Tóm tắt dự thảo Luận án Tiến sĩ Toán học Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng

Header Page 1 of 126.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Viết Dược

ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

TĨM TẮT DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2014

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

Cơng trình được hồn thành tại: Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu

Phản biện 1:

Phản biên 2:

Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án
tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vào hồi
giờ
ngày
tháng
năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.

MỞ ĐẦU
Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ I,

trong đó I = R+ hoặc R, A(t) là tốn tử tuyến tính có thể khơng giới nội trong

khơng gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến.
Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính
của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp
tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn
định, không ổn định). Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn
thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học vì một mặt nó mang lại bức
tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với
nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo
xác định, mặt khác nó cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm
của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn
giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm
của phương trình đang xét.
Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức
là họ các tốn tử (A(t))t∈I ) sinh ra một họ tiến hố có nhị phân mũ hoặc tam
phân mũ và toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả
nền tảng đầu tiên về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà tốn học
Hadamard, Perron, Bogoliubov và Mitropolsky. Đó là những kết quả về sự tồn
tại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường
hợp X = Rn và A(t) là các ma trận). Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộng
các kết quả đó sang trường hợp A(t) là các tốn tử giới nội trong không gian
Banach bất kỳ X. Tiếp theo, Henry đã phát triển các kết quả về sự tồn tại
đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các tốn tử đạo hàm riêng khơng giới
nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết
nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đã
được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát
bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính. Có hai phương
1
Footer Page 3 of 126.

Header Page 4 of 126.

pháp chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp
Hadamard và phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát
hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform), phương pháp này
liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu
diễn đa tạp tích phân. Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành
phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp của
Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương
trình (hoặc tốn tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hố,
để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp LyapunovPerron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh ra
bởi phương trình tiến hố nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xây
dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹ
thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả
khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của khơng gian pha.
Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa
tạp tích phân của phương trình tiến hố nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện
Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là f (t, φ) − f (t, ψ ) ≤ q φ − ψ C
với q là hằng số đủ nhỏ. Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá
trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng
số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể khơng nhỏ theo nghĩa cổ
điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để
chúng có thể mơ tả được các q trình tương tác-khuyếch tán như vậy.
Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp nhận được. Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn
của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ
số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian
hàm Banach chấp nhận được. Trên cơ sở đó, chúng tơi đã nghiên cứu sự tồn
tại của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và
phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. Đó là nội dung chính của luận án
này. Luận án bao gồm 3 chương

• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tơi trình bày khái
niệm và một số tính chất của khơng gian hàm Banach chấp nhận được.
Sau đó, chúng tơi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn
định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp khơng
ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
= A(t)u + f (t, u),
dt
2
Footer Page 4 of 126.

t ∈ I,


Header Page 5 of 126.

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Banach X với mỗi
t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá
(U (t, s))t≥s≥0 sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ , có nhị phân mũ và hàm
phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f (t, x) − f (t, y ) ≤
ϕ(t) x − y với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp
nhận được. Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự
tồn tại của đa tạp ổn định. Khi mở rộng họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có
tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau
đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tơi xét phương
trình trên tồn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp khơng
ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm. Các kết quả
trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3].
• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định,

đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng
du
= A(t)u(t) + f (t, ut ),
dt

t ∈ I,

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Banach X với mỗi
t cố định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố
định, chúng ta ký hiệu C := C ([−r, 0], X ) là không gian các hàm liên
tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup. Khi họ toán tử (A(t))t∈I sinh
ra họ tiến hố có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều
kiện của f để phương trình trên có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến
là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz
đủ nhỏ, tức là f (t, φ) − f (t, ψ ) ≤ q φ − ψ C với q đủ nhỏ. Tuy nhiên,
đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán
phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất của các q trình này thì hệ
số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian. Vì vậy, khi nghiên cứu sự
tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm
riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz,
tức là f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 C , khi đó điều kiện hằng số
t+1
Lipschitz q đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈I t ϕ(τ )dτ đủ nhỏ.
Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo [1, 2].

3
Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm và một số tính chất của khơng
gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ . Sử dụng một ít
thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng thực. Sau đó, chúng tơi trình bày nhị phân
mũ của họ tiến hố và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.

