Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương trình Elliptic

Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ HẰNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI
TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

HÀ NỘI, 2017

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ HẰNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI
TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60460102

Người hướng dẫn khoa học:
TS. DƯ ĐỨC THẮNG

HÀ NỘI, 2017

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

3

Mục lục
Mở đầu

1

1 Cơ sở toán học

2

1.1

Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của một số không
gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Không gian Sobolev và Hilbert (H 1 và H 1/2 ) . . . .

3

1.1.2

Chuẩn trong không gian Sobolev . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson . . . . . . . . . . .

7

2 Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ liệu bằng phương pháp
lặp Richardson

12

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3

Phương pháp Richardson tiền điều kiện . . . . . . . . . . . 19

2.4

2.3.1

Một số kết quả kỹ thuật

. . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2

Liên hệ với phương pháp KMF . . . . . . . . . . . . 22

Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1

Quy tắc dừng tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 26

Kết luận và phương hướng nghiên cứu

31

Tài liệu tham khảo

32

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

1

MỞ ĐẦU
Luận văn này nhằm trình bày một phương pháp hiệu chỉnh lặp đối với bài
toán Cauchy của phương trình elliptic. Đây là một vấn đề được nhiều nhà
toán học quan tâm ở cả phương diện lý thuyết và thực hành, có ứng dụng
nhiều trong thực tế.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số cơ sở toán học cần thiết
cho việc nghiên cứu bài toán Cauchy và một số phương pháp hiệu chỉnh
của phương trình elliptic bằng phương pháp biến phân. Chúng tôi nhắc lại
vắn tắt về các không gian định chuẩn và không gian hàm. Các khái niệm
về bài toán Cauchy và biểu thức biến phân của nó được nêu lại. Một số
phương pháp hiệu chỉnh cho lớp các bài toán này cũng được nêu ra.
Ở chương 2, chúng tôi giới thiệu bài toán Cauchy của phương trình
elliptic và một ứng dụng của nó là bài toán hoàn thiện dữ liệu. Chúng tôi
đưa ra mô hình hiệu chỉnh lặp bài toán và các ước lượng tiên nghiệm và
hậu nghiệm.
Phần kết thúc của luận văn là Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Qua đây tác giả chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
tới Thầy hướng dẫn TS. Dư Đức Thắng, người đã giúp đỡ, chỉ bảo tận

tình tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thể
cán bộ, công nhân viên Khoa Toán- Cơ- Tin học đã giảng dạy và tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Bên cạnh đó, tác giả cũng rất mong nhận được những ý kiến đóng góp,
phê bình của thầy cô và các bạn cho bản luận văn này.
Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.

2

Chương 1
Cơ sở toán học
1.1

Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của
một số không gian.

Phần này, chúng tôi giới thiệu một số không gian tuyến tính định chuẩn
thường dùng trong các phần sau. Nhắc lại rằng không gian Banach là
không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức là nó đảm bảo cho mọi dãy
Cauchy đều hội tụ. Không gian tiền Hilbert là không gian tuyến tính có
tích vô hướng. Không gian Hilbert là không gian Banach có tích vô hướng.
Đương nhiên mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn
với chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Ví dụ về một số không gian tuyến tính định chuẩn thường gặp:

• Không gian các hàm Lp [a, b] với phần tử là các hàm khả tích x(s) có
chuẩn được xác định như sau
1/p

b
p

|x(s)| ds

x =

.

a

• Không gian C[a, b], a, b ∈ R gồm các hàm x(s) liên tục trên [a, b] và
x = max |x(s)|.
s∈[a,b]

Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.

1.1.1

3

Không gian Sobolev và Hilbert (H 1 và H 1/2 )

Nội dung của phần này được tham khảo từ [7, trang 12].
Cho k ∈ N, p ∈ [1, ∞]. Cho Ω là một miền bị chặn (giới nội) trong Rn .
Chúng ta gọi C k (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục trên Ω đến cấp
¯ là compact, cho nên với mỗi k = 0, 1, 2, . . . , ta có C k (Ω) ⊆ Lp (Ω).
k . Vì Ω
Do đó, ta có thể xác định được
1/p
p
Lp (Ω)

α

x(s) =

D x
|α|≤k

,

với mỗi x(s) ∈ C k (Ω), p ≥ 1.
Không gian Sobolev Wpk (Ω) là không gian C k (Ω) được làm đầy đủ bằng
chuẩn trên. Chúng ta thấy rằng:
với mọi x(s) ∈ C k (Ω), x(s)

Lp (Ω)

≤ x(s)

Wpk (Ω) .

