Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT
——————–o0o——————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU ĐẶT KHÔNG CHỈNH
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Mã số: ĐH2015-TN09-01

Chủ nhiệm đề tài: ThS. Trần Thị Hương

THÁI NGUYÊN, 4/2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT
——————–o0o——————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU ĐẶT KHÔNG CHỈNH
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Mã số: ĐH2015-TN09-01

Cơ quan chủ trì

Chủ nhiệm đề tài

ThS. Trần Thị Hương

THÁI NGUYÊN, 4/2017


DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA
NGHIÊN CỨU VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

1. Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài
(1) PGS. TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên.
(2) TS. Phạm Thanh Hiếu, trường Đại học Nông Lâm, Đại học Thái
Nguyên.
(3) ThS. Nguyễn Song Hà, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên.
2. Đơn đơn vị phối hợp chính
Phòng Thống kê, Tính toán và Ứng dụng – Viện CNTT – Viện
Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.


i

Mục lục
Danh mục các ký hiệu

iii

Thông tin kết quả nghiên cứu

iv

Mở đầu

1

Chương 1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh
1.1. Bài toán đặt không chỉnh trong không gian Banach . . . . .

5
5

1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 10
1.1.3. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . 19
1.2.1. Phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . 20
1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov . . . . . 22
Chương 2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu trong
không gian Banach
26
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 27
2.1.1. Phát biểu bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình
toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2. Thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.

Cách chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1. Nguyên lý tựa độ lệch . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2. Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . 43


ii

2.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . 46
2.4. Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5. Xấp xỉ hữu hạn chiều và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận chung

63

Kiến nghị và những nghiên cứu tiếp theo

64

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến đề tài

65

Tài liệu tham khảo

66


iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

R

tập hợp số thực

R+

tập các số thực không âm

H

không gian Hilbert H

X

không gian Banach X

x∗ , x

giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X

∪

phép hợp

∩

phép giao

G(A)

đồ thị của toán tử A

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

xn −→ x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0


iv

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung
- Tên đề tài: Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt
không chỉnh trong không gian Banach
- Mã số: ĐH2015-TN09-01
- Chủ nhiệm đề tài: ThS. Trần Thị Hương
- Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật - Đại học
Thái Nguyên
- Thời gian thực hiện: 2 năm (01/2015 - 12/2016)
2. Mục tiêu
Đề tài đạt được các mục tiêu sau đây:
- Nghiên cứu và đưa ra một số kết quả mới về giải hệ phương trình toán
tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach, cụ thể là: đề xuất
các phương pháp hiệu chỉnh mới hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn
điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach; đưa ra cách chọn tham số
hiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp; nghiên cứu xấp xỉ
hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ.
- Xây dựng ví dụ số minh họa cho phương pháp nghiên cứu và thử
nghiệm trên máy tính.

- Nâng cao năng lực nghiên cứu của chủ nhiệm đề tài và các thành viên
tham gia thực hiện đề tài, giảng viên giảng dạy chuyên ngành giải tích
thuộc Đại học Thái Nguyên.
- Phục vụ hiệu quả cho việc thực hiện một phần luận án tiến sĩ của chủ
nhiệm đề tài.
- Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học giữa Đại học Thái Nguyên với
các cơ sở nghiên cứu khác trong và ngoài nước.
3. Tính mới và sáng tạo
Đưa ra phương pháp hiệu chỉnh, thiết lập sự hội tụ của phương pháp,
cách chọn tham số hiệu chỉnh và đánh giá sự hội tụ của phương pháp; xấp
xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh; đưa ra ví dụ tính toán số minh họa
cho phương pháp.