1.1

Khơng gian hàm Banach chấp nhận được
trên nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel
trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó B là đại
số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu
(1) (E, · E ) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được
Borel sao cho |ψ (·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E
và ψ E ≤ ϕ E ,
(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0 χ[t,t+1]
∞, inf t≥0 χ[t,t+1] E > 0,

E

(3) E → L1,loc (R+ ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao
cho J |f (t)|dt ≤ βJ f E với mọi f ∈ E.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn

4
Footer Page 6 of 126.

<


Header Page 7 of 126.

(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

E

với mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E,
(ii) E là bất biến với tốn tử Λ1 , trong đó Λ1 ϕ(t) =

t+1
ϕ(τ )dτ ,
t

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+ , trong đó

 ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0

+
Tτ ϕ(t) =
0
nếu 0 ≤ t < τ ,
Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa, tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi
τ ∈ R+ .
Ví dụ 1.1.3. Khơng gian Lp (R+ ) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian
t+1

M(R+ ) :=

t≥0

với chuẩn f
nhận được.

M

|f (τ )|dτ < ∞

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup

:= supt≥0

t+1
|f (τ )|dτ
t

t

là các không gian hàm Banach chấp

Dưới đây là một số tính chất của khơng gian hàm Banach chấp nhận được.
Mệnh đề 1.1.4. Cho E là khơng gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có các
khẳng định sau
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R+ ) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định
Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau
t

Λσ ϕ(t) =

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

0

∞

Λσ ϕ(t) =

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

t

5
Footer Page 7 of 126.


Header Page 8 of 126.

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+ ) (điều này được thoả
mãn nếu ϕ ∈ E) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá

Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞,

(1.1)

trong đó Λ1 , T1+ và N1 , N2 được xác định trong Định nghĩa 1.3.1.
(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E.
(c) Với mọi b > 0, ebt ∈
/ E.

1.2

Không gian hàm Banach chấp nhận được
trên đường thẳng

Thay R+ bởi R và thay đổi tương ứng trong định nghĩa, chúng ta có khái niệm
khơng gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng. Ta có tính chất
sau.
Mệnh đề 1.2.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường
thẳng. Ta có các tính chất sau
(a) Cho ϕ ∈ L1, loc (R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1 ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định
Λσ ϕ và Λσ ϕ như sau
t

Λσ ϕ(t) =

e−σ(t−s) ϕ(s)ds,

−∞
∞

Λσ ϕ(t) =

e−σ(s−t) ϕ(s)ds.

t
t+1

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu supt∈R t ϕ(τ )dτ < ∞ (điều
này được thoả mãn nếu ϕ ∈ E ) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá

Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞

và Λσ ϕ

(b) Với mọi α > 0, e−α|t| ∈ E.
(c) Với mọi b > 0, eb|t| ∈
/ E.
6
Footer Page 8 of 126.

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞.


Header Page 9 of 126.

1.3

Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa
tạp ổn định

Trong phần này, chúng ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ [0, +∞), u ∈ X,

(1.2)

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Banach X với mỗi t cố
định và f : R+ × X → X là toán tử phi tuyến. Chúng ta giả sử họ các toán tử
A(t), t ∈ R+ sinh ra họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ. Sử dụng không
gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng, Nguyễn Thiệu Huy đã chỉ ra
điều kiện của hàm f để phương trình (1.2) có đa tạp ổn định. Để chỉ ra sự tồn
tại của đa tạp ổn định, thay vì (1.2) chúng ta xét phương trình tích phân
t

u(t) = U (t, s)u(s) +

U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ

với t ≥ s ≥ 0.

(1.3)

s

Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.3.1. Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach X
được gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các tốn tử chiếu tuyến tính
bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho
(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s),

t ≥ s ≥ 0,

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0 là đẳng cấu, chúng
ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , 0 ≤ s ≤ t,
(c)

U (t, s)x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,

(d)

U (s, t)| x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.

Định nghĩa 1.3.2. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên

nửa đường thẳng và ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × X → X được
gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn
(i)

f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R+ ,

(ii)

f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ R+ và x1 , x2 ∈ X.
7

Footer Page 9 of 126.


Header Page 10 of 126.

