on tap xac suat 11

B i 12 : xác suất
I/ Lý thuyết :
- Tập hợp

tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đợc gọi là không gian mẫu của phép thử
- Một biến cố A liên quan tới phép thử T đợc mô tả bởi 1 tập con
A

nào đó của không gian mẫu .
Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập
A

. Mỗi phần tử của
A

đợc gọi là một kết
quả thuận lợi cho A .
- Hai biến cố A và B đợc gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra
- Hai biến cố A và B đợc gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm
ảnh hởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia .
- G/s phép thử T có không gian mẫu

và các kết quả của T là đồng khả năng . Nếu A là một biến cố
và
A

là tập hợp mô tả A (
A

) thì xác suất của A bằng tỉ số của kết qủa thuận lợi trên tổng số
kết quả có thể :

( )
A
P A

=

- Nếu A
1
, A
2
, ..., A
k
là các biến cố đôi một xung khắc thì : P(A
1
2 k
A A L
) = P(A
1
) + ...+ P(A
k
)
- Nếu A
1
, A
2
, ..., A
k
là các biến cố độc lập thì : P(A
1
2 k

A AL
) = P(A
1
) P(A
2
) ...P(A
k
)
- Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x
1
, x
2
, ..., x
n
} , kì vọng của X là :
( )
n
1 1 2 2 n n i i
i 1
E X x p x p x p x p
=
= + + + =

L
, ở đó p
i
= P(X = x
i
)
- Phơng sai của X là :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
2 2 2 2
1 1 2 2 n n i i
i 1
V X x p x p x p x p
=
= à + à + + à = à

L
=
n
2 2
i i
i 1
x p
=
à

- Độ lệch chuẩn của X là :
( ) ( )
X V X =
II/ Các ví dụ :
VD 1: Gieo đồng thời hai con xúc sắc . Tính xác suất để :
a) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là 8 ?
b) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là một số chẵn ?
HD : a) Ta có

= 36 , các kết quả thuân lợi là : ( 2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4) ; ( 5 ; 3), (6 ; 2).
Vậy P = 5/36

b) C1 : Liệt kê số kết quả thuận lợi
C2 : Gọi 2 con xúc sắc đó là A và B . Giả sử A xuất hiện số chấm là chẵn ( có 3 khả năng ) . Khi
đó B phải xuất hiện mặt có số chấm là chẵn ( 3 KN) . TH này có : 3x3 = 9 ( KN )
Nếu A xuất hiện mặt có số chấm là lẻ thì B cũng nh thế , suy ra TH này cũng có 9 (KN)
Vậy P = 18/36
VD 2 : Gieo đồng thời 3 con xúc sắc . Tính xác suất để :
a)Tổng số chấm xuất hiện của 3 con là 8 ?
b)Tổng số chấm xuất hiện trên 3 con là 10 ?
HD : a)Các TH có thể : Bộ ( 1; 2; 5) có 6 cách , bộ ( 1; 3; 4 ) có 6 cách, bộ ( 1; 1; 6) có 3 cách , bộ
(2;2;4) có 3 cách, bộ ( 2; 3; 3)có 3 cách . Vậy P = 21/216 = 7/72
b) Tơng tự , P = 1/9
VD 3: Cho một đa giác đều 8 cạnh . Chọn ngẫu nhiên một đờng chéo của đa giác . Tìm xác suất để đ-
ợc một đờng chéo có độ dài nhỏ nhất ?
HD : Số đờng chéo :
2
8
C - 8 = 20 . Số các đờng chéo của đa giác đều 8 đỉnh có độ dài nhỏ nhất là số
các cạnh của hình vuông có 4 đỉnh của đa giác đang xét (hoặc ta thấy ứng mỗi đỉnh của đa giác , thì
đờng chéo nối 2 đỉnh kề bên đỉnh đó có độ dài nhỏ nhất , có 8 đỉnh nh thế này )

P = 8/20
VD 4: Ba cửa hàng bán xe Honda nh nhau . Có 3 ngời khách A, B, C độc lập nhau chọn ngẫu nhiên
một cửa hàng để mua xe . Tính xác suất các biến cố sau :
a) Ba ngời khách vào cùng một cửa hàng ?
b) Hai ngời khách vào cùng một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng khác .
HD : Có 27 cách để 3 ngời đó vào các cửa hàng . Ta đánh số các cửa hàng đó là : 1, 2, 3
a)Có 3 cách để 3 ngời đó vào cùng một cửa hàng :

P = 3/27
b) Các TH có thể : ( 1 ;1,2), (1,1,3), (2,2,1), (2,2,3), (3,3,1), (3,3,2) : mỗi bộ nh thế tơng ứng với 3

cách để 3 ngời đó vào các cửa hàng .

