Giao An 11 Giai Tich Chuong I

Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn
Chơng II: Phơng trình và hệ phơng trình
lợng giác
Đ1: phơng trình lợng giác cơ bản

Tiết theo PPCT :
Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS nắm vững khái niệm phơng trình lợng giác, nghiệm của phơng trình lợng giác,
ghi nhớ cách xác định nghiệm và công thức nghiệm của các phơng trình lợng giác cơ
bản.
HS biết cách giải các phơng trình đa đợc về phơng trình lợng giác cơ bản.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A - ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số
B - Kiểm tra bài cũ:
GV nêu câu hỏi:
* Hãy xác định trên đờng tròn lợng giác các cung
x có
1
sin
2
x
=
(*)
* Ngoài các cung vừa nêu còn cung nào thoả
mãn không?
C - Giảng bài mới:
GV: Ta có phơng trình (*) là phơng trình lợng
giác ẩn x và các giá trị x vừa tìm đợc là nghiệm
của phơng trình.

GV đặt câu hỏi:
* Hãy nêu định nghĩa phơng trình lợng giác. Cho ví
dụ.
HS vẽ hình và xác định trên hình vẽ.
2
6
x k


= +
hoặc
5
2
6
x k


= +
HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi.
40
y
x
M'
M
B'
B
A'
A
O
1/2

y xM' MB'BA' AO
I
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
* Thế nào là nghiệm của phơng trình lợng giác ? giải
phơng trình lợng giác ?
GV chính xác hoá.
1. Định nghĩa : Phơng trình lợng giác là phơng
trình chứa một hay nhiều hàm số lợng giác của
ẩn.
GV: Việc giải mọi phơng trình lợng giác đều đa về
giải các phơng trình lợng giác cơ bản là sinx = a,
cosx = a, tgx = a, cotgx = a.
2. Ph ơng trình sinx = a (1) :
GV đặt câu hỏi:
* Nêu tập xác định của phơng trình (1).
* Khi nào phơng trình (1) có nghiệm? Vì sao?
* Nêu cách xác định điểm ngọn của cung x có sinx
= a (|a|
[
1).
* Nhận xét về vị trí của M và M'

Nhận xét về số
đo hai cung AM và AM'.
* Nêu công thức nghiệm của phơng trình (1) (bằng
độ và radian).
GV lu ý HS: Cần có sự thống nhất về đơn vị
trong công thức nghiệm.
* Nêu công thức nghiệm của phơng trình (1) trong

các trờng hợp đặc biệt; a = 0, a = 1, a = -1.
HS suy nghĩ và trả lời.
HS theo dõi và ghi chép.
HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi.
* TXĐ :
D
= R.
*(1) có nghiệm khi |a|
[
1.Vì tập giá trị
của hàm số sinx là: [-1;1].
* Lấy điểm I

Oy sao cho :
OI a
=
.
Đờng thẳng qua I và vuông góc Oy cắt
đờng tròn lợng giác tại M, M' thì các
cung lợng giác AM và AM' có sin bằng
a nên số đo của chúng là nghiệm của
phơng trình (1).
* M và M' đối xứng nhau qua Oy
nên sđAM =

+ k2

, k

Z

thì sđAM' =

-

+ k2

, k

Z.
* Vậy phơng trình (1) có các nghiệm:

với

tính bằng radian và k

Z.
với

tính bằng độ.
* Ta có:

sin 0 ( )
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z
x x k k Z



= =

= = +
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
41
y
x
M'
M
B'
B
A'
A
O
I
x = + k2
x = - + k2
x = + k360
0
x = 180
0
- + k360
0
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn
GV: Vậy để giải phơng trình (1) ta chỉ cần tìm
một cung

sao cho sin

= a rồi chỉ ra nghiệm
theo công thức nghiệm.
GV nêu và hớng dẫn HS xét ví dụ:

VD1: Giải phơng trình
1
sin
2
x
=
(a).
VD2: Giải phơng trình sinx = sin50
0
(b).
VD3: Giải phơng trình
( )
3
sin 3
5
x
+ =
(c)
GV: Trờng hợp a không là giá trị đặc biệt và |
a|
[
1 thì do luôn tồn tại