Định nghĩa 1.3.3. Tập S ⊂ R+ × X được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho
các nghiệm của phương trình (1.3) nếu mỗi t ∈ R+ ta có X = X0 (t) ⊕ X1 (t)
sao cho

inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf { x0 + x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1} > 0

t∈R+

t∈R+ i=0, 1

và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz
gt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R+
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và thoả mãn
(i) S = {(t, x + gt (x)) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , x ∈ X0 (t)}, ký hiệu

St = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S}.
(ii) St đồng phôi với X0 (t) với mọi t ≥ 0.
(iii) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.3) trên [t0 , ∞)
thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≥t0 u(t) < ∞.
(iv) S là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (1.3) thoả mãn
u(t0 ) = x0 ∈ St0 và ess supt≥t0 u(t) < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0 .
Dưới đây chúng tôi nhắc lại kết quả về đa tạp ổn định của phương trình vi
phân nửa tuyến tính.
Định lý 1.3.4. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàm
không âm. Cho f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k < N1+1 , trong đó

(1 + H )N (N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ
k :=
1 − e−ν

∞)

.

Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương trình
(1.3). Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u1 (t), u2 (t) trên đa tạp S hút nhau cấp mũ,
tức là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc t0 ≥ 0 sao cho
u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u1 (t0 ) − P (t0 )u2 (t0 )

8
Footer Page 10 of 126.

với mọi t ≥ t0 .

Header Page 11 of 126.

Chương 2
ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH

Trong mục 1.3 của Chương 1, chúng tơi đã tóm lược kết quả về sự tồn tại của
đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính. Trong chương này,
chúng tơi trình bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định và đa tạp
khơng ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [3]). Chúng ta
xét phương trình
du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ [0, +∞), u ∈ X,

(2.1)

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố
định và f : R+ × X → X là tốn tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0
sinh bởi họ tốn tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn
điều kiện ϕ-Lipschitz, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp
ổn định. Khi mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tơi đã
chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên
nửa đường thẳng, chúng tơi xét phương trình trên tồn đường thẳng để từ đó
chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các
quỹ đạo nghiệm.

9
Footer Page 11 of 126.


Header Page 12 of 126.

2.1

Đa tạp tâm ổn định

Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích
phân
t

u(t) = U (t, s)u(s) +

U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ

với t ≥ s ≥ 0.

(2.2)

s

Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương
trình (2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X.
Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau.
Định nghĩa 2.1.1. Họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s≥0 được gọi là tam phân mũ trên
nửa đường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2,
3 và các hằng số dương N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoả

mãn:
(i) supt≥0 Pj (t) < ∞, j = 1, 2, 3,
(ii) P1 (t) + P2 (t) + P3 (t) = Id với t ≥ 0 và Pj (t)Pi (t) = 0 với mọi j = i.
(iii) Pj (t)U (t, s) = U (t, s)Pj (s) với t ≥ s ≥ 0 và j = 1, 2, 3,
(iv) U (t, s)|ImPj (s) là đẳng cấu từ ImPj (s) lên ImPj (t) với mọi t ≥ s ≥ 0 và
j = 2, 3, ký hiệu ánh xạ ngược của U (t, s)|ImPj (s) là U (s, t)| .
(v) Với t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X, các ước lượng sau đúng:
U (t, s)P1 (s)x

≤ N e−β (t−s) P1 (s)x ,

U (s, t)| P2 (t)x

≤ N e−β (t−s) P2 (t)x ,

U (t, s)P3 (s)x

≤ N e α(t−s) P3 (s)x .

Sau đây là kết quả chính của phần này, định lý chỉ ra sự tồn tại của đa tạp
tâm ổn định.
Định lý 2.1.2. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các hằng
số N, α, β và các họ toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, cho bởi Định

10
Footer Page 12 of 126.


Header Page 13 of 126.

nghĩa 2.1.1. Giả sử rằng f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E là
hàm không âm và thoả mãn

(1 + H )N0 (N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ
k :=
1 − e−ν

∞)

<

1
,
N0 + 1

trong đó q = sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 = max{N, 2qN } và ν =
δ−α
2 > 0. Khi đó, với mỗi δ > α, tồn tại đa tạp tâm ổn định S = {(t, St ) ⊂
R+ × X} cho các nghiệm của phương trình (2.2), được biểu diễn bởi họ các ánh
xạ Lipschitz
gt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t)
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và St = graph(gt ) có các tính chất sau:
(i) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.2) trên [t0 , ∞)
thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≥t0 e−γt u(t) < ∞ với γ = δ+2 α .
(ii) St đồng phôi với X1 (t) ⊕ X3 (t) với mọi t ≥ 0, ở đây Xj (t) = Pj (t)X,
j = 1, 3.
(iii) S là bất biến, tức là nếu u(t) là nghiệm của phương trình (2.2) thoả mãn
u(t0 ) = x0 ∈ St0 và ess supt≥t0 e−γt u(t) < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọi
s ≥ t0 .
(iv) Với hai quỹ đạo nghiệm bất kỳ x(·) và y (·) trên đa tạp tâm ổn định, ta có

ước lượng sau:
x(t) − y (t) ≤ Ceδ(t−t0 ) x(t0 ) − y (t0 )

với mọi t ≥ t0 ≥ 0,

trong đó C là hằng số dương độc lập với t0 , x(·) và y (·).

