Dai so 10 chuong VI luong giac

CHƯƠNG VI. LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Xác định dấu của biểu thức
a. A = sin 50° cos (–300°)

b. B = sin 215° tan (3π)

c. C = cos

4π
π
4π
9π
sin tan cot
5
3
3
5

Bài 2. Cho 0° < α < 90°. Xét dấu của các biểu thức
a. sin (α + π/2)
b. cos (α – 45°)
c. cos (270° – α)
d. cos (2α + 90°)
Bài 3. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức
a. A = sin A + sin B + sin C
b. B = sin A sin B sin C
c. C = cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2)
d. D = tan (A/2) + tan (B/2) + tan (C/2)
Bài 4. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.
a. cos a = 4/5; với 270° < a < 360°. Tính sin a, tan a, cot a.
b. sin a = 5/13; với π/2 < a < π. Tính cos a, tan a, cot a.

c. tan a = 3; với π < a < 3π/2. Tính sin a, cos a, cot a.
d. cot a = 2; với π < a < 3π/2. Tính sin a, cos a, tan a.
e. Cho cos α = –12/13; và π/2 < α < π. Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α.
f. Cho cot α = 2 và 0 < α < π/4 . Tính sin 2α, cos 2α, tan 2α.
g. Cho sin 2α = –5/9 và π/2 < α < π. Tính sin α, cos α, tan α.
h. Cho cos 2α = 5/13 và 3π/2 < α < 2π. Tính sin α, cos α, tan α.
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức
cot a + tan a
a. Tính A =
với sin a = 3/5 và 0 < a < π/2
cot a − tan a
sin 2 a + 2sin a cos a − 2 cos 2 a
b. Tính B =
với cot a = –3
2sin 2 a − 3sin a cos a + 4 cos 2 a
sin a + 5cos a
c. Tính C =
với tan a = 2
sin 3 a − 2 cos 3 a
cot a + 3 tan a
d. Tính D =
với cos a = –2/3
2 cot a + tan a
Bài 6. Cho sin a + cos a = 5/4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = sin a cos a
b. B = sin³ a + cos³ a
Bài 7. Cho tan a + cot a = 5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = tan² a + cot ² a b. B = tan³ a + cot³ a
Bài 8. Cho 3sin4 x + cos4 x = 3/4. Tính A = sin4 x + 3cos4 x
Bài 9. Cho 3sin4 x + cos4 x = 1/2. Tính B = sin4 x + 3cos4 x

Bài 10. Cho 5(sin x + cos x) = 1. Tính sin x, cos x, tan x
Bài 11. Cho tan x + cot x = 4. Tính sin x, cos x, tan x, cot x
Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau:
a. A = cos (π/2 + x) + cos (3π + x) + sin (x + π/2)
b. B = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin (7π/2 – x) + tan (π + x)
c. C = 2sin (π/2 + x) + sin (5π – x) + sin (3π/2 + x) + cos (π/2 + x)
d. D = cos (5π – x) – sin (3π/2 + x) + tan (3π/2 – x) + cot (3π – x)
2sin 2a − sin 4a
e. E =
2 sin 2a + sin 4a
Bài 13. Tính giá trị các biểu thức
sin(−328°) sin 958° cos( −508°) cos( −1022°)
−
a. A =
cot 572°
tan(−212°)
b. B = cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos 160° + cos 180°
c. C = cos² 10° + cos² 20° + cos² 30° + ... + cos² 180°
d. D = sin 20° + sin 40° + sin 60° + ... + sin 360°
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin4 x + cos4 x = 1 – 2cos² x sin² x
b. sin6 x + cos6 x = 1 – 3cos² x sin² x
c. sin8 x + cos8 x = 1 – 4sin² x cos² x + 2 sin4 x cos4 x
d. (cot² x – cos² x)(tan² x – sin² x) = cos² x sin² x

e. sin (α + 270°)


e. 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x)(1 + tan x)
sin x + cos x − 1

2 cos x
=
f.
1 − cos x
sin x − cos x + 1
2
2
tan a 1 + cot a
1 + tan 4 a
sin a
cos a
1 + cot 2 a
g.
h.
×
=
−
=
1 + tan 2 a cot 2 a
tan 2 a + cot 2 a
sin a − cos a cos a − sin a 1 − cot 2 a
sin 2 a
cos 2 a
sin 2 a
sin a + cos a
i. 1 −
j.
−
= sin a cos a
−