v

4. Kết quả nghiên cứu
Nhóm tác giả nghiên cứu đề tài đã hoàn thành các nội dung đăng ký
theo thuyết minh của đề tài bao gồm:
- Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu
đặt không chỉnh trong không gian Banach, cụ thể như sau: thiết lập sự hội
tụ của phương pháp; đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý
tựa độ lệch và nguyên lý tựa độ lệch suy rộng; đánh giá tốc độ hội tụ của
nghiệm hiệu chỉnh.
- Nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều của phương pháp hiệu chỉnh.
- Đưa ra ví dụ số minh họa cho phương pháp.
5. Sản phẩm
Đề tài đã thu được các sản phẩm theo như đăng ký trong thuyết minh,
cụ thể như sau:
5.1. Sản phẩm khoa học: 02 bài báo quốc tế; 01 sách chuyên khảo; 01

báo cáo khoa học tại hội thảo khoa học trong nước.
a. Bài báo khoa học:
1. Nguyen Buong, Nguyen Thi Thu Thuy, Tran Thị Huong (2015),
"A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of
a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct.
Anal. App, 20(2), pp. 187-197.
2. Nguyen Buong, Tran Thị Huong, Nguyen Thi Thu Thuy (2016),
"A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a
system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz. VUZ , 60(3), pp.
47-55.
3. Trần Thị Hương, Nguyễn Đình Dũng (2016), Hiệu chỉnh hệ phương
trình toán tử loại đơn điệu, Nhà xuất bản Đại học Thái Nguyên.
b. Báo cáo khoa học tại hội nghị/ hội thảo:
Trần Thị Hương (2016), "Regularization for the problem of finding a
solution of a system of nonlonear monotone ill-posed equations in Banach
spaces", hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì-Hà Nội,
21-23/4/2016.
5.2. Sản phẩm đào tạo: Nội dung nghiên cứu của đề tài là một phần nội


vi

dung luận án tiến sĩ "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của hệ phương
trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach" của chủ nhiệm đề tài.
Cở sở đào tạo, trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên.
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi
ích mang lại của kết quả nghiên cứu
- Đăng bài báo khoa học trong nước và quốc tế.
- Làm tài liệu nghiên cứu về toán giải tích nói chung và nghiên cứu về lý
thuyết bài toán đặt không chỉnh nói riêng ở trong và ngoài Đại học Thái

Nguyên.

Thái Nguyên, ngày 29 tháng 4 năm 2017
Cơ quan chủ trì

Chủ nhiệm đề tài

ThS. Trần Thị Hương


vii

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General Information
- Project Title: Regularization methods for a system of ill-posed
equations in Banach spaces
- Code Number: ĐH2015-TN09-01
- Coordinator: MsC. Trần Thị Hương
- Implementing Institution: College of Economic and Techology-Thai
Nguyen University
- Duration: 2 years (01/2015 - 12/2016).
2. Objectives
We have gained some objectives as follows:
- Study and propose some new results for finding a solution of a system
of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces. Namely, we
proposed new regularization methods for a system of ill-posed equations
in Banach spaces, the regularization parameter is selected by the principle
is named "quasi residual", the estimation of the convergence rates of the
proposed methods.
- Give numerical examples for illustrating purpose of the studied

methods.
- Enhance research capacity for coordinator, and et all., and for faculty
Mathematical Analysis in Thai Nguyen University.
- Effectively serving as a part of the PhD dissertation of coordinator of
the project.
- Expanding scientific research cooperation betwween Thai Nguyen University and other research institutions.
3. Creativeness and innovativeness
Study and propose some new results for finding a solution of a system
of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces. Namely, we
proposed new regularization methods for a system of ill-posed equations
in Banach spaces, the regularization parameter is selected by the principle is named "quasi residual", the estimation of the convergence rates of
the proposed methods; studing the finite-dimensional approximation for a


viii

system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces; give
numerical examples for illustrating purpose of the studied methods.
4. Research Results
The author et all., of the project have completed the registered contents
given in project proposal including:
- Proposing the regularization method type of Browder-Tikhonov for
a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces as
follows: establishing the convergence of the method; presenting the quasiresidual principle and a generalized quasi-residual principle to select the
value for the regularization parameter in the method; estimating the convergence rates of the regularized solution is also established.
- Studing the finite-dimensional approximation for a system of nonlinear
monotone ill-posed equations in Banach spaces.
- Give numerical examples for illustrating the research methods.
5. Products
The study has obtained the following results as in the registered project.