2.2

Đa tạp không ổn định

Trong phần này, chúng ta chứng minh sự tồn tại đa tạp không ổn định cho
các nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hố xác định trên toàn đường thẳng
dưới điều kiện họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f là
ϕ-Lipschitz.
Trước tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm nhị phân mũ và ϕ-Lipschitz trên
toàn đường thẳng.
11
Footer Page 13 of 126.


Header Page 14 of 126.

Định nghĩa 2.2.1. Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s trên không gian Banach X được
gọi là có nhị phân mũ trên R nếu tồn tại họ tốn tử chiếu tuyến tính bị chặn
(P (t))t∈R trên X và các hằng số dương N, ν sao cho
(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s),

t ≥ s,

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s là đẳng cấu, ký hiệu
ánh xạ ngược của nó là (U (t, s)| )−1 = U (s, t)| ,
(c)

U (t, s)x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ ImP (s), t ≥ s,

(d)

U (s, t)| x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s.

Định nghĩa 2.2.2. Cho ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng và ϕ ∈ ER là hàm không âm. Hàm f : R × X → X được gọi là
ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn
(i)

f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R,

(ii)

f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ R và x1 , x2 ∈ X.

Trong phương trình (2.1), chúng ta thay t ∈ R+ bởi t ∈ R. Giả sử rằng họ
các tốn tử tuyến tính A(t), t ∈ R, trên khơng gian Banach X sinh ra họ tiến
hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ trên R và hàm phi tuyến f : R × X → X là
ϕ-Lipschitz. Khi đó, chúng tơi sẽ chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định
cho các nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1), các nghiệm này là nghiệm của
phương trình tích phân
t

u(t) = U (t, s)u(s) +

U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ

với t ≥ s.

(2.3)

s

Chúng ta có khái niệm đa tạp không ổn định như sau.
Định nghĩa 2.2.3. Tập U ⊂ R × X được gọi là đa tạp khơng ổn định bất biến
cho các nghiệm của phương trình (2.3) nếu mỗi t ∈ R không gian Banach X
được tách thành X = X0 (t) ⊕ X1 (t) sao cho

inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf { x0 + x1 : xi ∈ Xi (t), xi = 1} > 0

t∈R

t∈R i=0, 1

và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz
gt : X1 (t) → X0 (t),
với hằng số Lipschitz độc lập t và thoả mãn
12
Footer Page 14 of 126.

t∈R


Header Page 15 of 126.

(i) U = {(t, x + gt (x)) ∈ R × (X1 (t) ⊕ X0 (t)) | t ∈ R, x ∈ X1 (t)}, ký hiệu
Ut = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ U}.
(ii) Ut đồng phôi với X1 (t) với mọi t ∈ R,
(iii) mỗi x0 ∈ Ut0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.3) trên
(−∞, t0 ] thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≤t0 u(t) < ∞,
(iv) U là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (2.3) thoả mãn
u(t0 ) = x0 ∈ Ut0 và ess supt≤t0 u(t) < ∞ thì u(s) ∈ Us với mọi s ≤ t0 .
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 2.2.4. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
ϕ ∈ ER là hàm không âm. Cho f : R × X → X là ϕ-Lipschitz thoả mãn
k :=

(1 + H )N
(N1 Λ1 ϕ
1 − e−ν

∞

+ N2 Λ 1 ϕ

∞)

< 1.

(2.4)

Khi đó, mỗi v1 ∈ X1 (t0 ) có duy nhất nghiệm x(t) của phương trình (2.3) trên
(−∞, t0 ] thoả mãn (I − P (t0 ))x(t0 ) = v1 và ess supt≤t0 x(t) < ∞. Hơn nữa,

nếu hai nghiệm x1 (t), x2 (t) tương ứng với hai giá trị ban đầu v1 , v2 ∈ X1 (t0 )
thì ta có:
x1 (t) − x2 (t) ≤ Cµ e−µ(t0 −t) v1 − v2

với mọi t ≤ t0 ,

(2.5)

trong đó µ là hằng số dương thoả mãn

0 < µ < ν + ln(1 − k (1 − e−ν )) và Cµ =

N
−ν

1−e
1 − k 1−e
−(ν−µ)

.

