Cac dang toan hinh hoc 11

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

CHƯƠNG I:

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
I. Phép tònh tiến
•
•

•

Tvr
Tvr

Tvr

:M

a

uuuuu
r r
MM ' = v

M′ ⇔

(M) = M′,

Tvr

a

: M(x; y)

(N) = N′ ⇒

M′(x′; y′). Khi đó:

II. Phép đối xứng trục
• Đd: M

a

uuuuuu
r uuuu
r
M ' N ' = MN

M′ ⇔

uuuuuur
uuuuur
M0 M ' = − M0 M

x ' = x + a

y ' = y + b

(M0 là hình chiếu của

M trên d)
• Đd(M) = M′ ⇔ Đd(M′) = M
• Đd(M) = M′, Đd(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN

• ĐOx: M(x; y)

ĐOy: M(x; y)

a

a

M′(x′; y′). Khi đó:

M′(x′; y′). Khi đó:

x ' = x
y ' = −y

x ' = −x
y ' = y


III. Phép đối xứng tâm
• Đ I: M

a

M′ ⇔

uuur
uuu
r
IM ' = − IM

• ĐI(M) = M′ ⇔ ĐI(M′) = M
• ĐI(M) = M′, ĐI(N) = N′ ⇒

• Cho I(a; b). ĐI: M(x; y)

Đặc biệt:

ĐO: M(x; y)

a

a

uuuuuur
uuuu
r
M ' N ' = − MN

M′(x′; y′). Khi đó:

M′(x′; y′). Khi đó:

 x ' = 2a − x

 y ' = 2b − y

x ' = −x

y ' = −y

IV. Phép quay
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


• Q(I,α): M

a

M′ ⇔

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11
 IM ' = IM

( IM ; IM ') = α

• Q(I,α)(M) = M′, Q(I,α)(N) = N′ ⇒ M′N′ = MN

• Q(I,α)(d) = d′. Khi đó:

• Q(O,900): M(x; y)

Q(O,–900): M(x; y)

a

a

V. Phép vò tự
• V(I,k): M

a

M′ ⇔


α
·
( d , d ') = 
π − α


nếu 0 < α ≤
nếu

M′(x′; y′). Khi đó:

a

x ' = y
y ' = −x


(k ≠ 0)

• V(I,k)(M) = M′, V(I,k)(N) = N′ ⇒

• Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y)

π
≤α<π
2

 x ' = −y
y ' = x


M′(x′; y′). Khi đó:
uuur
uuu
r
IM ' = k .IM

π
2

uuuuuu
r
uuuu
r
M ' N ' = k .MN

M′(x′; y′). Khi đó:

 x ' = kx + (1 − k )a

 y ' = ky + (1 − k )b

Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ∆ABC thành ∆A′B′C′ thì nó
cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của

∆ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại
tiếp của ∆A′B′C′.
I. PHÉP TỊNH TIẾN
1.

Cho hai điểm cố đònh B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên
đường tròn đó. Tìm q tích trực tâm H của ∆ABC.
HD: Vẽ đường kính BB′. Xét phép tònh tiến theo

r uuuur
v = B 'C

. Q tích điểm H là

đường tròn (O′) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

2.

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố đònh và đường kính CD thay đổi.
Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực
tâm các tam giác CEF và DEF.
HD: Gọi H là trực tâm ∆CEF, K là trực tâm ∆DEF. Xét phép tònh tiến theo
vectơ

r
r uuu
v = BA

. Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O ′) ảnh của (O) qua

phép tònh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với
3.

HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ

uuu
r
AB

HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ

uuu
r

BA

uuu
r uuuu
r
AB = DM

và . Chứng

.

Cho tứ giác ABCD có = 60 0, = 1500, = 900, AB =
các cạnh AD và BC.

5.

).

Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác đònh bởi
minh .

4.

uuur uuu
r
AA ' = BA

. BC = 6, AD =

6 3

, CD = 12. Tính độ dài

6 3

.