5.1. Scientific Results: 02 internationally published articles; 01 monograns book; 01 scientific report at the national scientific conference.
a. Scientific Papers:
1. Nguyen Buong, Nguyen Thi Thu Thuy and Tran Thi Huong (2015),
"A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of
a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct.
Anal. App, 20(2), pp. 187-197.
2. Nguyen Buong, Tran Thi Huong and Nguyen Thi Thu Thuy (2016),
"A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a
system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz. VUZ , 60(3), pp.
47-55.
3. Tran Thi Huong, Nguyen Dinh Dung (2016), Regularization for a
system of type ill-posed equations, code number 03-06/2016, Thai Nguyen
university publishing house.
b. Scientific Reports at Conferences:
Tran Thi Huong (2016), "Regularization for the problem of finding a


ix

solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach
spaces", 14th Conference on Optimization and Computation science, Ba
Vi, Ha Noi, 21-23/4/2016.
5.2. Training Results: The contents of project is part of the PhD thesis
"Regularization method for the problem of finding a solution of a system
of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces" of the author
PhD student Tran Thi Huong. Training facility, Thai Nguyen University
of Education.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and
benefits of research results
- Papers published in international journals

- Effectively serving scientific research cooperation and postgraduate
tranning for the institutions inside and outside Thai Nguyen University.


1

MỞ ĐẦU
Khái niệm bài toán đặt chỉnh và đặt không chỉnh được J. Hadamard
đưa ra vào đầu thế kỷ thứ XX. Trong một thời gian dài người ta cho rằng
mọi bài toán đặt ra đều giải được. Nhưng thực tế chỉ ra quan niệm đó là
sai lầm. Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra
quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó đã dẫn đến sự sai lệch đáng
kể về nghiệm, tức là có một sự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có
thể dẫn đến sự sai khác rất lớn về nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở
lên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói đó là bài toán đặt không chỉnh.
Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không
chỉnh là: A. N. Tikhonov, M. M. Lavrant’ev, J. J. Lions, V. K. Ivanov,...
Do tầm quan trọng của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học trên thế
giới đã đi sâu vào nghiên cứu các phương pháp giải bài toán đặt không
chỉnh, điển hình là: Ya. I. Alber, A. B. Bakushinskii, J. Baumeiser, H. W.
Engl,... Các nhà nhà toán học Việt Nam đã có rất nhiều đóng góp cho lý
thuyết cũng như ứng dụng các bài toán đặt không chỉnh như: Phạm Kỳ
Anh, Nguyễn Bường, Đinh Nho Hào, Lê Dũng Mưu,...
Xét bài toán: tìm nghiệm của phương trình toán tử
A(x) = f.

(0.1)

Nếu không có điều kiện gì đặc biệt đặt lên toán tử A như tính đơn điệu
đều hoặc đơn điệu mạnh thì bài toán (0.1) là bài toán đặt không chỉnh.

Để giải bài toán này ta phải sử dụng các phương pháp giải ổn định sao
cho sai số của các dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được
càng gần với nghiệm chính xác của bài toán ban đầu.
Năm 1963 A. N. Tikhonov [38] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho
phương trình (0.1) khi A là toán tử liên tục và đóng yếu trong không gian
Hilbert thực H. Nội dung của phương pháp là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh
cho phương trình toán tử (0.1) dựa trên việc tìm cực tiểu xh,δ
α của phiếm