Định lý 2.2.5. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ ER là hàm không âm thoả mãn
k < N1+1 , ở đây k được xác định bởi (2.4). Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định
bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa, với hai nghiệm
bất kỳ x1 (·) và x2 (·) trên đa tạp không ổn định bất biến U, ta có ước lượng sau:
x1 (t) − x2 (t) ≤ Cµ e−µ(t0 −t) (Id − P (t0 ))(x1 (t0 ) − x2 (t0 ))
với mọi t ≤ t0 , trong đó µ, Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc t0 .
13

Footer Page 15 of 126.


Header Page 16 of 126.

Để chỉ ra tính chất hút của đa tạp không ổn định chúng tôi đưa ra khái
niệm ( , ω )-phù hợp (suitable) của một hàm như sau.
Định nghĩa 2.2.6. Cho trước , ω > 0, một hàm g (·) được gọi là ( , ω )-phù
hợp (suitable) nếu tồn tại các hằng số dương µ, η sao cho ηeµ < và
t

g (τ )e

τ
s

g (u)du

dτ ≤ ηe(µ−ω)(t−s) .

s

Định lý 2.2.7. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ tốn tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ ER là hàm không âm thoả mãn
k < N1+1 , ở đây k được xác định bởi (2.4) và hàm N ϕ(·) là ( N , ω )-suitable với
ω là cận tăng trưởng mũ của họ tiến hoá (U (t, s))t≥s . Khi đó, tồn tại đa tạp
khơng ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa,
đa tạp này hút cấp mũ tất cả các quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.3), tức
là nếu x(·) là nghiệm bất kỳ của phương trình (2.3) thì tồn tại các hằng số

˜ η˜ > 0 sao cho
K,

˜ −η˜(t−s) d(x(s), Us ) với mọi t ≥ s.
d(x(t), Ut ) ≤ Ke

14
Footer Page 16 of 126.


Header Page 17 of 126.

Chương 3
ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG

Trong chương này, chúng tơi trình bày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tích
phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định và đa tạp không ổn định
của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng dạng (xem [1, 2])
du
= A(t)u(t) + f (t, ut ),
dt

t ∈ [0, +∞),

(3.1)

trong đó A(t) là tốn tử tuyến tính có thể không giới nội trong không gian
Banach X với mỗi t cố định và f : R+ ×C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với
r > 0 cố định, chúng ta ký hiệu C := C ([−r, 0], X ) là không gian các hàm liên

tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup, với φ ∈ C thì φ C = supθ∈[−r,0] φ(θ) .
Cho hàm liên tục u : [−r, ∞) → X, với t ≥ 0, chúng ta có hàm trễ ut ∈ C được
xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Khi họ toán tử (A(t))t≥0 sinh ra
họ tiến hố có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f
để phương trình (3.1) có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến nhất của phần
phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến
hố nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ
bé, tức là f (t, φ) − f (t, ψ ) ≤ q φ − ψ C với q đủ nhỏ. Tuy nhiên, đối với các
phương trình nảy sinh từ q trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, trong đó
f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời
gian và có thể khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng
các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mơ tả được các q trình
tương tác-khuyếch tán như vậy.

15
Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.

3.1

Đa tạp ổn định của phương trình vi phân
hàm đạo hàm riêng

Giả sử họ tốn tử tuyến tính A(t) sinh ra họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 . Để chứng
minh sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay cho (3.1) chúng ta xét phương trình
tích phân



u(t) = U (t, s)u(s) + t U (t, ξ )f (ξ, uξ )dξ với t ≥ s ≥ 0,
s
(3.2)

us
= φ ∈ C.
Nghiệm của phương trình (3.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình
(3.1). Giả sử họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu
nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0 . Chúng ta xác định họ
toán tử (P (t))t≥0 trên C như sau.
P (t) : C → C
(P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0].

(3.3)

Khi đó, chúng ta có (P (t))2 = P (t), do đó các tốn tử P (t), t ≥ 0 là các tốn
tử chiếu trên C. Hơn nữa, ta có
ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)ν0 , ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν0 ∈ ImP (t)}.
Định nghĩa 3.1.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ ∈ E
là hàm khơng âm. Hàm f : [0, ∞) × C → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả
mãn
(i)

f (t, 0) ≤ ϕ(t) với mọi t ∈ R+ ,

(ii)

f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2

C

với mọi t ∈ R+ và φ1 , φ2 ∈ C.

