SKKN Toan 6

7/1/2013Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về " phép chia hết" trong tập hợp N
A. Phần mở đầu
I/ Lí do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của đất nớc, sự nghiệp giáo dục cũng không
ngừng đổi mới. Các nhà trờng đã ngày càng chú trọng hơn đến chất lợng
giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu t thích đáng cho giáo dục mũi nhọn.
Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện
cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác.
Dạy nh thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ
bản một cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao để các em có hứng thú,
say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho
mình.
Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập
của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Điều đó đòi hỏi trong giảng
dạy chúng ta phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể
đến trừu tợng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển
tốt t duy toán học.
Với đối tợng học sinh khá, giỏi, các em có t duy nhạy bén, có nhu
cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để các học sinh này phát huy
hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta. Bản
thân tôi, trong 3 năm học vừa qua đợc nhà trờng phân công dạy toán lớp
6. Qua giảng dạy tôi nhận thấy phép chia hết" là đề tài lí thú, phong
phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu khi bồi dỡng học sinh
khá giỏi môn toán 6 cũng nh môn toán THCS. Với bài viết này, tôi không
tham vọng lớn bàn về việc dạy " phép chia hết" và ứng dụng của nó trong
sáng kiến kinh nghiệm năm 2006
1
7/1/2013Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về " phép chia hết" trong tập hợp N
chơng trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đa ra một số kinh nghiệm
giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về" phép chia hết" trong tập hợp số
tự nhiên mà tôi đã từng áp dụng thành công. Tôi hy vọng nó sẽ có ích

cho các đồng nghiệp khi bồi dỡng học sinh khá, giỏi
II. Nhiệm vụ của đề tài
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày Một vài kinh
nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về phép chia hết trong tập hợp
N . Cụ thể là :
- Các phơng pháp thờng dùng khi giải các bài toán về phép chia hết.
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán về phép chia hết.
- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập.
III. Đối t ợng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về Phép chia hết trong N trong
SGK Toán 6 tập 1, qua định hớng đổi mới phơng pháp dạy toán 6.
Đối tợng khảo sát : Học sinh lớp 6
IV. Ph ơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu tài liệu
- Phơng pháp thực hành
- Đúc rút 1 phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp và bản thân khi
dạy phần Phép chia hết.
sáng kiến kinh nghiệm năm 2006
2
7/1/2013Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về " phép chia hết" trong tập hợp N
B. Nội dung
I/ Tr ớc hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong
SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng nh các tính chất về
quan hệ chia hết.
1. Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao
cho b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b= x
2.Các dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.

b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó
chia hết cho 3 (hoặc 9).
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của
số đó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số
đó chia hết cho 4 (hoặc 25)
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số
đó chia hết cho 8 hoặc 125.
f) Dấu hiệu chi hết cho 11
sáng kiến kinh nghiệm năm 2006
3
7/1/2013Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về " phép chia hết" trong tập hợp N
Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và
tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
3. Tính chất của 2 quan hệ chia hết
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết
cho b.c
+ nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho
BCNN(m,n)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.

+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (ab) chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (ab) không chia
hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m
hoặc b chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì a
n
chia hết cho m với n là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho b thì a
n
chia hết cho b
n
với n là số tự nhiên
II/ Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có
thể đ a ra một vài ph ơng pháp th ờng dùng để giải các bài toán chia
hết.
Với học sinh lớp 6 tôi thờng sử dụng 5 phơng pháp sau:
sáng kiến kinh nghiệm năm 2006
4
7/1/2013Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về " phép chia hết" trong tập hợp N
1. ph ơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa phép chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dới
dạng một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết
cho b). a = b.k ( k

N) hoặc a =m.k ( m chia hết cho b)
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng
aaaaaa
bao giờ cũng chia hết cho 7

Giải :
aaaaaa
= a.111111 = a. 7.15873 chia hết cho 7
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng
abcabc
bao giờ cũng chia hết cho 11,
chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Giải :
Ta có :
abcabc
=
abcabc
+
000
=
abc
.(1000+1) =
abc
.1001 =
abc
.11.7.13
nên
abcabc
chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm
2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại, ta luôn đợc một số chia hết cho 11
Giải .
Gọi 2 số đó là
ab
và

ba
. Ta có :
ab
+
ba
= 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết
cho 11
2. Ph ơng pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết.
2.1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu
* Để chứng minh a chia hết cho b ( b

0) ta có thể làm nh sau:
- Viết a = m + n mà m b và n b
- Viết a = m - n mà m b và n b
sáng kiến kinh nghiệm năm 2006
5
7/1/2013Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về " phép chia hết" trong tập hợp N
* Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dới dạng tổng của các
số mà chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho b, còn các số hạng
khác đều chia hết cho b.
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng :
a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.
Giải.
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2.
Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) 3
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3. Tổng của 4 số đó
là : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n + 4 + 2
= 4(n+1) + 2 không chia hết cho 4
Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.

Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia
hết cho n.
2.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích.
Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bằng
một trong các cách sau:
+ Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 a chia hết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a
chia hết cho n
+ Biểu diễn a= a
1
. a
2,
, b = b
1.
b
2,
rồi chứng minh a
1
chia hết cho b
1
; a
2
chia
hết cho b
2
Ví dụ 5: chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với a, b là số tự
nhiên.
sáng kiến kinh nghiệm năm 2006
6
7/1/2013Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về " phép chia hết" trong tập hợp N

Giải:
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với a.
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với b
Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3.
Chứng minh tơng tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với a, b mà
(3,5) = 1.
(1980 a + 1995b) chia hết cho 15
Ví dụ 6: chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n

N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2)
4.n.(n+1) chia hết cho 8
2n.(2n + 2) chia hết cho 8
* Giáo viên nhận xét : Nh vậy khi gặp những bài toán chứng minh một
tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích
đó có thể phân tích đợc thành tích các thừa số, ta thờng sử dụng các
tính chất của phép chia hết.
3. Ph ơng pháp 3: Dùng định lí về chia có d
để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trờng hợp về số d khi
chia n cho p:
Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, ..., p-1; k

N. Rồi xét tất cả
các trờng hợp của r.
sáng kiến kinh nghiệm năm 2006
7
7/1/2013Giúp học sinh lớp 6 giải các bài toán về " phép chia hết" trong tập hợp N

Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia
hết cho 2.
Giải: Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k
- Với n= 2k +1 ta có:
(n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7)
chia hết cho 2.
- Với n= 2k ta có :
( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia hết cho 2.
Vậy với mọi n

N thì (n+3)(n+6) chia hết cho 2.
Ví dụ 8: chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4.
Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0;1;2
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3
- Nết r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên)
n+2 = 3k +1 + 2 = (3 k +3) chia hết cho 3
n. (n+1).(n+2) chia hết cho 3
- Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên)
n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho 3
n.(n+1) . (n+2) chia hết cho 3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
sáng kiến kinh nghiệm năm 2006
8