để sin

= a nên đặt
sin

= a và coi nh

đã biết.
VD4: Giải phơng trình
( )
3
sin 2 1
2
x
=
.
3. Ph ơng trình cosx = a (2) :
GV chính xác hoá.
+ Nếu
1a
>
thì (2) vô nghiệm.
+ Nếu
1a

thì (2) có nghiệm:
(k Z)
Đặc biệt:

cos 0 2 ( )
2
( )
2
cos 1 2 ( )
x x k k Z
x k k Z
x x k k Z

= = +
= +
= =

sin 1 2 ( )
2
x x k k Z


= = +
HS giải ví dụ dựa vào công thức dới sự h-
ớng dẫn của GV.
( ) sin sin
6
2
6
( )
5
2 2
6 6
a x
x k
k Z
x k k

=

= +




= + = +


0 0
0 0
50 360
( ) ( )
130 360
x k
b k Z
x k

= +


= +

Đặt
3

sin
5

=
thì
( )
sin 3 sinx

+ =

3 2
( )
3 2
x k
k Z
x k


= + +



= + +

Phơng trình vô nghiệm vì
3
1
2
>
.

HS nêu các bớc tiến hành tơng tự với ph-
ơng trình (1) để tìm ra công thức nghiệm
cho phơng trình (2).
42
2x k

= +
y
x
M'
M
B'
B
A'
A
O
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
cos 1 2 ( )x x k k Z

= = +
GV nêu ví dụ.
VD1: Giải phơng trình
( )
0
3
cos 20
2
x
=

VD2: Giải phơng trình
cos3x m
=
.
(m là tham số)
4. Ph ơng trình tgx = a (3) :
GV đặt câu hỏi:
* Nêu tập xác định, tập giá trị của hàm số y=tgx.
* Nêu cách xác định

sao cho tg

= a.
* Từ đó đa ra công thức nghiệm cho phơng trình
tgx = a.
* Nêu công thức nghiệm trong các trờng hợp đặc
biệt khi a = 0, a = 1, a = -1.
GV nêu và hớng dẫn HS giải ví dụ.
( )
0 0
0 0 0
0 0
0 0
cos( 20 ) cos30
20 30 360
50 360
10 360
pt x
x k
x k

k Z
x k
=
= +

= +


= +

+ Nếu
1m
>
thì pt vô nghiệm.
+ Nếu
1m

thì đặt cos = m ta có :

( )
2
cos3 cos
3 3
x x k k Z


= = +
HS trả lời câu hỏi.
* TXĐ:
D

=
\ ,
2
R k k Z



+


TGT:
T
= R.
* Xác định trên hình vẽ.
* Phơng trình (3) có nghiệm:
(k

Z)
Viết gộp là: (k

Z)
* Đặc biệt:

0 ( )
1 ( )
4
1 ( )
4
tgx x k k Z
tgx x k k Z

tgx x k k Z





= =
= = +
= = +
HS giải ví dụ.
43
x = + k2
x = + + k2
x = + k
y
x
M'
M
B'
B
A'
A
O
H
t
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
VD1: Giải phơng trình
3 3tg x
=

(*)
VD1: Giải p.trình
( )
0
5
2 30
2
tg x
=
(**)
5. Ph ơng trình cotgx = a (4) :
GV chính xác hoá.
TXĐ: D =
{ }
\ ,R k k Z


Phơng trình (4) có nghiệm:
(k Z)
Viết gộp là: (k Z)
Đặc biệt:

0 ( )
2
1 ( )
4
1 ( )
4
cotgx x k k Z
cotgx x k k Z

cotgx x k k Z






= = +
= = +
= = +
GV nêu ví dụ.
VD1: Giải phơng trình
( )
1
3 2 (*)
3
cotg x
=
(*) 3
3
( )
9 3
tg x tg
x k k Z



