Số các ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn

Header Page 1 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN VĂN TIẾN

SỐ CÁC ÁNH XẠ KHÔNG PHÂN RÃ
ĐƯỢC TRÊN TẬP HỮU HẠN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2011
Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn An Khương

Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Gia Định

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng

vào ngày 28 tháng 5 năm 2011.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.
Footer Page 2 of 126.


1

Header Page 3 of 126.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tổ hợp là một lĩnh vực quan trọng của toán học nói chung và toán rời
rạc nói riêng. Các bài toán tổ hợp có nội dung phong phú, được nghiên cứu
và ứng dụng rộng rãi trong thực tế đời sống và trên nhiều lĩnh vực khác
nhau, đặc biệt là xác suất thống kê.
Hiện nay, kiến thức cơ bản về tổ hợp đã được đưa vào chương trình giảng
dạy ở lớp 11. Trong những kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi quốc
gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại
học và cao đẳng thì các bài toán tổ hợp hay được đề cập và thường thuộc
loại khó. Đối với những bài toán tổ hợp phức tạp việc áp dụng các kiến
thức cơ bản để giải sẽ gặp nhiều khó khăn, nên cần có những phương pháp
sắc bén hơn.
Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài "Số ánh xạ không phân
rã được trên tập hữu hạn"nhằm nghiên cứu về số các ánh xạ trên các tập
hữu hạn thỏa mãn tính chất mà chúng tôi gọi là "không phân rã được".

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là đề xuất thêm phương pháp chứng minh mới, hoàn
toàn bằng sơ cấp để tính số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là số ánh xạ không phân rã được.
Phạm vi nghiên cứu là số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn.
Footer Page 3 of 126.


2

Header Page 4 of 126.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc hiểu và sử lý tài liệu tham khảo đồng thời làm việc theo sự hướng
dẫn của người hướng dẫn khoa học.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Hệ thống hóa các phương pháp tìm số ánh xạ không phân rã được trên
tập hữu hạn.
Đưa ra cách chứng minh mới cho việc tìm số ánh xạ không phân rã được
trên tập hữu hạn.

6. Cấu trúc luận văn
Luận văn được chia làm bốn chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu những kiến thức và các kết quả cơ
bản về các quy tắc đếm, sử dụng quy tắc song ánh, phân hoạch tổ hợp để
giải quyết các bài toán tổ hợp, đồng thời nêu khái niệm về xích và độ dài
của xích.

Chương 2: Các số tổ hợp cơ bản.
Chương này chúng tôi nhắc lại các số tổ hợp cơ bản, đó là các số Hoán
vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, số Stirling loại một, số Stirling loại hai và số Bell
cùng với số các ánh xạ đặc biệt trên tập hữu hạn.
Chương 3: Dãy nhị thức.
Trong chương này luận văn giới thiệu sơ lược về dãy nhị thức Pn (t)n≥0 .
Chương 4: Ánh xạ không phân rã được.
Đây là chương cơ bản và quan trọng nhất của luận văn chúng tôi đưa ra
một số khái niệm mới như ánh xạ không phân rã được từ tập [n] vào chính
nó. Đặc biệt chúng tôi đưa ra cách chứng minh mới để tìm số ánh xạ không
phân rã được trên tập hữu hạn.

Footer Page 4 of 126.


3

Header Page 5 of 126.

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
1.1.1

Quy tắc cộng, quy tắc nhân
Quy tắc cộng

Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 , m2 cách chọn đối tượng a2 , ..., mn
cách chọn đối tượng an , trong đó cách chọn đối tượng ai (1 ≤ i ≤ n) không
phụ thuộc vào bất kì cách chọn đối tượng aj nào (1 ≤ j ≤ n, i = j) thì

n

mk cách chọn đối tượng a1, hoặc a2, ..., hoặc an.

sẽ có
k=1

Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển qui tắc này sang dạng sau:
Cho n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk và ∀i, j(1 ≤ i, j ≤
n)Ai ∩ Aj = ∅, khi i = j . Khi đó số cách chọn a1, hoặc a2, ..., hoặc an sẽ
n

bằng số cách chọn các phần tử a ∈

Ak và |
k=1

1.1.2

n

n

|Ak |.

Ak | =
k=1

k=1

Quy tắc nhân

Cho n đối tượng a1 , a2 , ..., an . Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 và ứng
với mỗi cách chọn a1 ta có m2 cách chọn đối tượng a2 , sau đó với mỗi cách
chọn a1 , a2 ta có m3 cách chọn đối tượng a3 , ... Cuối cùng với mỗi cách
chọn a1 , a2 , ..., an−1 ta có mn cách chọn đối tượng an .
Vậy sẽ có m1 .m2 .....mn−1 .mn cách chọn các đối tượng a1 , rồi a2 ,..., rồi
an .
Chú ý 1. Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển quy tắc nhân sang dạng
sau:
Footer Page 5 of 126.