Cho ∆ABC. Dựng hình vuông BCDE về phía ngoài tam giác. Từ D và E lần
lượt dựng các đường vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng hai đường
vuông góc đó với đường cao AH của ∆ABC đồng qui.
HD: Xét phép tònh tiến theo vectơ

6.

uuu
r
BE

, ∆ABC → ∆A′ED.

Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tònh tiến
các trường hợp sau:
a)
e)

7.

r
v

r
v

= (1; 1)

b)

= (0; 0)

f)

r
v

r
v

= (2; 1)

c)

r
v

= (–2; 1)

d)

r
v

Tvr

trong

= (3; –2)

= (–3; 2)

Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho

A = Tvr ( B)

trong các trường hợp

sau:
a)

r
v = ( 2; −3 )

b)

r
v

= (2; 1)

c)

r
v

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

= (–2; 1)

d)

r
v

= (3; –2)

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


e)
8.

9.

r
v

= (0; 0)

f)

Tìm toạ độ vectơ

r
v

r
v

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

= (–3; 2)
sao cho

Tvr ( M ) = M /

trong các trường hợp sau:

a) M(−10; 1), M’(3; 8)

b) M(−5; 2), M′(4; −3)

c) M(–1; 2), M′(4; 5)

d) M(0; 0), M′(–3; 4)

c) M(5; –2), M′(2; 6)

f) M(2; 3), M′(4; –5)

Trong mpOxy, cho đường thẳng (d) : 2x − y + 5 = 0. Tìm phương trình của
đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tònh tiến theo

r
v

trong các trường hợp

sau:
a)

r
v = ( 4; −3)

b)

r
v

= (2; 1)

c)

10. Trong mpOxy, cho đường tròn (C):

r
v

= (–2; 1)

( x − 1) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4

đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép tònh tiến theo

d)

r
v

= (3; –2)

. Tìm phương trình của
r
v

trong các trường hợp

sau:
a)

r
v = ( 4; −3)

b)

r
v

= (2; 1)

11. Trong mpOxy, cho Elip (E):

c)

x2 y2
+
=1
9
4

của (E) qua phép tònh tiến theo
a)

r
v = ( 4; −3)

b)

r
v

r
v

r
v

= (–2; 1)

. Tìm phương trình của elip (E′) là ảnh

= (2; 1)

c)

r
v

= (–2; 1)

x2 y2
−
=1
16 9

(H′) là ảnh của (H) qua phép tònh tiến theo
a)

b)

r
v

= (2; 1)

= (3; –2)

trong các trường hợp sau:

12. Trong mpOxy, cho Hypebol (H):

r
v = ( 4; −3)

d)

r
v

c)

r
v

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

r
v

d)

r
v

= (3; –2)

. Tìm phương trình của Hypebol
trong các trường hợp sau:

= (–2; 1)

d)

r
v

= (3; –2)

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

13. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y2 = 16x. Tìm phương trình của Parabol (P′) là
ảnh của (P) qua phép tònh tiến theo
a)

r
v = ( 4; −3)

b)

r
v

= (2; 1)

r

v

c)

trong các trường hợp sau:
r
v

= (–2; 1)

14. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ
tiến

Tvr

r
v

d)

r
v

= (3; –2)

= (2; m). Tìm m để phép tònh

biến d thành chính nó.
II. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1.

Cho hai điểm B, C cố đònh trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên
đường tròn đó. Tìm q tích trực tâm H của ∆ABC.
HD: Gọi H′ là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối
xứng trục BC. Qũi tích điểm H là đường tròn (O′) ảnh của (O) qua phép ĐBC.

2.

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d. Tìm trên d một
điểm M sao cho tổng AM + MB có giá trò nhỏ nhất.
HD: Gọi A′ = Đd(A). M là giao điểm của A′B và d.

3.

Cho ∆ABC với trực tâm H.
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB, HBC, HCA
có bán kính bằng nhau.
b) Gọi O1, O2, O3 là tâm của các đường tròn nói trên. Chứng minh rằng đường
tròn đi qua 3 điểm O1, O2, O3 có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆ABC.

4.

Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B ∈
Ox, C ∈ Oy sao cho chu vi ∆ABC là bé nhất.
HD: Xét các phép đối xứng trục: ĐOx(A) = A1; ĐOy(A) = A2. B, C là các giao
điểm của A1A2 với các cạnh Ox, Oy.

5.

Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và điểm M chạy trên cạnh BC. Giả sử Đ AB(M)
= M1, ĐAC(M) = M2. Tìm vò trí của M trên cạnh BC để đoạn thẳng M 1M2 có độ
dài ngắn nhất.
HD: M là chân đường cao vẽ từ A của ∆ABC.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


6.

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

Cho ∆ABC cân đỉnh A. Điểm M chạy trên BC. Kẻ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. Gọi
D′ = ĐBC(D). Tính và chứng tỏ MD + ME không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
HD: = 1v; MD + ME = BH.

7.

Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0;
6), D(4; –3).

8.

Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0;
6), D(4; –3).

9.

Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.

10. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) x – 2 = 0

b) y – 3 = 0

c) 2x + y – 4 = 0

d) x + y – 1 = 0

11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) x – 2 = 0

b) y – 3 = 0

c) 2x + y – 4 = 0

d) x + y – 1 = 0

12. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

b) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0

13. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

b) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0

14. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):

a)

x 2 y2
+ =1
16
9

b) x2 + 4y2 = 1

c) 9x2 + 16y2 = 144

15. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng trục Ox (Oy):

a)

x 2 y2
=1

16 9

b) x2 – 4y2 = 1

c) 9x2 – 25y2 = 225

16. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Ox:
a) y2 = 2x

b) x2 = 2y

c) y = x2

17. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng trục Oy:
a) y2 = 2x

b) x2 = 2y

c) y = x2

III. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

1.

Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố đònh và một điểm A thay đổi. Gọi H
là trực tâm của ∆ABC và H′ là điểm sao cho HBH′C là hình bình hành. Chứng
minh rằng H′ nằm trên đường tròn (O). Từ đó suy ra q tích của điểm H.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. ĐI(H′) = H ⇒ Q tích điểm H là đường tròn
(O′) ảnh của (O) qua phép ĐI.

2.

Điểm M thuộc miền trong tứ giác lồi ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là điểm
đối xứng của M qua trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ
giác A′B′C′D′ là hình bình hành.

3.

Cho đường tròn (O, R) và một dây cố đònh AB = R

2

. Điểm M chạy trên cung

lớn AB thoả mãn ∆MAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và BH cắt
(O) theo thứ tự tại A′ và B′. A′B cắt AB′ tại N.
a) Chứng minh A′B′ cũng là đường kính của đường tròn (O, R).
b) Tứ giác AMBN là hình bình hành.
c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên.
d) HN cắt A′B′ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên.
HD:

a)

·A ' BB '

= 1v

b) AM //A′N, BM // AN

d) Gọi J là trung điểm AB. ĐJ(M) = N, ĐJ(O) = O′.

c) HN = B′A′ = 2R
·
OIO
'

= 1v ⇒ Tập hợp các

điểm I là đường tròn đường kính OO′.
4.

Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD cắt các cạnh DC, AB
tại P và Q. Chứng minh rẳng các giao điểm của các đường thẳng AP, BP, CQ,
DQ với các đường chéo của hình bình hành là các đỉnh của một hình bình hành
mới.
HD: Xét phép ĐO.

5.

Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng
tâm với:

a) Tâm O(0; 0)

6.

b) Tâm I(1; –2)

c) Tâm H(–2; 3)

Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) 2x – y = 0

b) x + y + 2 = 0

c) 2x + y – 4 = 0

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

d) y = 2

e) x = –1

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


7.