Sau đây, chúng ta đưa ra định nghĩa đa tạp ổn định cho các nghiệm của
phương trình (3.2).
Định nghĩa 3.1.2. Tập S ⊂ R+ × C được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho
các nghiệm của phương trình (3.2) nếu với mỗi t ∈ R+ khơng gian pha C được

16
Footer Page 18 of 126.


Header Page 19 of 126.

phân tích thành tổng trực tiếp C = X0 (t) ⊕ X1 (t) tương ứng với các toán tử
chiếu P (t) (tức là X0 (t) = ImP (t) và X1 (t) = KerP (t)) sao cho

sup P (t) < ∞
t≥0

và tồn tại họ ánh xạ Lipschitz

Φt : X0 (t) → X1 (t),

t ∈ R+

với hằng số Lipschitz độc lập với t và thoả mãn
(i) S = {(t, ψ + Φt (ψ )) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ X0 (t)}, ký hiệu
St := {ψ + Φt (ψ ) : (t, ψ + Φt (ψ )) ∈ S},
(ii) St đồng phôi X0 (t) với mọi t ≥ 0,

(iii) mỗi φ ∈ Ss có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.2) trên [s−r, ∞)
thoả mãn us = φ và supt≥s ut C < ∞. Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u(t)
và v (t) của phương trình (3.2) tương ứng với φ1 , φ2 ∈ Ss hút nhau cấp
mũ, tức là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ độc lập với s ≥ 0 sao cho
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s,

(3.4)

(iv) S là bất biến với phương trình (3.2), tức là nếu u(t), t ≥ s − r là nghiệm
của phương trình (3.2) thoả mãn us ∈ Ss và supt≥s ut C < ∞ thì ut ∈ St
với mọi t ≥ s.
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 3.1.3. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ tốn tử
chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho
f : R+ × C → X là ϕ-Lipschitz, đặt
eνr (1 + H )N (N1 Λ1 T1+ ϕ
k :=
1 − e−ν

∞

+ N2 Λ 1 ϕ

∞)

.

(3.5)

Khi đó, nếu k < 1, với mỗi hàm φ ∈ ImP (s) có duy nhất nghiệm u(t) của
phương trình (3.2) trên [s − r, ∞) thoả mãn P (s)us = φ và supt≥s ut C < ∞.
17
Footer Page 19 of 126.


Header Page 20 of 126.

Hơn nữa, với hai nghiệm u(t), v (t) ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ ImP (s)
ta có ước lượng sau:
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0)

với mọi t ≥ s ≥ 0,

trong đó µ là hằng số dương thoả mãn

0 < µ < ν + ln 1 − N (1 + H )eνr (N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ
N eνr
.
Cµ :=
(1+H )eνr
+

1 − N1−e
(
N
Λ
T
ϕ
+
N
Λ
ϕ
)
1
1 1
∞
2
1
∞
−(ν−µ)

∞)

và

Định lý 3.1.4. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho
f : R+ × C → X là ϕ-Lipschitz, thoả mãn k < 1+N1 eνr , trong đó k được xác định
bởi (3.5). Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương
trình (3.2).

3.2

Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi
phân hàm đạo hàm riêng

Trong phần này, chúng ta tổng quát Định lý 3.1.4 cho trường hợp họ tiến hố
(U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ trên R+ và hàm phi tuyến f là ϕ-Lipschitz.
Trong trường hợp này, chúng ta chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định
cho các nghiệm của phương trình (3.2).
Giả sử họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ (xem Định nghĩa 2.1.1,
Chương 2) với ba họ các toán tử chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3 và
các hằng số tam phân N, α, β > 0. Khi đó, chúng ta xây dựng các họ toán tử
chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, trên C như sau:

(Pj (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)Pj (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] và φ ∈ C.

(3.6)

Sau đây là kết quả chính của mục này, định lý chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm
ổn định cho các nghiệm của phương trình (3.2).
Định lý 3.2.1. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các họ toán
tử chiếu tam phân (Pj (t))t≥0 , j = 1, 2, 3 và các hằng số tam phân N, α, β > 0.
18
Footer Page 20 of 126.


Header Page 21 of 126.