2

hàm Tikhonov
Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ

2

+ α x∗ − x 2 ,

(0.2)

trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần tử
cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn, (Ah , fδ ) là xấp xỉ của (A, f ).
Vậy ta cần phải giải quyết hai vấn đề là, tìm phần tử cực tiểu của phiếm
hàm (0.2) và chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp để phần tử
cực tiểu xh,δ
α dần tới nghiệm chính xác của bài toán (0.1) khi h, δ dần tới 0.
Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó
khăn trong trường hợp bài toán phi tuyến. Để khắc phục vấn đề này, năm
1966 F. Browder [19] đã đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu

chỉnh Tikhonov, với A là toán tử đơn điệu từ không gian Banach E vào
E ∗ , ở đây E ∗ là không gian liên hợp của E. Nội dung của phương pháp là
áp dụng phương trình hiệu chỉnh
Ah (x) + αM (x) = fδ ,

(0.3)

tư tưởng chủ yếu của phương pháp là sử dụng toán tử M : E → E ∗ có
tính chất hemi-liên tục và đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh.
Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát U s của E. Ya.
I. Alber [5] sử dụng ánh xạ này vào nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh
Ah (x) + αU s (x − x∗ ) = fδ ,

(0.4)

cho bài toán (0.1).
Một trong các mở rộng của bài toán (0.1) là bài toán tìm nghiệm chung
cho hệ phương trình toán tử
Ai (x) = fi ,

i = 0, 1, · · · , N,

(0.5)

ở đây, Ai : E → E ∗ là các toán tử đơn điệu, đơn trị và fi ∈ E ∗ .
Dựa trên việc sử dụng phương trình (0.4) để hiệu chỉnh mỗi phương
trình trong (0.5), Nguyễn Bường [13] đã kết hợp các phương trình dạng


3

này để hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.5) trong trường hợp
fi = θ trên cơ sở xây dựng phương trình phụ thuộc tham số
N

αµi Ahi (x) + αU (x) = θ
i=0

(0.6)

µ0 = 0 < µi < µi+1 < 1, i = 1, 2, ..., N − 1,
ở đây Ahi là xấp xỉ của Ai .
Trong [15], [31] phương pháp hiệu chỉnh (0.6) được cải biên trong trường
hợp A0 là toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz, còn các toán tử Ai khác
là λi -ngược đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert.
Hệ (0.5) cũng được Phạm Kỳ Anh và Cao Văn Chung [3] xét đến khi
Ai : H → H có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương pháp hiệu
chỉnh lặp song song.
Khi Ai : H → H là các toán tử đơn điệu và hemi-liên tục, Nguyễn
Thị Thu Thủy [39] đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không tìm
nghiệm xấp xỉ cho bài toán (0.5) bằng sơ đồ lặp
N
i
αm
Ai (zm ) − fi ) + αm (zm − x∗ ) ,

zm+1 = zm − βm

(0.7)

i=1

ở đây, xấp xỉ đầu z0 ∈ H, {αm } và {βm } là các dãy số dương.
Như vậy, có thể khẳng định rằng, bài toán tìm nghiệm của hệ phương
trình toán tử đặt không chỉnh đã và đang được các nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu, nhằm xây dựng các phương pháp giải
hữu hiệu cho bài toán này. Tuy đã có rất nhiều kết quả quan trọng đạt
được cho việc nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình
toán tử đặt không chỉnh (0.5), song việc cải tiến các phương pháp nhằm
gia tăng hiệu quả của nó luôn là vấn đề thời sự và cấp thiết. Vì vậy, chúng
tôi chọn đề tài "Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không
chỉnh trong không gian Banach".
Mục đích của đề tài này là cải tiến phương pháp hiệu chỉnh (0.6) của
Nguyễn Bường cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.5), khi Ai


