Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2017 Phòng GDĐT Phú Lộc có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

HUYỆN PHÚ LỘC

NĂM HỌC 2016 – 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm):
 3x  9 x  3
Cho biểu thức A  

x
x
2




1

x 1

1

x2

 1
2 :
 x 1

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị của x để

2
là số tự nhiên.
A

Câu 2. (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: x 2  10 x  27  6  x  x  4
2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 

x 1
x  x 1
2

Câu 3. (4,0 điểm):
Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2)
1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I
của đoạn thẳng AB.
2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2). Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam
giác đó.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây
CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.

1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng:
HM MK CD


HK MC 4R

3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố


định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
c  ab a  bc b  ac


2
ab
bc
ac


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Câu

Ý

Lời giải

1

1

x  0
Điều kiện: 
x  1

2

 3x  9 x  3

A
 x x 2



=

=
3

0,5

1

x 1

x3 x 2

=


x  1
x  1
x  1

x 2

x 1



x 1

0,5



0,5

x  0
Với điều kiện: 
x  1



Vì A =



Do đó:

2

A

Mà



x 1



2



Vậy

2

2

x  1 ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên 0 ≤
2



x 1

2

x  1 > 0 nên

  khi













x 1

2

x  1 = 1 hoặc

x  1 =1 hoặc

Do đó: x  0 hoặc x 

1

0,5

2

Ta có: A =

2

0,5

 1
1
 2 :
x2
 x 1

  x 1 


x  2

x  2

x 1

Điểm

x 1 =

2



0,5

≤2



2

x 1 = 2

0,5

2

2

2 1  3  2 2

0,5

2
là số tự nhiên khi x  0 hoặc x  3  2 2
A

Giải phương trình: x 2  10 x  27  6  x  x  4
0,5

Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6
VT  x 2  10 x  27   x  5  2  2 , dấu “=” xảy ra  x  5
2


VP  6  x  x  4 

Dấu “=” xảy ra 

2



12  12  
1

6 x

 
2

6 x 



2
x  4   VP  2 ,


1
6 x  x4  x 5
x 1

VT  VP  x  5 (TMĐK).

0,5

Vậy nghiệm của phương trình là x  5

0,5

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A

x 1
x  x 1
2

2

0,25

1 3

Ta có: x  x  1   x     0, x  
2 4

2

A

x2
x 1
x2  x 1 x2
x2




 0, x   )
1
1
(vì
x2  x 1
x2  x 1
x2  x 1
x2  x 1

Đẳng thức xảy ra khi x = 0, suy ra: maxA = 1 khi x = 0
x 2  4x  4   x 2  x  1
3x  3
x 1
A 2
 3A  2

x  x 1
x  x 1
x2  x  1

 x  2

2

=

x2  x 1

 x  2

1  1 (vì

x2  x 1

2

0,25
0,5

 0, x )

1
Suy ra: minA =  , khi x  2
3

1

0,5

2

1
Suy ra: A   , đẳng thức xảy ra khi x  2  0  x  2
3

3

0,5

0,25
0,25

Tìm được A(0; 3); B(0; 7)

1,0

Suy ra I(0; 5)

0,5

Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x + 3 =

0,5

3x + 7

0,5

 x = – 2  yJ = 1  J(-2;1)

Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20

0,5


 OJ2 + IJ2 = OI2  tam giác OIJ là tam giác vuông tại J

0,5

1
1
 S OIJ  OI .OJ   5  20  5 (đvdt)
2
2

4

1

2

Vì CD  AB  CM = MD

0,5

Tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên

0,5

là hình bình hành

0,5

Mà AE  CD  tứ giác ACED là hình thoi

0,5

Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ∆ABC vuông tại
C, suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật
Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có:
MH.AC = MA.MC  MH =
Tương tự ta có: MK =
 MH.MK =

MA.MC
AC

MB.MC
BC

MA.MB.MC
AC.BC

2

Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông tại C)
MC 2 .MC 2 MC3
MH.MK MC
=


=
 MH.MK =
MC.AB
AB
MC 2
AB

Mà MC = MK ( do CHMK là hình chữ nhật)

0,5

0,5
0,5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807