Giả sử rằng f : R+ × C → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ là hàm không âm và
thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Đặt q := sup{ Pj (t) : t ≥

0, j = 1, 3}, N0 := max{N, 2N q}, ν := δ−α
2 và

(1 + H )eνr N0
(N1 Λ1 T1+ ϕ
k :=
−ν
1−e

∞

+ N2 Λ1 ϕ

∞ ).

(3.7)

Khi đó, nếu k < 1+N10 eνr , với mỗi δ > α tồn tại đa tạp tâm ổn định S =
{(t, St )}t≥0 ⊂ R+ × C cho các nghiệm của phương trình (3.2), được biểu diễn
bởi họ các ánh xạ Lipschitz

Φt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t)
với hằng số Lipschitz độc lập t và St = graph(Φt ) có các tính chất sau:
(i) St đồng phơi với Im(P1 (t) + P3 (t)) với mọi t ≥ 0.
(ii) Mỗi φ ∈ Ss có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.2) xác định
trên [s − r, ∞) thoả mãn các điều kiện sau: e−γ (s+θ) us (θ) = φ(θ) với
θ ∈ [−r, 0] và supt≥s e−γ (t+·) ut (·) C < ∞, trong đó γ = δ+2 α . Hơn nữa,
nếu u(t), v (t) là hai nghiệm của phương trình (3.2) tương ứng với hai hàm
ban đầu φ1 , φ2 ∈ Ss thì ta có ước lượng
ut − vt

C

≤ Cµ e(γ−µ)(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s, (3.8)

trong đó µ và Cµ là các hằng số dương độc lập với s, u(·) và v (·).
(iii) S là bất biến với phương trình (3.2), tức là nếu u(t), t ≥ s − r, là nghiệm
của phương trình (3.2) thoả mãn các điều kiện sau: hàm e−γ (s+·) us (·) ∈ Ss
và supt≥s e−γ (t+·) ut (·) C < ∞ thì hàm e−γ (t+·) ut (·) ∈ St với mọi t ≥ s.

3.3

Đa tạp không ổn định của phương trình vi
phân hàm đạo hàm riêng

Trong phần này, chúng ta xét phương trình (3.2) trên tồn đường thẳng, giả sử
các toán tử A(t), t ∈ R sinh ra họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ trên R.

19
Footer Page 21 of 126.


Header Page 22 of 126.

Khi đó, chúng ta chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và tính hút của đa
tạp này đối với các quỹ đạo nghiệm bất kỳ của phương trình


u(t) = U (t, s)u(s) + t U (t, ξ )f (ξ, uξ )dξ với t ≥ s,
s

(3.9)

us
= φ ∈ C.
Nghiệm của phương trình (3.9) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình
(3.2) trên R.
Dưới đây, chúng ta đưa ra khái niệm hàm f là ϕ-Lipschitz trên R và khái
niệm đa tạp không ổn định cho các nghiệm của phương trình (3.9).
Định nghĩa 3.3.1. Cho ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng và ϕ ∈ ER là hàm không âm. Hàm f : R × C → X được gọi là
ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn
(i)

f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R,

(ii)

f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 với t ∈ R và φ1 , φ2 ∈ C.

Định nghĩa 3.3.2. Tập U ⊂ R × C được gọi là đa tạp khơng ổn định bất biến
cho các nghiệm của phương trình (3.9) nếu mỗi t ∈ R không gian pha C được
phân tích thành tổng trực tiếp C = X0 (t) ⊕ X1 (t) tương ứng với các toán tử
chiếu P (t) (tức là X0 (t) = ImP (t) và X1 (t) = KerP (t)) sao cho

sup P (t) < ∞
t∈R

và tồn tại họ các ánh xạ liên tục Lipschitz

Φt : X0 (t) → X1 (t),

t∈R

với hằng số Lipschitz độc lập với t và thoả mãn
(i) U = {(t, ψ + Φt (ψ )) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R, ψ ∈ X0 (t)}, ký hiệu
Ut := {ψ + Φt (ψ ) : (t, ψ + Φt (ψ )) ∈ U},
(ii) Ut đồng phôi với X0 (t) với mọi t ∈ R,

20
Footer Page 22 of 126.


Header Page 23 of 126.