4

Header Page 6 of 126.

Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk . Khi đó, Số cách
chọn (S) bộ gồm n phần tử (a1 , a2 , ..., an ) với ai ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) sẽ là:
n

S = |A1.A2.....An| = m1.m2.....mn =

mk
k=1

1.2

Nguyên lý bù trừ

Định lý 1.1. [4] Cho n≥2 tập hợp hữu hạn A1 , ..., An . Khi đó ta có :

|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| =
n

|Ai| −
i=1

|Ai ∩ Ak | +
1≤i
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
1≤i
(−1)k+1|Ai1 ∩ Ai2 ... ∩ Aik |

+... +
1≤i1
+... + (−1)n+1|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|.
1.3

Quy tắc song ánh

Định
Nếu
Nếu
Nếu

1.4

(∗)

lý
có
có
có

1.2. [4] Cho hai tập hợp A, B hữu hạn
một đơn ánh f: A −→ B thì |A| ≤ |B|.
một toàn ánh f: A −→ B thì |A| ≥ |B|.
một song ánh f: A −→ B thì |A| = |B|.

Độ dài của xích

Chú ý 2. Mỗi song ánh từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó được gọi
là một phép thế trên n phần tử. Gọi Sn là tập hợp tất cả các phép thế
trên n phần tử. Nếu α, β ∈ Sn thì ánh xạ hợp thành αβ xác định bởi
công thức: αβ(i) = α(β(i)), (1 ≤ i ≤ n) cũng là một song ánh từ tập
N = {1, 2, ..., n} vào chính nó, tức αβ ∈ Sn

Footer Page 6 of 126.


5

Header Page 7 of 126.

Định nghĩa 1.1. [3] Giả sử x1 , ..., xk là các phần tử đôi một khác nhau
trong {1, 2, ..., n}. Ta kí hiệu bởi (x1 , x2 , ..., xk ) phép thế giữ nguyên các

phần tử khác x1 , x2 , ..., xk và tác động trên x1 , ..., xk như sau:

x1 → x2, x2 → x3, ..., xk−1 → xk , xk → x1.
Nó được gọi là một xích với độ dài k trên tập nền {x1 , x2 , ..., xk }.
Với (x1 , ..., xk ) được gọi là một xích của phép thế α ∈ Sn nếu α tác
động giống như (x1 , ..., xk ) trên các phần tử x1 , x2 , ..., xk (α có thể tác
động không tầm thường trên các phần tử x1 , ..., xk ).
Định lý 1.3. [3] Mọi phép thế α ∈ Sn đều là tích của tất cả các xích
khác nhau của nó. Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau
của tập {1, 2, ..., n}.
Nhận xét 1.1. Khi viết một phép thế của Sn như là tích của các xích rời
rạc, tức là xích với tập nền rời nhau, thì thứ tự của các xích ở trong tích là
không quan trọng.

Footer Page 7 of 126.


6

Header Page 8 of 126.

Chương 2
CÁC SỐ TỔ HỢP CƠ BẢN
2.1
2.1.1

Cấu hình tổ hợp
Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 2.1. Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử. Mỗi dãy có độ dài

k các phần tử của tập X , mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được
sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k
của n phần tử thuộc tập X .
Định lý 2.1. [4] Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là
Akn, thì Akn = nk
2.1.2

Hoán vị

Định nghĩa 2.2. Cho một tập hợp gồm n (n ≥ 1) phần tử . Mỗi cách
sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó ( mỗi phần tử có mặt đúng
một lần) được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho.
Định lý 2.2. [4] Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn thì Pn = n!
2.1.3

Hoán vị lặp

Định nghĩa 2.3. Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một
lần được gọi là hoán vị lặp.
Định lý 2.3. [4] Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần
tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện ni lần được kí hiệu là P (n1 , n2 , ..., nk )
Footer Page 8 of 126.


7

Header Page 9 of 126.

và được tính bằng công thức:

P (n1, n2, ..., nk ) =
2.1.4

n!
n1!n2!...nk !

, n = n1 + n2 + ... + nk .