=

= +
Đặt
5
2
tg

=
ta có:

( )
0
0 0
0 0
2 30
2 30 180
15 90 ( )
2
tg x tg
x k
x k k Z



=
= +
= + +
HS tiến hành các bớc nh đối với các
phơng trình đã học rồi đa ra công thức
nghiệm.
( )

(*) 3 2
3
3 2
3
2
( )
3 9 3
cotg x cotg
x k
x k k Z





=


= +
= +
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
44
x = + k2
x = + + k2
x = + k
y
x
M'
M
B'

B
A'
A
O
K
s
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn
VD2: Giải p.trình
( )
0
2
60
3
cotg x
=
Đặt
2
3
cotg

=
ta có:

( )
0
0 0
0 0
60
60 180
60 180 ( )

cotg x cotg
x k
x k k Z



=
= +
= + +
D - H ớng dẫn công việc ở nhà :
* Xem lại lý thuyết; ghi nhớ công thức ngiệm của các phơng trình lợng giác cơ
bản.
* Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 64, 65).
E - Chữa bài tập: Giải các phơng trình
Đề bài Đáp số
Bài 1(64):
3
) sin 2
2
a x
=
( )
0
2
) cos 2 25
2
b x
+ =
( )
) 4 2 3c cotg x

+ =
( )
0
3
) 15
3
d tg x
+ =
Bài 2(64):
( )
0
2
) sin 2 15
2
a x
=
với
0 0
120 120x < <
( )
1
) cos 2 1
2
b x
+ =
với
x

< <
( )

) 3 2 3c tg x
+ =
với
2 2
x

< <
.
Bài 3(65):
( ) ( )
) sin 2 1 sin 3a x x
= +
) sin3 cos2b x x
=
6
) ( )
3
x k
a k Z
x k





= +

= +


0 0
0 0
80 180
) ( )
55 180
x k
b k Z
x k

= +


= +

1
) ( )
2 24 4
c x k k Z

= +
0 0
) 15 180 ( )d x k k Z
= +
0 0 0
) 30 ; 105 ; 75 .a x =
1 1 5 1 1 5
) ; ; ;

2 6 2 6 2 6 2 6
b x

= + +
2 2 4 2 2
) ; ;
3 9 3 9 3 9
c x

= + +
4 2
)
2 2
3 3 3
10 5
)
2
= +



= +



= +



= +

x k
a
x k
x k
b
x k





45
Gi¸o ¸n: §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11 Ph¹m V¨n s¬n
§Ò bµi §¸p sè
( )
) 3 2 2 0c tg x cotg x
+ − =
) sin 4 cos5 0d x x
+ =
Bµi 4(65).
) 2sin 2 sin 2 0a x x
+ =
2 2
) sin 2 cos 3 1b x x
+ =
) 5 . 1c tg x tgx
=
2 2

2
) sin 5 cos
5 4
x
d x
π
π
   
+ = +
   
   
) 2
2
2
2
)
2
6 9
= − + +

= +



= +


c x k
x k
d

x k
π
π
π
π
π π
)
3
2
4
)
5
)
12 6
2 4
105 21
)
18 4
95 19
x k
a
x k
x k
b
x k
c x k
x k
d
x k
π

π
π
π
π
π π
π π
π π
=



= ± +


=


= −

= +

= +



= − +


46
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn

Đ2: Một số phơng trình lợng giác thờng gặp


Tiết theo PPCT :
Tuần dạy :
I - Mục đích, yêu cầu:
HS nắm vững phơng pháp và biết cách giải một số phơng trình lợng giác thờng gặp
nh: phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác, phơng trình bậc nhất
đối với sinx và cosx, phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx bằng cách đa
về phơng trình lợng giác cơ bản (theo hai cách: đại số hoá bằng cách đặt ẩn phụ và đa
về phơng trình tích).
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
A - ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi:
1. Nêu công thức nghiệm của các phơng trình:
sinx = a, cosx = a. áp dụng để giải phơng trình:

( )
0
2sin 20 3 0x + =
.
2. Nêu công thức nghiệm của các phơng trình: tgx
= a, cotgx = a. áp dụng để giải phơng trình:
( )
3 5 5 0tg x + + =
.
C - Giảng bài mới:
1. Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai đối với một

hàm số l ợng giác :
GV hớng dẫn HS đa ra phơng pháp giải tổng quát
thông qua ví dụ cụ thể.
VD1: Giải phơng trình 4sin
2
x + sinx - 5 = 0
GV yêu cầu HS nêu nhận xét về phơng trình từ đó
đa ra phơng pháp giải thích hợp.
GV lu ý HS về điều kiện của ẩn phụ và phải kiểm
tra điều kiện.
2 HS lên bảng trả bài.
HS nêu nhận xét và giải cụ thể.
Đặt t = sinx với -1 t 1.
Ta có phơng trình: 4t
2
+ t- 5=0.
Phơng trình có hai nghiệm:

5
1; 1
4
t t= = >
(loại)
47
y xM' MB'BA' AO
I
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV yêu cầu HS nêu phơng pháp chung.
GV chính xác hoá.

Ph ơng pháp : Đặt hàm số lợng giác có trong ph-
ơng trìnhlàm ẩn phụ, tìm điều kiện cho ẩn phụ
(nếu có) rồi giải phơng trình theo ẩn phụ...
2. Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx :
dạng asinx + bcosx = c (1)
(a, b, c R; a 0; b 0)
a) Cách 1:
GV nêu phơng pháp tổng quát.
Ta có:
( )
1 sin cos
b c
x x
a a
+ =
Đặt
b
tg
a

=
ta có phơng trình:

( )
sin .cos
sin cos sin cos cos
sin cos
c
x tg x
a

c
x x
a
c
x
a



+ =
+ =
+ =
Phơng trình trên là phơng trình cơ bản đã biết
cách giải.
GV nêu ví dụ.
VD: Giải phơng trình 5sinx + 4 cosx = 3 (a)
b) Cách 2:
GV nêu phơng pháp tổng quát.
Theo cách đặt ta có:

sin 1 2 ( )
2
x x k k Z


= = +
HS thông qua ví dụ trên để nêu ra ph-
ơng pháp chung.
HS theo dõi và ghi chép.
HS áp dụng phơng pháp vừa nêu để

giải phơng trình.
Biến đổi phơng trình về dạng:

( )
3
sin cos
5
x

+ =
với
4
5
tg

=
Đặt
3
sin cos
5

=
ta có phơng trình
( )
( )
2
sin sin
2 1
x k
x

x k



= + +

+ =

= + +

48
Giáo án: Đại số và giải tích 11 Phạm Văn sơn
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Ta có:

( )
2 2 2 2 2 2
1 sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b

b
a b



=

+



=

+

ta đợc phơng trình:

( )
( )
2 2
2 2
1 cos sin sin cos
sin (*)
c
x x
a b
c
x
a b

+ =
+
+ =
+
Phơng trình trên là pt lợng giác cơ bản.
GV nêu ví dụ.
VD: Giải phơng trình 5sinx + 4 cosx = 3 (a)
GV yêu cầu HS nêu điều kiện có nghiệm của ph-
ơng trình (*). Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm
của phơng trình (1).
GV nêu thành chú ý.
Chú ý: Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

2 2 2
2 2
1
c
c a b
a b
+
+
c) Cách 3:
GV giới thiệu cho HS cách giải thứ 3.
Đặt
2
x
t tg=
ta có phơng trình:
HS theo dõi và ghi chép.

HS áp dụng cách 2 giải phơng trình.
Ta có:
( )
5 4 3
sin cos
41 41 41
a x x
+ =
Đặt
5
cos
41
4
sin
41



=




=


ta có phơng trình:

( )
3

sin
41
x

+ =
Đặt
3
sin
41

=
ta đợc:
( )
( )
2
sin sin
2 1
x k
x
x k



= + +

+ =

= + +

HS trả lời câu hỏi.

HS theo dõi và ghi chép.
49