4

là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và có các tính chất thế năng trong
không gian Banach, Cụ thể là:
1. Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh mới hiệu chỉnh hệ phương trình toán
tử đặt không chỉnh (0.5) trong không gian Banach: thiết lập sự hội tụ
của phương pháp, đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên
lý tựa độ lệch và nguyên lý tựa độ lệch suy rộng, đánh giá tốc độ hội
tụ của phương pháp.
2. Nghiên cứu việc xấp xỉ hữu hạn chiều của phương pháp hiệu chỉnh.
3. Đưa ra ví dụ áp dụng và kết quả số minh họa cho phương pháp đề xuất.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến
thức chuẩn bị quan trọng cho việc trình bày các kết quả chính ở các chương

sau, cụ thể như khái niệm không gian Banach phản xạ lồi chặt và các tính
chất, các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, ngược đơn điệu
mạnh, toán tử liên tục Lipschitz, mối liên hệ và các tính chất của chúng;
phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh. Chương
2 đưa ra được phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu
đặt không chỉnh dựa trên tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh (0.6) của
Nguyễn Bường, cụ thể là thiết lập được sự hội tụ của phương pháp, đưa
ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và nguyên lý
tựa độ lệch suy rộng, đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp trên
cơ sở cách chọn tham số đã chỉ ra và đưa ra ví dụ số minh họa cho phương
pháp đã nghiên cứu. Nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh
và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều.


5

Chương 1

Hiệu chỉnh phương trình toán tử
đặt không chỉnh
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về hình học
của không gian Banach, phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương
pháp hiệu chỉnh, gồm 2 mục như sau. Mục 1.1 trình bày khái niệm và tính
chất của không gian Banach phản xạ lồi chặt; giới thiệu về toán tử trong
không gian Banach; trình bày định nghĩa, ví dụ về bài toán đặt không
chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Mục 1.2 trình bày phương pháp hiệu
chỉnh TiKhonov cho phương trình toán tử liên tục và đóng yếu trong không
gian Hilbert, phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình
toán tử phi tuyến đơn điệu trong không gian Banach.

1.1.
1.1.1.

Bài toán đặt không chỉnh trong không gian Banach
Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính E được gọi là không gian tiền
Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên E xác định
hàm thực hai biến, kí hiệu là x, y và được gọi là tích vô hướng của x và
y nếu thỏa mãn điều kiện sau:
i) Với mọi x, y ∈ E, x, y = y, x ;
ii) Với mọi x, y, z ∈ E, x + y, z = x, z + y, z ;


6

iii) Với mọi x, y ∈ E và số thực β bất kỳ, ta có βx, y = β x, y ;
iv) Với mọi x ∈ E, x, x ≥ 0 và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Với hàm x = x, x

1/2

thì E là không gian tuyến tính định chuẩn.

Định nghĩa 1.2 Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn E
được gọi là hội tụ mạnh tới x0 ∈ E, nếu xn − x0 → 0 khi n → ∞. Ta
viết xn → x0 hay lim xn = x0 .
n→∞

Định nghĩa 1.3 Dãy {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn E

được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu với mọi > 0, tồn tại n0 ( )
sao cho xm − xn < với mọi m > n0 ( ) và n > n0 ( ).
Nhận xét 1.1 Mọi dãy hội tụ mạnh là dãy cơ bản nhưng điều ngược lại
thì chưa chắc đã đúng.
Định nghĩa 1.4 Không gian với tích vô hướng đầy đủ, tức là mọi dãy
Cauchy đều hội tụ được gọi là không gian Hilbert. Không gian tuyến tính
định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Ví dụ 1.1 Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với chuẩn
1/p

b

f

p

p

| f (t) | dt

=

.

a

Định lí 1.1 (xem [4]) Không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều
là không gian Banach.
Định nghĩa 1.5 Giả sử E, F là hai không gian tuyến tính định chuẩn,
A1 , A2 là các toán tử tuyến tính bị chặn tử E vào F , ta định nghĩa

(A1 + A2 )x = A1 x + A2 x, ∀x ∈ E;
(αA1 )x = αA1 x, ∀x ∈ E, α ∈ R.
Ta kí hiệu B(E, F ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào
F . Khi đó B(E, F ) là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được
xác định như sau:


7

A

B

= inf{M : Ax ≤ M x , x ∈ E}
= sup

Ax
: x = 0, x ∈ E
x

= sup{ Ax : x ∈ E, x ≤ 1}
= sup{ Ax : x ∈ E, x = 1}.
Định lí 1.2 Nếu F là không gian Banach thì B(E, F ) là không gian Banach.
Định nghĩa 1.6 Không gian các hàm tuyến tính bị chặn trên không gian
tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian đối ngẫu (liên hợp) của
E, kí hiệu là E ∗ .
Nhận xét 1.2 E ∗ = B(E, R) với chuẩn được xác định bởi
f

∗

= sup |f (x)| : x ∈ SE = {x ∈ E : x = 1} .