Tổ hợp lặp

Định nghĩa 2.4. Cho tập hợp A = {a1 , a2 , ..., an }. Một tổ hợp lặp chập
m (m không nhất thiết phải nhỏ hơn n ) của n phần tử thuộc A là một
bộ gồm m phần tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của
A.
Định lý 2.4. Ta sử dụng Cnm để kí hiệu số tổ hợp lặp chập m của n
phần tử. Khi đó:
m
Cnm = Cn+m−1

2.1.5

Phân hoạch thứ tự tổ hợp

Định nghĩa 2.5. Giả sử X là một tập hợp gồm n phần tử. Khi đó ta có
phân hoạch của tập X thành k khối là một họ tùy ý π = {B1 , B2 , ..., Bk }
mà B1 ∪ B2 ∪ ...Bk = X , Bi ∩ Bj = ∅ với mọi 1 ≤ i < j ≤ k và Bi = ∅
với mọi 1 ≤ i ≤ k . Các tập con B1 , ..., Bk được gọi là các khối của phân
hoạch π .
Định nghĩa 2.6. Giả sử X là một tập hợp gồm n phần tử khác nhau,
r ≤ n và S ⊂ X có r phần tử. Một phân hoạch {S1, S2, ..., Sk } có thứ

tự S gọi là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X . Nếu r = n thì
gọi là phân hoạch thứ tự của X .
Cho các số nguyên dương n1 , n2 , ..., nk thỏa: n1 + n2 + ... + nk = r.
Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S1 , S2 , ..., Sk } có
|S1| = n1, |S2| = n2, ..., |Sk | = nk được kí hiệu là C(n; n1, n2, ..., nk ).
Định lý 2.5. [2]

C(n; n1, n2, ..., nk ) =
Footer Page 9 of 126.

n!
= P (n1, n2, ..., nk , n − r).
n1!n2!...nk !(n − r)!


8

Header Page 10 of 126.

Định lý 2.6. [2] Số phân hoạch không thứ tự của tập X gồm: p1 tập
có n1 phần tử, p2 tập có n2 phần tử, ..., pk tập có nk phần tử được tính
theo công thức:

C(n; n1, ..., n1, n2, ..., n2, ..., nk , ..., nk )
p1!p2!...pk !
n!
=
.
p1!(n1!)p1 p2!(n2!)p2 ...pk !(nk !)pk
(trong C(n; n1 , ..., n1 , n2 , ..., n2 , ..., nk , ..., nk ) số n1 lặp lại p1 lần, số

n2 lặp lại p2 lần, ..., số nk lặp lại pk lần)
2.2
2.2.1

Các số Stirling loại một, số Stirling loại hai và số
Bell
Số Stirling loại một

Định nghĩa 2.7. Số song ánh trên tập n phần tử được tách thành k vòng
xích được gọi là số Stirling loại một không dấu, kí hiệu là cn,k .
Số sn,k = (−1)n−k cn,k . được gọi là số Stirling loại một.
Từ định nghĩa ta rút ra được cn,k = 0, ∀k > n.
Định lý 2.7. [8] Với n là số nguyên không âm cố định, ta có:
n

x(n) =

cn,k xk

(2.1)

k=0

với x(n) = x(x + 1)...(x + n − 1), x(0) := 1.
Mệnh đề 2.1. Ta có:
n

sn,k xk = x(n).
k=0

Thay x =

1
vào Mệnh đề 2.1 và Định lí 2.7 ta được mệnh đề sau.
u

Mệnh đề 2.2. [6] Ta có:

sn,k un−k = (1 − u)(1 − 2u)...(1 − (n − 1)u).

a)
1≤k≤n

Footer Page 10 of 126.


9

Header Page 11 of 126.

cn,k un−k = (1 + u)(1 + 2u)...(1 + (n − 1)u).

b)
1≤k≤n

Thay n bằng n + 1 và k bằng n + 1 − k vào Mệnh đề 2.2 b ta được:

cn+1,n+1−k uk = (1 + u)(1 + 2u)...(1 + nu),
1≤n+1−k≤n+1

hay

cn+1,n+1−k uk =

i1i2...ik uk .
0≤k≤n 0≤i1 ≤i2 ≤...≤ik ≤n

0≤k≤n

Đồng nhất hệ số của uk hai vế ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.1. [6] Với k = 1, 2, ..., n ta có:

cn+1,n+1−k =

i1i2...ik .
0≤i1 ≤i2 ≤...≤ik ≤n

Dựa vào các kết quả trên, chúng ta tính được số các Stirling loại một
sn,k với một số giá trị đầu tiên được nêu trong Bảng 2.1.
2.2.2

Số Stirling loại hai và số Bell

Định nghĩa 2.8 (7). Số tất cả các phân hoạch của tập hợp A gồm n
phần tử thành k khối gọi là số Stirling loại hai, kí hiệu là Sn,k .
Ta qui ước S0,0 = 1, S0,k = 0 nếu k > 0 và Sn,0 = 0 nếu n > 0.
Từ định nghĩa này ta dễ dàng nhận thấy Sn,k = 0 nếu k > n và
Sn,1 = Sn,n = 1.
Định lý 2.8. [9] Với n, k là các số nguyên dương và k ≤ n ta có:

Sn+1,k = kSn,k + Sn,k−1.
Chú ý 3. Từ Sn,1 = Sn,n = 1 và từ công thức truy hồi của Sn,k ta thấy
Sn,k có những tính chất giống như đối với công thức tổ hợp Cnk nên ta cũng
xây dựng được tam giác để tìm giá trị Sn,k như sau:

S1,1
S2,1

S2,2

Footer Page 11 of 126.