= sin a + cos a
1 + cot a 1 + tan a
sin a − cos a
tan 2 a − 1
sin 8 x cos8 x
1
sin 4 x cos 4 a
1
+
=
Bài 15. Cho
với a, b > 0. Chứng minh rằng
+
=
3
3
a
b
(a + b)3
a
b
a+b
Bài 16. Rút gọn các biểu thức sau:
cos 2 x + cos 2 x cot 2 x
a. A = (tan x + cot x)² – (tan x – cot x)²
b. B =
sin 2 x + sin 2 x tan 2 x
c. C = (x sin a – y cos a)² + (x cos a + y sin a)²
Bài 17. Chứng minh các biểu thức độc lập đối với x.
sin 4 x + 3cos 4 x − 1

a. A = (sin4 x + cos4 x – 1)(tan² x + cot² x + 2)
b. B =
sin 6 x + cos 6 x + 3cos 4 x − 1
tan 2 x − cos 2 x cot 2 x − sin 2 x
c. C =
+
sin 2 x
cos 2 x
Bài 18. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A sin B sin C
b. sin A + sin B + sin C = 4cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2)
Bài 19.
a. Tính tan (α + π/3) nếu sin α = 3/5 và π/2 < α < π
b. Tính cos (π/3 – α) nếu sin α = –12/13 và 3π/2 < α < 2π
c. Tính sin (a – b), cos (a + b), tan (a + b) biết sin a = 8/17, tan b = 5/12, 0 < a, b < π/2.
d. Tính tan a + tan b, tan a, tan b nếu 0 < a, b < π/2; a + b = π/4 và tan a tan b = 3 – 2 2 . Từ đó suy ra giá trị
a và b.
Bài 20. Tính giá trị của biểu thức
a. A = sin² 20° + sin² 90° + sin² 100° + sin² 140°
b. B = tan 20° tan 80° + tan 80° tan 140° + tan 140° tan 20°
cot 225° − cot 79° cot 71°
c. C =
cot 259° + cot 251°
d. D = tan 15° + cot 15°
Bài 21. Chứng minh
2sin(x + y)
a. tan x + tany =
cos(x + y) + cos(x − y)
b. tan x tan (x + π/3) + tan (x + π/3) tan (x + 2π/3) + tan (x + 2π/3) tan x = –3
π

π
π
3π
2
c. cos(x − ) cos(x + ) + cos(x + ) cos(x + ) =
(1 − 3)
3
4
6
4
4
d. (cos 70° + cos 50°)(cos 230° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°)( cos 320° + cos 380°) = 0
tan 2 2x − tan 2 x
e. tan x tan 3x =
1 − tan 2 2x tan 2 x
Bài 22. Chứng minh
1
a. 2tan a = tan(a + b) nếu sin b = sin a cos (a + b) b. tan a tan b = – nếu cos (a + b) = 2cos (a – b)
3
Bài 23. Cho tam giác ABC. Chứng minh
sin C
a.
= tan A + tan B với A, B ≠ 90°.
cos A cos B
b. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C với ABC không là tam giác vuông
c. cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1


A
B

B
C
C
A
tan + tan tan + tan tan
=1
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
e. cos cos cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
Bài 24. Cho tam giác ABC. Chứng minh
a. tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 với ABC nhọn
b. tan² A + tan² B + tan² C ≥ 9 với ABC nhọn
c. tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) ≥ 3
Bài 25. Tính cos 2x, sin 2x, tan 2x biết
a. cos x = –5/13; với π < x < 3π/2
b. tan x = 2
Bài 26. Tính giá trị của biểu thức.
a. A = cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°
b. B = sin 10° sin 50° sin 70°
π
4π
5π
c. C = cos cos cos
d. D = cos 10° cos 50° cos 70°
7
7
7
2π
4π
8π
16π
32π

cos
e. E = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°
g. F = cos cos cos cos
31
31
31
31
31
h. G = sin 5° sin 15° sin 25° ... sin 75° sin 85°
i. H = cos 10° cos 20° cos 30° ... cos 70° cos 80°
π
2π
3π
4π
5π
6π
7π
π
π
π
k. I = cos cos cos cos cos cos cos
ℓ. J = sin cos cos
15
15
15
15
15
15
15
16

16
8
Bài 27. Chứng minh rằng
a
a
a
a
sin a
π
2π
nπ
1
cos cos 2 cos 3 ...cos n =
cos
...cos
= n
a
a. P =
b. Q = cos
2
2
2
2
n
2 .sin n
2n + 1
2n + 1
2n + 1 2
2
2π

4π
2nπ
1
cos
...cos
=−
c. R = cos
2n + 1
2n + 1
2n + 1
2
Bài 28. Chứng minh rằng
a. 4(sin x cos³ x – cos x sin³ x) = sin 4x
b. 4sin6 (x/2) – 4cos6 (x/2) = cos x (sin² x – 4)
π
1 + sin 2x
2
c. tan( + x) =
d. cot x + tan x =
4
cos 2x
sin 2x
d. tan