Định lí 1.3 (xem [4]) Không gian đối ngẫu E ∗ của không gian tuyến tính
định chuẩn E là không gian Banach.
Định nghĩa 1.7 Không gian Banach E được gọi là phản xạ nếu với mọi
phần tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai của E, đều tồn tại phần
tử x ∈ E sao cho
x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ), ∀x∗ ∈ E ∗ .
Ví dụ 1.2
i) Rn , H, lp , Lp với 1 < p < ∞ là các không gian phản xạ;
ii) Các không gian l1 , l∞ , L1 , L∞ , c, c0 không phản xạ.
Định lí 1.4 Giả sử E là không gian Banach. Khi đó, các mệnh đề sau là
tương đương
i) E là không gian phản xạ;
ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có dãy con hội tụ yếu.


8

Định nghĩa 1.8 Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu, với mọi
x, y ∈ SE sao cho x = y ta có
(1 − λ)x + λy < 1,

λ ∈ (0, 1).

Ví dụ 1.3 Không gian Rn , n ≥ 2 với chuẩn x
n

x

2

được xác định bởi

1/2

x2i

=

2

,

x = (x1 , x1 , . . . , xn ) ∈ Rn

i=1

là không gian Banach lồi chặt.
Mệnh đề 1.1 (xem [4]) Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không
gian Banach phản xạ và lồi chặt E. Khi đó, với mỗi x ∈ E tồn tại duy
nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn
x − y = inf x − z
z∈C

Chú ý 1.1 Điểm y ∈ C thỏa mãn Mệnh đề 1.1 còn được gọi là xấp xỉ tốt
nhất của x ∈ E.
x+y
của

2
đoạn thẳng nối x, y ∈ SE mà x − y ≥ > 0 không nằm trên SE , tức là
x+y
< 1.
2
x+y
Trong không gian như vậy, chúng ta không có thông tin về 1 −
2
khoảng cách từ trung điểm đến SE . Một tính chất mạnh hơn tính lồi chặt
x+y
mà đưa ra thông tin về khoảng cách 1 −
là tính lồi đều.
2
Tính lồi chặt của không gian Banach E nói rằng trung điểm

Định nghĩa 1.9 Không gian Banach E được gọi là lồi đều, nếu với mọi
0 < ≤ 2, x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ thì tồn tại δ = δ( ) > 0 sao cho
x+y
< 1 − δ.
2
Nếu x, y nằm trong mặt cầu đóng BE := {x ∈ E : x ≤ 1} mà ta có
x − y ≥ > 0 thì trung điểm của x, y nằm trong BE và δ là khoảng cách
nhỏ nhất từ trung điểm đến SE .


9

Ví dụ 1.4
i) Không gian lp , Lp [a, b] với 1 < p < ∞ là các không gian lồi đều.
ii) Các không gian l1 , l∞ , L1 [a, b], c, c0 không lồi đều.