10

Header Page 12 of 126.

S3,1
S4,1
S5,1
S6,1

S3,2
S4,2
S5,2
S6,2

S3,3
S4,3
S5,3

S6,3

S4,4
S5,4
S6,4

S5,5
S6,5

S6,6

.................................................................................
Mệnh đề 2.3. Với n, k là các số nguyên dương và k ≤ n ta có:

Sn,k

1
=
k!

k

(−1)k−j Ckj .j n.
j=1

Định nghĩa 2.9. Số tất cả các phân hoạch của tập hợp A lực lượng n
được gọi là số Bell thứ n. Kí hiệu Bn .
Từ định nghĩa 2.9 và định nghĩa 2.10, ta có:
n

Bn =

Sn,k .
k=0

2.3

Số các ánh xạ đặc biệt trên tập hữu hạn

Mệnh đề 2.4. [9] Cho tập hợp N = {1, 2, ..., n} và tập hợp M =
{1, 2, ..., m}. Khi đó số tất cả các ánh xạ f : N −→ M là mn.
Mệnh đề 2.5. [9] Cho tập hợp N = {1, 2, ..., n} và tập hợp M =
{1, 2, ..., m}, với n ≤ m.
Khi đó số tất cả các đơn ánh f : N −→ M là m(m−1)...(m−n+1).
Nhận xét 2.1.
Ta thấy từ mệnh đề 2.5 trong trường hợp n = m thì chúng ta dễ dàng
suy ra được kết quả sau đây.
Mệnh đề 2.6. Cho tập hợp N = {1, 2, ..., n}.
Khi đó số tất cả các song ánh f : N −→ N là n!
Mệnh đề 2.7. [9] Cho tập hợp N = {1, 2, ..., n} .
Khi đó số tất cả các tập con k phần tử của tập N là Cnk .
Footer Page 12 of 126.


11

Header Page 13 of 126.

Chú ý 4. Ngoài những cách hiểu đã nói trên, chúng ta có thể lập luận
như sau:

n
n
Số tất cả các đơn ánh f : N −→ M , với n ≤ m là n!Cm
, với Cm
là số
tất cả các tập con n phần tử của tập M .
Mệnh đề 2.8. [9] Cho tập hợp N = {1, 2, ..., n} và tập hợp M =
{1, 2, ..., m}, với n ≥ m.
Khi đó số tất cả các toàn ánh f : N −→ M là Sn,m .m!

Footer Page 13 of 126.


12

Header Page 14 of 126.

Chương 3
DÃY NHỊ THỨC
3.1

Khái niệm dãy nhị thức

Định nghĩa 3.1. [1] Một dãy các đa thức một biến thực Pn (t)n≥0 với
deg(Pn(t))≤ n, n = 0, 1, 2,... được gọi là dãy nhị thức nếu:

i)P0(t) = 1, t ∈ R ,
n

Cnk Pk (u)Pn−k (t), n = 1, 2, ...,

ii)Pn(t + u) =

t, u ∈ R .

k=0

3.2

Dãy nhị thức sinh bởi một dãy số

Định lý 3.1. [1] Dãy các đa thức {Pn (t)}n≥0 , t ∈ R là dãy nhị thức
khi và chỉ khi tồn tại một dãy số thực {ak }k≥1 sao cho:
i) P0 (t) = 1,
ii) Pn (t) = n!

n
k=1 (

k

(i1 ,...,ik ):

a ik t k
a i1 a i2
...
) ,
ik ! k!
ij =n i1 ! i2 !

n = 1, 2, 3, ...

j=1
ij ≥1

Định nghĩa 3.2. [1]Cho trước dãy số thực {ak }k≥1 . Giả sử rằng {Pn (t)}n≥0
là dãy các đa thức thoả mãn các điều kiện i), ii) trong định lí 3.1. Ta gọi
{Pn(t)}n≥0 là dãy nhị thức sinh bởi dãy {ak }k≥1 đã cho.
Nếu đặt λn,k

n!
=
k!

k

(i1 ,...,ik ):
j=1
ij ≥1

Footer Page 14 of 126.

n
ai1 ai2 aik
... thì Pn(t) =
λn,k tk .
i1 ! i 2 ! i k !
k=1
ij =n

13

Header Page 15 of 126.