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) 2x – y = 0

8.

b) x + y + 2 = 0

c) 2x + y – 4 = 0

e) x = –1

Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

b) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0
9.

d) y = 2

d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0

Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2):

a)

x 2 y2
+ =1
16

9

b) x2 + 4y2 = 1

c) 9x2 + 16y2 = 144

10. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép đối xứng tâm I(–1; 2):

a)

x 2 y2
=1
16 9

b) x2 – 4y2 = 1

c) 9x2 – 25y2 = 225

11. Tìm ảnh của các parabol sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
a) y2 = 2x

b) x2 = 2y

c) y = x2

IV. PHÉP QUAY
1.

Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông
cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh

∆IMJ vuông cân.
HD: Xét phép quay Q(A,900).

2.

Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM

=

1
2

FK.

HD: Gọi D = Đ(A)(B). Xét phép quay Q(A,900).
3.

Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm
cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường
thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE.
Chứng minh ∆BMN đều.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình

học 11

HD: Xét phép quay Q(B,600).
4.

Cho ∆ABC. Lấy các cạnh của tam giác đó làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam
giác các tam giác đều ABC1, CAB1, CAB1. Chứng minh rằng các đoạn thẳng
AA1, BB1, CC1 bằng nhau.
HD: Xét các phép quay Q(A,600), Q(B,600).

5.

Cho ∆ABC đều tâm O. Trên các cạnh AB, AC đặt các đoạn thẳng AD, AE sao
cho AD + AE = AB. Chứng minh rằng OD = OE và 1200.
HD: Xét phép quay Q(O,1200).

6.

Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông
góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng:
1

a) CM + CN = EF

b)

CM 2

+

1
CN 2

=

1
AB2

HD: Xét phép quay Q(C,900).
7.

Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao
cho C và D nằm khác phía với AB. Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm
trên đường cao AH của ∆ABC.
HD: Lấy trên tia đối của AH một đoạn AK = BC. Gọi O là tâm hình vuông
ACIJ. Xét phép quay Q(O,900) ⇒ IB ⊥ CK. Tương tự CD ⊥ BK.

8.

Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép quay tâm
O góc α với:
a) α = 900

9.

b) α = –900

c) α = 1800

Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc 900:

a) 2x – y = 0

b) x + y + 2 = 0

c) 2x + y – 4 = 0

d) y = 2

e) x = –1

10. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc 900:
a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9

b) x2 + (y – 2)2 = 4

c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
V. PHÉP VỊ TỰ

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


1.

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

Cho ∆ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và

uuur
uuur
GH = −2GO

.

HD: Xét phép vò tự V(G,–2)(O) = H.
2.

Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố đònh, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn
(O). Tìm q tích trọng tâm G của ∆ABC.
V

HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vò tự
3.

1
(I , )
3

(A) = G.

Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B,
PQ là một đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt
tại M và N.
a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.

b) Tìm q tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi.
HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.
V

b) Xét các phép vò tự V(C,2)(Q) = M;
4.

1
(C , )
2

(Q) = N.

Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn.
Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O).
a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố đònh.
b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O′ của đường tròn ngoại tiếp ∆MPQ,
trực tâm H của ∆MPQ.
HD: a) Kẻ OI ⊥ d, OI cắt PQ tại N.

uur uuur
OI .ON = r 2

⇒ N cố đònh.

b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kính NO.
Tập hợp các điểm O′ đường trung trực đoạn OI.
Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = V(O,2).
5.

Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh
tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C.
a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố đònh khác A.
b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố đònh.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của ∆ABC.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11
uuu
r uuur uuuu
r uuur
2
OA.OD = OM .ON = − R

HD: a) AO cắt (AMN) tại D.
b) AO cắt BC tại E.

uuu
r uuur
AE. AD = AO 2 − R2

⇒ D cố đònh.

⇒ E cố đònh.

c) Tập hợp các điểm I là đường tròn (O1) đường kính EO.
V

Tập hợp các điểm G là đường tròn (O2) =
6.

2
( A, )
3

(O1).

Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB
tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt
d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E.
a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vò trí của điểm M.
b) Tứ giác CDNE là hình gì?
c) Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆MAC.
HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi)

b) NE // CD ⇒ CDNE là hình thang.

c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K,
R
3

7.

V

) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép

1
(I , )
3

.

Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–
3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).

8.

Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k =

1
2

: A(2; 3), B(–

3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).
k=

9.

Phép vi tự tâm I tỉ số

1
2

biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I

trong các trường hợp sau:
a) M(4; 6) và M’(–3; 5).

b) M(2; 3) và M′(6; 1)

c) M(–1; 4) và M′(–3;

–6)
10. Phép vò tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp sau:
a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1).

b) I(1; 2), M(0; 4) và M′(2; 0)

c) I(2; –1), M(–1; 2), M′(–2; 3)
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

11. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a) x + 2y – 1 = 0

b) x – 2y + 3 = 0

c) y – 3 = 0

d) x + 4 = 0

12. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k
trong các trường hợp sau:

a) k = 1

b) k = 2

c) k = – 1

d) k = – 2

e) k =

1
2

−

f) k =

1
2

13. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: x – 2y + 1 = 0 và ∆2: x – 2y + 4
= 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vò tự V(I,k) biến ∆1 thành ∆2.

14. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a)

( x - 1)2 + ( y - 5)2 = 4

b)

( x + 2)2 + ( y + 1)2 = 9

c) x2 + y2 = 4

15. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1) 2 + (y – 3)2 = 9 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ
số k trong các trường hợp sau:

a) k = 1

b) k = 2

c) k = – 1

d) k = – 2

e) k =

1
2

−

f) k =

1
2

16. Xét phép vò tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C′). Tìm
phương trình của đường tròn (C) nếu biết phương trình đường tròn (C′) là:
2

a)

2

( x - 1) + ( y - 5) = 4

2

b)

2

( x + 2) + ( y +1) = 9

2

c)

2

x + y =1

ÔN TẬP CHƯƠNG I
1.

Cho hình bình hành ABCD có CD cố đònh, đường chéo AC = a không đổi.
Chứng minh rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác
đònh.

2.

Cho 2 điểm A, B cố đònh thuộc đường tròn (C) cho trước. M là một điểm di
động trên (C) nhưng không trùng với A và B. Dựng hình bình hành AMBN.
Chứng minh rằng tập hợp các điểm N là một đường tròn.

3.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C chạy trên nửa đường
tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh
điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố đònh.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


4.

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.
a) Xác đònh một phép dời hình biến A thành B, I thành E.
b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.

5.

Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′). Xác đònh các tâm vò tự của hai đường

tròn nếu R′ = 2R và OO′ =
6.

Cho

r
v

3
2

R.

= (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d1: 2x – 3y – 5 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng d′ =
b) Tìm toạ độ vectơ

r
u

Tvr

(d).

vuông góc với phương của d sao cho d1 =
Tvr

Tur

(d).
r
v

7.

Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C′) =

8.

Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y2 – 2x +

(C) với

= (–2; 5).

4y – 4 = 0.
a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm M.
9.

Tìm điểm M trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB là ngắn nhất

với A(0; –2), B(1; –1).

10. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn tâm A(–2; 3) bán kính 4
qua phép đối xứng tâm, biết:
a) Tâm đối xứng là gốc toạ độ O

b) Tâm đối xứng là điểm I(–4; 2)

11. Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d′ là ảnh
của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay α, với:
a) α = 900
12. Cho

r
v

b) α = 400.

= (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có

được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90 0 và phép tònh tiến
theo vectơ

r
v

.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

13. Cho đường thẳng d: y =

2 2

. Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d

qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ

số k =

1
2

và phép quay tâm O góc 450.

14. Cho đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4. Viết phương trình đường tròn (C′) là
ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò
tự tâm O tỉ số k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy.
15. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(–2x + 3; 2y – 1).
Chứng minh F là một phép đồng dạng.
CHƯƠNG II:
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG

I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Xác đònh một mặt phẳng
• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
• Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng.
(mp(A,d))
• Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn
thẳng.
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song,
của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
• Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bò che khuất vẽ nét đứt.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt
của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó.
1.Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD).

b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).
2.