Các không gian trên đều là các không gian Banach. Nếu p = 2 thì chúng
là không gian Hilbert, trừ trường hợp không gian các hàm liên tục.
Kí hiệu H 1 (Ω) là không gian Sobolev gồm tất cả các hàm trong L2 (Ω)
sao cho đạo hàm cấp một của nó cũng thuộc L2 (Ω). Với mỗi phần Υ ⊂ ∂Ω,
không gian H01 (Ω, Υ) gồm tất cả các hàm của H 1 (Ω) mà triệt tiêu trên Υ.
Không gian H 1/2 (Υ) là tập các vết trên Υ của tất cả các hàm của H 1 (Ω).
Chúng ta kí hiệu H −1/2 (Υ) là không gian topo đối ngẫu của H 1/2 (Υ).

1.1.2

Chuẩn trong không gian Sobolev

Xét Ω là một miền bị chặn trong R2 với một độ đo Lebesgue µ. Kí hiệu

L2 (Ω) là không gian Lebesgue gồm các hàm khả tổng bình phương, tức là
1/2
2

2

f ∈ L (Ω) khi và chỉ khi

f dµ

< ∞.

Ω

Cùng với tích vô hướng trên L2 (Ω) được xác định bởi
1/2

f, g =

f (x)g(x)dµ(x)
Ω

Footer Page 6 of 126.

, f, g ∈ L2 (Ω).


Header Page 7 of 126.

4

Ta định nghĩa chuẩn trên L2 (Ω) được xác định bởi
1/2
2

f =

f dµ

, f ∈ L2 (Ω).

Ω

1.2

Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử trong cặp không gian Hilbert (X, Y ) nào đó có
dạng

T x = b,

(1.1)

trong đó T là toán tử tuyến tính trên T ∈ L(X, Y ), vectơ b ∈ Y cho trước
và vectơ x ∈ X là vectơ cần tìm. Ta nói bài toán (1.1) là Bài toán đặt
chỉnh theo Hadamard

• Với mỗi b ∈ Y tồn tại nghiêm x ∈ X.
• Nghiệm x xác định duy nhất.
• Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thoả mãn
ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó là sai lầm. Nhất
là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng
máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến
các kết quả sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài
toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn. Cũng
cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp
không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian
metric khác.
Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic.

Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.

5

Ví dụ 1.2.1. Ví dụ này được đưa ra bởi J. Hadamard và nằm trong bài
toán hoàn thiện dữ liệu dọc theo phần không thể truy nhập được của biên
từ các điều kiện biên đặc biệt trên phần truy nhập được. Chúng ta có

−∆u = 0 trong R × R+ ;
u(x, 0) = g(x) và ∂y u(x, 0) = ϕ(x).
Giả sử cho trước các dữ liệu Neumann và Dirichlet g(x) = 0, ϕ(x) =

sin(ax), ta tìm được nghiệm của bài toán có dạng
u(x, y) =

1
sin(ax) sinh(ay).
a

Nhận thấy rằng dữ liệu Cauchy (g, ϕ) là bị chặn đều theo tham số a trong
khi nghiệm u tăng trưởng mũ theo a khi a → ∞. Do đó, nghiệm không phụ
thuộc liên tục theo dữ liệu Cauchy trong L∞ . Thực ra chúng ta không thể
có tính bị chặn theo bất kì chuẩn khả dĩ nào chẳng hạn các chuẩn Sobolev
hoặc H¨older.
Ví dụ 1.2.2. Một ví dụ khác đến từ bài toán truyền nhiệt. Chúng ta xét
bài toán truyền nhiệt trong Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) với τ > 0,

ut − ∆u = 0 trong QT = Ω × (0, τ ),
u(x, t) = 0 trên Γ × (0, τ ),
u(x, 0) = ϕ(x) trong Ω.
Ta biểu diễn nghiệm u dưới dạng chuỗi Fourier. Trước tiên, chúng ta xét
cơ sở Hilbert (un (x))n trong L2 (Ω), ở đây (un )n là các vector riêng của
toán tử Laplace xác định trên H01 (Ω). Điều này nghĩa là un ∈ H01 (Ω) và

−∆un = λn un . Dãy các giá trị riêng (λn )n là dương và dần tới vô cực khi
n → ∞. Chúng ta viết

∞

ϕ=

ϕn un (x),
n=0

và rút ra nghiệm
∞

ϕn e−λn t un (x),

u(x, t) =
n=1

Footer Page 8 of 126.

t ∈ (0, τ ).