Các số λn,k được gọi là các hệ số của dãy nhị thức.
Ta sẽ tìm công thức truy hồi để tính các hệ số của dãy nhị thức theo dãy
số thực {ak }k≥1
Mệnh đề 3.1. Với λn,0 = 0, λn,1 = an

λn,k

3.3

1
=
k

∀n ≥ 0,

λ0,0 = 1, ta có:

n+1−k

aj Cnj λn−j,k−1,

n = 1, 2, ...,

k = 1, 2, ...

j=1

Dãy nhị thức sinh bởi một hàm số

Cho hàm số f có khai triển thành chuỗi lũy thừa hội tụ trong miền [0, R)
với R > 0 nào đó như sau:
∞

f (x) =
k=1

xk
ak ,
k!

f (0) = 0

Khi đó, dãy số {ak }k≥1 với ak = f (k) (0), k = 1, 2, ... sẽ xác định một dãy
nhị thức, ta gọi dãy nhị thức này là dãy nhị thức sinh bởi hàm số f .
Dựa vào định lí 3.1 ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.2. [1] Giả sử {Pn (t)}n≥0 là dãy nhị thức sinh bởi hàm số
f . Khi đó:
∞

xn
{Pn(t)} = etf (x).
n!
k=1

Footer Page 15 of 126.

14

Header Page 16 of 126.

Chương 4
ÁNH XẠ KHÔNG PHÂN RÃ ĐƯỢC
4.1

Đặt vấn đề lịch sử

Có thể nói các vấn đề liên quan tới lý thuyết tổ hợp là một bộ phận quan
trọng, hấp dẫn và lí thú của toán học. Các vấn đề này có nội dung phong
phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. Trong toán sơ cấp tổ
hợp cũng xuất hiện nhiều với mức độ khó khá cao. Khi giải quyết các bài
toán tổ hợp người quan tâm sẽ cảm thấy rất hấp dẫn . Trong đó việc phân
lớp các ánh xạ trên tập hữu hạn và đếm số ánh xạ trong mỗi lớp là một bài
toán tổ hợp khó. Cho đến nay, các kết quả về số các toàn ánh, đơn ánh và
song ánh trên tập hữu hạn được coi là các kết quả rất cơ bản.
Bài toán phân tích các song ánh trên tập hữu hạn thành các vòng xích
độc lập đã được mở rộng lên thành việc xét bài toán tương tự cho ánh xạ
tuỳ ý trên tập hữu hạn. Tuy kết quả này đã được các nhà toán học trước
đây đưa ra (Leo Katz (1954) và Martin D. Kruskal (1954) ), nhưng đây là
vấn đề hết sức thú vị trong tổ hợp nên chúng tôi xét thấy việc đưa thêm ra
cách chứng minh mới cho kết quả này là vấn đề có ý nghĩa.
Việc mô tả số Stirling loại một không dấu cn,k về mặt thống kê theo
nghĩa đếm số tất cả các song ánh được phân tích thành k vòng xích độc lập
trên tập n phần tử có thể coi là rất đầy đủ và có mặt trong nhiều tài liệu
cơ bản. Tuy nhiên các kết quả tương tự khi xét tập tất cả các ánh xạ trên

tập n phần tử gặp nhiều khó khăn, mặc dù ta có thể mô tả về mặt cấu trúc
thông qua công cụ đồ thị và mảnh tổ hợp. Chúng tôi giới thiệu một kết quả
mới nhận được chỉ bằng phương pháp sơ cấp chúng tôi đã chứng minh được
rằng số tất cả các ánh xạ f không phân rã được từ tập N = {1, 2, ..., n}
Footer Page 16 of 126.


15

Header Page 17 of 126.

vào chính nó là:

n

αn = (n − 1)!
k=0

nn−k
(n − k)!

Việc chứng minh quy nạp cho đẳng thức này chính là phần mới và cũng
là phần cơ bản nhất của luận văn này.

4.2

Định nghĩa

Định nghĩa 4.1. Một ánh xạ f từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó
được gọi là ánh xạ phân rã được nếu tồn tại một tập con thật sự và không

rỗng K , |K| = k, 1 ≤ k ≤ n sao cho f −1 (K) ⊂ K
Định nghĩa 4.2. Một ánh xạ f từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó
được gọi là ánh xạ không phân rã được nếu nó không phải là ánh xạ phân
rã được .
Định nghĩa 4.3. Một ánh xạ f từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó
được gọi là một ánh xạ có k thành phần không phân rã được nếu nó tồn
tại một phân hoạch N = N1 ∪ N2 ∪ ... ∪ Nk , Ni = ∅, Ni ∩ Nj =
∅, i, j = 1, k i = j, k ≥ 2 sao cho tất cả các hạn chế fi của f
trên mỗi tập con Ni Như vậy ta có thể phân tích một ánh xạ f từ tập
N = {1, 2, ..., n} vào chính nó thành các thành phần không phân rã được
tương tự như khi phân tích một song ánh từ tập N vào chính nó thành các
vòng xích.