1 1 1 1 1 1
x
+
+
+ cos x = cos với 0 < x < π/2
2 2 2 2 2 2

8
Bài 29. Chứng minh rằng
a. 4cos x cos (π/3 – x) cos (π/3 + x) = cos 3x b. 4sin x sin (π/3 – x) sin (π/3 + x) = sin 3x
Áp dụng tính:
A = sin 10° sin 50° sin 70° và B = cos 10° cos 50° cos 70°.
Bài 30. Biến đổi thành tích
a. 1 – 3 tan² x
b. sin 2x + sin 4x + sin 6x
c. 3 + 4 cos 4x + cos 8x
d. sin 5x + sin 6x + sin 7x + sin 8x
e. 1 + sin 2x – cos 2x – tan 2x
g. cos 2x + sin 2x + 1
Bài 31. Rút gọn biểu thức
cos 7x − cos8x − cos 9x + cos10x
sin15x + 2sin12x + sin 9x
a. A =
b. B =
sin 7x − sin 8x − sin 9x + sin10x
cos15x + 2 cos12x + cos 9x
1 + cos x + cos 2x + cos 3x
c. C =
cos x + 2 cos 2 x − 1
Bài 32. Tính giá trị các biểu thức
π
7π
1
3
a. A = tan + tan
b. B =
c. C = tan 9° – tan 27° – tan 63° + tan 81°

−
24
24
sin10° cos10°
Bài 33. Tính giá trị của các biểu thức sau:
π
7π
13π
19π
25π
sin
sin
a. A = sin sin sin
b. B = 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90°
30
30
30
30
30
e.


2π
4π
6π 1
+ cos
+ cos
+
7
7

7 2
2π
4π
6π
8π
+ cos
+ cos
+ cos
e. E = cos
5
5
5
5
Bài 34. Chứng minh
a. tan 20° – tan 40° + tan 80° = 3 3
c. C = cos

b. tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° =

π
2π
3π
− cos
+ cos )
7
7
7
π
3π
5π

7π
9π
+ cos
g. F = cos + cos + cos + cos
11
11
11
11
11
d. D = 2( cos

8 3
cos 20°.
3

Bài 35. Tính giá trị của biểu thức
a. A = cos α + cos 3α + ... + cos (2n – 1)α; với α ≠ kπ

b. B = sin

π
2π
3π
(n − 1)π
+ sin
+ sin + ... + sin
n
n
n
n

π
3π
5π
(2n − 1)π
+ cos + cos + ... + cos
n
n
n
n
1
1
1
+
+ ... +
d. D =
với a = π/5
cos a cos 2a cos 2a cos 3a
cos 4a cos 5a
1
1
1
1
)(1 +
)(1 +
)...(1 +
)
e. E = (1 +
cos x
cos 2x

cos 3x
cos 2 n −1 x
x
x
x
Bài 36. Tính Pn = cos cos 2 ...cos n
2
2
2
a
a
2 a
2 a
n −1
2 a
Bài 37. Tính Sn = tan tan a + 2 tan 2 tan + ... + 2 tan n tan n −1
2
2
2
2
2
Bài 38. Chứng minh rằng
1
sin 2x − cos 2x
1 − 2sin 2 2x 1 + tan 2x
=
a.
b. tan 4x −
=
cos 4x sin 2x + cos 2x

1 − sin 4x
1 − tan 2x
sin 7x
c. tan 6x – tan 4x – tan 2x = tan 2x tan 4x tan 6x
d.
= 1 + 4cos 4x cos 2x + 2cos 4x
sin x
e. cos 5x cos 3x + sin 7x sin x = cos 2x cos 4x
Bài 39. Cho sin (2a + b) = 5 sin b. Chứng minh: 2tan(a + b) = 3tan a
Bài 40. Cho tan (a + b) = 3 tan a. Chứng minh: sin (2a + 2b) + sin 2a = 2 sin 2b.
Bài 41. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a. sin A + sin B + sin C = 4 cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2)
b. cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin (A/2) sin (B/2) sin (C/2)
c. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
d. cos² A + cos² B + cos² C = 1 – 2 cos A cos B cos C
e. sin² A + sin² B + sin² C = 2 + 2 cos A cos B cos C
Bài 42. Tìm các góc của tam giác ABC biết B – C = π/3 và 2 sin B sin C = 1.
Bài 43. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC vuông là
b
c
a
+
=
a. cos 2A + cos 2B + cos 2C = –1
b.
cos B cos C sin B.sin C
sin A + sin B 1
= (tan A + tan B)
Bài 44. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC cân tại C là
cos A + cos B 2

Bài 45. Chứng minh bất đẳng thức
3 3
a. sin A + sin B + sin C ≤
HD: cộng thêm sin (π/3)
2
b. cos A + cos B + cos C ≤ 3/2
HD: cộng thêm cos (π/3)
c. 8cos A cos B cos C ≤ 1
HD: Biến đổi cos A cos B cos C – 1/8 về dạng hằng đẳng thức.
c. C = cos