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần
lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt
phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).

3.

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một
điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD)
và (ABD).

4.

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến
của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN).

5.

Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ∆ABD, N là một điểm bên
trong ∆ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN)
và (ABC).
Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao
điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.

1.Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN

không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong ∆BCD.
a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN).
2.Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).

3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một

điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của
CD và AD với mặt phẳng (MNK).
4.Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên

trong ∆BCD. Tìm giao điểm của:
a) MN và (ABO).
HD:

b) AO và (BMN).

a) Tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD).
b) Tìm giao tuyến của (BMN) và (ABO).

5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba

điểm lần lượt trên SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).
b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.
HD:

a) Tìm giao tuyến của (SBD) với (IJK).
b) Tìm giao tuyến của (IJK) với (SBD và (SCD).

ÀDạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui

• Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc
hai mặt phẳng phân biệt.

• Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta có thể chứng minh giao điểm
của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là
đường thẳng thứ ba.
1.Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố đònh trên SA và SC với SI > IA và

SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N.
a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =AC∩BD). Suy ra cách dựng điểm N khi
biết M.
b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng.
c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố đònh khi
(P) di động.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

2.Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các

đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng
hàng.
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao

cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui.
4.Cho hai điểm cố đònh A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song

với (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại
A′, B′. Chứng minh A′B′ luôn đi qua một điểm cố đònh.
5.Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B 1, B′. Qua B dựng

mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tại C 1, C′. BB′, CC′ cắt nhau tại O′; BB1, CC1 cắt
nhau tại O1. Giả sử O′O1 kéo dài cắt SA tại I.
a) Chứng minh: AO1, SO′, BC đồng qui.
b) Chứng minh: I, B1, B′ và I, C1, C′ thẳng hàng.
Dạng 4: Xác đònh thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng
Muốn xác đònh thiết diện của một hình chóp với mặt phẳng (P) ta có thể làm như
sau:

• Từ điểm chung có sẵn, xác đònh giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của
hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian).

• Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các
điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác đònh được các giao tuyến
mới với các mặt này.

• Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm

trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).
2.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE=a. Kéo dài BD

một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF).

b) Tính diện tích của thiết diện.
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

HD: b)

a2
6

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

3.Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm

của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
HD: Thiết diện là 1 ngũ giác.
4.Cho hình chóp S.ABCD. Trong ∆SBC, lấy một điểm M. Trong ∆SCD, lấy một

điểm N.
a) Tìm giao điểm của MN và (SAC).
b) Tìm giao điểm của SC với (AMN).
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN).
HD:

a) Tìm (SMN)∩(SAC)

b) Thiết diện là tứ giác.

5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm của SB, SD và OC.
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA.
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia
các cạnh
HD:

SA, BC, CD.
b) Thiết diện là ngũ giác. Các tỉ số là: 1/3; 1; 1.

6.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G

là trọng tâm ∆SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD.
b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp
với (CGM).
c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM).
HD:

b) Thiết diện là tứ giác

c) Tìm (AGM)∩(SAC). Thiết diện là tứ giác.

7.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh

SD.
a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).
b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
c) Xác đònh thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).
HD:

a) Gọi O=AC∩BD thì I=SO∩BN, J=AI∩MN
b) J là điểm chung của (SAC) và (SDM)
c) Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình

học 11

8.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang ABCD với AB//CD và AB > CD.

Gọi I là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD
lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố đònh.
b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi
qua 1 điểm cố đònh.
c) Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN.
HD:

a) Qua giao điểm của AI và SO=(SAC)∩(SBD).
b) Điểm A.
c) Một đoạn thẳng.
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

a
b

P

1. Đònh nghóa
 a, b ⊂ ( P )
a / /b ⇔ 
a ∩ b = ∅

2. Tính chất
• Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.

• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì
giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một
trong hai đường thẳng đó.

• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng

minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí
Talét đảo, …)
2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Áp dụng đònh lí về giao tuyến song song.
1.Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng

minh IJ//CD.
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN // CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.
Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
3.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC,

AD, AC, BD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
4.Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng

song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần
lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.
a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố đònh I khi M, N di động.

b) E thuộc đoạn AM và EM =

1
3

EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của

BE và CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thẳng cố
đònh khi M, N di động.
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần

lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.
a) Chứng minh: PQ // SA.
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC.

c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx
với (SAB)

và của Qy với (SCD).

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp:

• Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
• Áp dụng đònh lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến.
Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy.
1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là

trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của ∆SAB.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình
gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm

của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác đònh thiết diện của
hình chóp với mặt phẳng (IJM).

3.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J

lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC.
a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của
(BCI) với mặt (SAD).
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi
hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

HD:

b)

2
5

(a+b).

4.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K

là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a) Xác đònh thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện
là hình thang cân.
b) Tính diện tích thiết diện đó.

HD:

b)

5a2 51
288

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là

tam giác đều. Ngoài ra = 90 0. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với
SC.
a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB.
b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết
diện.

HD:

b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích

a2 14
8

III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Đònh nghóa
d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅
2. Tính chất

• Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường
thẳng d′ nằm trong (P) thì d song song với (P).

• Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d
mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với d.

• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

• Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a
và song song với b.

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường
thẳng d′ nào đó nằm trong (P).
1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Gọi O, O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO′ song song
với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11
1
1
3

3

b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM =

AE, BN =

BD. Chứng minh MN // (CDFE).
2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).
c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G 1G2 //
(SBC).
3.Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ∆ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho

MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).
HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD).
4.Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O′ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác

ABC, ABD. Chứng minh rằng:

a) Điều kiện cần và đủ để OO′ // (BCD) là

BC AB + AC
=
BD AB + AD

b) Điều kiện cần và đủ để OO′ song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD)
là BC = BD và AC = AD.

HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác.
5.Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là

trung điểm của đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A′ của đường thẳng AG với mp(BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA′ và Mx cắt (BCD) tại M′.
Chứng minh B, M′, A′ thẳng hàng và BM′ = M′A′ = A′N.
c) Chứng minh GA = 3GA′.
Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác đònh thiết diện của hình chóp
tạo bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước.

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

1.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN

và song song với SA.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC).
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
HD:

c) MN // BC

0

2.Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, = 60 , AB = a. Gọi O là

trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ⊥ OA. Gọi
M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA,
cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a).
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.

HD:

b) SMNPQ =

x (4a − 3 x )
4

. SMNPQ đạt lớn nhất khi x =

2a
3

3.Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua

MN và song song với SC.
a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC).
b) Xác đònh thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
4.Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và

CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và

CD.
a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD).
b) Xác đònh thiết diện của tứ diện ABCD với (P).
5.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C′ là trung điểm của SC,

M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C′M và
song song với BC.
a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố đònh.
b) Xác đònh thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác đònh vò trí điểm M để
thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên
cạnh SA.
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12


HD:

Phương pháp giải tốn Đại số 11 Phương pháp giải tốn Hình
học 11

a) Đường thẳng qua C′ và song song với BC.

b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA.
c) Hai nửa đường thẳng.
IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Đònh nghóa
(P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅

2. Tính chất
• Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với
mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

• Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và
song song với (P).

• Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song
với nhau.

• Cho một điểm A ∉ (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P)
đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).

• Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt
phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.

• Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng
bằng nhau.

• Đònh lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất
kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

• Đònh lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d ′ lần lượt lấy các điểm
A, B, C và A′, B′, C′ sao cho:
AB
BC
CA
=
=
A ' B ' B 'C ' C ' A '

Khi đó, ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song
song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng.
Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12