4.3

Chứng minh kết quả cơ bản

Kết quả cơ bản này đã được chứng minh trong bài báo ”Components
under a random mapping function" của nhà toán học Martin D. Kruskal và
bài báo "Probability of a random mapping function" của nhà toán học Leo
Katz bằng công cụ toán tử và các lập luận tổ hợp cơ bản đã đưa ra cách
chứng minh vào năm 1954. Ngoài hai cách chứng minh trên, ở đây tôi đưa
ra hai phương pháp chứng minh hoàn toàn bằng sơ cấp, đó là phương pháp
Footer Page 17 of 126.


16

Header Page 18 of 126.

quy nạp và thiết lập công thức truy hồi để tính số các ánh xạ không phân
rã được trên tập hữu hạn.
4.3.1

Phương pháp quy nạp

Nhận xét 4.1. Một ánh xạ f từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó được
gọi là ánh xạ không phân rã được nếu nó thoả mãn một trong các điều kiện
sau đây:
i) Tồn tại duy nhất k0 ∈ N sao cho f (k0 ) = k0 .
ii) Tồn tại một tập con K thật sự và không rỗng của N sao cho khi hạn chế
của f trên K thì f là một hoán vị vòng quanh.
iii) f là một hoán vị vòng quanh trên N.
Từ nhận xét trên ta thấy để xây dựng một ánh xạ không phân rã được
trên tập hữu hạn N ta phải xây dựng một hoán vị vòng quanh trên tập K
với |K| = k , K ⊂ N , (1 ≤ k ≤ n) và ánh xạ các phần tử còn lại sao
cho liên kết với hoán vị vòng quanh đó.
Do vậy, ta có mệnh đề đếm số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ
tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó như sau.

Mệnh đề 4.1. Gọi αn là số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ
tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó, thì ta có:
n

l
n! k i1 ii12 iil−1
...
k! i1! i2! il !

(k − 1)!

αn =
k=1

l

(i1 ,...,il ):

(∗)

ij =n−k

j=1
ij ≥1

Chứng minh. Để đếm số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ tập
N = {1, 2, ..., n} vào chính nó ta tiến hành theo các bước sau đây.
Trước hết ta tạo một hoán vị vòng quanh trên tập K với |K| = k ,
K ⊂ N , (1 ≤ k ≤ n) nên ta có số hoán vị là (k − 1)!.
Tiếp theo chọn k phần tử trong n phần tử ta có số cách chọn là Cnk .
Xét dãy các tập hợp I1 , I2 , ..., Il , (1 ≤ l ≤ n − k) , |Ij | = ij sao cho
Footer Page 18 of 126.


17

Header Page 19 of 126.
l

ij = n − k . Rồi sau đó ta phân phối n − k phần tử còn lại vào l tập

j=1

hợp I1 , I2 , ..., Il .
i1
Ta có số cách phân phối n − k phần tử vào tập I1 là Cn−k
, số cách
i2
phân phối n − k − i1 phần tử vào tập I2 là Cn−k−i1 ,..., số cách phân phối
il
n − k − i1 − ... − il−1 phần tử vào tập Il là Cn−k−i
.
1 −...−il−1
Nên số cách phân phối n − k phần tử vào l tập hợp I1 , I2 , ..., Il là
i1
i2
Cn−k
Cn−k−i
1
il
...Cn−k−i1−...−il−1 .

Tiếp theo ta tạo ánh xạ từ tập I1 vào tập K có k i1 cách, ánh xạ từ tập
l
I2 vào tập I1 có i1i2 cách,..., ánh xạ từ tập Il vào tập Il−1 có iil−1
cách.
Vậy ta có số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ tập N =
{1, 2, ..., n} vào chính nó là:
n
il
i1

i2
Cn−k
Cn−k−i
...Cn−k−i
.
1
1 −...−il−1

Cnk (k − 1)!

αn =
k=1

l

(i1 ,...,il ):

ij =n−k

j=1
ij ≥1

Hay

n

l
n! k i1 ii12 iil−1
...
.

k! i1! i2! il !

(k − 1)!

αn =
k=1

l

(i1 ,...,il ):

ij =n−k

j=1
ij ≥1

Định lý 4.1. (Số ánh xạ không phân rã được) Gọi αn là số tất cả các
ánh xạ không phân rã được từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó khi
đó ta có:
n

αn = (n − 1)!
k=0

Footer Page 19 of 126.

nn−k
(n − k)!

(1)

18

Header Page 20 of 126.

Chứng minh. Để chứng minh (1) trước hết ta cần chứng minh rằng
l
n! k i1 ii12 iil−1
k−1 n−k
...
= Cn−1
n ,
k! i1! i2! il !

l

(i1 ,...,il ):

ij =n−k

j=1
ij ≥1

hay:
l
k i1 ii12 iil−1
...
= knn−k−1
(n − k)!

i1 ! i2 ! il !

l

(i1 ,...,il ):

(2)

ij =n−k

j=1
ij ≥1

Ta chứng minh (2) bằng qui nạp theo n.
Ta có:
l
k i1 ii12 iil−1
...
(n − k)!
i 1 ! i2 ! il !

l

(i1 ,...,il ):

ij =n−k

j=1
ij ≥1
n−k

l
k h hi2 iil−1
...
(n − k)!
h! i2! il !