(iii) mỗi t0 ∈ R và φ ∈ Ut0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.9)
trên (−∞, t0 ] thoả mãn ut0 = φ và supt≤t0 ut C < ∞. Hơn nữa, nếu u(t),
v (t) là hai nghiệm của phương trình (3.9) tương ứng với các hàm ban đầu
φ1 , φ2 ∈ Ut0 thì các nghiệm này hút nhau cấp mũ, tức là tồn tại các hằng
số µ và Cµ độc lập với t0 sao cho
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t0 −t) (P (t0 )φ1 )(0) − (P (t0 )φ2 )(0) với t ≤ t0 ,

(iv) U là bất biến với phương trình (3.9), tức là nếu u(t), t ∈ R là nghiệm của
phương trình (3.9) thoả mãn ut0 ∈ Ut0 và supt≤t0 ut C < ∞ với t0 ∈ R
thì ut ∈ Ut với mọi t ∈ R.
Từ họ các toán tử chiếu nhị phân (P (t))t∈R ứng với họ tiến hoá nhị phân
mũ (U (t, s))t≥s , chúng ta xây dựng các toán tử (P (t))t∈R trên C như sau. Với

mỗi t ∈ R,
P (t) : C → C
(P (t)φ)(θ) := U (t + θ, t)| (I − P (t))φ(0) với θ ∈ [−r, 0].

(3.10)

Khi đó, chúng ta có (P (t))2 = P (t), do đó các tốn tử P (t), t ∈ R là các phép
chiếu trên C. Hơn nữa, chúng ta có
ImP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t + θ, t)| ν1 , ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν1 ∈ KerP (t)}.
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 3.3.3. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Giả sử ϕ
là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được ER . Cho
f : R × C → X là ϕ-Lipschitz và đặt
k :=

eνr (1 + H )N (N1 + N2 ) Λ1 ϕ
1 − e−ν

∞

.

(3.11)

Khi đó, nếu k < 1, mỗi φ ∈ ImP (t0 ) có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình
(3.9) trên (−∞, t0 ] thoả mãn P (t0 )ut0 = φ và supt≤t0 ut C < ∞. Hơn nữa,
nếu u(t), v (t) là hai nghiệm của phương trình (3.9) ứng với hai hàm ban đầu
φ1 , φ2 ∈ ImP (t0 ) thì ta có ước lượng sau:
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t0 −t) φ1 (0) − φ2 (0)
21

Footer Page 23 of 126.

với mọi t ≤ t0 ,


Header Page 24 of 126.

trong đó µ là hằng số dương thoả mãn

0 < µ < ν + ln (1 − N (1 + H )eνr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ
N eνr
.
Cµ :=
N (1+H )eνr (N1 +N2 ) Λ1 ϕ ∞
1−
1−e−(ν−µ)

∞)

và

Định lý 3.3.4. Cho họ tiến hố (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với các tốn tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Giả sử ϕ
là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được ER . Cho

f : R × C → X là ϕ-Lipschitz, thoả mãn k < 1+N1 eνr , trong đó k được xác định
bởi (3.11). Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm của
phương trình (3.9).
Định lý 3.3.5. Giả sử rằng các điều kiện của Định lý 3.3.4 được thoả mãn và
l < 1, trong đó
3 νr
νr N e (1 + H )
+1 .
l = ke
1−k
Khi đó đa tạp khơng ổn định U = { Ut }t∈R hút cấp mũ các nghiệm của phương
trình (3.9) theo nghĩa sau, gọi u(·) là nghiệm của phương trình (3.9) với điều
kiện ban đầu uξ , tồn tại nghiệm u∗ (·) nằm trong U (tức là u∗t ∈ Ut với mọi
t ∈ R) và hằng số α > 0 sao cho
ut − u∗t

C

≤ Ce−α(t−ξ ) uξ − u∗ξ

22
Footer Page 24 of 126.

C

,

với mọi t ≥ ξ.

Header Page 25 of 126.

KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận
nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng. Những kết quả chính luận
án đạt được là:
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp khơng ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính, đa tạp khơng ổn định có tính chất hút cấp
mũ các quỹ đạo nghiệm của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định của phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng, các nghiệm trên đa tạp hút nhau cấp mũ.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định của phương
trình vi phân hàm đạo hàm riêng.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp khơng ổn định của
phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, đa tạp khơng ổn định có tính
chất hút cấp mũ các quỹ đạo nghiệm của phương trình vi phân hàm đạo
hàm riêng.
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, tâm
ổn định, không ổn định cho phương trình vi phân hàm trung tính.
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp qn tính cho phương trình vi phân
nửa tuyến tính với các tốn tử tuyến tính khơng autonomous.
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân thuộc lớp E cho phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng.

23
Footer Page 25 of 126.