Định lí 1.5 Mọi không gian Banach lồi đều là lồi chặt và phản xạ.
Điều ngược lại của định lý chưa chắc đã đúng. Ta có chú ý sau.
Chú ý 1.2
i) Không gian Banach lồi chặt chưa chắc đã lồi đều.
ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưa
chắc lồi đều.
Ví dụ 1.5 Không gian E = c0 với chuẩn . β , β > 0 được xác định bởi
∞

x

β

= x

co

+β
i=1

xi
i

2

1/2

,

x = {xi } ∈ c0

là không gian Banach lồi chặt nhưng không lồi đều.
Ví dụ 1.6 Không gian Rn , n ≥ 2 với chuẩn được xác định bởi
n

x

1

| xi |

=
i=1

là không gian Banach phản xạ nhưng không lồi đều.
Định nghĩa 1.10 Không gian Banach E được gọi là có tính chất KadecKlee nếu với mọi dãy {xn } ⊂ E hội tụ yếu đến x ∈ E và xn → x thì
dãy {xn } hội tụ mạnh đến x.
Định lí 1.6 Mọi không gian Banach lồi đều luôn có tính chất Kadec-Klee.
Định nghĩa 1.11 Không gian Banach phản xạ E được gọi là có tính chất
ES (Ephimov-Stechkin) nếu E lồi chặt và có tính chất Kadec-Klee.


10

1.1.2.

Toán tử trong không gian Banach

Giả sử E là không gian Banach phản xạ thực, E ∗ là không gian đối ngẫu
của E. Cho A : E → E ∗ là toán tử đơn trị với miền xác định là D(A) ≡ E,

miền ảnh R(A) nằm trong E ∗ và ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm
lồi chính thường.
Định nghĩa 1.12 Hàm ϕ : E → R ∪ {+∞} được gọi là
i) nửa liên tục dưới trên E nếu
lim inf ϕ(y) ≥ ϕ(x), ∀x ∈ E;
y→x

ii) nửa liên tục dưới yếu trên E nếu với mọi dãy {xn }: xn

x thì

lim inf ϕ(xn ) ≥ ϕ(x), ∀x ∈ E;
n→∞

iii) khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ E nếu tồn tại x∗ ∈ E ∗ sao cho
ϕ(x + λy) − ϕ(x)
= x∗ , y , ∀y ∈ E,
λ→+0
λ
lim

và x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x, kí hiệu là ϕ (x).
Định nghĩa 1.13 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là
i) đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ E;
A được gọi là đơn điệu chặt tại y ∈ E nếu dấu "=" của bất đẳng thức
trên chỉ xảy ra khi x = y;
ii) d-đơn điệu nếu tồn tại một hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0,
d(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
A(x) − A(y), x − y ≥ d( x ) − d( y )

x − y , ∀x, y ∈ E,

iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
A(x) − A(y), x − y ≥ δ x − y , ∀x, y ∈ E;
Nếu δ(t) = cA t2 , cA là hằng số dương thì A được gọi là đơn điệu mạnh.


11

iv) bức nếu
lim

x →+∞

A(x), x
= +∞.
x

Nhận xét 1.3
i) Nếu A là toán tử đơn điệu thì A(x + x0 ) và A(x) + w0 cũng là các toán
tử đơn điệu, ở đây x0 ∈ E và w0 ∈ E ∗ là các phần tử cố định.
ii) Nếu A, B là các toán tử đơn điệu thì A + B, λA, λ > 0 cũng là các
toán tử đơn điệu.
iii) Nếu một trong hai toán tử đơn điệu A và B có ít nhất một toán tử
đơn điệu chặt thì A + B là toán tử đơn điệu chặt.
Định nghĩa 1.14 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là λ-ngược đơn điệu
mạnh nếu tồn tại hằng số dương λ sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ λ A(x) − A(y) 2 , ∀x, y ∈ E.

Nhận xét 1.4 (xem [34]) Trong không gian Hilbert H, mọi toán tử tuyến
tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp, xác định không âm trên H là toán tử
ngược đơn điệu mạnh.
Định nghĩa 1.15 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là
i) hemi-liên tục tại x0 ∈ E nếu A(x0 + tn x)

A(x0 ) khi tn → 0 với mọi

x thỏa mãn x0 + tn x ∈ E và 0 ≤ tn ≤ t(x0 );
ii) demi-liên tục nếu từ xn → x suy ra Axn

Ax khi n → ∞;

iii) thế năng nếu A(x) = ϕ (x) đạo hàm của phiếm hàm lồi ϕ(x).
Nhận xét 1.5 Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục thì demi-liên tục.
Định nghĩa 1.16 Toán tử A : E → E ∗ được gọi là liên tục Lipschitz nếu
tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ E ta có
A(x1 ) − A(x2 ) ≤ L x1 − x2 .