Header Page 9 of 126.

6

Dễ dàng kiểm tra ngay rằng u ∈ C((0, +∞); L2 (Ω)). Bây giờ, cho trước
một quan sát cuối cùng uτ ∈ L2 (Ω). Bài toán truy ngược để tìm ϕ(x) tức
là nhiệt độ ở thời điểm ban đầu t = 0 nào đó, biết rằng u(x, τ ) = uτ (x)
trong Ω là đặt không chỉnh. Quả vậy, bài toán trên dẫn tới biểu diễn
∞

∞
−λn τ

ϕn e

un (x) =

n=0

uτ,n un (x).
n=0

khi đó ta viết bài toán ban đầu dưới dạng sau:

T ϕ = uτ ,

trong L2 (Ω).

Do đó, T là toán tử chéo với các giá trị riêng µn = e−λn τ . Kết quả là, bài
toán trên đặt không chỉnh (nghiêm ngặt) theo nghĩa của G. Wahba.

Để cho thuận tiện, ta xét trường hợp các không gian Hilbert X và Y
là trùng nhau, và được kí hiệu chung là H . Khi đó có một tiêu chuẩn đặc
trưng cho sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được áp lên
vế phải b, được gọi là tiêu chuẩn Picard. Giả thiết rằng toán tử T là toán
tử compact, khi đó toán tử ngược của nó T −1 là không bị chặn. Giả sử giá
trị riêng và vectơ riêng của T là hệ (mun , vn ) thì điều kiện Picard được
phát biểu là phương trình (1.1) là giải được khi và chỉ khi
∞

k=0

b, vk
µ2k

2

< ∞.

Trong trường hợp vế phải không đo được chính xác mà ta chỉ biết được
giá trị bị nhiễu của nó b = b + δb, với = δb << b , tức là δb ∈ R(T ),
tức là

∞

k=0

δb, vk
µ2k

2

= ∞,

thì nghiệm tương ứng x sẽ tiến ra vô cùng khi

→ 0. Điều này dẫn đến

trường hợp là nghiệm nhận được từ số liệu bị nhiễu và nghiệm tính toán
từ các dữ liệu chính xác là rất sai khác nhau, gây khó khăn cho việc tính
toán khoa học. Chính vì vậy người ta sử dụng các công cụ, mô hình toán
học thích hợp để hiệu chỉnh hoá bài toán, nhằm tìm ra một nghiệm xấp
Footer Page 9 of 126.


Header Page 10 of 126.

7

xỉ tin cậy được cho bài toán đang xét. Từ thời Tikhonov (1952) tới nay,
các nhà toán học đã xây dựng rất nhiều phương pháp hiệu chỉnh các bài
toán đặt không chỉnh. Trong chương này và chương tiếp theo, chúng tôi
sẽ trình bày về một phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương
trình elliptic thông qua ví dụ về bài toán hoàn thiện dữ liệu.

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson

Để chuẩn bị cho các nghiên cứu về quá trình hiệu chỉnh bài toán bằng
phương pháp Richardson, chúng tôi giới thiệu một số kết quả mang tính

chất kĩ thuật. Ta nhắc lại phương trình (1.1) trong không gian Hilbert H
như sau: tìm x ∈ H sao cho

T x = b,

b ∈ H.

Ở đây T là toán tử bị chặn, tuyến tính, đối xứng và toàn ánh. Ta giả thiết
thêm rằng T là compact, và

0 < (T x, x) < x 2 ,

∀x ∈ H\{0}.

Từ tính đối xứng của T , miền giá trị của T là trù mật trong H nhưng
không trùng với H . Điều này kéo theo T −1 được xác định nhưng không bị
chặn.
Phương pháp lặp Richardson cho phép từ điểm x0 ∈ H , ta xác định
được dãy {xn } thoả mãn

xn+1 = xn + (b − T xn ) = (I − T )xn + b.
Ta đi nghiên cứu tốc độ hội tụ của dãy {xn } trong trường hợp b là chính xác
hoặc b bị nhiễu thành b . Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó b ∈ R(T ),
tức là tồn tại duy nhất nghiệm x thoả mãn T x = b. Đặt en = xn − x thì
ta được phương trình

en+1 = (I − T )en = . . . = (I − T )n+1 e0 .
Ta có một số kết quả sau
Footer Page 10 of 126.

Header Page 11 of 126.

Bổ đề 1.3.1.

8

1. Toán tử I − T là chính qui tiệm cận, tức là

lim ((I − T )n+1 − (I − T )n )x = 0,

n→∞

2. lim (I − T )n x = 0,

∀x ∈ H.

∀x ∈ H .

n→∞

Chứng minh. 1. Từ giả thiết

0 < (T x, x) < x 2 ,

∀x ∈ H\{0}.

(I − T )x < x ,

∀x ∈ H\{0}.

Ta có:

Xét xn = (I − T )n x và đặt yn = xn+1 − xn = −(I − T )n T x. Ta có

yn+1 = (I − T )yn .
Mà dãy ( yn )n là không tăng vì vậy hội tụ tới số thực ν . Từ T là compact
và dãy ((I − T )n x)n bị chặn bởi

x

do vậy (yn )n là compact trong H .

Do đó có thể trích ra một dãy (yn )k hội tụ đến y nào đó trong H . Hơn nữa
,dãy (yn+1 = (I − T )yn )k hội tụ (I − T )y . Do vậy,

(I − T )y = y . Từ

đó, ta có: y = 0 hay ( yn )n hội tụ về 0. Ta có điều phải chứng minh.
2. Giả sử x ∈ R(T ) thì x = T z . Ta có:

(I − T )n x = (I − T )n T z
Áp dụng Bổ đề 1.3.1 phần 1, ta có điều phải chứng minh.
Nếu x ∈
/ R(T ), với mọi

> 0, tồn tại y ∈ R(T ) sao cho

x − y < . Ta

có:

(I−T )n x ≤ (I−T )n (x−y)

+

(I−T )n y ≤ x−y

mà ((I − T )n y)n hội tụ về 0 khi n tiến ra vô cùng. Vậy:
hay

(I − T )n x ≤ 2 .
Ta có điều phải chứng minh.

Footer Page 11 of 126.

+

(I−T )n y

(I − T )n y ≤ ,


Header Page 12 of 126.

9

Nếu gọi (µk , φk ) là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử T
thì do T compact ta có µk → ∞ khi k → ∞. Điểm x ∈ H sẽ được biểu
diễn qua hệ cơ sở {φk } như sau:

∞

∞

xk φk ,

(x, φk )φk =

x=

k=1

k=1

thế thì

∞

(1 − µk )n xk φk .

n

(I − T ) x =
k=1

Theo định lí Hội tụ trội của Lebesgue, dãy {(I − T )n x} hội tụ về 0 khi

n → ∞.
Bổ đề 1.3.2 (Trường hợp dữ kiện chính xác). Cho b ∈ R(T ). Thuật toán
Richardson hội tụ, tức là

lim xn − x = 0.

n→∞

Ngược lại, nếu b ∈ R(T ), thì lim xn = ∞.
n→∞

Để trình bày tốc độ hội tụ của thuật toán Richardson, chúng ta cần
một sự hiệu chỉnh bổ sung cho nghiệm chính xác. Chúng ta gọi là Điều
kiện Nguồn Tổng quát (GCS). Mục đích của bổ đề tiếp theo là cung cấp
một tốc độ hội tụ như thế rất hữu ích cho các lập luận sau này.
Bổ đề 1.3.3. Cho p ∈ (0, 1] và x, x0 ∈ R(T p ). Khi đó chúng ta có

xn − x ≤ En−p ,
ở đây, hằng số E chỉ phụ thuộc vào (x, x0 ).
Tốc độ hội tụ của dãy (xn )n tới x có thể chậm tùy ý. Sự lựa chọn hợp
lí tham số p sẽ cho chúng ta bậc hội tụ tối ưu. Tiếp theo đây, chúng ta sẽ
xét sự phân kì của nghiệm x khi dữ kiện vế phải bị nhiễu. Từ đây ta đưa
ra một điều kiện về chỉ số của dãy xấp xỉ để có thể có được nghiệm chấp
nhận được của phương trình. Xét x ,n là dãy nghiệm tương ứng với dữ kiện

b = b + δb, xấp xỉ tới nghiệm chính xác x. Như ở trên, nhìn chung khoảng
Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.

