De & dap an Toán 11HK II -đe 1

SỞ GD & ĐT BÌNH ĐỊNH
TRUNG TÂM GDTX TỈNH

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015-2016
MÔN TOÁN – KHỐI 11 GDTX
THỜI LƯỢNG: 90 PHÚT

Đề số 1

Câu 1 (2.0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
x −3
x →3 x 2 + 2 x − 15
a)
lim

b)

2x +1 −1

lim

x2 + 3x

x →0

Câu 2 (2.0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 2x2 − x − 6

f ( x) =  x − 2

7



x≠2
x=2

Câu 3 (1.0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y=

2x −1
x −2

2
b) y = cos 2 x + 3

Câu 4 (2.0 điểm)
a) Cho hàm số

y=

x −3
x + 4 . Chứng minh rằng:

2 y′ 2 = ( y − 1)y′′

x2 − x + 2
y=
x −1
b) Cho hàm số

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
M ( −1; − 2 )

điểm
.
Câu 5 (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O.
Cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
các cạnh SB và SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), SC ⊥ BD.
b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC).
c) Tính tanϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
-------Giáo viên ra đề

Cao Lam Sơn


ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Đề số 1

CÂU

Ý
a)

NỘI DUNG

lim
x →3

ĐIỂM

x −3
x −3
= lim
x
→
3
x + 2 x − 15
( x − 3) ( x + 5 )

0,50

2

1
1
=
x →3 x + 5
8

= lim

1

b)

2x +1 −1

lim

2

x + 3x

x →0

= lim

x →0

(x

= lim

x →0

0,50
2x

2

+ 3x

( x + 3) (

)(

)

0,50

2x + 1 + 1

2

)

2x + 1 + 1

=

1
3

TXĐ: D = ¡

0,25

x ≠ 2 ⇒ f ( x) =

Với

2x − x − 6
x−2
là hàm phân thức hữu tỉ nên nó
2

liên tục trên các khoảng ( −∞;2 ) và ( 2;+ ∞ ) .
Xét sự liên tục của f ( x ) tại x = 2 . Ta có:

2

lim f ( x ) = lim

( x − 2 ) ( 2x + 3 )

= lim ( 2x + 3 ) = 7

x →2
x−2
lim f ( x ) = f ( 2 )
Mặt khác, f ( 2 ) = 7 . Vì x→2
nên f ( x ) liên tục tại
x=2.
x →2

x →2

Vậy
a)
3

b)

a)

y=

f ( x)

liên tục trên ¡ .

2 ( x − 2 ) − ( 2 x − 1)
2x −1
−3
⇒ y' =
=
2
2
x −2
( x − 2)
( x − 2)

'
− 2 x sin 2 x 2 + 3


2
2
y = cos 2 x + 3 ⇒ y ' = −  2 x + 3 ÷ sin 2 x + 3 =


2 x2 + 3
2

y=

x −3
7
−14

⇒ y' =
⇒ y '' =
2
3
x+4
( x + 4)
( x + 4)

2 y′ 2 = 2 ×

0,50

0,50

0,50
0,25
0,50
0,50

0,50
0,25

49

( x + 4)

0,50

4

4

=

−7
−14
×
= ( y − 1) y "
x+4 x+4 3
( )

y=

b)

0,25

x2 − x + 2
x2 − 2x −1
1
⇒ y' =
⇒ k = f ′(−1) =
x −1
2
( x − 1)2

x0 = −1, y0 = f ( x0 ) = −2, k =

1

1
3
⇒ PTTT : y = x −
2
2
2

0,50
0,50

0,25

5

a)

Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB )

SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC ) ⇒ SC ⊥ BD

b)

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AE SB ⊥ AE ⇒ AE ⊥ ( SBC ) ⇒ AE ⊥ SC

,

Tương tự,

AF ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AEF )

SC ⊥ ( AEF ) , SC ⊂ ( SAC ) ⇒ (SAC ) ⊥ ( AEF )

c)

SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
·
⇒ ϕ = SCA

⇒ tan ϕ =

SA
a
1
=
=
⇒ ϕ = 450
AC a 2
2

0,75
0,50
0,25
0,25
0,50
0,50

Lưu ý : Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Nếu chỉ đúng
một phần nào đó của bài thì cho điểm từng phần tương ứng theo biểu điểm.