12

Nhận xét 1.6 Mọi toán tử λ-ngược đơn điệu mạnh là toán tử đơn điệu
và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = 1/λ.
Định nghĩa 1.17 Ánh xạ U s : E → E ∗ (nói chung là đa trị) được định
nghĩa bởi
U s = x∗ ∈ E ∗ : x∗ , x = x∗

s−1

x = x s , x ∈ E}, s ≥ 2

gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E.
Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, đơn điệu chặt và toán tử
có tính chất bức là ánh xạ đối ngẫu U s , s ≥ 2. Khi s = 2 thì U s được viết
là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach. Khẳng định này được suy
ra như một hệ quả trực tiếp của định lý Hahn-Banach. Trong không gian
Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đơn vị I.
Mệnh đề sau chỉ ra ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính đơn trị.
Mệnh đề 1.2 (xem [8]) Giả sử E là không gian Banach thực, U : E → E ∗
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Khi đó, ta có
i) U (0) = {0};
ii) Với mỗi x ∈ E, U (x) là tập con lồi đóng bị chặn và khác rỗng;
iii) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi E ∗ là không gian lồi chặt.
Định lí 1.7 (xem [8]) Nếu E ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc U là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn nữa,
nếu E cũng là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt.
Nhận xét 1.7 Trong không gian Lp (Ω), 0 < p < ∞ và Ω là một tập đo
được của không gian Rn , ánh xạ đối ngẫu tổng quát có tính chất đơn điệu
đều và liên tục theo Holder vì
U s (x) − U s (y), x − y ≥ mU x − y s , s ≥ 2, mU > 0.

(1.1)

U s (x) − U s (y) ≥ c(R) x − y ν , 0 < ν ≤ 1,

(1.2)

13

ở đây c(R) là một hàm dương và đơn điệu tăng theo R = max{ x , y }
(xem [37]).
Khái niệm toán tử đơn điệu ngoài được trình bày trong Định nghĩa 1.13,
còn được mô tả dựa trên đồ thị Gr(A) = {(x, y) : y = A(x)} của toán tử
A trong không gian tích E × E ∗ . Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ E,

x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y).

Tập Gr(A) được gọi là tập đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên.
Nếu Gr(A) không chứa một tập đơn điệu nào khác trong E × E ∗ , thì A
được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.18 Tập G ⊆ E × E ∗ được gọi là demi-đóng nếu xn → x,
yn

y hoặc xn

x, yn → y, ở đây (xn , yn ) ∈ G thì (x, y) ∈ G.

Bổ đề 1.1 Đồ thị của toán tử đơn điệu cực đại là demi-đóng.
Một ví dụ điển hình của toán tử đơn điệu cực đại là dưới vi phân của
một hàm lồi. Cụ thể ta có định lí sau.
Định lí 1.8 (xem [8]) Cho E là không gian Banach phản xạ thực, E ∗ là
không gian đối ngẫu của E. Nếu ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi
chính thường, nửa liên tục dưới trên E, thì ánh xạ dưới vi phân của hàm
ϕ được kí hiệu là ∂ϕ và được định nghĩa bởi

∂ϕ = {x∗ ∈ E ∗ : ϕ(y) − ϕ(x) ≥ x, y − x , ∀y ∈ E}.
là một toán tử đơn điệu cực đại từ E vào E ∗ .
Sau đây chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả lý thuyết toán tử đơn
điệu cực đại cần dùng nhiều ở phần sau.
Định lí 1.9 (xem [8]) Giả sử A : E → E ∗ là toán tử đơn điệu, U :
E → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Khi đó, A là toán tử
đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với mọi λ > 0, R(A + λU ) là toàn bộ
không gian E ∗ .