1 có hệ số bậc
Tính chất 1.7. Un (x) = Tn (x) =
n
sin t
cao nhất bằng 2n−1 và là hàm chẵn khi n lẻ; là hàm lẻ khi n chẵn.

Tính chất 1.6. Un (x) =

Tính chất 1.8. Un (x) có đúng n − 1 nghiệm phân biệt trên [−1, 1], đó là
xk = cos

kπ
(k = 1, 2, . . . , n − 1).
n

Tính chất 1.9. |Un (x)| ≤ n, ∀x ∈ [−1, 1] và |Tn (x)| ≤ n2 , ∀x ∈ [−1, 1].

Xét các hàm số
1
1
cosh x = (ex − e−x ), cosh x = (ex + e−x ).
2
2

Khi đó với |x| > 1 thì
Tn (x) = cosh(nt); Un (x) =

sinh(nt)
,
cosh t

trong đó x = cosh t.

1.4.2

Đa thức lượng giác

Định nghĩa 1.20. Biểu thức
n

Ln (x) = a0 +

(ak cos kx + bk sin kx),

(1.14)

k=1

trong đó: a0 , ak , bk ∈ R (k ∈ {1, 2, . . . , n}); |an | + |bn | = 0 (n ∈ N∗ ), được gọi là đa
thức lượng giác bậc n (cấp n) với các hệ số a0 , ak , bk (k ∈ {1, 2, . . . , n}).
Định nghĩa 1.21. Nếu trong đa thức (1.14) tất cả các hệ số bk (k ∈ {1, 2, . . . , n})
đều bằng 0 thì ta có đa thức lượng giác cấp n thuần cos:
Cn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an cos nx (an = 0).

(1.15)

Nếu trong (1.14) tất cả các hệ số ak (k ∈ {1, 2, . . . , n}) đều bằng 0 thì ta có đa thức
lượng giác cấp n thuần sin:
Sn (x) = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx (bn = 0, b0 = a0 ).

Footer Page 15 of 126.

(1.16)


Header Page 16 of 126.

15

∗ (x) là hai đa thức lượng giác. Khi đó:
Tính chất 1.10. Cho Sn (x) và Sm
∗ (x) là đa thức lượng giác bậc k với k ≤ max{n, m}.
a) Sn (x) + Sm
∗ (x) là đa thức lượng giác bậc n + m.
b) Sn (x).Sm

Tính chất 1.11. Với mọi đa thức lượng giác Ln (x) dạng (1.14) luôn luôn tồn tại

các đa thức đại số Pk (t) và Ql (t) với deg Pk (x) = k ≤ n, deg Ql (x) = l ≤ n − 1 sao cho
Ln (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x).

(1.17)

Tính chất 1.12. Với mọi đa thức Cn (x) dạng (1.15) ta đều có
Cn (x) = Pn (cos x),

trong đó Pn (t) là đa thức bậc n đối với t và có hệ số bậc cao nhất là an = 2n−1 .
Ngược lại, với mọi đa thức Pn (t) với hệ số bậc cao nhất bằng 1 thì bằng phép
đặt ẩn phụ t = cos x ta đều biến đổi về được đa thức Cn (x) dạng (1.15) với an = 21−n .
Tính chất 1.13. Với mọi Sn (x) dạng (1.16) luôn luôn tồn tại đa thức đại số Qn−1 (t)
để
Sn (x) = b0 + sin x.Qn−1 (cos x).

1.4.3

Nội suy Lagrange

Ta thường thấy trong các sách giáo khoa hiện hành, dạng chính tắc của một
đa thức đại số P (x) bậc n (n > 0, thường được ký hiệu deg P (x) = n) có dạng
P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , a0 = 0.

Đa thức dạng chính tắc là đa thức được viết theo thứ tự giảm dần của luỹ thừa.
Bài toán 1.1 (Bài toán nội suy Lagrange). Cho xi , ai ∈ R, với xi = xj , ∀i = j, (i, j ∈
{1, 2, . . . , n}). Hãy xác định đa thức L(x) có bậc deg L(x) ≤ n − 1 thỏa mãn điều kiện
L(xi ) = ai , ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.

(1.18)

Lời giải. Để đơn giản, ta ký hiệu
n

Li (x) =
j=1, j=i

x − xj
, (i ∈ {1, 2, . . . , n}).
xi − xj

Khi đó, dễ thấy rằng
Li (xj ) =

Footer Page 16 of 126.

1 khi i = j
0 khi i = j

(1.19)


Header Page 17 of 126.

16

hay Li (xj ) = δij .
Tiếp theo, ta chứng minh rằng đa thức
n

(1.20)

ai Li (x)

L(x) =
i=1

là đa thức duy nhất thỏa mãn điều kiện của bài toán nội suy Lagrange (1.18), và
ta gọi đa thức này là đa thức nội suy Lagrange.
Thật vậy, dễ thấy rằng
deg L(x) ≤ n − 1.

Ngoài ra, ta có

n

n

aj δij

aj Lj (xi ) =

L(xi ) =
j=1

j=1

hay
L(xi ) = ai , ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Cuối cùng, nếu có đa thức L∗ (x), có bậc deg L∗ (x) với deg L∗ (x) ≤ n − 1 cũng

thỏa mãn điều kiện của bài toán (1.18) thì khi đó, đa thức
P (x) = L(x) − L∗ (x)

cũng có bậc deg P (x) ≤ n − 1 và thỏa mãn
P (xi ) = 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Tức là, P (x) là đa thức có bậc deg P (x) với deg P (x) ≤ n − 1 mà lại có ít nhất
n nghiệm phân biệt x1 , x2 , . . . , xn nên P (x) ≡ 0, và do đó L(x) = L∗ (x).

Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.

77

Tài liệu tham khảo
[A] Tiếng Việt
[1] Y.Y. Liashko , A. C. Boiachuk, Ia.G. Gai, P. Golovak (1970), Giải tích Toán
học- Các ví dụ và bài tập, Tập 1, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[2] Nguyễn Thị Dương Kiều (2010),Định lý Rolle và một số áp dụng, Luận văn
Thạc sĩ Toán học, ĐHKH ĐH Thái Nguyên.
[3] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình và bất phương trình,
NXB Giáo dục.
[4] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006),
Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc , NXB Giáo dục.
[5] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXB Giáo dục.
[6] Nguyễn Văn Mậu (2008), Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo dục.
[7] Nguyễn Kim Toàn (2012), Một số bất đẳng thức đạo hàm và ứng dụng, Luận
văn Thạc sĩ Toán học, ĐHKH ĐH Thái Nguyên.

[8] Trịnh Khắc Tuấn (2015), Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[B] Tiếng Anh
[9] Cerone P., Dragonir S. S. (2011), Mathematical Inequalities: A perspective,
CRS press, Taylor and Francis Group, LLC, USA.
[10] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real
analysis: Advanced calculus on real axis, Springer.
[11] Victor Prasolov (2001), Polynomial in Algorithms and computation in mathematics, Vol.11, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg.

Footer Page 18 of 126.