=
h=1

l

(i1 ,...,il ):

ij =n−k

j=1
ij ≥1
i1 =h
n−k

=
h=1

k h(n − k)!
h!(n − k − h)!

l
hi2 ii23 iil−1
(n − k − h)!

...
.
i 2 ! i3 ! il !

l

(i1 ,...,il ):

ij =n−k−h

j=2
ij ≥1

Mà:
l
hi2 ii23 iil−1
(n − k − h)!
...
= h(n − k)n−k−h−1.
i 2 ! i3 ! il !

l

(i1 ,...,il ):
j=2
ij ≥1

Footer Page 20 of 126.

ij =n−k−h

19

Header Page 21 of 126.

Do đó:
l
k i1 ii12 iil−1
(n − k)!
...
i 1 ! i2 ! il !

l

(i1 ,...,il ):

ij =n−k

j=1
ij ≥1
n−k

=
h=1
n−k

=k
h=1

k h(n − k)!
h(n − k)n−k−h−1
h!(n − k − h)!
(n − k − 1)!
k h−1(n − k)n−k−h
(h − 1)![n − k − 1 − (h − 1)]!

n−k−1

=k
h=0

(n − k − 1)!
k h(n − k)n−k−h−1
h![n − k − 1 − h]!

n−k−1
h
Cn−k−1
k h(n − k)n−k−h−1

=k
h=0

= k[k + (n − k)]n−k−1 = k.nn−k−1
Nên:

l
n! k i1 ii12 iil−1
k−1 n−k

...
= Cn−1
n .
k! i1! i2! il !

l

(i1 ,...,il ):

ij =n−k

j=1
ij ≥1

Thay kết quả này vào đẳng thức (*) ta được:
n
k−1 n−k
(k − 1)!Cn−1
n .

αn =
k=1

n

αn = (n − 1)!
k=0

Footer Page 21 of 126.

nn−k
.
(n − k)!

.


20

Header Page 22 of 126.

4.3.2

Thiết lập công thức truy hồi

Định lý 4.2. [5] Gọi αn là số tất cả các ánh xạ không phân rã được
từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó. Khi đó ta có:

α1 = 1,
k
1i1 ii12 iik−1
...
i1 ! i 2 ! i k !

αn+1 = nαn + (n + 1)!
k

(i1 ,...,ik ):

ij =n

j=1
ij ≥1
n−1

αn−m
+n!
(n − m − 1)!
m=1

l
1i1 ii12 iil−1
...
i 1 ! i2 ! il !

l

(i1 ,...,il ):

ij =m

j=1
ij ≥1

Chứng minh. Với n = 1, ta dễ thấy rằng chỉ có đúng một ánh xạ không
phân rã từ tập 1 vào chính nó.
Hay α1 = 1.
Giả sử f là một ánh xạ không phân rã được từ tập N ∪ {n + 1} vào
chính nó. Ta đếm số các khả năng của f. Có hai trường hợp xảy ra:
1)Trường hợp 1: f −1 (n + 1) = ∅.

Vì có αn ánh xạ không phân rã được trên tập N và phần tử (n + 1) có
n cách cho ảnh nên

αn+1 = nαn.
2) Trường hợp 2: f −1 (n + 1) = ∅.
Ta xét dãy liên tiếp các tập hợp:

f −1(n + 1) ∩ N = I1,
f −1(I1) ∩ N = I2,
...
f −1(Ik−1) ∩ N = Ik ,
Footer Page 22 of 126.


21

Header Page 23 of 126.

với |Ij | = ij , j = 1, k, 1 ≤ k ≤ n, và dễ thấy rằng dãy trên dừng tại k
khi và chỉ khi Ik+1 = ∅. Ta có hai khả năng sau:
a) Không tồn tại một tập con thật sự S nào của N sao cho hạn chế của
f trên S là một ánh xạ không phân rã được từ tập S vào chính nó.
Gọi số các khả năng của f thuộc loại này là an+1,1 .
k

Khi đó dãy các tập I1 , I2 , ..., Ik với 1 ≤ k ≤ n thoả

ij = n.
j=1

Để tạo một ánh xạ không phân rã được trên tập N ∪ {n + 1} vào chính
nó, trước hết ta phân phối n phần tử của tập N vào k tập hợp I1 , I2 , ..., Ik ,
ik
i2
...Cn−(i
cách.
có Cni1 Cn−i
1
1 +...+ik−1 )
Tiếp theo ta tạo các ánh xạ từ tập I1 vào tập {n + 1} có 1i1 cách, ánh
k
xạ từ tập I2 vào tập I1 có ii12 cách,..., ánh xạ từ tập Ik vào tập Ik−1 có iik−1
cách.
Cuối cùng là xác định ảnh của phần tử (n + 1) có (n + 1) cách.
Do đó:
ik
i2
k
Cni1 Cn−i
...Cn−(i
1i ii2 ...iik−1
1
1 +...+ik−1 ) 1 1

an+1,1 = (n + 1)
k

(i1 ,...,ik ):

ij =n

j=1
ij ≥1
k
1i1 ii12 iik−1
...
.
i 1 ! i2 ! ik !