10

cách từ x ,n tới x sẽ dần ra vô cùng khi n tăng vô hạn. Tuy nhiên, với một
cách chọn lựa n phù hợp, ta sẽ nhận được nghiệm xấp xỉ mong muốn.
Bổ đề 1.3.4 (Trường hợp dữ kiện bị nhiễu). Ta có

x ,n − xn ≤ n ,

∀n ≥ 0.

Từ đây, nếu chọn n là một hàm phụ thuộc

lim n = ∞,
→0

sao cho

lim n = 0,
→0

thì thuật toán Richardson sẽ cho ta một mô hình hiệu chỉnh phù hợp, tức
là

lim x ,n − x = 0.
→0

Hiển nhiên nghiệm xấp xỉ x ,n không thể hội tụ về x, nhưng nếu ta có
thể xác định được chỉ số n thích hợp (phụ thuộc vào độ lệch tương đối ),
gọi là tham số dừng, mà với tham số đó, nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm
chính xác. Để đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ, ta bổ sung
một điều kiện về tính trơn của nghiệm, được gọi là điều kiện nguồn tổng
quát (GSC) dạng H¨older, được biểu diễn như sau: x ∈ H được gọi là thoả

mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC) nếu với một giá trị p ∈ (0, 1] nào
đó, x ∈ R(T p ), tức là tồn tại χ ∈ H sao cho x = T p χ. Với điều kiện này,
ta xây dựng được một ước lượng tiên nghiệm, tức là chọn được điểm dừng
của tham số n phụ thuộc vào

để thuật toán Richardson hội tụ và có tốc

độ hội tụ tương ứng như sau.
Bổ đề 1.3.5. Giả sử x ∈ H thoả mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC)
ở trên, với p ∈ (0, 1] nào đó. Khi đó nếu trong phép lặp Richardson, chỉ
số n được chọn sao cho

n = n( ) =

p
p+1

pE

,

thì ta có ước lượng

x ,n − x ≤ CE
với C là hằng số chỉ phụ thuộc vào p.
Footer Page 13 of 126.

p
p+1

E

,


Header Page 14 of 126.

11

Chứng minh. Chứng minh dựa vào các đánh giá của các bổ đề ở trên. Ta
có

x ,n − x ≤ n + En−p .
Xét cực đại của hàm số

f (t) = t−1 + Etp ,
ta thấy

max f (t) = C(p)E
đạt được khi

n=
Ta có điều phải chứng minh.

Footer Page 14 of 126.

pE

p
p+1

E

p
p+1

.

,


Header Page 15 of 126.

32

Tài liệu tham khảo
[1] M. Aza¨ıez, F. Ben Belgacem, and H. El Fekih. On Cauchy’s problem: II. Completion, regularization and approximation. Inverse
Problems, 22:1307–1336, 2006.
[2] Ben Belgacem F and El Fekih H. On Cauchy’s problem: I. A
variational Steklov-Poincare theory. Inverse Problems 21 (2007),
1915–36.
[3] Du Duc Thang, A Lavrentiev-Finite Element Model for the Cauchy
Problem of Data Completion: Analysis and Numerical Assessment,
2011.
[4] Faker Ben Belgacem, Duc Thang Du and Faten Jelassi. Extendeddomain-Lavrentiev’s regularization for the Cauchy problem. Inverse
Problems 27 (2011) 045005 (27p).
[5] Heinz W. Engl, Martin Hanke and Andreas Neubauer. Regulation
of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers, The Nertherlands (2000).
[6] V.A. Kozlov, V.G. Maz’ya, and A.V. Fomin. An iterative method
for solving the Cauchy problem for elliptic equations. Comp. Math.

Phys., 31(1):45–52, 1991.
[7] Phạm Kỳ Anh. Bài toán đặt không chỉnh. NXB Đại học quốc gia
Hà Nội (2007).

Footer Page 15 of 126.