Đề chọn ĐT HSG toán 9

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
VÒNG 1 (Ngày thi 10-2008)
Bài 1:
1/ Cho biểu thức: P =
3
2
1
2
)1(2
1
)1(2
1
a
a
aa
−
+
−
−
+
+
a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
2/ Tìm x, y thỏa mãn:
32121
=−++=−++
xyyx

Bài 2: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn:
.6

321
=++
zyx
Xét biểu thức: P = x + y
2
+ z
3
a/ Chứng minh rằng: P
≥
x + 2y + 3z - 3
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 3: Tồn tại hay không các số nguyên a, b, c thỏa mãn:
a(b - c).(b + c - a)
2
+ c.(a - b).(a + b -c)
2
= 2009
Bài 4: Số đo các cạnh của một tam giác vuông là các số nguyên và số đo diện tích gấp rưỡi số
đo chu vi. Hãy xác định số đo các cạnh của một tam giác vuông đó.
Bài 5: Chứng minh mọi
∆
ABC ta đều có: P
2

222
cba
hhh
++≥
(P là nửa chu vi của tam giác
ABC; h

a
, h
b
, h
c
là đường cao của
∆
ABC ứng với a, b, c là độ dài 3 cạnh)
--------------------------
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
VÒNG 2 (Ngày thi 10-2008)
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:
a/
1980
=+
yx
b/ y =
1212
−−+−+
xxxx
Bài 2:
1. Cho a, b, c là các số không âm và b là trung bình cộng của a và c, chứng minh rằng:
accbba
+
=
+
+
+
211

2. Chứng minh rằng: Nếu x, y
≠
1 và x + y = 1thì
( )
3
2
11
2233
+
−
=
−
−
−
yx
xy
x
y
y
x
3. Cho a + b = c + d , chứng minh rằng:
abcddc 3
22
≥++
Bài 3: Cho
∆
ABC (
0
90
=

A

) và
B

>
C

, gọi
α
là số đo góc tạo bởi trung tuyến AM với
BC. Chứng minh rằng:
a/ 2cotg
α
= cotgC - cotgB
b/ 2AB.AC = (AC
2
- AB
2
).tg
α
Bài 4: Cho
∆
ABC (
0
90
=
A

). Kẻ phân giác AD (D

∈
BC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu
của D trên AB và AC. BN cắt CM tại K. AK cắt DM tại I. E là giao điểm của BN và MD. F là
giao điểm của CM và DN.
a. Chứng minh rằng K là trực tâm của
∆
AEF và I là trực tâm của
∆
ABD
b. Tính góc BID , khi AB < AC; AB > AC
----HẾT---