= (n + 1)!
k

(i1 ,...,ik ):

ij =n

j=1
ij ≥1

b) Tồn tại một tập con thật sự S của N sao cho hạn chế của f trên S
là một ánh xạ không phân rã được từ tập S vào chính nó.
Gọi số các khả năng của f thuộc loại này là an+1,2 .
Dễ thấy rằng một ánh xạ không phân rã được từ tập N vào chính nó
không thể được tạo nên từ hai ánh xạ không phân rã được trên hai tâp
con thật sự của N có giao khác rỗng. Giả sử tập N \ S gồm m phần tử,
1 ≤ m ≤ n − 1.
k

Khi đó, ta xét dãy các tập hợp I1 , I2 , ..., Il , 1 ≤ l ≤ m với

ij = n
j=1

Footer Page 23 of 126.


22

Header Page 24 of 126.

Để tạo một ánh xạ không phân rã được trên tập N ∪ {n + 1} vào chính
nó ta tiến hành theo các bước sau:
i2
...
Phân phối n phần tử của tập N vào l tập hợp I1 , I2 , ..., Il , có Cni1 Cn−i
1
il
Cn−(i1+...+il−1) cách.
Tiếp theo ta tạo các ánh xạ từ tập I1 vào tập {n + 1} có 1i1 cách, ánh
l
xạ từ tập I2 vào tập I1 có ii12 cách,..., ánh xạ từ tập Il vào tập Il−1 có iil−1
cách.
Tạo các ánh xạ không phân rã được từ tập con thật sự S của N gồm
n − m phần tử vào chính nó, có αn−m cách.
Xác định ảnh của phần tử (n + 1), có (n − m) cách.
Do đó:
n−1
il
i2
l

(n − m)Cni1 Cn−i
1i ii2 ...iil−1
...Cn−(i
1
1 +...+il−1 ) 1 1

an+1,2 =
m=1

l

(i1 ,...,il ):

ij =m

j=1
ij ≥1
n−1

αn−m
= n!
(n − m − 1)!
m=1

l
1i1 ii12 iil−1
...
.
i1 ! i 2 ! i l !

l

(i1 ,...,il ):

ij =m

j=1
ij ≥1

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 4.2. Gọi αn,k , với 1 ≤ k ≤ n là số ánh xạ có k thành phần
không phân rã được từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó. Khi đó ta có:

αn,k

1
=
k

n+1−k

Cnj αj αn−j,k−1
j=1

với αn,0 = 0, α0,0 = 1, αn,1 = αn ,

n ≥ 1,

1 ≤ k ≤ n.

Hệ quả 4.3.1. Hệ số λn,k của dãy nhị thức Pn (t), n = 0, 1, 2, ...
sinh bởi dãy αk , k = 1, 2, ... các ánh xạ không phân rã được từ tập
{1, 2, ..., k} vào chính nó chính là số ánh xạ gồm k thành phần không
phân rã được từ tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó, với λn,1 = αn .
Footer Page 24 of 126.


23

Header Page 25 of 126.

Nhận xét 4.2. Số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ tập N =
{1, 2, ..., n} vào chính nó chính là giá trị của dãy nhị thức sinh bởi dãy các
n

αn,k = nn.

ánh xạ không phân rã được {αk }k≥1 khi t = 1. Tức Pn (1) =
k=1

Do đó với α1 = α1,1 = 1, chúng ta có thể tìm αn = αn,1 theo cách sau.
n

n

Trước hết tìm αn,k , k = 2, 3, ..., n, sau đó tìm αn = n −

αn,k .
k=2

Dựa vào các định lí, mệnh đề và hệ quả trên ta có thể tính truy hồi cho
số ánh xạ gồm k thành phần không phân rã được αn,k , k = 1, 2, ..., n từ
tập N = {1, 2, ..., n} vào chính nó và cũng chính là hệ số của dãy nhị
thức {Pn (t)}n≥0 của dãy {αk }k≥1 các ánh xạ khôn phân rã được từ tập
{1, 2, ..., k} vào chính nó.
Mệnh đề 4.3. Nếu f là ánh xạ không phân rã từ tập [n] vào chính nó
thì tập hợp các ảnh cuối của f thuộc một vòng xích duy nhất.

Footer Page 25 of 126.