P = 18/27
VD 5: Công ty tin học A cần tuyển 2 nhân viên . Có 6 ngời nộp đơn , trong đó có 4 nam và 2 nữ . Giả
sử rằng khả năng ứng cử của 6 ngời là nh nhau . Tính xác suất của biến cố sau :
a) Hai ngời trúng tuyển đều là nam ?
b) Hai ngời trúng tuyển đều là nữ ?
c) Hai ngời trúng tuyển có ít nhất 1 nữ ?
HD : a) P (A) = 6/15 = 2/5; b) tơng tự : P (B) = 1/15 c) P(C) = 1 P(A)
VD 6: Có 6 quả cầu giống hệt nhau đợc đánh số từ 1 đến 6 và đựng trong một hộp . Sau khi xáo trộn ,
ngời ta lấy ra ngẫu nhiên lần lợt 4 quả .
a) Sắp xếp chúng theo thứ tự lấy ra thành một hàng ngang từ trái sang phải . Tìm xác suất để có
đợc số 1234 ?
b) Tìm xác suất để tổng các chữ số bằng 10 ?
HD : a) Gọi A là biến cố để có đợc số 1234 . Số TH có thể là :
4
6
A = 360. Số TH thuận lợi là 1 .

P(A) = 1/ 360
b) Các số đó đợc lập bởi {1,2,3,4}. Có 4! = 24 số . P = 24/360=1/15
VD 7: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau đợc lập thành từ các số : 1,2,3,4,5,6 .
Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử của M . Tính xác suất để 1 trong 2 phần tử đó chia hết cho 6 .
HD : Số có 2 chữ số có thể lập đợc là :
2
6
A = 36 .Số TH có thể là :
2
36
C = 630 . Số các số chia hết cho

6 : 12, 24, 36, 42, 54, 66. Số TH thuận lợi : 6x30 +
2
6
C = 195 . Suy ra : P = 195/ 630=13/42
VD 8: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10 triệu đồng , 5 vé trúng 5 triệu đồng và 10 vé trúng 3 triệu
đồng . Một ngời mua ngẫu nhiên 3 vé . Tính xác suất các biến cố :
a) Ngời đó trúng đúng 3 triệu đồng
b) Ngời đó trúng ít nhất 3 triệu đồng .
HD : a) Số TH có thể :
3
100
C . Ngời đó trúng 3 triệu đồng , nên có 1 vé trúng 3 triệu và 2 vé kia không
trúng . số TH thuận lợi :
1 2
10 84
C .C . Suy ra : P = 83/385
b)Gọi A là biến cố ngời đó trúng ít nhất 3 triệu và B là biến cố ngời đó không trúng vé nào . Ta có :
P(A) = 1 P(B) = 1 -
3
84
3
100
C
2372
5775
C
=
VD 9: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên . Có 6 ngời nộp đơn trong đó có 4 nữ và 2 nam . Khả năng
đợc tuyển của 6 ngời là nh nhau , Giả sử Mai là một trong 4 nữ .
a) Tính xác suất để Mai đợc chọn ?

b) Tính xác suất để Mai đợc chọn nếu đã có ít nhất một nữ đã chọn
HD : a) Số TH thuận lợi :
1
5
C
, số TH có thể :
2
6
C
. Vậy P = 1/3
b)Số TH để có ít nhất một nữ đợc chọn là : 4.2 +
2
4
C = 14 . số TH thuận lợi là :
1
5
C . Vậy P = 5/14
VD 10: Xếp ngẫu nhiên 5 ngời vào 1 bàn có 5 chỗ ngồi . Tính xác suất các biến cố sau :
a) A và B ngồi đầu bàn
b) A và B ngồi cạnh nhau
HD : a) Số TH đồng khả năng là : 5! , Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách , xếp 3 ngời còn lại có 3! cách
. Vậy P = 3!.2/5! = 0,1
b) Số TH đồng khả năng là : 5! , xếp 5 ngời mà A và B ngồi cạnh nhau có : 2!.4! . P = 0,4
VD 11: Bỏ ngẫu nhiên 5 lá th vào 5 phong bì . Tính xác suất để :
a) Có 5 là th đến đúng ngời nhận
b) Lá thứ 1 đến đúng ngời nhận
c) Lá thứ 1 và thứ 2 đến đúng ngời nhận
d) Có 1 lá đến đúng ngời nhận , các lá còn lại đều sai
HD : a) P(A) = 1/5! , b)P(B) = 4!/5! , c) P(C) = 3!/5! d) P(D) =
1

5
C /5!
VD 12: Một cỗ bài tú lơ khơ có 52 quân . Rút ngẫu nhiên ra 6 quân . Tính xác suất để có :
a) 4 con bích và 2 co chuồn
b) 3 quân át và 3 con 5
c) 2 quân át
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1:
VD 1: