Đề thi HSG Toán 8 năm 20162017 Phòng GDĐT Tiền Hải có đáp án

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO TIỀN HẢI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1: (4,5 điểm)
1) Ph}n tích đa thức thành nhân tử: M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
ab

bc

c a   c

a

b 

Nếu a + b + c = 0 thì 


.


9
a

b   a  b b  c c  a 
 c
3) Cho A = p4 trong đó p l{ số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng c|c ước dương của A
là số chính phương.
Bài 2: (4,0 điểm)
 x 4

1  

x 8



1) Cho biểu thức P   3

 :  1  x 2  x  1  (Với x  1)
 x 1 x 1  

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình: x 2  3x  2  0
2. Chứng minh rằng: f ( x )  ( x 2  x  1)2018  ( x 2  x  1)2018  2 chia hết cho g(x)  x 2  x
Bài 3: (3,5 điểm)
1) Tìm m đe phương trình co nghiem (vơi m tham so)

x  m x 3

2
x 3 x  m

2) Giai phương trình: 2x(8x  1)2(4x  1)  9

Bài 4 (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh
BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q l{ trung điểm của CH,
đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Khi M l{ trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP
c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng

1
1
1


2
2
AB
AP
4 AF 2

Bài 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo c|c cạnh là các số nguyên dương v{
số đo diện tích bằng số đo chu vi.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 8

Bài
1

Nội dung

Điểm

1.
M  ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24

0,75

M  ( x 2  7 x  10)( x 2  7 x  12)  24

0,5

M  ( x 2  7 x  11  1)( x 2  7 x  11  1)  24

0,25

M  ( x 2  7 x  11)2  25
M  ( x 2  7 x  6) ( x 2  7 x  16)
M  ( x  1)( x  6)( x 2  7 x  16)
2. C|c ước dương của A là 1, p, p2, p3, p4

Tổng c|c ươc l{ 1  p  p2  p3  p4  n2 (n  N )

0,5
0,5

 4  4 p  4 p2  4 p3  4 p 4  4n2

Ta có 4 p4  4 p3  p2  4n2  4 p4  p2  4  4 p3  8 p2  4 p
 (2 p2  p)2  (2n)2  (2 p 2  p  2)2  (2n)2  (2 p 2  p  1) 2

Do đó:
4 p 4  4 p3  4 p 2  4 p  4  4 p 4  4 p3  5 p 2  2 p  1  p 2  2 p  3  0

0,25
0,25

p1 = -1(loại); p2 = 3

a b
bc
ca
c
1 a
1 b
1
 x;
 y;
z
 ;
 ;

 (1)
c
a
b
a b x b c y c a z
1 1 1
 ( x  y  z)      9
x y z

3. Đặt

1

1

1

 yz

xz

y  z bc ca  c
b 2  bc  ac  a 2 c


.

.
Ta lại có:


x
b  a b
ab
a b
 a
2
c(a  b)(c  a  b) c(c  a  b) c  2c  (a  b  c) 2c




ab(a  b)
ab
ab
ab
x  z 2a 2 x  y 2b 2

;

Tương tự ta có
y
bc
z
ac
2
2
1 1 1
2c 2a 2b2
2
( x  y  z)      3 



 3
( a 3  b3  c 3 )
ab bc
ac
abc
x y z

Vì a  b  c  0  a3  b3  c3  3abc
1

1

2

Do đó ( x  y  z )      3 
.3abc  3  6  9
x y z
abc


W: www.hoc247.net



F: www.facebook.com/hoc247.net

0,25

x y

Ta có ( x  y  z )      3  


 (2)
y
z 
x y z
 x

1

0,5

T: 098 1821 807

0,25
0,25
0,25


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2

1.
a. Với x  1 ta có

  x2  x  1  x  8 

x4
x2  x  1
P

:

2
2
x2  x  1 
 ( x  1)( x  x  1) ( x  1)( x  x  1)  
 x  4  x2  x  1   x2  x  1  x  8 
x2  2x  3
x2  9
P
:

:
 

2
x 2  x  1  ( x  1)( x 2  x  1) x 2  x  1
 ( x  1)( x  x  1)  

( x  3)( x  1) x  x  1 x  3
.
 2
( x  1)( x 2  x  1) x 2  9
x 9
x3
Vậy x  1 thì P  2

x 9


0,5
0,25

2

0,25

0,5
0,25
0,25

2
b. x  3x  2  0 suy x = 2 hoặc x = 1 (loại)

23
5
 .
2
2  9 13
5
Kết luận với x = 2 thì P 
13

Thay x = 2 vào P ta có P 

3

0,5

2. Đa thức g ( x)  x2  x  x( x 1) có hai nghiệm là x = 0 hoặc x = 1
Ta có f (0)  (1)2018  12018  2  0  x = 0 là nghiệm của f(x)
 f(x) chứa thừa số x
Ta có f (1)  (12  1 1)2018  (12 1  1)2018  2  0  x = 1 là nghiệm của f(x)
 f(x) chứa thừa số x- 1 mà các thừa số x và x - 1 không có nhân tử
chung do đó f(x) chia hết cho x(x - 1)
Vậy f ( x)  ( x2  x 1)2018  ( x2  x  1)2018  2 chia hết cho g ( x)  x2  x

0,5

1. ĐKXĐ: x  -3; x  -m ta có

0,5

x m x 3

 2  x 2  m2  x 2  9  2( x  3)( x  m)
x3 xm
 2 x2  m2  9  2( x2  3x  3m  mx)  2(m  3) x  (m  3)2 (1)

Với m = 3 thì (1) có dạng 0x = 0. Nghiệm đúng mọi x thỏa m~n điều
kiện x  -3;
x  -m, do đó tập nghiệm của phương trình l{ x  3
Với m  3 thì phương trình (1) có nghiệm x  

(m  3)2
m3


2(m  3)
2

Để giá trị này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:

m3
m3
 3 và 
 m tức là m  3 . Vậy nếu m  3 thì
2
2
m3
là nghiệm
x
2
 m  3
Kết luận: với m = -3 thì S  x / x  3 . Với m  3 thì S  

2 


0,25
0,25
0,25
0,25

0,5
0,5
0,25



W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0,25


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

0,25

2. Ta có 2 x(8x 1)2 (4 x 1)  9 
(64 x2  16 x  1)(8x2  2 x)  9  (64 x2 16 x  1)(64 x 2  16 x)  72 (*)
Đặt 64x2 -16x = t ta có (*)  t(t + 1) – 72 = 0  t = - 9 hoặc t = 8.
Với t = -9 ta có 64x2 -16x= -9  64x2 -16x + 9 = 0  (8x -1)2 +8 = 0

(vô nghiệm vì (8x -1)2 + 8 > 0)
Với t = 8 ta có 64x2 -16x= 8  64x2 -16x – 8 = 0  (8x -1)2 -9 = 0
 x=

1
1
hoặc x=  .
4
2

Vậy nghiệm của phương trình l{ x =

0,5
0,25
0,25
0,25

1
1
hoặc x=  .
4
2

4
0,25

0,5
1,0
0,5
a. Chưng minh được DH // BK (1)
Chứng minh được AHD  CKB suy ra DH = BK (2)
Từ (1) và (2)  tứ giác MNPQ là hình bình hành
b. Gọi E l{ trung điểm BK, chứng minh được QE l{ đường trung bình
1
2

1
2

của KBC nên QE // BC  QE  AB(vì BC  AB) và QE  BC  AD

Chứng minh AM = QE và AM//QE  tứ giác AMQE là hình bình hành
Chứng minh AE//NP//MQ (3). Xét AQB có BK v{ QE l{ hai đường
cao của tam giác  E là trực tâm của tam giác
nên AE đường cao thứ ba của tam giác AE  BQ  BQ  NP

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0,5
0,5
0,5
0,5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

c.
0,5

Vẽ tia Ax vuông góc AF. Gọi giao của Ax với CD là G.

0,25

Chứng minh

0,5

(cùng phụ

)  ADG ~ ABP (g.g)

AP AB
1

 2  AG  AP
AG AD
2
Ta có AGF vuông tại A có AD  GF nên AG.AF = AD.GF
(= 2S AGF )  AG2 .AF2  AD2 .GF 2 (1)

Ta chia cả hai vế của (1) cho AD2 . AG2 .AF2
Mà AG2 + AF2 = GF2( Định lý pitago)

0,5
0,25

1
1
1
1
1
1






2
2
2
2
2
AF 2
AD
AG
AF
1

1

 AB 
 AP 
2

2

4
4
1
1
1
1







AB 2 AP 2 AF 2
AB2 AP2 4 AF 2


5

Gọi các cạnh của tam gi|c vuông l{ x, y, z trong đó cạnh huyền là z (x,
y, z là các số nguyên dương). Ta có xy = 2(x + y + z) (1) và x2 + y2 = z2
(2)
Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 - 2xy, thay (1) vào ta có:
z2 = (x + y)2 – 4(x + y + z)
 z 2  4 z  ( x  y) 2  4( x  y)  z 2  4 z  4  ( x  y) 2  4( x  y)  4

0,25
0,25

 ( z  2)2  ( x  y  2) 2
 z  2  x  y  2 hoặc z + 2= -x – y + 2 (loại vì z >0)
 z  x  y  4 ; thay vào (1)

0,25

ta được xy = 2(x + y + x + y - 4)

0,25

 xy  4 x  4 y  8
 ( x  4)( y  4)  8  1.8  2.4 từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là:

(x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z = 13); (x = 6, y = 8, z = 10); (x =
8, y = 6, z = 10)

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ c|c trường Đại học và
c|c trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ c|c Trường ĐH v{ THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ X~ Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương t|c dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An v{ c|c trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư To|n giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Gi|o viên To|n v{ Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi c}p độ từ Tiểu học đến ĐH hay c|c chương trình To|n Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đ|nh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807